Patratarea cercului

Tratatul de la Arhimede intitulat Măsurarea unui cerc a reușit să ne completeze. Arhimede demonstrează în acest tratat următoarele trei proprietăți:

• aria unui cerc este egală cu aria triunghiului dreptunghic ale cărui laturi ale unghiului drept sunt: ​​una, raza cercului; cealaltă, perimetrul. Aria cercului este atunci: rază × perimetru / 2;
• aria cercului este cu pătratul diametrului său într-un raport de aproximativ 11 ⁄ 14  ;
• raportul dintre perimetru și diametrul cercului este cuprins între 3 + 10 ⁄ 71 și 3 + 10 ⁄ 70 .

Prima teoremă rezolvă cvadratura cercului prin rectificarea perimetrului unui cerc cu rază dată și în cele din urmă îl readuce la construcția unui segment de lungime π . Arhimede, cu a treia teoremă, oferă o valoare atât simplă (22/7), cât și suficient de precisă (≈ 3,143) pentru aplicațiile curente. A doua teoremă este un corolar al celorlalte două; în ceea ce privește faptul că aria unui cerc este proporțională cu pătratul diametrului său, acest lucru era deja cunoscut de Euclid  ; Arhimede specifică aici doar coeficientul de proporționalitate.

Pentru a demonstra cele trei afirmații ale sale, Arhimede recurge la ideea predecesorului său Bryson: să înconjoare cercul cu poligoane înscrise și circumscrise prin înmulțirea punctelor de contact. Plecând de la un hexagon inscripționat și triunghiul circumscris (echilateral), Arhimede reușește prin duplicări succesive ale numărului de laturi să închidă cercul între două poligoane de câte 96 de laturi. Un calcul remarcabil al rădăcinilor pătrate care intervin în relațiile geometrice obținute oferă cele trei rapoarte anunțate.

Într-un alt tratat intitulat Des spirales , Arhimede descrie construcția a ceea ce numim astăzi o spirală arhimedeană și care, ca și quadratrixul lui Hippias, este generată de compoziția unei mișcări rectilinii uniforme și a unei mișcări circulare uniforme. El arată că construcția unei tangente la această spirală permite rectificarea exactă a perimetrului unui cerc. Mai mulți comentatori văd în aceasta o pătratire completă a cercului, dar Arhimede nu o revendică el însuși ca atare: nu mai mult decât quadratrixul, nici spirala și nici tangenta sa nu pot fi construite cu o riglă și o busolă.

Evul Mediu

Interesul reînnoit pentru matematică din Antichitate în Europa creștină din secolul  al XI- lea a fost însoțit de speculații originale despre pătrarea cercului, care însă nu a avansat soluția sa. Putem fi chiar surprinși retrospectiv că, în Evul Mediu, aproximarea lui Arhimede pentru numărul π , și anume 22 ⁄ 7 , ar fi putut fi considerată exactă.

Unul dintre primii autori ai acestei perioade care a fost interesat de problema pătratului cercului a fost Francon de Liège . Tratatul său De quadratura circuli a apărut în jurul anului 1050. Francon stabilește mai întâi trei soluții pe care le consideră defecte. Primele două dau, pentru latura pătratului căutat, valoarea 7 ⁄ 8 , iar pentru diagonala sa 10 ⁄ 8 din diametrul cercului, care corespunde unor aproximări slabe pentru π (3 + 1 ⁄ 16 și 3 + 1 ⁄ 8 resp.). A treia metodă presupune rectificarea cercului.

Soluția lui Francon se aplică unui cerc cu diametrul 14. Potrivit acestui autor, aria în acest caz este exact 7 2  × 22 ⁄ 7  = 154. Dacă metoda Francon nu oferă mijloacele de calcul al laturii pătratului căutat (deoarece rădăcina pătrată de 22 ⁄ 7 este irațională), permite deja construirea ei. Pentru a face acest lucru, el împarte cercul în 44 de sectoare egale care, lipite între ele, formează un dreptunghi 11 cu 14 pe lateral. Acestea fiind spuse, Francon nu explică modul în care obține rezultatul cheie al raționamentului său, și anume asimilarea sectoarelor unui cerc în triunghiuri dreptunghiulare ale laturilor de lungime 1 și 7. Faptul că în cele din urmă nu reușește să-și transforme dreptunghiul într-un real Nici pătratul nu este foarte concludent. Evident, Francon nu era familiarizat cu metodele Anticilor transmise până la vremea sa.

