Papirus Rhind

Rhind Papirusul este un celebru papirus al doilea intermediar Perioada care a fost scris de scribul Ahmes . Numele său provine de la scoțianul Alexander Henry Rhind care l-a cumpărat în 1858 în Luxor , dar ar fi fost descoperit pe locul orașului Teba . Din 1865 a fost păstrat la British Museum (la Londra ). Alături de papirusul de la Moscova , este una dintre cele mai importante surse de matematică din Egiptul antic .

Ahmes indică faptul că papirusul său este, în parte, o copie a descoperirilor mai vechi datând din Regatul Mijlociu (circa 2000 î.Hr. ). Papirusul Rhind conține 87 de probleme rezolvate de aritmetică, algebră, geometrie și topografie, de peste cinci metri lungime și treizeci și doi de centimetri lățime. Este scris în script hieratic .

Papirusul

Descriere

Papirusul Rhind a apărut inițial ca un sul format din paisprezece foi asamblate cu grijă. În prezent, este separat în două benzi înalte de 32 cm , primele 299,5 cm lungime (BM 10057) și a doua 195,5 cm lungime (BM 10058) ambele păstrate la British Museum care le-a achiziționat. În 1865, cu executorul AH Rhind. Aceste benzi erau inițial integrate și legate printr-o bucată lipsă de 18 cm . Fragmente ale acestuia din urmă au fost identificate în Statele Unite în 1922 de Percy Edward Newberry , acestea putând fi găsite astăzi în Muzeul Brooklyn din New York . În ciuda câtorva neajunsuri, papirusul este aproape complet. Se desfășoară într-o succesiune de pagini de la dreapta la stânga, scrise în hieratic (tot de la dreapta la stânga). Partea din față a papirusului este aproape complet utilizată, cu câteva părți din mijloc lăsate goale. Partea din spate este utilizată pe prima secțiune (BM 10058), dar nu pe cea de-a doua secțiune (BM 10057), în afară de unele inscripții adăugate probabil după compoziția originală.

Descoperire

Conform ediției facsimile a papirusului publicată în 1898 de British Museum , aceasta a fost descoperită lângă Ramesseum pe locul Tebei . Cele două secțiuni principale, probabil tăiate de jafuri, au fost achiziționate în 1858 de Rhind (în Luxor), fragmentele micii secțiuni intermediare în 1862 sau 1863 de colecționarul american Edwin Smith .

Origine și date

Textul semnat de scrib Ahmose este datată de aceasta în anul 33 al domniei faraonului Apophis , conducător hyksos al XV - lea dinastiei , domnind în Egiptul de Jos , la Avaris în prima jumătate a XVI - lea i.Hr. epoca secolului, la sfârșitul celei de-a doua perioade intermediare . Anunț Ahmose în introducere că textul este o copie a unei versiuni anterioare datând de un faraon a cărui parte a numelui este ștearsă, dar care pare să fie Amenemhat III , faraonul dinastiei a XII- a care a trăit cu trei secole înainte, perioada Regatul Mijlociu , pe o perioadă de la care alte papirusuri matematice hieratică care au ajuns până la data de noi.

Papirusul poartă pe spate, în partea centrală, scurte inscripții adăugate evident după compoziție și datate în anul al unsprezecelea al domniei unui faraon necunoscut. Se referă la evenimentele care au dus la căderea lui Avaris (acesta din urmă nu este menționat) care marchează sfârșitul conducătorilor Hyksos alungați din Egipt de către conducătorul Tebei (și viitorul faraon al Egiptului reunificat) Ahmose . Interpretarea lor face obiectul dezbaterii. Dacă aceste inscripții au fost adăugate înainte ca papirusul să fie transferat la Teba, data s-ar putea referi la domnia lui Khamoudy, ultimul rege Hyksos al Egiptului de Jos . Papirusul ar putea apoi au fost aduse înapoi de la Avaris la Teba de către armata victorioasă a Ahmose, ceea ce explică descoperirea în capitala a Egiptului de Sus a unui papirus originar din Egiptul de Jos .

Utilizare

Atât mărimea, cât și grija luată în compoziție, precum și puținele erori găsite în text, mărturisesc calitatea documentului, care este probabil un manual de referință la nivel înalt folosit pentru a preda într-o școală pentru cărturari. În acest sens, este foarte diferit de papirusul de la Moscova , a doua sursă cea mai importantă pentru matematica egipteană din Regatul Mijlociu , care este mai veche, dar seamănă mai degrabă cu o copie a unui manual comparativ cu papirusul Rhind.

Cerere

Papirusul orientează aceste probleme în special pentru a ajuta la cuantificarea cerealelor sau la o distribuție echitabilă sau inechitabilă a pâinilor între oameni.

Cu toate acestea, calculele expuse ar fi putut lua un sens foarte concret pentru măsurile care acumulează rapoarte de la unu la n , chiar dacă aceste întrebări nu sunt abordate în mod explicit de către papirus:

Pentru măsurarea distanței, formulele de calcul ar fi putut avea sens pentru măsurarea distanțelor dacă egiptenii ar cunoaște formele elementare ale teoremei lui Thales deja cunoscute din prima dinastie a Babilonului între 1900 și 1600 î.Hr. AD , din tableta MLC 1950.

Pentru măsurători de greutăți, formulele de calcul ar fi putut avea sens dacă egiptenii ar cunoaște forme rudimentare ale scalei romane , fiecare raport de 1 la n ar putea fi considerat o măsurătoare.

