Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan, circa 1916 Date esentiale

Naștere	22 decembrie 1887 Erode ( Raj britanic )
Moarte	26 aprilie 1920 Kumbakonam , lângă Madras ( British Raj )
Acasă	Britanic Tamil Nadu Raj
Naţionalitate	indian
Zone	Matematică
Renumit pentru	Caiete Ramanujan Conjectură Ramanujan Partiție a unui întreg

Semnătură

Srinivasa Ramanujan ( tamilă : சீனிவாச இராமானுஜன் ; ), născut pe22 decembrie 1887la Erode și a murit mai departe26 aprilie 1920în Kumbakonam , este un matematician indian .

Provenind dintr-o familie modestă de brahmani ortodocși, el este autodidact , arătând întotdeauna o gândire independentă și originală. Învață matematică pe cont propriu din două cărți pe care le-a obținut înainte de vârsta de șaisprezece ani, lucrări care îi permit să stabilească o cantitate mare de rezultate pe teoria numerelor , pe fracții continue și pe serii divergente , în timp ce propriul său sistem de notații este creat . Judecând anturajul său academic depășit, a publicat mai multe articole în reviste de matematică indiene și a încercat să-i intereseze pe matematicienii europeni în lucrarea sa, trimițându-le scrisori.

Una dintre aceste scrisori, trimisă Ianuarie 1913lui Godfrey Harold Hardy , conține o lungă listă de formule și teoreme fără dovezi. Hardy consideră mai întâi această postare neobișnuită ca o farsă, apoi o discută pe larg cu John Littlewood pentru a ajunge la convingerea că autorul său este cu siguranță un „geniu” , un calificativ folosit adesea astăzi. Hardy răspunde invitându-l pe Ramanujan să vină în Anglia; rezultă o colaborare fructuoasă, împreună cu Littlewood.

Afectat toată viața de probleme de sănătate, Ramanujan a văzut starea sa agravată în timpul șederii sale în Anglia; s-a întors în India în 1919, unde a murit la scurt timp în Kumbakonam, la vârsta de treizeci și doi de ani. El lasă întreg de cărți rezultate nedovedite (numite caiete de Ramanujan ) , care, la începutul XXI - lea secol, continuă să fie studiate.

Ramanujan a lucrat în principal la funcțiile eliptice și la teoria analitică a numerelor ; a devenit celebru pentru rezultatele sale de calcul care implică constante precum $π$ și $e$ , numere prime sau chiar funcția de partiție a unui număr întreg , pe care le-a studiat cu Hardy. Mare creator de formule matematice, el a inventat câteva mii dintre ele care s-au dovedit practic exacte, dar unele dintre acestea nu au putut fi demonstrate decât după 1980; Dintre unii dintre ei, Hardy, uimit de originalitatea lor, a spus că „o singură privire a fost suficientă pentru a realiza că pot fi gândiți doar de un matematician de vârf”. Trebuiau să fie adevărați, pentru că, dacă ar fi fost minciuni, nimeni nu ar fi avut suficientă imaginație pentru a le inventa ” .

Biografie

Tineret

Ramanujan ( lit. „fratele mai mic al lui Rāma ”) s-a născut pe22 decembrie 1887în Erode , în actualul stat Tamil Nadu din India , în reședința bunicilor materni. Tatăl său, K. Srinivasa Iyengar, născut în Thanjavur , lucrează ca funcționar într-un magazin sari . Mama ei, Komalathammal, este o gospodină, câștigând câțiva bani cântând în templu. Va avea mai mulți frați, dintre care doar doi vor supraviețui copilăriei: Lakshmi Narasimhan (1898-1946) și Thirunarayanan (1905-1978).

Când avea un an, a venit să locuiască cu tatăl său într-o casă tradițională de pe strada Sarangapani din Kumbakonam (în 2003, această casă a fost transformată într-un muzeu care îi cinstea munca); a petrecut acolo majoritatea următorilor douăzeci de ani. ÎnDecembrie 1889, Ramanujan a contractat variola , ceea ce l-a cicatrizat toată viața. Apoi s-a mutat la casa bunicilor materni, care se stabiliseră de atunci în Kanchipuram , nu departe de Madras .

1 st octombrie 1892, Ramanujan intră în școala elementară; în următorii doi ani, școala sa a fost haotică. Bunica lui și-a pierdut slujba de funcționar al instanței în Kanchipuram, el și mama sa se întorc la Kumbakonam, unde este înscris la școala primară Kangayan. La moartea bunicului său patern, a fost trimis înapoi la bunicii materni, care apoi s-au mutat la Madras. Fără a sprijini școala din Madras, el renunță la școală , ceea ce duce familia să cheme poliția pentru a se asigura că merge de fapt. Șase luni mai târziu, Ramanujan s-a întors la Kumbakonam.