Tratatele scolastice ulterioare sunt mai mult sau mai puțin inspirate din argumentarea autorilor clasici. Abia odată cu difuzarea traducerilor latine ale tratatelor lui Arhimede în Evul Mediu târziu , s-a realizat că 22 ⁄ 7 era doar o valoare aproximativă și că gânditorii, precum Nicolas de Cues , s-au întors la pătratirea cercului. Acesta din urmă a preluat ideea încadrării cercului printr-o serie de poligoane inscripționate și circumscrise cu un număr tot mai mare de laturi, dar spre deosebire de Arhimede, el nu caută să acopere suprafața cercului, ci să calculeze raza cercului circumscris la un poligon de zonă dată. Plecând de la un triunghi echilateral, luat ca cel mai simplu poligon regulat, acesta crește treptat numărul laturilor celorlalte poligoane izoperimetrice regulate până la cerc (definit ca un poligon cu un număr infinit de laturi), pentru a-și găsi raza. În aceste poligoane, diferența de zonă dintre cercul înscris și cercul circumscris este extremă în triunghi, apoi se diminuează în pătrat etc., până la cercul în care putem considera că cercul înscris și cercul circumscris coincid. Potrivit lui Nicolas de Cues, este suficient să se determine proporția dintre aceste cercuri, prin intermediul razelor lor, pentru a găsi raportul dintre aria unui cerc și cea a unui pătrat. Valoarea pe care o obține prin acest proces (π = 3,1423) este în orice caz între cele două limite date de Arhimede. Contribuțiile lui N. de Cues la această problemă dau în mod clar valori mai sărace și Regiomontanus a denunțat imprecizia calculelor și a descris raționamentul ca fiind „filosofic, dar nu matematic”. "

De la „  Nova ciclometrie  ” la „Cadratură aritmetică”

Progresele în trigonometrie și dezvoltarea metodelor analitice moderne au permis din secolul  al XVI- lea să continue implementarea metodei epuizării Arhimede.

În secolul  al XVI- lea , Oronce Fine , Scaliger cred că au demonstrat pătratul; Adrien Romain , Cavalerul Errard de Bar ducele le-a refuzat; în această controversă , François Viète îl decretează imposibil. Problema depășește sfera matematicii și vedem aluzii la cvadratură apărând în lucrările ezoterice. In al XVII - lea  secol , Grigorie de Sf . Vincent a crezut că a rezolvat enigma Cuadratura: a expus soluțiile sale într - o carte de 1000 de pagini.

În versiunea sa primitivă, metoda lui Arhimede constă în înscrierea și circumscrierea cercului cu poligoane. Cadrul este rafinat prin creșterea numărului de laturi ale poligoanelor. Geometrul olandez Snell (alias Snellius ) a descoperit în 1621 o încadrare remarcabilă pentru lungimea arcului subtendută de un poligon cu laturi de 3 × 2 n , care implică doar apotema și coarda poligonului (care sunt pentru aceste unghiuri particulare de mărimi algebrice) . Cu toate acestea, el nu a putut demonstra riguros acuratețea acestui cadru; urma să depindă de compatriotul său Christiaan Huygens , 25 de ani mai târziu, să aplice această idee și chiar să o îmbunătățească: Huygens a publicat rodul acestui studiu într-un tratat intitulat De circuli magnitudine inventa , care conține și demonstrația proprietății, Snell. Într-un mod pur geometric, Huygens a încadrat suprafața dintre cerc și poligonul circumscris atât de fin încât, pe un număr egal de laturi, a obținut de trei ori mai multe zecimale exacte decât Arhimede.

Cu Huyghens, metodele pur geometrice își epuizaseră posibilitățile. Pentru a merge mai departe, a fost acum necesar să se treacă la metode de calcul mai eficiente, cum ar fi însumarea seriilor infinite , și în special a celor obținute cu expansiunile limitate ale funcțiilor trigonometrice . Este adevărat că, de la sfârșitul al XVI - lea  secol , François Viète a fost capabil să -și exprime π de un produs infinit  : 2π=cos⁡(90∘2)×cos⁡(90∘4)×cos⁡(90∘8)×cos⁡(90∘16)×⋯=12×12(1+12)×12(1+12(1+12))×⋯{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = \ cos \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ}} {2}} \ right) \ times \ cos \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ}} {4}} \ right) \ times \ cos \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ}} {8}} \ right) \ times \ cos \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ}} {16}} \ right) \ times \ cdots \! = {\ sqrt {\ frac {1} {2}}} \ times {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {1} {2}}} \ right)}} \ times {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left (1 + {\ sqrt {{ \ frac {1} {2}} \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {1} {2}}} \ right)}} \ right)}} \ times \ cdots \!}

