Teorema lui Liouville (aproximare diofantină)
În matematică , și mai precis în teoria numerelor , teorema lui Liouville , demonstrată de Joseph Liouville în 1844, se referă la aproximarea diofantină a numerelor algebrice prin numere raționale . El arată că numerele algebrice iraționale sunt „prost” aproximate de numere raționale, în sensul că aproximările raționale necesită numitori relativ mari. Se citește după cum urmează:
Teorema -
Fie α un număr real algebric de grad d > 1. Atunci există o constantă A > 0 astfel încât pentru orice p / q rațional (cu q > 0 și p numere întregi), avem:
|α-pq|≥LAqd{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | \ geq {\ frac {A} {q ^ {d}}}}.
În 1844, Liouville a dedus primele numere transcendente descoperite, de exemplu suma inverselor de
10 n ! ; aceste numere sunt acum cunoscute sub numele de Liouville .
Note și referințe
-
Joseph Liouville, „ Pe clase foarte extinse de cantități a căror valoare nu este nici algebrică, nici măcar reductibilă la iraționale algebrice ”, J. Math. Pur Appl. , 1 st serie, T. 16,1851, p. 133-142 ( citește online ), reproduce și completează cele două note ale sale din mai 1844, „ Comunicare orală ”, Raport al sesiunilor Académie des sciences , vol. 18,1844, p. 883-885 și 910-911.
-
Pentru o demonstrație , a se vedea de exemplu (în) Daniel Duverney, Teoria numerelor: o introducere elementară printr-o problemă diofantină , World Scientific,2010( ISBN 978-9-81430746-8 , citit online ) , p. 139, sau „Teorema lui Liouville”, în lecția „Introducere în teoria numerelor” de pe Wikiversitate .
Articol asociat
Teorema lui Roth
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">