De atunci, tatăl lui Ramanujan fiind monopolizat de munca sa, mama lui se ocupă de educația sa. Ea îl învață în special tradiția brahmană și purana , precum și cântece religioase, astfel încât să poată participa la puja . Revenit la școala primară Kangayan, Ramanujan devine un elev strălucit acolo. ÎnNoiembrie 1897, chiar înainte de a zecea aniversare, a terminat primul în cartierul său în școala primară lăsând examenele (în engleză, tamilă, geografie și aritmetică). În același an, Ramanujan a întâlnit matematica „abstractă” pentru prima dată în timpul învățământului său secundar.

În 1898 (avea unsprezece ani), doi studenți de la Government College din Kumbakonam (o instituție de învățământ superior) au fost cazați la părinții săi. După ce le-a extras toate cunoștințele matematice, a obținut de la ei împrumutul de cărți, în special Trigonometria plană , de Sidney Luxton Loney. De la vârsta de treisprezece ani, a stăpânit cunoștințele din această carte și a redescoperit câteva teoreme. La paisprezece ani, a primit echivalentul bacalaureatului francez și o bursă universitară.

La cincisprezece ani, Ramanujan împrumutate de la biblioteca Colegiului Guvernului Sinopsis de matematica pură de George Shoobridge Carr , conținând mai multe mii de rezultate de analiză și de geometrie, dar oferind numai câteva indicații privind demonstrațiile lor (care Hardy va deplâng de continuarea prin atribuirea această lucrare stilul eliptic și nu riguros al lui Ramanujan). Cu toate acestea, această carte este cea care îl aduce pe Ramanujan în universul matematicii. La șaptesprezece ani, a studiat în profunzime numerele lui Bernoulli și a calculat constanta lui Euler până la 15 zecimale; la acea vreme, tovarășii săi pretind că „îl înțeleg foarte rar” .

Absolvent al școlii secundare superioare din orașul Kumbakonam în 1904, Ramanujan a primit premiul K. Ranganatha Rao pentru matematică de la directorul școlii, dl Krishnaswami Iyer. Acesta din urmă l-a recomandat la Colegiul Guvernului , numindu-l un student excepțional. Dar, datorită concentrării sale doar pe matematică, Ramanujan își pierde bursa și părăsește casa familiei, înAugust 1905, să se stabilească în Visakhapatnam . La începutul anului 1906, s-a înscris la Colegiul Pachaiyappa din Madras. Încă excelent în matematică, dar sărac în alte discipline, cum ar fi biologia, Ramanujan nu reușește examenulDecembrie 1906și eșuează din nou în anul următor. Din 1908, el nu a mai încercat să urmeze un curs convențional, ci a continuat cercetările personale în matematică, în timp ce trăia într-o mare sărăcie materială; în acel moment, din lipsă de hârtie, își efectua calculele și raționamentul în cap sau pe o ardezie, notând doar rezultatele finale într-un caiet; va păstra această metodă de lucru toată viața; în plus, izolarea sa îl determină să construiască un sistem de evaluare personală, care va face ulterior munca sa dificil de descifrat.

Primele lucrări

Îngrijorată de eșecurile sale care îi ascund viitorul, familia lui Ramanujan decide să se căsătorească cu el; 14 iulie 1909, prin urmare, se căsătorește cu Janaki Ammal (în vârstă de zece ani). Pentru a supraviețui, el pregătește studenții pentru examenele finale la Colegiul Președinției . Probleme de sănătate apărute la sfârșitul anilor 1900, el îi cere prietenei sale Radakrishna Iyer să dea în caz de nenorocire caietele sale de matematică profesorului Singaravelu Mudaliar, de la Colegiul Pachaiyappa , sau profesorului britanic Edward B. Ross, de la Christian College. .

După recuperare, Ramanujan a plecat cu trenul de la Kumbakonam la Viluppuram , un oraș aflat sub controlul francez la acea vreme, și acolo l-a întâlnit pe V. Ramaswamy Aiyer , fondatorul Societății Indiene de Matematică . Ramanujan, care are în vedere un loc de muncă în departamentul de rețete în care lucrează Ramaswamy, îi arată caietele sale de matematică. După cum va relata mai târziu Ramaswamy: „M-a impresionat rezultatele matematice extraordinare pe care le conțineau. Nu am avut inima să-i înăbuș geniul, oferindu-i un post de nivel scăzut în Ministerul Bugetului. "

Ramaswamy îl trimite pe Ramanujan la Madras, cu scrisori de recomandare, prietenilor matematicieni, de la care obține noi scrisori de recomandare de la R. Ramachandra Rao , secretarul Societății Indiene de Matematică. Acesta din urmă este impresionat de rezultatele lui Ramanujan, exprimând în același timp îndoieli cu privire la autenticitatea lor; Abia după ce a discutat cu acest tânăr minune integrale eliptice , serii hipergeometrice și serii divergente , el este convins de capacitățile sale. După ce i-a cerut lui Ramachandra angajare și sprijin financiar, Ramanujan este trimis la Madras , unde își poate continua cercetările, în timp ce Ramaswamy îl ajută să-și publice rezultatele în Journal of the Indian Mathematical Society .