dar formula sa converge încet. John Wallis a oferit o dezvoltare mai simplă a seriei, în special pentru că implică doar sume și fracțiuni de produse; primul președinte al Societății Regale , Lord Brouncker , a dat o reprezentare a lui π ca o fracție continuă generalizată . Dar dezvoltarea serială care a fost cea mai utilă pentru calculul lui π a fost de departe cea a funcției tangente arc , descoperită de Madhava și găsită trei secole mai târziu, independent și aproape simultan, de James Gregory și GW Leibnitz . Într-adevăr, deși această serie converge doar lent la punctul 1, ea converge rapid în orice punct mai mic și se pretează în mod deosebit la utilizarea operațiilor aritmetice uzuale. Dar dacă am putea, de la începutul XVIII - lea  secol , calculat folosind acest nou instrument de primele 100 de zecimale exacte tt , aceste tehnici nu a adus nici un element nou în cercul pătrat.

„  Cadratura aritmetică  ” Leibniz, găsită în 1674, este o serie alternativă deosebit de simplă: π=41-43+45-47+49-411⋯=4∑k=0∞(-1)k2k+1.{\ displaystyle \ pi = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + {\ frac {4} {9}} - {\ frac {4} {11}} \ cdots \! = 4 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { k}} {2k + 1}}.}

Formularea algebrică a problemei și iraționalitatea lui π

Pentru a rezolva cvadratura cercului, a fost necesar, pe de o parte, să traducem noțiunea de „constructibilitate geometrică” într-o proprietate algebrică și, pe de altă parte, să aprofundăm înțelegerea proprietăților numărului π .

Orice construcție cu o riglă și o busolă se bazează pe un număr finit de puncte date și constă în construirea într-un număr finit de trepte puncte noi prin intersecția a două linii, a două cercuri sau a unei linii și a unui cerc. Traducerea acestui limbaj algebric în proces este realizată prin utilizarea unui sistem de coordonate , care este ideea fundamentală a geometriei analitice imaginat XVII - lea  secol de Pierre de Fermat și Descartes . Cu un astfel de sistem, este posibil să raționăm pe linii și cercuri prin ecuațiile lor: punctele de intersecție care trebuie construite devin soluțiile ecuațiilor algebrice care urmează să fie calculate. Astfel constatăm că segmentele exact construibile cu rigla și cu busola nu sunt altele decât numerele obținute din unitate printr-un număr finit de operații aritmetice (adunare, scădere, înmulțire și împărțire) și de extracții de rădăcini . În special, un astfel de număr este algebric , adică soluția unei ecuații algebrice de grad arbitrar cu coeficienți raționali . Se spune că numerele non-algebrice sunt transcendente și nu sunt construibile .

Principiul cercetărilor ulterioare asupra numărului π este cuprins în Introducuctio in analysin infinitorum de Leonhard Euler (1748). Există celebra formulă:

eeuz=cos⁡z+eupăcat⁡z{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \, z} = \ cos z + {\ rm {i}} \ sin z}

care, pentru prima dată, conectează liniile trigonometrice la funcția exponențială și oferă astfel niște noi fracții continue și expansiuni în serie ale π și ale numărului e .

Elvețianul Jean-Henri Lambert a reușit să extindă această lucrare de pionierat pentru a demonstra din 1761, prin calculul noilor dezvoltări în fracția continuă generalizată , că π este irațional , adică - ca e - nu este o fracțiune exactă a numere întregi. A publicat un rezumat de popularizare pentru „cvadraturi”. În cea de-a 4- a  ediție (1806) a geometriei sale , Adrien-Marie Legendre a dat o nouă „dovadă” a iraționalității lui π - mai ușor de citit, dar incompletă - și „demonstrată” prin același simbol ca al lui π 2 .

Acesta a fost în 1837 că Pierre-Laurent Wantzel a demonstrat o teoremă care a făcut posibilă pentru a expune forma ecuațiile la care numerele edificabil cu o regulă și o busolă sunt soluții: numerele constructibile sunt numerele raționale și rădăcinile anumitor polinoame de grad 2 n cu coeficienți întregi (mai precis elementele unui turn de extensii pătratice ); numerele construibile sunt cazuri speciale în mulțimea numerelor algebrice (care sunt rădăcinile polinoamelor de orice grad finit cu coeficienți întregi).