Explicații conform teoriilor matematice moderne

Tabelul diviziei de 2

Tabelul de împărțire a lui 2 ( în: tabelul Papyrus matematic 2 / n ) dă împărțirea lui 2 printr-un număr impar între trei și o sută și una, sub forma sumei fracțiilor unității, menținând un divizor suficient de mic.

Pentru fiecare dintre divizori, se propune astfel o formulă similară:

{\ displaystyle {\ frac {2} {n}} = {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {2}}} + {\ frac {1} {a_ {3}}} + {\ frac {1} {a_ {4}}}}

Dar uneori formula poate fi scrisă numai cu doi sau trei operanzi, în loc de patru.

Într-un mod mai modern, problema poate fi scrisă:

{\ displaystyle {\ frac {2} {Nx}} = {\ frac {x} {PPCM (N, Nx)}}}

{\ displaystyle x = x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4}}

{\ displaystyle x_ {i} \ {\ text {divide}} \ N}

astfel încât :

{\ displaystyle PPCM (N, Nx) = x_ {i} a_ {i}}

{\ displaystyle x_ {i} \ neq x_ {j}}

Această formulă arată că soluția depinde de divizibilitatea . $nu$

Această formulă are ca rezultat, în general, o ființă mai mare de (sau egală cu n) și că a este în general un număr compus: numerele 12, 20, 24, 30, 40 și 60 care sunt multipli de 2, 3, 4 sau 5 întoarce-te ușor.

Cunoașterea modernă face posibil să se știe că un număr rațional poate fi scris într-un număr infinit de moduri ca suma fracțiilor unității.

Câțiva oameni s-au întrebat cum au primit egiptenii această masă.

Sugestiile de la Gillings au venit cu cinci tehnici diferite. Problema 61 din papirusul Rhind oferă o formulă:, care poate fi declarat a fi echivalentul lui (n divizibil cu 3 în ultima ecuație). ${\ displaystyle {\ frac {2} {3n}} = {\ frac {1} {2n}} + {\ frac {1} {6n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {n}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {n}} + {\ frac {3} {2}} {\ frac {1 }{nu}}}$

Există și alte formule posibile, cum ar fi:

{\ displaystyle {\ frac {2} {n}} = {\ frac {1} {3}} {\ frac {1} {n}} + {\ frac {5} {3}} {\ frac {1 }{nu}}}

(n divizibil cu 5)

{\ displaystyle {\ frac {2} {mn}} = {\ frac {1} {m}} {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {n}} {\ frac {1 } {k}}}

(unde k este media lui m și n)

{\ displaystyle {\ frac {2} {n}} = {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {2n}} + {\ frac {1} {3n}} + {\ frac {1} {6n}}}

Această formulă poartă descompunerea pentru n = 101 din tabel.

David M. Burton a sugerat că Ahmes a folosit două metode diferite pentru a converti 2 / p (unde p este un număr prim ) și trei metode pentru a converti 2 / pq în numitori compuși . Alte sugestii sugerează că Ahmes, care a folosit o singură metodă: utilizarea factorilor multiplicativi reduși la cel mai mic multiplu comun .

Algoritmi de multiplicare și divizare (probleme 1 până la 23)

Aceste probleme fac posibilă înțelegerea tehnicilor de multiplicare și împărțire între egipteni .

Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda poziției false (problemele 24 - 34)

Vezi Rezolvarea ecuațiilor .

Analizarea problemelor (problemele 41-60)

Se abordează, de asemenea, supravegherea, măsurarea distanțelor și problemele geometrice legate de aceasta: ariile plane (în special ale trapezului), volumele de grânare, calculul piramidelor.

Problemele 56, 57, 58, 59 și 60 sunt dedicate calculelor referitoare la panta unei piramide, măsurată prin sḳd sau seced , care corespunde jumătății bazei piramidei împărțită la înălțimea acesteia, cu alte cuvinte este cotangentă unghiului format de linia de cea mai mare pantă de o față cu orizontala. Seked se măsoară prin deplasarea orizontală necesară pentru a ajunge la fața după o creștere verticală de un cot, este deci exprimată cu unitățile de lungime în timpul utilizării , cubit , palmier , a șaptea unui cot și degetul care valorează un sfert a unei palme. Pentru patru dintre aceste probleme, secvența este de cinci palme și un deget. Cotangenta este deci (1/7) × (5 + 1/4) = 3/4 (ceea ce corespunde unei pante de 4/3).

Triunghiul dreptunghiular corespunzător acestei pante, cu laturile unghiului drept proporțional cu trei și patru, este deci un triunghi 3-4-5. Cu toate acestea, papirusul Rhind se ocupă doar de pantă și, de fapt, triunghiul 3-4-5 nu este niciodată menționat acolo. Această înclinație a fost clar aleasă pentru anumite piramide din dinastia a VI- a , baza are următoarele sute cincizeci de coți, iar înălțimea o sută de coți. Fără a fi atât de evident intenționată, cea a piramidei lui Khafre este aproape de ea. Este foarte posibil ca triunghiul și proporțiile sale să fi fost observate; acestea facilitează realizarea unor pătrate triunghiulare din lemn care ar fi putut fi folosite pentru verificarea pantei, dar acest lucru rămâne ipotetic.