Una dintre primele sale contribuții la acest jurnal este o problemă care cere să se determine valoarea unui radical imbricat infinit , un obiect cu siguranță neobișnuit, dar care nu ar trebui să înspăimânte un matematician. Cu toate acestea, după șase luni, încă nu a primit nicio soluție, el publică răspunsul, precum și câteva indicații sumare pentru a-l obține.

În 1911, Ramanujan a scris pentru Jurnal un articol de șaptesprezece pagini despre numerele Bernoulli conținând mai multe teoreme și presupuneri. În acest moment, stilul său de scriere a lăsat încă de dorit. După cum a scris MT Narayana Iyengar, editorul Jurnalului , „metodele dlui Ramanujan erau atât de laconice și de noi, iar prezentarea sa atât de neclară și imprecisă, încât cititorul obișnuit de matematician, neobișnuit cu o astfel de gimnastică intelectuală, cu greu îl putea urma. "

În Martie 1912, Ramanujan obține în cele din urmă o funcție permanentă de contabil la Trezorierul General din Madras, o slujbă care îi lasă suficient timp liber pentru a se dedica complet matematicii.

Contact cu matematicieni britanici

La sfârșitul 1912, Narayana, Ramachandra și Edgar William Middlemast încearcă să prezinte lucrarea lui Ramanujan matematicienilor britanici. Micaiah John Muller Hill (de la University College London ) considerând că articolele lui Ramanujan sunt prea incomplete, afirmă că, deși Ramanujan „are un gust pentru matematică și o capacitate reală” , îi lipsesc bazele necesare pentru a fi acceptat de colegii săi matematicieni. Chiar dacă Hill nu se oferă să-l ia pe Ramanujan ca student, el îi oferă sfaturi profesionale detaliate cu privire la munca sa. Ajutat de prietenii săi, Ramanujan a scris apoi scrisori celor mai prestigioși matematicieni de la Universitatea Cambridge .

Primii doi, Henry Frederick Baker și Ernest William Hobson , returnează articolele lui Ramanujan fără comentarii. 16 ianuarie 1913, Ramanujan îi trimite apoi lui Godfrey Harold Hardy o scrisoare de nouă pagini, pe care acesta din urmă o ia la început pentru o păcăleală: Hardy recunoaște unele dintre formulele care apar acolo, dar altele „îi par abia credibile” . În special, majoritatea fracțiunilor ciudate continuate de pe ultima pagină a manuscrisului îl lasă pe Hardy perplex; mărturisind că „nu a mai văzut nimic care să le semene chiar vag” , face această remarcă despre ei, care a devenit acum faimoasă: „Aceste teoreme trebuie să fie adevărate, pentru că dacă nu ar fi adevărate, nimeni nu ar avea suficientă imaginație să le inventăm ” .

Hardy îi cere apoi colegului său J. Littlewood să citească acest manuscris. Uimit, acesta din urmă afirmă că poate proveni doar de la un „om de geniu” (un calificativ folosit adesea în zilele noastre). Hardy va declara la moartea lui Ramanujan că această scrisoare este „cu siguranță cea mai remarcabilă pe care a primit-o vreodată” și arată că autorul ei este „un matematician de cea mai înaltă calitate, un om de o putere și originalitate excepționale” .

8 februarie 1913, Hardy răspunde lui Ramanujan, exprimându-și interesul pentru munca sa și semnalând că este „esențial să examineze demonstrarea anumitor rezultate” . Chiar înainte ca scrisoarea să ajungă la Madras, Hardy a contactat biroul din India cu scopul de a aranja un sejur pentru Ramanujan la Cambridge. Arthur Davies, secretar al comitetului indian de ajutorare a studenților, s-a întâlnit cu Ramanujan la începutul anului 1914 pentru a discuta detaliile acestei șederi, dar pentru a nu contraveni educației sale bramine și a nu-i ofensa familia, Ramanujan a refuzat să-și părăsească țara. „o țară străină” . Cu toate acestea, el i-a trimis între timp lui Hardy o a doua scrisoare plină de teoreme, în care scrie: „Am găsit în tine un prieten care îmi examinează munca cu bunătate” ; Gilbert Walker , care lucra atunci cu Hardy la Trinity College , a studiat apoi opera lui Ramanujan și și-a exprimat uimirea, insistând ca tânărul să vină să lucreze la Cambridge.

În urma deciziei sale de a rămâne în India, Narayana și Ramachandra reunesc biroul de studii matematice de la Universitatea Madras pentru a discuta „ce se poate face pentru Ramanujan” . Biroul decide să-i acorde o bursă de cercetare de 75 de rupii pe lună timp de doi ani (mai mult decât dublul salariului său ca contabil). În această perioadă, Ramanujan a continuat să contribuie cu articole la Journal of the Indian Mathematical Society . Astfel, Narayana publică anumite teoreme despre însumarea seriilor divergente , atribuindu-le acestuia; o altă serie de teoreme publicate în această revistă se referă la calculul integralelor definite, Ramanujan generalizând o metodă datorată lui Giuliano Frullani .