Conjectura a transcendenței π , examinate de Euler, Lambert și Legendre, a rămas o problemă deschisă. Până la mijlocul secolului al XIX - lea  secol , în plus , era neclar dacă ar exista numere transcendentale. Dovada existenței lor a fost adusă în 1844 de Joseph Liouville prin construirea explicită a unor numere transcendente particulare, numerele Liouville .

Dovada imposibilității unei cuadraturi exacte

Ferdinand von Lindemann a reușit în cele din urmă să demonstreze în 1882 că π nu este algebric, cu alte cuvinte că este transcendent  ; că, în consecință, nu se poate construi cu regula și busola un segment de lungime π și, prin urmare, că pătratul cercului este imposibil.

Lindemann s-a bazat pentru acest lucru pe un rezultat al matematicianului francez Charles Hermite . Acesta din urmă demonstrase în 1873 că numărul e este transcendent. Lindemann-Weierstrass Teorema generalizează acest rezultat , după cum urmează:

∑eu=1rnueuezeu=0{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {r} n_ {i} {\ rm {e}} ^ {z_ {i}} = 0}

Pe baza acestei leme , Lindemann a reușit, datorită identității lui Euler e iπ + 1 = 0 , să demonstreze în mod absurd că π nu putea fi algebric; ceea ce înseamnă a spune că π este transcendent.

Dovada lui Lindemann a transcendenței lui π a fost apoi simplificată în diferite moduri, cum ar fi în forma dată de David Hilbert în 1893.

O problemă faimoasă

Puține probleme au trecut dincolo de matematică până la pătrarea cercului. Acesta este unul dintre motivele pentru care a fascinat atât de mulți amatori, dintre care unii chiar au crezut că l-au rezolvat.

Cea mai veche mărturie legată de existența unui „cadrator” este dată de o comedie a lui Aristofan , Les Oiseaux , în care îl vedem pe topograful Méton , responsabil cu limitarea stăpânirii unei noi colonii, la cele luate cu instrumentele de care dispune. a „pătrate un cerc”. Chiar dacă problema sa nu este tocmai aceea a pătratului unui cerc, ci mai degrabă desenul a două căi perpendiculare, expresia dramaturgului face clar aluzie la faimoasa enigmă a pătratului.

De istoricii de geometrie Montucla , Lambert și Morgan reflecta crescut de amatori de cercetare din al XVIII - lea și XIX - lea  secol . În monografiile lor, bazându-se uneori pe o construcție mecanică sau numerică sau pe o formulă cadru, cercetătorii susțin că rezolvă problema „exact”. Comunicările despre acest subiect au ajuns la societăți învățate în număr atât de mare încât Academia de Științe de la Paris a decis în 1775 să nu mai evalueze acest tip de lucrare:

„Anul acesta, Academia a decis să nu mai examineze nicio soluție la problemele legate de duplicarea cubului, trisecția unghiului sau pătrarea cercului și nici o mașină anunțată ca mișcare perpetuă. "

Chiar și demonstrația imposibilității Lindemann a fost departe de a pune capăt profuziei așa-numitelor soluții la problemă. Mai recent, aceste încercări, fiecare mai inutilă decât cealaltă, au alimentat titlurile recreațiilor matematice .

Una dintre cauzele atracției pe care această problemă o exercită asupra amatorilor se datorează atât simplității afirmației sale (cunoașterea elementară a geometriei este suficientă pentru a o înțelege), cât și eșecului topografilor recunoscuți, care au înconjurat soluția de a pătrat cercul. cu o aureolă de mister.

Un alt motiv, și nu cel mai puțin important, pentru căutarea unui pătrat al cercului, a fost ideea foarte obișnuită că o mare recompensă ar fi oferită soluționistului - o idee fantezistă, născută poate din credința că pătratul este cheia problemei a determinării longitudinilor pe mare , care a fost efectiv subiectul premiilor științifice. Aceasta legenda a unui premiu oficial a fost atât de tenace încât chiar și în 1891, o enciclopedie populară germană, a Meyers Konversations-Lexikon destăinuit cititorilor săi că "  Carol al V - a promis câștigătorul unui premiu de 100.000 de taleri și statele General al Olandei. O chiar sumă mai prodigioasă. "

Printre cei mai ilustri amatori care au îndrăznit să propună o soluție la această enigmă matematică, putem cita pe tatăl cronologiei moderne, Joseph Juste Scaliger , și pe filosoful englez Thomas Hobbes . Soluția (aproximativă) publicată în 1665 de acesta din urmă în tratatul său De corpore a fost citată în același an de John Wallis. Ulterior a apărut o ceartă între cei doi bărbați, care s-a încheiat abia cu moartea lui Hobbes în 1679.