În problemele 48 și 50, Ahmes studiază relația dintre aria unui disc și diametrul acestuia, încercând să reducă aria circumferinței la cea a unui pătrat echivalent: papirusul Rhind specifică într-adevăr o primă abordare a pătratului a cercului (construcția unui pătrat cu aceeași zonă ca un disc dat): este pătratul cu latura 8d / 9 unde d este diametrul discului.

Cu alte cuvinte, aria unui disc cu diametrul de 9 unități este substanțial egală cu aria unui pătrat de 8 unități laterale. Această aproximare s-ar traduce în notațiile noastre actuale pentru aria unui disc și a unui pătrat prin: ${\ displaystyle {\ pi \ times (9/2) ^ {2}} \ simeq 8 ^ {2}.}$

Prin urmare, această aproximare prin pătrarea cercului le-a permis egiptenilor să se descurce fără constanta π .

Conţinut

Acest tabel rezumă conținutul papirusului Rhind prin intermediul unei parafrazări concise și moderne. Se bazează pe expoziția în două volume a papirusului care a fost publicată de Arnold Buffum Chace în 1927 și în 1929. În general, papirusul este format din patru secțiuni: o pagină de titlu, un tabel cu fracțiuni de două (2 / n ), un mini-tabel de zecimi („1-9 / 10 tabel”) și 91 de probleme (rezolvate) sau „numere”. Acestea din urmă sunt numerotate de la 1 la 87 și includ patru elemente matematice care au fost - în timpurile moderne - denumite problemele 7B, 59B, 61B și 82B. Numerele 85-87 nu sunt elemente matematice care fac parte din corpul documentului, ci mai degrabă, respectiv: o propoziție mică care termină documentul, o bucată de „resturi de hârtie” folosită pentru a ține documentul (care conținea deja documentul) text fără legătură) și o notă istorică despre care se crede că descrie o perioadă de timp la scurt timp după finalizarea scrierii corpului papirusului. Aceste ultime trei elemente sunt scrise în zone împrăștiate ale papirusului verso (invers), departe de conținutul matematic. Din această cauză, Chace le diferențiază numindu-le ca numere , spre deosebire de probleme , ca și celelalte 88 de elemente numerotate.

Secțiunea de probleme numerotate (rezolvate)

Descrierea problemei sau descriere

Soluție sau descriere

Note

Pagina de titlu ( Pagina de titlu )

Ahmes se identifică pe sine și circumstanțele istorice.

„Calcule precise. Intrarea în cunoașterea tuturor lucrurilor existente și a tuturor secretelor obscure. Această carte a fost copiată în anul 33, în a patra lună a sezonului (inundațiilor) inundațiilor, în timpul domniei regelui Egiptului de Sus și de Jos, „A-user-Re”, înzestrat cu viață, la dorința scrieri antice făcute pe vremea regelui Egiptului de Sus și de Jos, Ne-ma'et-Re '. Scribul Ahmes este cel care copiază această scriere. "

Este clar din pagina de titlu că Ahmes identifică atât perioada sa, cât și cea a textului sau textelor antice pe care se crede că le-a copiat, creând astfel papirusul Rhind. Papirusul este scris pe ambele părți - adică pe față și pe spate. Vezi imaginea pentru detalii.

Fracții de două ( 2 / n tabel )

Exprimați fiecare dintre fracțiile a două pentru numitorii impari între trei și o sută unu ca o sumă a fracțiilor unuia, numite fracții egiptene .

Consultați articolul Rhind Mathematical Papyrus 2 / n tabelul (în) pentru un rezumat și soluții în această secțiune.

Prin intermediul papirusului, cele mai multe soluții sunt date sub forma unei reprezentări particulare a fracțiilor egiptene dintr-un număr rațional. Cu toate acestea, deoarece fiecare rațional pozitiv poate fi reprezentat într-un mod infinit ca fracții egiptene, aceste soluții nu sunt unice. Fracția 2/3 este singura excepție utilizată pe lângă numerele întregi pe care Ahmes le folosește cu toate fracțiile raționale ale unității pozitive pentru a exprima fracțiile egiptene. Tabelul 2 / n poate fi considerat ca urmând parțial un algoritm (vezi problema 61B) pentru exprimarea 2 / n ca o fracție egipteană de doi termeni, atunci când n este compus. Cu toate acestea, acest nou algoritm este transformat deoparte în mai multe situații când n este un număr prim. Prin urmare, metoda de construire a tabelului 2 / n sugerează și începuturi în teoria numerelor și nu numai în aritmetică .

Tabelul zecimilor (tabelul 1-9 / 10)

Scrierea cotienților de la o zecime la nouă zecimi sub forma dezvoltării egiptene .

{\ displaystyle {\ frac {1} {10}} = {\ frac {1} {10}} \; \; \ ;; \; \; \; {\ frac {2} {10}} = {\ frac {1} {5}} \; \; \ ;; \; \; \; {\ frac {3} {10}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} { 10}}}

${\ displaystyle {\ frac {4} {10}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {15}} \; \; \ ;; \; \; \; {\ frac {5} {10}} = {\ frac {1} {2}} \; \; \ ;; \; \; \; {\ frac {6} {10}} = {\ frac {1} { 2}} + {\ frac {1} {10}}}$

${\ displaystyle {\ frac {7} {10}} = {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {30}} \; \; \ ;; \; \; \; {\ frac {8} {10}} = {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {30}} \; \; \ ;; \; \; \; {\ frac {9} {10}} = {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {30}}}$

Problemele de la 1 la 6

Împărțirea pâinii între zece bărbați în 1, 2, 6, 7, 8 și 9 fracții. În fiecare caz, cota fiecărui om este reprezentată sub forma dezvoltării egiptene .