După ce Ramanujan refuză invitația lui Hardy, corespondența cu el se deteriorează oarecum; Hardy îi oferă apoi lui EH Neville, un coleg care ține prelegeri la Madras, să supravegheze munca lui Ramanujan și să încerce să-l convingă să vină. Acest lucru se dovedește a fi inutil, pentru că între timp mama lui Ramanujan are un vis în care zeița familiei Namagiri Thayar i-a recomandat „să nu mai intre între fiul ei și împlinirea destinului său”. Ramanujan s-a îmbarcat apoi în Anglia, lăsându-i soția, pe atunci în vârstă de cincisprezece ani, în grija părinților ei.

Rămâi în Anglia

Ramanujan ajunge la Londra pe 14 aprilie 1914după o lună de traversare; el este întâmpinat de Neville care îl găzduiește la el acasă la Cambridge și începe imediat să lucreze cu Hardy și Littlewood. După șase săptămâni, Ramanujan se mută la Curtea lui Wheewell, la o plimbare de cinci minute de locul lui Hardy, iar Hardy și Littlewood își pot studia caietele. Hardy a primit deja 120 de formule și teoreme în primele două litere, dar caietele conțin multe altele. Unele sunt false, iar altele sunt deja cunoscute, dar majoritatea sunt descoperiri semnificative, făcând o impresie puternică asupra amândurora. Littlewood comentează „că îl crede cel puțin de calibru de Jacobi ” în timp ce Hardy „îl poate compara doar cu Euler sau cu Jacobi” . Hardy, căruia îi plăcea să-i clasifice pe matematicieni pe o scară de la 1 la 100, s-ar fi dat mai târziu 25, oferind lui Littlewood 30, David Hilbert 80 și Ramanujan 100.

Hardy și Ramanujan au personalități contrastante, iar colaborarea lor vede conflicte între culturi, credințe și chiar stiluri de lucru opuse. Deceniile anterioare au văzut în Occident o criză a bazelor matematicii, necesitând o abordare riguroasă a probelor, a cărei Hardy este un susținător fervent, în timp ce Ramanujan se bazează pe instinctul său și pe intuițiile sale orbitoare. Hardy va face tot posibilul pentru a umple golurile din educația lui Ramanujan și pentru a-l convinge să-și bazeze rezultatele pe dovezi riguroase, fără a-și limita inspirația; conflictul dintre cele două abordări este dureros pentru toată lumea, iar Hardy s-a plâns mai târziu în mai multe rânduri că Ramanujan nu a primit o educație mai tradițională, ceea ce i-ar fi permis „să devină cel mai mare matematician al timpului său” ; subliniază, totuși, că nu și-a luat timp să-l întrebe de unde îi vin exact cunoștințele, pentru că, spune el, „de ce l-aș întreba dacă știe așa și așa rezultat, când mi - a spus ? practic fiecare zi a arătat o jumătate de duzină de noi teoreme? "

Ramanujan a primit o licență în științe „de cercetare” (care nu mai corespunde actualului doctorat ) în martie 1916 pentru munca sa asupra numerelor extrem de compuse , a cărei primă parte a fost publicată în Proceedings of the London Mathematical Society . Acest articol de peste 60 de pagini demonstrează multe proprietăți ale acestor numere; Hardy va remarca „că aceasta a fost o lucrare extrem de neobișnuită de cercetare și că Ramanujan a demonstrat o ingeniozitate extraordinară în ea” .

6 decembrie 1917, este admis la London Mathematical Society ; în 1918, a fost ales membru al Societății Regale „pentru cercetările sale despre funcțiile eliptice și teoria numerelor” , devenind al doilea indian admis, după Ardaseer Cursetjee în 1841. În același an,13 octombrie, este primul indian care a devenit membru al Trinity College .

În total, Ramanujan a petrecut aproape cinci ani în Cambridge, publicând multe dintre descoperirile sale acolo, în aproximativ douăzeci de articole culese după moartea sa într-o carte a lui Hardy și a colaboratorilor săi; Primul război mondial nu a împiedicat aceste articole , de la atragerea de o mare atenție, pentru că ei au deschis noi căi de cercetare.