Lambert face ecou la trei cvadraturi ale cercului dând pentru π o fracțiune. Aceste cuadraturi, publicat la mijlocul XVIII - lea  secol , ajung la concluzia ca raportul dintre diametrul cercului de același pătrat partea de suprafață este de 35 / data de 31 , care corespunde tt la aproximarea:

π≈38441225=3.1379....{\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {3844} {1225}} = 3 {,} 1379 \ dots.}

Poetul Lessing dedicat un poem: Auf den Herrn M ** den Erfinder der Quadratur des Zirkels la unul dintre cei trei autori, predicatorul Merkel a Ravensburg .

Cadrarea cercului propusă de medicul american Edward J. Goodwin a apărut în 1894 în primul caiet al American Mathematical Monthly , dar numai ca o scrisoare către editor. Comunicarea este contradictorie și, în funcție de modul în care o citim, deducem valori diferite pentru π . Această comunicare a fost totuși punctul de plecare al proiectului de lege Indiana Pi , supus la vot în 1897 de Parlamentul de stat din Indiana , care a constat în impunerea formulelor Goodwin ca valoare oficială a π .

Asociația La Quadrature du Net a preluat această problemă în numele său. Potrivit acesteia, este „imposibil să controlăm în mod eficient fluxul de informații în era digitală prin aplicarea logicii actuale de reglementare fără a submina libertățile publice și nici nu încetinim dezvoltarea economică, socială și culturală. "

Construcții aproximative

Deși construcția exactă cu o riglă și o busolă este imposibilă, există mai multe construcții aproximate la pătratul echivalent, care sunt suficient de precise pentru a oferi un serviciu în practică. Metodele simple, cunoscute încă din Antichitate, dau o fracție simplă pentru raportul dintre diametru și latura pătratului echivalent. Pe lângă fracțiunea propusă de papirusul Rhind (diametrul de lungime 9 și pătratul echivalent al laturii 8), am cunoscut și echivalența aproximativă a cercului de diametru 8 și a pătratului diagonalei 10. Această construcție, care se găsește pe tăblițele babiloniene și până la calamusul arhitectului roman Vitruvius corespunde unei valori de 3 + 1 ⁄ 8 pentru π . Albrecht Dürer , care intenționa să ofere tehnici practice de desen, a preluat această construcție în 1525 în tratatul său Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt . Dürer este, de asemenea, foarte conștient de faptul că aceasta este doar o aproximare: scrie că nu există o soluție exactă.

„Este necesar să cunoaștem Quadratura circuli , adică comparația unui cerc cu un pătrat, ambele având același conținut. Dar așa ceva nu a fost încă demonstrat de către cercetători. Rezoluția poate fi accelerată mecanic , fără, totuși, că se vede prea mult în lucrări, dacă se procedează într-un mod aproximativ după cum urmează. Desenați un patrulater și împărțiți diagonala acestuia în zece părți. Apoi trageți un cerc al cărui diametru are opt dintre aceste părți, pătrat cu zece, așa cum am arătat mai jos. "

- Albrecht Dürer, Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt

O construcție aproximativă clasică este cea a topografului polonez Adam Adamandy Kochański  (pl) (1685). Această construcție se bazează pe rectificarea semicercului pe care Kochanski operează prin aproximări succesive: dintr-o rază dată r , el construiește un segment de lungime foarte apropiat de r × π . Cadratura este dedusă din aceasta datorită relațiilor metrice din triunghiul dreptunghiular. Kochański obține astfel patru zecimale exacte ale numărului π  :

π≈403-23=3.141533...{\ displaystyle \ pi \ approx {\ sqrt {{\ frac {40} {3}} - 2 {\ sqrt {3}}}} = 3 {,} 141533 \ dots}

În 1913, matematicianul indian SA Ramanujan a publicat o construcție uimitoare, care se bazează pe valoarea aproximativă

π≈355113=3.1415929...{\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {355} {113}} = 3 {,} 1415929 \ dots}

corespunzând la șase zecimale, care a fost cunoscută în Europa de la XVII - lea  secol , și în China , deoarece V - lea  secol . Ramanujan a menționat că o astfel de precizie corespundea, pentru un cerc cu o suprafață de 140.000 mile pătrate, unei erori de 1 inch de-a lungul lungimii laturii pătratului. Într-un articol din anul următor, Ramanujan a dat, pe lângă alte valori aproximative ale lui π , o cvadratură riglei și busolei asociate valorii