{\ displaystyle {\ frac {1} {10}} = {\ frac {1} {10}} \; \; \ ;; \; \; \; {\ frac {2} {10}} = {\ frac {1} {5}}}

${\ displaystyle {\ frac {6} {10}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {10}} \; \; \ ;; \; \; \; {\ frac {7} {10}} = {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {30}}}$

${\ displaystyle {\ frac {8} {10}} = {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {30}} \; \; \ ;; \; \; \; {\ frac {9} {10}} = {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {30 }}}$

primele șase probleme de papirus sunt simple repetări ale informațiilor deja descrise în tabelul zecimilor, prezentate acum ca probleme.

7, 7B, 8-20

Este

${\ displaystyle S = 1 + 1/2 + 1/4 = {\ frac {7} {4}}}$ și

${\ displaystyle T = 1 + 2/3 + 1/3 = 2}$ .

Pentru următoarele multiplicări, scrieți produsul sub forma unei dezvoltări egiptene .

{\ displaystyle 7: {\ bigg (} {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {28}} {\ bigg)} S = {\ frac {1} {2}} \; \; \ ;; \; \; \; 7B: {\ bigg (} {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {28}} {\ bigg)} S = {\ frac { 1} {2}} \; \; \ ;; \; \; \; 8: {\ frac {1} {4}} T = {\ frac {1} {2}}}

${\ displaystyle 9: {\ bigg (} {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {14}} {\ bigg)} S = 1 \; \; \ ;; \; \; \; 10: {\ bigg (} {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {28}} {\ bigg)} S = {\ frac {1} {2}} \; \ ; \ ;; \; \; \; 11: {\ frac {1} {7}} S = {\ frac {1} {4}}}$

${\ displaystyle 12: {\ frac {1} {14}} S = {\ frac {1} {8}} \; \; \ ;; \; \; \; 13: {\ bigg (} {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {112}} {\ bigg)} S = {\ frac {1} {8}} \; \; \ ;; \; \; \; 14: {\ frac {1} {28}} S = {\ frac {1} {16}}}$

${\ displaystyle 15: {\ bigg (} {\ frac {1} {32}} + {\ frac {1} {224}} {\ bigg)} S = {\ frac {1} {16}} \; \; \ ;; \; \; \; 16: {\ frac {1} {2}} T = 1 \; \; \ ;; \; \; \; 17: {\ frac {1} {3} } T = {\ frac {2} {3}}}$

${\ displaystyle 18: {\ frac {1} {6}} T = {\ frac {1} {3}} \; \; \ ;; \; \; \; 19: {\ frac {1} {12 }} T = {\ frac {1} {6}} \; \; \ ;; \; \; \; 20: {\ frac {1} {24}} T = {\ frac {1} {12} }}$

Aceiași doi factori (denotați aici S și T) sunt folosiți iar și iar prin aceste probleme. Ahmes scrie de fapt aceeași problemă în mod diferit (7, 7B, 10), abordând uneori aceeași problemă cu lucrări aritmetice diferite.

21 la 38

Pentru fiecare dintre ecuațiile liniare în care este variabila , rezolvați și exprimați ca o expansiune egipteană

X

X

X

Scăderi

{\ displaystyle 21: {\ bigg (} {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {15}} {\ bigg)} + x = 1 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {15}}}

${\ displaystyle 22: {\ bigg (} {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {30}} {\ bigg)} + x = 1 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {10}}}$

${\ displaystyle 23: {\ bigg (} {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} { 30}} + {\ frac {1} {45}} {\ bigg)} + x = {\ frac {2} {3}} \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {40}}}$

Diviziuni simple

{\ displaystyle 24: x + {\ frac {1} {7}} x = 19 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = 16 + {\ frac {1} {2}} + { \ frac {1} {8}}}

${\ displaystyle 25: x + {\ frac {1} {2}} x = 16 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = 10 + {\ frac {2} {3}}}$

${\ displaystyle 26: x + {\ frac {1} {4}} x = 15 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = 12}$

${\ displaystyle 27: x + {\ frac {1} {5}} x = 21 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = 17 + {\ frac {1} {2}}}$

Diviziuni în doi pași

{\ displaystyle 28: {\ bigg (} x + {\ frac {2} {3}} x {\ bigg)} - {\ frac {1} {3}} {\ bigg (} x + {\ frac { 2} {3}} x {\ bigg)} = 10 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = 9}

${\ displaystyle 29: {\ frac {1} {3}} {\ Bigg (} {\ bigg (} x + {\ frac {2} {3}} x {\ bigg)} + {\ frac {1} {3}} {\ bigg (} x + {\ frac {2} {3}} x {\ bigg)} {\ Bigg)} = 10 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = 13 + {\ frac {1} {2}}}$

Diviziuni mai complexe

{\ displaystyle 30: {\ bigg (} {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {10}} {\ bigg)} x = 10 \; \; \; \ rightarrow \; \ ; \; x = 13 + {\ frac {1} {23}}}

${\ displaystyle 31: x + {\ frac {2} {3}} x + {\ frac {1} {2}} x + {\ frac {1} {7}} x = 33 \; \; \; \ sageata dreapta}$