Boală și moarte

De-a lungul vieții sale, Ramanujan a fost afectat de probleme de sănătate. Starea sa s-a înrăutățit în Anglia, probabil din cauza climatului, și a dificultăților în menținerea dietei vegetariene stricte cerute de brahmanismul său ortodox, pe fondul restricțiilor din cauza războiului dintre 1914 și 1918. Diagnosticat de tuberculoză și suferind de „o deficiență vitaminică severă , a urmat mai multe spitale din 1917, înainte de a fi internat într-un sanatoriu din Putney , unde Hardy l-a vizitat frecvent. În februarie 1918, foarte deprimat, slăbit și demoralizat, se pare, de mâncarea oferită în aceste unități, tânărul matematician a încercat să se sinucidă aruncându-se sub roțile unui tren subteran londonez . Cu toate acestea, din primăvara anului 1918, o succesiune de vești bune, inclusiv admiterea sa în Societatea Regală, i-a dat moral, în timp ce sfârșitul războiului din noiembrie i-a permis să ia în considerare întoarcerea în India.

În martie 1919, aparent în stare mai bună de sănătate, dar totuși fragil, sa întors la Kumbakonam pentru a se alătura soției și părinților săi; reputația sa (datorită onorurilor primite în Anglia) l-a precedat și i s-a oferit în special un post de profesor universitar la Madras, pe care a declarat să-l accepte de îndată ce a fost complet vindecat; totuși, poate din cauza căldurii excesive, începe să slăbească din nou în timpul verii, ceea ce nu-l împiedică să continue să producă noi rezultate matematice, dar ultimele sale luni sunt destul de dureroase; el moare mai departe26 aprilie 1920, la 32 de ani .

În 1994, o analiză a dosarelor și simptomelor medicale a lui Ramanujan de către doctorul DAB Young l-a determinat să concluzioneze că boala sa semăna mult mai mult cu ameboza hepatică (o boală pe atunci endemică în Madras) decât cu tuberculoza. Într-adevăr, Ramanujan a trăit două episoade de dizenterie înainte de a părăsi India. Cu toate acestea, atunci când nu este tratată corespunzător, dizenteria poate deveni cronică și poate duce la ameboză, în timp ce este corect diagnosticată (dar erorile nu erau rare atunci), boala ar fi putut fi tratată și chiar vindecată cât mai curând posibil.

Personalitate și viață religioasă

Ramanujan este descris de prietenii săi indieni ca fiind prietenos și liniștit, capabil să glumească în tamilă și engleză; pasiunea sa pentru matematică îi conferă un farmec și o inocență pe care toți îl recunosc și îi atrage prieteni dornici să-l ajute. În Cambridge , anturajul său vorbea despre el ca pe un tovarăș cu un caracter timid și calm, dar animat de un entuziasm comunicativ atunci când își prezenta ideile matematice sau filozofice în grupuri mici; este un personaj demn cu maniere agreabile și o existență spartană.

Primii biografi indieni ai lui Ramanujan insistă asupra hinduismului său strict ortodox și susțin că atribuie abilitățile sale de gândire zeiței familiei sale , Namagiri Thayar , pe care se bazează pentru a-l inspira în munca sa și despre care susține că a visat picături de sânge care să o simbolizeze. soțul, Narasimha , avatarul lui Vishnu , după ce a primit viziunile sulurilor de formule matematice complexe care se desfășoară în fața ochilor săi. Potrivit acestor biografi, Ramanujan spune adesea: „O ecuație pentru mine nu are sens decât dacă reprezintă un gând al lui Dumnezeu. "

Cu toate acestea, Hardy era nerăbdător să nu-l considere pe Ramanujan ca pe un mistic ale cărui inspirații matematice ar veni „dintr-o misterioasă și imemorială înțelepciune orientală” , descriindu-l în schimb ca „o ființă umană rațională care s-a întâmplat să fie un mare matematician” ; el citează (insistând asupra uimirii pe care i l-au provocat) remarcile lui Ramanujan care arată că toate religiile „i s-au părut mai mult sau mai puțin la fel de adevărate” . Hardy a dedus că evlavia lui Ramanujan fusese idealizată de occidentali și exagerată de biografii săi indieni; Cu toate acestea, el a menționat doar convingerile sale și nu practicile sale religioase, plângându-se dimpotrivă de consecințele regretabile ale respectării stricte a vegetarianismului asupra sănătății sale și poate asupra muncii sale.

Muncă matematică

Contribuții teoretice

Lucrarea lui Ramanujan se concentrează pe diferite aspecte ale teoriei numerelor (de exemplu , numerele prime Ramanujan , numerele foarte compuse , identitățile Rogers-Ramanujan sau studiul detaliat, realizat în colaborare cu Hardy, a funcției care dă numărul de partiții ale unui număr întreg și în special pe acest subiect congruențele care îi poartă numele ) și mai ales cu privire la utilizarea în această teorie a metodelor analitice precum metoda cercului (pe care a ajutat-o să o dezvolte), precum și la utilizarea funcțiilor eliptice și modulare , și funcții theta ; Paul Erdős a considerat, de asemenea, că a fost inițiatorul, în combinatorică , a metodelor probabilistice . De asemenea, a făcut descoperiri în alte câteva domenii ale matematicii, precum în analiza cu însumarea lui Ramanujan sau „ teorema maestrului ”, precum și conjecturi fructuoase , precum cele referitoare la funcția tau .