π≈92+192224=3.141592652...{\ displaystyle \ pi \ approx {\ sqrt [{4}] {9 ^ {2} + {\ frac {19 ^ {2}} {22}}}} = 3 {,} 141592652 \ dots}

Louis Loynes a propus o metodă mai simplă în 1961: se bazează pe faptul că aria cercului circumscris al unui triunghi dreptunghi este egală cu pătratul construit pe latura lungimii intermediare, atunci când tangenta unghiului mic este - adică raportul dintre partea mică și cea medie este

4π-1=0,5227232...{\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {4} {\ pi}} - 1}} = 0 {,} 5227232 \ dots}

care este foarte aproape de fracțiune

2344=0,5227272...{\ displaystyle {\ frac {23} {44}} = 0 {,} 5227272 \ dots}

Urmează o construcție aproximativă foarte simplă: este suficient să desenăm un triunghi unghiular ale cărui laturi ale unghiului drept sunt în raportul 23:44. Valoarea aproximativă a π corespunzătoare

π≈77442465=3.141582...{\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {7744} {2465}} = 3 {,} 141582 \ dots}

este puțin mai bun decât cel al lui Kochański.

În 2019 Hung Viet Chu oferă o construcție corectă la nouă zecimale.

Variante

Pătratirea cercului conform lui Tarski

Alfred Tarski a afirmat în 1925 următoarea problemă similară: să taie un disc în orice număr de bucăți astfel încât, transformându-le printr-o deplasare pură (adică fără omotitate), ele să recompună un pătrat.

Miklós Laczkovich a rezolvat această problemă în 1989: a demonstrat că era posibil să tai un disc într-un număr finit de suprafețe și să le miști astfel încât să acopere exact un pătrat. Se descompune discul în 10 50 de suprafețe. Dovada se bazează pe axioma alegerii , pe care majoritatea matematicienilor o acceptă astăzi, dar care este totuși doar o axiomă. Demonstrația este foarte asemănătoare în spirit cu cea a paradoxului Banach-Tarski .

Și dacă Laczkovich a reușit să demonstreze (prin admiterea axiomei alegerii) că există o astfel de diviziune, nu a construit-o în mod explicit .

Note și referințe

Note

1. Teorema lui Wantzel .
2. Papirusul Rhind, sau manualul scribului Ahmes , oferă următoarea afirmație: „Regulă pentru calcularea unui câmp rotund de 9 poli”. Care este capacitatea sa? Luați 1/9, este 1. [Scădeți din 9], restul 8. Înmulțiți numărul 8 de opt ori, adică 64. Capacitatea sa este de 64 ” .
3. Pappus califică într-adevăr drept „mecanică” (adică non-geometrică) generația quadratrixului: Michel Chasles , Istoric istoric despre originea și dezvoltarea metodelor în geometrie , Bruxelles, Impr. Hayez,1837, cap.  1 („Prima epocă”), p.  30.
4. În absența ediției tratatului lui Arhimede citat mai sus, există un rezumat excelent al tratatului lui Arhimede în Fourrey 1907 , II - Géométrie de la mesure, 3 "-La mesure du cercle", p. 254-259.
5. De exemplu în Michael Maier , Atlanta Fugens , emblema XXI, „De la mascul și femelă, faceți un cerc, apoi, de acolo, un pătrat și apoi un triunghi; faceți un cerc și veți avea Piatra Filozofului (...) cum se face că pătratul cercului a rămas necunoscut lui Platon, până la punctul în care Aristotel, discipolul lui Platon, a declarat că este cunoscut, dar încă nu se știe ? Cu toate acestea, filozofii naturali nu l-au ignorat, așa cum arată comanda lor de a converti cercul într-un pătrat și pătratul la rândul său, într-un cerc prin intermediarul triunghiului. Prin acest cerc se înțelege cel mai simplu corp, fără unghiuri, iar prin pătrat desemnează cele patru elemente, de parcă ar spune să ia o figură corporală capabilă să fie găsită, să o împartă în cele patru culori elementare pentru a obține un patrulater cu patru laturi egale. Toată lumea înțelege că acest pătrat este fizic și potrivit naturii. » Citește online .
6. „  Legendre nu menționează nimic despre convergența fracției sale continue. Dacă cineva își asumă convergența […], afirmația sa despre iraționalitate este dovedită în același mod ca și Lambert […].  " , (En) Rolf Wallisser , " Despre dovada lui Lambert a iraționalității lui π  " , în Teoria numerelor algebrice și analiza diofantină (Graz, 1998) , Berlin,2000( citiți online ) , p.  521-530.
7. Vezi și articolul „  Teorema lui Liouville (aproximare diofantină)  ”.
8. „Faimoasa problemă a pătratului cercului a avut ca și alte puzzle-uri celebre mult mai multă reputație decât merită și, deși și-a pierdut faima de odinioară, ocupă încă câteva creiere mai mult sau mai puțin crăpate și vedem sosirea la Académie des Sciences din Parisul aproape în fiecare an și, de obicei, în timpul valului de căldură al pretinselor soluții la care am convenit să nu acordăm nicio atenție ... " în Biblioteca Universală de Științe, Belles-Lettres et Arts, scrisă la Geneva. Științe și arte, volumul 3. Impr. din Biblioteca Universală, 1816 ( Google eBook ).