${\ displaystyle x = 14 + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {56}} + {\ frac {1} {97}} + {\ frac {1} {194}} + {\ frac {1} {388}} + {\ frac {1} {679}} + {\ frac {1} {776}}}$

${\ displaystyle 32: x + {\ frac {1} {3}} x + {\ frac {1} {4}} x = 2 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = 1 + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {12}} + {\ frac {1} {114}} + {\ frac {1} {228}}}$

${\ displaystyle 33: x + {\ frac {2} {3}} x + {\ frac {1} {2}} x + {\ frac {1} {7}} x = 37 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = 16 + {\ frac {1} {56}} + {\ frac {1} {679}} + {\ frac {1} {776}}}$

${\ displaystyle 34: x + {\ frac {1} {2}} x + {\ frac {1} {4}} x = 10 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = 5 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {14}}}$

Calcul invers

{\ displaystyle 35: {\ bigg (} 3 + {\ frac {1} {3}} {\ bigg)} x = 1 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = {\ frac { 1} {5}} + {\ frac {1} {10}}}

${\ displaystyle 36: {\ bigg (} 3 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} {\ bigg)} x = 1 \; \; \; \ rightarrow \ ; \; \; x = {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {53}} + {\ frac {1} {106}} + {\ frac {1} {212}} }$

${\ displaystyle 37: {\ bigg (} 3 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3}} \ cdot {\ frac {1} {3}} + {\ frac { 1} {9}} {\ bigg)} x = 1 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {32} }}$

${\ displaystyle 38: {\ bigg (} 3 + {\ frac {1} {7}} {\ bigg)} x = 1 \; \; \; \ rightarrow \; \; \; x = {\ frac { 1} {6}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {22}} + {\ frac {1} {66}}}$

Problema 31 are o soluție costisitoare. În timp ce expresia problemelor 21-38 poate părea uneori complicată (în special în proza lui Ahmes, fiecare problemă se rezumă în cele din urmă la o ecuație liniară simplă. În unele cazuri, o unitate de măsură egipteană ) de o anumită natură a fost omisă, fiind superfluă pentru aceste probleme. Acestea sunt numerele 35-38, în declarații și lucrări apare prima mențiune a unei unități de volum cunoscute sub numele de heqat și ro (unde 1 heqat = 320 ro), care va fi importantă în restul papirusului. Pentru moment, însă, mențiunea lor literală și utilizarea lor în 35-38 rămân cosmetice.

O sută de pâini vor fi distribuite între zece oameni într-o manieră eșalonată. Cincizeci de pâini vor fi împărțite în mod egal între patru oameni, astfel încât fiecare dintre cei patru să primească o porțiune egală , în timp ce celelalte cincizeci de pâini vor fi împărțite în mod egal între ceilalți șase oameni, astfel încât fiecare dintre cei șase să primească o porțiune egală . Găsiți diferența dintre aceste două părți și exprimați-o sub forma dezvoltării egiptene .

y

X

{\ displaystyle yx}

{\ displaystyle yx = 4 + {\ frac {1} {6}}}

La problema 39, papirusul începe să ia în considerare situațiile cu mai multe variabile. De fapt, este o problemă necunoscută să calculăm diferența dintre cincizeci și patru și cincizeci și șase.

o sută de pâini sunt distribuite între cinci bărbați. Părțile de pâine pentru bărbați trebuie să fie în ordine aritmetică , astfel încât porțiunile consecutive să difere doar printr-o diferență fixă sau . În plus, suma celor mai mari trei porții trebuie să fie egală cu șapte ori suma celor două cele mai mici. Găsiți și scrieți în formă de dezvoltare egipteană .

\ Delta

\ Delta

{\ displaystyle \ Delta = 9 + {\ frac {1} {6}}}

Problema 40 completează secțiunea aritmetică și / sau algebrică a papirusului, care este urmată de o secțiune geometrică. După problema 40, o secțiune mare de spațiu pe papirus marchează sfârșitul secțiunii. În ceea ce privește problema 40, Ahmes își lucrează soluția luând în considerare mai întâi cazul analog în care numărul pâinilor este de șaizeci și nu de o sută. Apoi declară că diferența este 5 + 1/2 și cea mai mică parte este egală cu una, listează celelalte și apoi își extinde / reprogramează munca înapoi la o sută pentru a-și produce rezultatul. Deși Ahmes nu exprimă soluția în sine, așa cum este descrisă aici, cantitatea este implicit clară după ce a redimensionat primul său pas prin multiplicarea 5/3 x 11/2, pentru a enumera cele cinci porții (pe care le face). Această problemă poate fi considerată ca având patru condiții: a) cinci părți însumează o sută, b) părțile merg de la cea mai mică la cea mai mare, c) părțile consecutive au o diferență constantă și d) suma celor trei părți cel mai mare este egal cu de șapte ori suma celor două mai mici. Începând doar cu primele trei condiții, algebra elementară poate fi utilizată înainte de a lua în considerare dacă se adaugă a patra condiție pentru a conduce la un rezultat consistent. Se pare că, odată ce cele patru soluții sunt la locul lor, soluția este unică. Problema este atunci un caz mai elaborat al unei ecuații liniare de rezolvat decât cele de mai sus, abordând astfel algebra liniară .