Formule

Ramanujan este renumit pentru productivitatea sa extraordinară atunci când vine vorba de formule. Hardy a spus, referindu-se la Leonhard Euler , un mare creator de formule remarcabile , că „s-a născut cu 150 de ani prea târziu” și, în ceea ce privește scrisoarea pe care i-o trimisese în 1913, că formulele pe care le conțineau nu puteau decât să fie corecte, pentru că „nimeni nu ar fi avut o imaginație suficientă pentru a le inventa și că sunt false” .

Distribuit în trei caiete , precum și pe un set de foi împrăștiate redescoperite în 1976 și numit „caietul pierdut”, pentru un total de aproximativ 700 de pagini , câteva mii de rezultate au fost analizate și acum toate au fost demonstrate (uneori la l folosind instrumente informatice): foarte puține sunt false (cel mai adesea ca urmare a erorilor de copiere) și două treimi sunt originale. Ramanujan nu au avut unele teorii, necunoscute sau în curs de dezvoltare la începutul XX - lea secol, ca teoria numărul analitic , și ignorând chiar și elementele de bază ale rezultatelor analizei complexe ca teorema reziduurilor , metodele pe care le - au făcut posibil pentru a descoperi astfel de o cantitate de formule și teoreme rămân obscure. Următoarele secțiuni oferă o idee despre varietatea acestor formule.

Formulare de scrisori către Hardy

Prima scrisoare a lui Ramanujan către Hardy, datată 16 ianuarie 1913, constă în esență din formule și teoreme fără dovadă. Hardy i-a recunoscut pe unii, dar alții „cu greu păreau credibili” . Astfel, în partea de jos a paginii 3, apare următoarea identitate:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(b + 1) ^ {2}}}} { 1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ times {\ frac {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(b + 2) ^ {2} }}} {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(a + 1) ^ {2}}}}} \ times \ cdots \, \ mathrm {d} x \ quad = \ quad & {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ times {\ frac {\ Gamma \ left (a + {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma (b + 1) \ Gamma (b - a + 1)} {\ Gamma (a) \ Gamma \ left (b + {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma \ left (ba + {\ frac {1} {2}} \ dreapta)}}, \ end {align}}}

valabil pentru $0 < a < b + 1 / 2$ , și unde funcția gamma $Γ$ , datorită lui Euler , generalizează factorialul la reali (verifică și pentru numere întregi). Acest rezultat fusese deja atins de Gustav Conrad Bauer în 1859, dar Hardy nu știa la momentul respectiv. ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (n) = (n-1)!}$

Hardy a fost, de asemenea, foarte impresionat de unele dintre seriile infinite gestionate de Ramanujan, de exemplu următoarele două:

{\ displaystyle {\ begin {align} 1 \; \; & - \; 5 \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {3} \; + \; \; 9 \; \ left ({\ frac {1 \ times 3} {2 \ times 4}} \ right) ^ {3} \; - \; 13 \ left ({\ frac {1 \ times 3 \ times 5} {2 \ times 4 \ ori 6}} \ dreapta) ^ {3} \; \; + \ cdots = \; {\ frac {2} {\ pi}}, \\ 1 \; \; & + \; 9 \ left ( {\ frac {1} {4}} \ right) ^ {4} \; + \; 17 \ left ({\ frac {1 \ times 5} {4 \ times 8}} \ right) ^ {4} \ ; + \; 25 \ left ({\ frac {1 \ times 5 \ times 9} {4 \ times 8 \ times 12}} \ right) ^ {4} \; + \ cdots = \; {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, \ left (\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) \ right) ^ {2}}}, \\\ end {align}}}

în care coeficienții sunt în progresie aritmetică (1, 5, 9, 13, ... și 1, 9, 17, 25, ...). Hardy a reușit să demonstreze din nou aceste rezultate folosind proprietăți ale seriilor hipergeometrice extinzând opera lui Euler și Gauss , dar el a constatat totuși că acestea erau „mult mai surprinzătoare” decât cele ale lui Gauss.

Teoremele privind fracțiile continuate de pe ultima pagină a manuscrisului, cum ar fi aceasta (deja demonstrată de Jacobi și aproape de rezultatele cunoscute de Gauss ):

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} e ^ {- x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ operatorname { erf} (a) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} - {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- a ^ {2}}} {2a + {\ cfrac { 1} {a + {\ cfrac {2} {2a + {\ cfrac {3} {a + {\ cfrac {4} {2a + \, \ cdots}}}}}}}}}}}

, unde erf este funcția de eroare

cei mai mulți dintre ei l-au lăsat nedumerit pe Hardy: „nu mai văzuse nimic nici măcar vag ca ei” .