Referințe

1. Émile Fourrey, Curiozități geometrice , Paris, Vuibert și Nony,1907( retipărire  1994), 430  p. ( ISBN  978-2-7117-8896-5 ) , II - Geometria măsurătorii, "3-Măsura cercului", p.  251.
2. Cf. René Taton , Istoria calculului , Paris, PUF , col.  „  Ce știu?  ",1946( Repr.  1969 (a 5- a )) 2 e  ed. , cap.  1 („Prezentare istorică”), p.  10-13.
3. Maurice Caveing , Cifra și numărul: Cercetări despre prima matematică a grecilor , Presses universitaire du Septentrion , col.  „Istoria științei”,1997, 424  p. ( ISBN  978-2-85939494-3 ) , cap.  1 („Descoperirea ionienilor”).
4. Cf. Plutarh, „Despre exil” ( Περὶ φυγῆς - De exilio ), în Parva moralia .
5. Potrivit lui Jean-Étienne Montucla , Istoria cercetărilor privind quadrarea cercului , Paris,1754( repr.  1831) ( citește online ) , cap.  2 („Încercări și lucrări ale vechilor pentru măsurarea cercului”), p.  34.
6. Aristotel, The First Analytics , II, 25, 69-32; A doua analiză , I, 976 a; Refutări sofisticate , 11, 171 b 16 și 172 a.
7. Cf. Abel Rey , Apogee of Greek Technical Science , vol.  5: Ascensiunea matematicii , ed. Albin Michel, col.  „Evoluția umanității”, „VI - Hipocrate din Chios”, p.  66-85.
8. Cf. Léon Brunschvicg , Etapele filozofiei matematice , Paris, Félix Alcan,1912( reeditare  1993 ed. Vrin) ( ISBN  2-85367-034-1 ) , p.  156, §97 Arhimede.
9. Abel Rey , Vârful științei tehnice grecești , vol.  IV: Matematica de la Hipocrate la Platon , ed. Albin Michel, col.  „Evoluția umanității”,1946, "5-De la cvadratură la trisecția unghiului și la geometria superioară: Hipia lui Elée", p.  224-227.
10. Jean-Paul Delahaye , Numărul fascinant π [ detaliul ediției ], p.  71 .
11. Cf. volumul 1 al Lucrărilor lui Arhimede în ed. des Belles Lettres, care conține tratatele Despre sferă și cilindru. Măsura cercului. Pe conoizi și sferoizi  ; ed. și tr. Charles Mugler. (Colecția Universităților din Franța. Paris, 1970). xxx-488p. ( ISBN  2-251-00024-0 ) .
12. Elements of Euclid , Cartea XII, § 2.
13. Cf. M. Chasles, Istoric istoric ..., p.  15-16  ; și Abel Rey , Vârful științei tehnice grecești , vol.  5: Ascensiunea matematicii , ed. Albin Michel, col.  „Evoluția umanității”, „V - Arhimede”, p.  296-300.
14. Pappus , col. Mat ., Cartea a IV-a, prop. 25. Cvadratrixul poate fi construit din spirala arhimedeană. Cf. Michel Chasles, Prezentare istorică ..., cap. 1 („Prima epocă”), § 26, p.  30 .
15. Disponibil pe Documenta Catholica Omnia  : De Quadratura Circuli Specimen , vol.  143, ed. Abatele Migne , col.  „  Patrologie latină  ” ( citiți online ) , p.  1373-1376.
16. Cf. Nicolas de Cues, Scrieri matematice , prezentare, traducere și note de Jean-Marie Nicolle, Paris, Campion, 2007, p. 73-125 și Jean-Marie Nicolle, Laboratorul de matematică al lui Nicolas de Cues , Paris, Beauchesne, 2020, p. 58-60 și p. 112.
17. (în) Ferdinand Rudio  (de) , Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre Vier Abhandlungen über die Kreismessung , sandig,1892, stuf. Teubner, Leipzig, 1971, p.  27 și următoarele. și Nicolas de Cues, Scrierile matematice , Paris, Campion, 2007, p. 481-496.
18. Grégoire de Saint-Vincent, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum , J. and J. Meursios, Antwerp, 1647.
19. Acest rezultat a fost publicat în Snell, Cyclometricus, sive de circuli dimension (Leiden, 1621).