Folosind formula volumului

${\ displaystyle V = {\ bigg (} d - {\ frac {1} {9}} d {\ bigg)} ^ {2} h}$

${\ displaystyle = {\ frac {64} {81}} d ^ {2} h}$

pentru a calcula volumul unui siloz cilindric de cereale care are nouă coți în diametru și zece coți înălțime. Dă răspunsul în termeni de coți cubici. Apoi, cunoscând conversiile dintre celelalte unități de volum, un inch cub cub = 3/2 khar = 30 heqats = 15/2 heqats cvadruplu, expresia răspunsului în termeni de khar și heqat cvadruplu.

{\ displaystyle V = 640 \; \; \; cubit ^ {3}}

${\ displaystyle = 960 \; \; \; khar}$

${\ displaystyle = 4800 \; \; \; cvadruplu \; \; \; heqat}$

Această problemă deschide secțiunea geometrică a papirusului și oferă, de asemenea, primul său rezultat, care este de fapt incorect (deși cu o bună aproximare, aproximarea fiind mai mică de 1%). Alte unități de volum antice egiptene, cum ar fi cvadruplu heqat și khar, sunt apoi legate de această problemă prin conversii de unități. Problema 41 este, prin urmare, și prima problemă care trebuie tratată în mod substanțial în analiza dimensională .

\ pi

Reutilizarea formulei și a unităților de măsură date la 41 pentru a calcula volumul unui siloz cilindric cu cereale cu un diametru de zece coți și o înălțime de zece coți. Oferind un răspuns măsurat în coți cubici, khar și sute de hepaturi cvadruple, unde 400 heqate = 100 hepaturi cvadruple = 1 sută hepaturi cvadruple, toate ca o dezvoltare egipteană .

{\ displaystyle V = {\ bigg (} 790 + {\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {27}} + {\ frac {1} {54}} + {\ frac {1 } {81}} {\ bigg)} \; \; \; cubit ^ {3}}

${\ displaystyle = {\ bigg (} 1185 + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {54}} {\ bigg)} \; \; \; khar}$

${\ displaystyle = {\ bigg (} 59 + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {108}} {\ bigg)} \; \; \; sută \; \; \; cvadruplu \; \; \; heqat}$

Problema 42 este efectiv o repetare a problemei 41, care duce la conversii similare de unități în cele din urmă. Cu toate acestea, deși problema începe așa cum sa explicat, calculele sunt considerabil mai prezente, iar unii dintre acești termeni fracționari nu sunt de fapt prezenți în documentul original. Cu toate acestea, contextul este suficient pentru a înțelege raționamentul și, prin urmare, Chace și-a permis să adauge anumiți termeni fracționari în traducerea sa matematică (prezentată opus), care oferă o soluție consecventă din punctul de vedere al cititorului contemporan.

Reutilizați formula volumului

${\ displaystyle V = {\ frac {2} {3}} {\ Bigg (} {\ bigg (} d - {\ frac {1} {9}} d {\ bigg)} + {\ frac {1} {3}} {\ bigg (} d - {\ frac {1} {9}} d {\ bigg)} {\ Bigg)} ^ {2} h}$

${\ displaystyle = {\ frac {2048} {2187}} d ^ {2} h}$

pentru a calcula volumul unui siloz cilindric cu cereale cu un diametru de nouă pentru o înălțime de șase coți, cu rezoluție directă în dezvoltarea egipteană a kharului, și apoi în dezvoltarea egipteană a hepatelor cvadruple și cvadruplului ro, unde 1 heqat cvadruplu = 4 heqat = 1280 ro = 320 cvadruplu ro.

{\ displaystyle V = {\ bigg (} 455 + {\ frac {1} {9}} {\ bigg)} \; \; \; khar}

${\ displaystyle = {\ bigg (} 2275 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {32}} + {\ frac {1} {64}} {\ bigg)} \; \; \; cvadruplu \; \; \; heqat}$

${\ displaystyle + {\ bigg (} 2 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {36}} {\ bigg)} \; \; \; cvadruplu \; \; \; ro}$

Problema 43 conține prima eroare matematică gravă din papirus. Ahmes (sau sursa din care a copiat-o) a încercat o comandă rapidă pentru a combina calculul volumului și conversia unității de la coți cubici la khar într-un singur pas într-un singur pas, pentru a evita să trebuiască să folosească cubitii cubici ca prim rezultat. Cu toate acestea, această încercare (care eșuează din cauza unei confuzii între procedurile 41 și 42 și cea a 43, oferă rezultate consistente printr-o metodă diferită) în locul rezultatului într-o nouă formulă de volum care este incompatibilă cu (și mai rău decât) aproximare folosită în 41 și 42.

44, 45

Un cot cub este egal cu 15/2 hepaturi cvadruple.

Punctul 44 consideră un siloz cubic cu o lungime de 10 coți pe fiecare parte. Exprimarea volumului său în termeni de echeză cvadruplă. $V$
Punctul 45 consideră un siloz cubic cu cereale cu un volum de 7.500 de ecuații cvadruple și care își exprimă lungimea pe o parte în termeni de coți. $l$

{\ displaystyle V = 7500}

cvadruplu heqat

${\ displaystyle l = 10}$ coți

Problema 45 este exact opusul problemei 44 și, prin urmare, acestea sunt prezentate împreună aici.

Un siloz prismatic cu secțiuni dreptunghiulare are un volum de 2.500 de echeuri cvadruple. Descrierea acestor trei dimensiuni în unități cubice.