Fracții continuate generalizate

Două exemple spectaculoase ale creativității lui Ramanujan sunt următoarele formule:

{\ displaystyle {\ sqrt {\ varphi +2}} - \ varphi = {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi / 5}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e }} ^ {- 2 \ pi}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- 6 \ pi}} {1 + \, \ cdots}}}}}}}}}

conectând $e$ , $π$ și raportul de aur , (această formulă a apărut în prima sa scrisoare către Hardy și a fost una dintre cele care „nu arătau ca nimic din ceea ce știa” ), și alta care implică $e$ și $π$ : $\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}$

{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1+ {\ cfrac {2} {1 + {\ cfrac {3} {1 + {\ cfrac {4} {1+ \ cdots}}}}}}}}}} = {\ sqrt {\ frac {{\ rm {e}} \ pi} {2}}}.}

Această a doua formulă combină o serie infinită și o fracție continuă generalizată pentru a da o relație între cele mai faimoase constante din matematică .

Seria pentru

π

Frații Jonathan și Peter Borwein au demonstrat în 1987 un set de formule pe care Ramanujan le descoperise în 1910 și care a apărut în primul său articol publicat în Anglia (fără nicio demonstrație și cu doar câteva indicii vagi ale originii lor), dintre care cele mai multe surprinzător (și, în plus, cel mai eficient) este:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4n)!} {(N!) ^ {4}}} \ times {\ frac {1103 + 26390n} {(4 \ times 99) ^ {4n}}}}

Această formulă oferă opt zecimale suplimentare de 1 / $π$ pentru fiecare termen nou din serie (și produce de la primul termen aproximarea excelentă , adevărată până la interior ). ${\ displaystyle \ pi \ simeq {\ frac {9801 {\ sqrt {2}}} {4412}}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 7}}$

Hardy a subliniat că descoperirile lui Ramanujan ascund adesea teorii mai profunde decât apar; astfel, rezultatul precedent ar proveni din studiul „discriminantului fundamental” $d$ = −4 × 58 = −232 al numărului de clase h ( d ) = 2 și ar fi legat de „ coincidența numerică ” (avem într-adevăr 26390 = 5 × 7 × 13 × 58, 16 × 9801 = 396 2 și 1103 = 19 × 58 + 1). ${\ textstyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}} = 396 ^ {4} -104.000000177 \ dots.}$

Radicali cuibăriți

Într-una din primele sale publicații din Journal of the Indian Mathematical Society , Ramanujan a cerut să determine valoarea infinitelor radicale imbricate, cum ar fi

{\ displaystyle r = {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}

; la pagina 105 din primul său caiet , găsim o formulă mai generală:

{\ displaystyle x + n + a = {\ sqrt {ax + (n + a) ^ {2} + x {\ sqrt {a (x + n) + (n + a) ^ {2} + (x + n) {\ sqrt {\ cdots}}}}}}}

, din care deducem că soluția întrebării din Jurnal este pur și simplu r = 3 .

În „caietul pierdut”, găsim alte formule și mai spectaculoase, de exemplu

{\ displaystyle {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 - {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5- \ cdots}}} }}}}}}}}}}}} = {\ frac {2 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {15-6 {\ sqrt {5}}}}} {2}}}

(unde secvența semnelor se repetă periodic).

{\ displaystyle (+, +, -, +)}

Alte identități algebrice

Virtuozitatea sa în manipularea numerelor algebrice l-a determinat să producă egalități surprinzătoare precum:

{\ displaystyle \ left (\ cos {\ frac {2 \ pi} {9}} \ right) ^ {1/3} + \ left (\ cos {\ frac {4 \ pi} {9}} \ right) ^ {1/3} - \ left (\ cos {\ frac {\ pi} {9}} \ right) ^ {1/3} = \ left ({\ frac {3 (9 ^ {1/3} - 2)} {2}} \ right) ^ {1/3}}

pe care îl propusese și ca problemă în Journal of the Indian Mathematical Society .

Într-un gen ușor diferit, el a descoperit, de asemenea, mai multe identități care permit să construiască exemple de sume de trei cuburi egale cu un cub, ca acesta:

(3x ^ {2} + 5xy-5y ^ {2}) ^ {3} + (4x ^ {2} -4xy + 6y ^ {2}) ^ {3} + (5x ^ {2} -5xy-3y ^ {2}) ^ {3} = (6x ^ {2} -4xy + 4y ^ {2}) ^ {3}

care generalizează coincidența numerică curioasă 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 = 216 pentru x = 1 și y = 0; sunt ușor de verificat printr-o expansiune algebrică simplă, dar par dificil de obținut fără a avea o teorie generală; din nou, nu se știe dacă Ramanujan a avut una (întrebarea poate avea ceva de-a face cu teoria numerelor taxiurilor ).

