Teorema Lindemann-Weierstrass

În matematică , The Lindemann-Weierstrass teorema afirmă că , dacă numerele algebrice $alfa 1 , ..., α n$ sunt independente liniar pe câmpul Q a numerelor raționale , apoi lor exponențiale $e α 1 , ..., e α n$ sunt independente algebric pe Q . Cu alte cuvinte, extensia Q $(e α 1 , ..., e α n ) a$ lui Q este transcendentă a gradului $n$ .

O formulare echivalentă a teoremei este următoarea: dacă $α 0 , ..., α n$ sunt numere algebrice distincte, atunci $e α 0 , ..., e α n$ sunt liniar independente în câmpul Q al numerelor algebrice, adică: ${\ displaystyle a_ {0} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {0}} + a_ {1} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {1}} + \ ldots + a_ { n} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {n}} \ neq 0}$ pentru toate numerele algebrice $a i$ nu toate zero.

În 1882, această teoremă a fost anunțată de Ferdinand von Lindemann la sfârșitul articolului său despre cazul special $n = 1$ și a fost imediat demonstrată de Karl Weierstrass , care a distribuit manuscrisul său, dar a amânat publicarea până în 1885.

Cazul $n = 1$

În 1882, Lindemann a schițat dovada faptului că pentru orice non-zero , numărul algebrică $a$ , numărul $e un$ este transcendent (care din nou a demonstrat că $e$ este transcendent și a demonstrat că $π$ este , de asemenea , transcendentă ). Acesta este cazul $n = 1$ al teoremei demonstrate de Weierstrass.

Într-adevăr (cu prima formulare),

$a$ este diferit de zero este echivalent cu: mulțimea ${ a }$ este liniar liberă pe Q și
$e a$ este transcendent este echivalent cu: mulțimea ${e a }$ este algebric liberă pe Q

Folosind a doua formulare, o putem rescrie:

$a$ este diferit de zero este echivalent cu: $0$ și $a$ sunt distincte și
$e un$ e transcendental echivalent cu: $e 0$ și $e are$ sunt liniar independente de Q .

Conjectura $P$ -adic

Analogica $p$ -adic a teoremei Lindemann-Weierstrass este următoarea conjectură : „sunt [ $p$ un număr prim și] $β 1 , ..., β n$ din numerele $p$ -adic algebric [ Q -linéairement independent] aparținând convergenței domeniului a exponențialei p -adic (en) $exp p$ . Apoi $n$ numere $exp p (β 1 ), ..., exp p (β n )$ sunt algebric independente de Q . "

Note și referințe

(ro) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Lindemann - Weierstrass theorem ” (a se vedea lista autorilor ) .

(în) Alan Baker , Transcendental Number Theory , Cambridge University Press,1990( 1 st ed. 1975) ( ISBN 9780521397919 , citit on - line ) , cap. 1, Teorema 1.4.
(ro) David E. Rowe , „Evenimente istorice în fundalul celei de-a șaptea probleme a Parisului a lui Hilbert ” , în David E. Rowe și Wann-Sheng Horng, Un bilanț delicat: perspective globale asupra inovației și tradiției în istoria Matematică , Birkhäuser ,2015, p. 211-244.
(de la) KW Weierstrass, " Zu Lindemann's Abhandlung:" Über die Ludolph'sche Zahl " " , Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. , vol. 5,1885, p. 1067-1085 ( DOI 10.1007 / 978-1-4757-4217-6_23 ).
(în) Michel Waldschmidt , " Probleme diofantine deschise " , Revista matematică din Moscova , vol. 4, n o 1,2004, p. 245-305 ( citiți online ), Conjectura 3.11.

Vezi și tu

Articole similare

Link extern

(ro) „ Dovada teoremei Lindemann-Weierstrass și că e și $π$ sunt transcendentale ” (demonstrație preluată din Baker 1990 și detaliată), pe site- ul PlanetMath .