{\ displaystyle l_ {1}, l_ {2}, l_ {3}}

{\ displaystyle l_ {1} = l_ {2} = 10}

coți

${\ displaystyle l_ {3} = 3 + {\ frac {1} {3}}}$ coți

Această problemă, așa cum a fost formulată, are desigur o infinitate de soluții, dar se face o alegere simplă legată de problemele 44 și 45.

Împărțind cantitatea de volum fizic de o sută de ecuații cvadruplu la fiecare dintre multiplii a zece, de la zece la o sută. Exprimarea rezultatelor în dezvoltarea egipteană în termeni de cvadruplu heqat și cvadruplu ro și prezentarea rezultatelor într-un tabel

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ frac {100} {10}} & q. \; heqat & = & 10 & q. \; heqat \\ {\ frac {100} {20}} & q. \; heqat & = & 5 & q. \; heqat \\ {\ frac {100} {30}} & q. \; heqat & = & (3 + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {64}}) & q. \; Heqat \\ && + & (1 + {\ frac {2} {3}}) & q. \; Ro \\ {\ frac {100} {40}} & q. \; Heqat & = & (2 + {\ frac {1} {2}}) & q. \; Heqat \\ {\ frac {100} {50}} & q. \; Heqat & = & 2 & q. \; Heqat \\ {\ frac {100} {60}} & q. \; Heqat & = & (1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {32}}) & q. \; Heqat \\ && + & (3 + {\ frac {1} {3} }) & q. \; ro \\ {\ frac {100} {70}} & q. \; heqat & = & (1 + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} { 8}} + {\ frac {1} {32}} + {\ frac {1} {64}}) & q. \; Heqat \\ && + & (2 + {\ frac {1} {14}} + {\ frac {1} {21}} + {\ frac {1} {42}}) & q. \; ro \ \ {\ frac {100} {80}} & q. \; heqat & = & (1 + {\ frac {1} {4}}) & q. \; Heqat \\ {\ frac {100} {90}} & q. \; Heqat & = & (1 + {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {32}} + {\ frac {1} {64}}) & q. \; Heqat \\ && + & ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {18}}) & q. \; ro \\ {\ frac {100} {100}} & q. \; heqat & = & 1 & q. \; heqat \\\ end { bmatrix}}}$

În problema 47, Ahmes este deosebit de insistent să reprezinte cât mai multe lanțuri elaborate de fracții ca Udjat Eye , cât de multe poate. Comparați cu problemele 64 și 80 pentru preferințe de reprezentare similare. Din motive de scurtă durată, „cvadruplul” a fost redus la „q” în toate cazurile.

Compararea suprafeței unui disc cu diametrul de 9 cu cea a pătratului său circumscris, a cărui dimensiune a unei fețe este, de asemenea, 9. Raportul ariei discului la pătrat?

{\ displaystyle {\ frac {64} {81}}}

Afirmația și soluția problemei 48 explică în mod clar metoda de aproximare a suprafeței unui disc, folosită anterior în problemele 41-43. Cu toate acestea, merită doar o aproximare a lui pi . Afirmația inițială a problemei 48 implică utilizarea unei unități cunoscută sub numele de setat , la care se adaugă contextul în următoarele probleme.

Khet este o unitate de lungime, egală cu o sută de coți. De asemenea, o fâșie de coți este o măsură a ariei dreptunghiulare, care corespunde unui dreptunghi de un coț cu o sută de coți, sau o sută de coți pătrat. Luați în considerare un complot dreptunghiular de zece khet cu un khet. Exprimarea suprafeței sale în termeni de benzi de cot .

LA

{\ displaystyle A = 1000 \; \; \; cubit \; \; \; strip}

Un khet pătrat este o unitate de lungime egală cu un setat . Luați în considerare un disc cu un diametru de nouă khet. Exprimarea zonei sale în termeni de setat.

LA

{\ displaystyle A = 64 \; \; \; setat}

Problema 50 este de fapt simpla aplicare a formulei pentru calcularea ariei unui cerc pe baza raportului 64/81 menționat în problema 48.

Un complot triunghiular cu o bază de patru khet și o înălțime de zece. Găsiți zona sa în setat.

LA

{\ displaystyle A = 20 \; \; \; setat}

Enunțul și soluția la 51 amintesc formula familiară pentru calcularea ariei unui triunghi, iar pentru Chace este parafrazată ca atare. Cu toate acestea, diagrama triunghiulară a papirusului, eroarea anterioară și problemele de traducere prezintă ambiguități dacă triunghiul poate fi un triunghi unghiular sau dacă Ahmes înțelege de fapt condițiile în care răspunsul declarat este corect. În mod specific, dimensiunea zece khet înseamnă o înălțime (caz în care problema este bine formulată) sau „zece khet” se referă pur și simplu la o parte a triunghiului, caz în care figura ar trebui să fie un triunghi dreptunghi. Aceste probleme și confuzii continuă prin numerele 51-53, până la punctul în care Ahmes pare să piardă înțelegerea a ceea ce face, în special la 53 de ani.

Un complot trapezoidal are două baze, șase khet și patru khet. Înălțimea sa este de douăzeci de khet. Găsiți-i suprafața în setat.

LA

{\ displaystyle A = 100 \; \; \; setat}

Considerentele problemei 52 sunt foarte asemănătoare cu cele din 51. Metoda de rezolvare este familiară metodelor moderne și, prin urmare, circumstanțe precum cele din 51 pun la îndoială modul în care Ahmes sau sursa sa au înțeles ce fac.