20. Christiaan Huygens: De circula magnitudine inventa . Elzevier, Leiden (1654).
21. Léon Brunschvicg , Etapele filozofiei matematice , Félix Lacan, Paris, 1912, p. 160.
22. Scrisoare de la Christian Huygens către Leibniz din 7 noiembrie 1674 ( citită online ) .
23. Henri-Léon Lebesgue , Lecții despre construcții geometrice , Paris, Gauthier-Villars ,1950, posth. din însemnările doamnei Lucienne Félix.
24. Vezi secțiunea „Rezultatul Lambert” al articolului „Fracție continuă și aproximare diofantină” .
25. (de) Johann Heinrich Lambert , Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung , vol.  2, Berlin,1770( citește online ) , cap.  V ("Vorläufige Kenntnisse für die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen") , p.  140-169, reprodus în Rudio 1892 , cap. IV, p.  133-155 .
26. Adrien-Marie Legendre, Elements of Geometry. Nota IV, unde se arată că raportul dintre circumferință și diametru și pătratul său sunt numere iraționale.
27. Lebesgue 1950 , cap. V - Transcendența lui e și π .
28. Cf. Charles Mugler , „  Despre o controversă științifică în Aristofan  ”, Revue des Études Grecques , vol.  72, nr .  339-343,1959, p.  57-66.
29. Jean-Étienne Montucla , Istoria cercetărilor privind pătratul cercului , Paris,1754( repr.  1831) ( citește online ).
30. (în) Morgan Augustus, A Budget of Paradoxes , Londra, 1872. ( Digitalisat auf in: Wiktionary ).
31. Istoria Academiei Regale de Științe, anul 1775 . Paris 1778, p.  61 și următoarele. Textul complet este dat și în Delahaye 1997 , p.  36-38.
32. Cf. Delahaye 1997 , p.  34-35.
33. Sursa: col. , Meyers Konversations-Lexikon , vol.  18: Suplimentul 1890–1891 ( repr.  4) ( citiți online ) , „Quadratur des Zirkels” Digitalisat]).
34. Nova Cyclometria Scaliger (1592) este relatat de Francois Le Lionnais , curentul principal al gândirii matematice , Paris, LiBr. Albert Blanchard,1948( reeditat  1997 de editura Hermann), 533  p. ( ISBN  2705663320 ) , "8 - Istoria numerelor misterioase".
35. Sursa: Gotthold Ephraim Lessing , Werke , vol.  1, München,1970( citiți online ) , p.  44.
36. Cf. Delahaye 1997 , § O lege nu poate stabili numărul π , p.  33-34 .
37. [1] .
38. Citat de Émile Fourrey , Geometric Curiosities , Paris, Vuibert și Nony,1907( retipărire  1994), 430  p. ( ISBN  2-7117-8896-2 ) , II - Geometria măsurătorii, "3-Măsura cercului", p.  262. Inspectorul Vitruviu Ruf, mai bine informat decât celebrul tizul său recomandă, el, valoarea lui Arhimede de 22 / 7 .
39. (De) Albrecht Dürer, Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt , Nürnberg, 1525.
40. Albrecht Dürer ( traducere de  Jeanne Peiffer), Geometry [„Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt”], p.  227- Text original pe Wikisource .
41. Comunicarea sa originală este SA Ramanujan „  Pătrunderea cercului  ”, Jurnalul Societății Indiene de Matematică , nr .  5,1913, p.  132.
42. SA Ramanujan "  Ecuații modulare și aproximări la π  ", Jurnal trimestrial de matematică , nr .  45,1914, p.  350-374.
43. Louis Loynes , „  Cvadratura aproximativă a cercului  ”, The Mathematical Gazette , n o  45,1961, p.  330.
44. (în) Hung Viet Chu, „  Pătrat cercul într-un minut  ” pe arXiv .
45. Cf. Laczkovich "  Discrepanța echidecompozibilității și o soluție la problema de quadrare a cercului lui Tarski  ", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , vol.  404,1990, p.  77–117.

Vezi și tu

Bibliografie