Note și referințe

Spalinger 1990 , p. 298.
Clagett 1999 , p. 113-114.
Spalinger 1990 , p. 302 și 299.
Clagett 1999 , p. 16.
Aceasta nu este neapărat o copie exactă, unii specialiști susțin că copia ar viza doar o parte din papirus ( Spalinger 1990 , p. 303 și 320) și care este numele Amenemhat III , care este parțial reconstruit din cauza unei lacune, este corect reconstruit ( Spalinger 1990 , p. 303). Cu toate acestea, compoziția tratatului, precum și dimensiunile sale, se referă mai degrabă la Regatul Mijlociu ( Spalinger 1990 , p. 337).
Imhausen 2007 , p. 12.
(în) Antony J. Spalinger , War in Ancient Egypt: The New Kingdom , Blackwell Publishing,2005, 312 p. ( ISBN 1-4051-1372-3 ) , p. 23.
Spalinger 1990 , p. 335.
Spalinger 1990 , p. 335-336 și Spalinger 2005 , p. 23-24.
Imhausen 2007 , p. 22.
(it) Roberto Renzetti, „ Alcune questioni di matematica nell'antichita 'preclassica - Parte II : Mesopotamia ” , pe fisicamente.net , paragraful 10, Il teorema di Talete.
Marshall Clagett , Știința egipteană antică, O carte sursă. Volumul trei: matematica egipteană veche , Societatea filozofică americană, col. „Memoriile Societății Filozofice Americane”,1999, 462 p. ( ISBN 978-0-87169-232-0 , citit online ).
David M. Burton , History of Mathematics: An Introduction , Boston, Wm. C. Brown,2003.
Rossi 2007 , p. 185.
Sylvia Couchoud , p. 79
Rossi 2007 , p. 218.
Rossi 2007 , p. 219.
Rossi 2007 , p. 221.
Pentru a ne face o idee mai bună despre gradul de precizie astfel obținut, putem observa că această construcție oferă implicit o aproximare a π, aici π = ((8 × 2) / 9) 2 , adică o aproximare a numărul nostru actual π de pătratul de 16/9 sau de 256/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 ≈ 3.160.
Arnold Buffum 1927-1929

Bibliografie

(ro) Arnold Buffum Chace , The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations , vol. II, 1927-1929
(ro) Marshall Clagett , Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volumul trei: matematica egipteană veche , Societatea filozofică americană, col. „Memoriile Societății Filozofice Americane”,1999, 462 p. ( ISBN 978-0-87169-232-0 , citit online )
Sylvia Couchoud , Matematică egipteană. Cercetări privind cunoașterea matematică a Egiptului faraonic , edițiile Le Léopard d'Or,1993, 208 p. ( ISBN 2-86377-118-3 )
(de) August Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten Ägypter (Papyrus Rhind des British Museum), übersetzt und erklärt , Leipzig, JC Hinrichs,1877( citește online )
Jérôme Gavin și Alain Schärlig, „ Poziție falsă și euristică în Regatul Mijlociu ”, ENiM , vol. 8,2015, p. 113-132 online )
(ro) Richard J. Gillings, Matematica în timpul faraonilor , Boston MA, MIT Press ,1972, 286 p. ( ISBN 0-262-07045-6 )
Michel Guillemot, „Calcul și geometrie în Egiptul antic” , în Istoria calculului de la geometrie la algebră , sub îndrumarea lui Luc Sinègre, Paris, Vuibert,2009( ISBN 978-2-7117-2226-6 )
(de) Annette Imhausen , Ägyptische Algorithmen: Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten , Wiesbaden, Harrassowitz,2003, 387 p. ( ISBN 3-447-04644-9 , citit online )
(ro) Annette Imhausen , „Egyptian Mathematics” , în Victor J. Katz , The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , Princeton, Princeton University Press,2007( ISBN 0-691-11485-4 ) , p. 7-56
Marianne Michel , Matematica Egiptului antic: numerotare, metrologie, aritmetică, geometrie și alte probleme , Bruxelles, Safran,2014, 604 p. ( ISBN 978-2-87457-040-7 )
(ro) T. Eric Peet , The Rhind Mathematical Papyrus: British Museum 10057 și 10058 , Londra, Hodder & Stoughton pentru Liverpool University Press,1923 (ed. modernă a papirusului Rhind)
(ro) Gay Robins și Charles Shute, Papirusul matematic Rhind: un text antic egiptean , Londra, British Museum,1987, 60 p. ( ISBN 0-486-26407-6 )
(ro) Corinna Rossi , Arhitectură și matematică în Egiptul antic , Cambridge University Press ,2007( 1 st ed. 2003), 280 p. ( ISBN 978-0-521-69053-9 )
(ro) Anthony Spalinger , „ Papirusul matematic Rhind ca document istoric ” , Studien zur Altägyptischen Kultur , Helmut Buske Verlag GmbH, vol. 17,1990, p. 295-337

Vezi și tu

Articole similare

Papirusul Moscovei
Papirusul lui El-Lahoun
Papirusul Berlinului
Piele de tip rolă de matematică egiptene (ro)
Blocuri de lemn din Cairo (ro)

linkuri externe

( fr ) Papirusul Rhind, pe locul British Museum : prima parte și a doua parte .
(ro) „ Colecții: arta egipteană, clasică, veche din Orientul Apropiat: Fragmente de papirus matematic Rhind ” , Muzeul Brooklyn (accesat la 25 noiembrie 2013 )