Aproximări numerice

În primul său articol scris la Cambridge, Ramanujan oferă aproximări numerice uimitoare (specificând eroarea făcută, dar cu foarte puține justificări), cum ar fi

{\ displaystyle \ pi \ simeq {\ frac {12} {\ sqrt {190}}} \ ln ((3 + {\ sqrt {10}}) ({\ sqrt {8}} + {\ sqrt {10} }))}

( îndeaproape, adică cu 18 zecimale exacte).

{\ displaystyle 10 ^ {- 18}}

De asemenea, el dă în același articol trei exemple de numere „aproape întregi” :

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {22}}} = 2508951.9982 \ dots}

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {37}}} = 199148647,999978 \ dots}

, și

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}} = 24591257751,99999982 \ dots}

Un fenomen similar se întâmplă și pentru numerele Heegner ; aceasta i-a dat lui Martin Gardner ideea Zilei lui April April atribuindu-i lui Ramanujan prezicerea care ar fi întreagă; din acest motiv, acest ultim număr este uneori cunoscut sub numele de constantă Ramanujan . $e ^ {{\ pi {\ sqrt {163}}}}$

Anecdotă taxi

Ramanujan a afișat o extraordinară amintire a numerelor și a proprietăților lor. Hardy relatează următoarea anecdotă, care a devenit faimoasă pe acest subiect:

„Îmi amintesc că l-am văzut odată când era bolnav în Putney . Luasem un taxi cu numărul 1729 și am observat că acest număr mi se părea neatractiv, adăugând că sper că nu este un semn rău.
- Nu, a răspuns el, este un număr foarte interesant: este cel mai mic număr care poate fi împărțit în două cuburi în două moduri diferite. "

Într-adevăr ,. Iar Hardy, citând Littlewood , a concluzionat (după ce a observat că Ramanujan a ignorat răspunsul la aceeași întrebare pentru cele patru puteri) că a făcut să pară că „fiecare număr natural era un prieten personal al său” . $9 ^ {3} + 10 ^ {3} = 1 ^ {3} + 12 ^ {3} = 1729$

Recunoașterea postumă

Posteritatea matematică

Articole și manuscrise Ramanujan

Din lipsă de hârtie, Ramanujan din India s-a obișnuit să-și efectueze calculele și raționamentele în cap sau pe o ardezie, notând doar rezultatele finale; a păstrat această metodă de lucru toată viața, completând astfel toate cele trei caiete (care conțineau aproape patru mii de formule pe mai mult de șapte sute de pagini) pe care le purta peste tot cu el.

După moartea sa, Thirunarayanan, fratele său mai mic, și-a adunat câteva dintre notele sale scrise de mână, iar soția sa, Janaki Ammal, a donat toate caietele și notele sale la Universitatea din Madras , unde se află cele trei caiete. înAugust 1923, secretarul general al universității, Francis Drewsbury, trimite majoritatea acestor documente către Hardy .

Hardy a scris un necrolog în Nature în iunie 1920, iar în anul următor un necrolog mai detaliat pentru London Mathematical Society ; El afirmă, ceea ce se va dovedi a fi profetic, că va dura cel puțin douăzeci de ani până când vom măsura tot ce a adus Ramanujan. Apoi a început, în colaborare cu S. Aiyar și Bertram Martin Wilson , să colecționeze și să editeze textele sale publicate în diferite ziare indiene și engleze; întregul ( 37 de articole în total) a fost publicat în 1927. În 1937, Hardy a scris pentru The American Mathematical Monthly un articol, The Indian Mathematician Ramanujan , relatând circumstanțele întâlnirii lor și concentrându-se în principal pe munca sa, apoi a susținut o serie de conferințe în Anglia și Statele Unite, pe care le-a adunat într-o carte publicată în 1940.

La o dată nespecificată (probabil după 1935), Hardy i-a transmis caietele (și manuscrisele împrăștiate) lui George Neville Watson , care, împreună cu Wilson, începuse să lucreze la un proiect publicistic, dar care părea că și-a pierdut interesul. Moartea lui Wilson în 1935.

După moartea lui Watson, în 1965, John Macnaghten Whittaker (fiul prietenului său Edmund Whittaker ) îi inspectează arhivele (înainte de incinerarea lor câteva zile mai târziu) și descoperă un set de 138 de frunze din mâna lui Ramanujan, pe care el și Rankin i le trimit. în biblioteca Colegiului Trinity din decembrie 1968. George Andrews aude despre Lucy Joan Slater și, la rândul său, descoperă primăvara anului 1976, în timp ce spune povestea în 2012, pentru a sărbători 150 de ani. Din acest moment, acest set este cunoscut sub numele de „caiet pierdut” ( caiet pierdut ).

Din 1977 și timp de mai bine de douăzeci de ani, Bruce Carl Berndt s-a dedicat ediției comentate a celor trei caiete (numite acum caiete Ramanujan ), în cinci volume însumând peste 1.800 de pagini. În total, caietele conțin aproape 3.900 de „afirmații”, cel mai adesea fără nicio demonstrație. Berndt și colaboratorii săi, în special matematicienii George Andrews , Richard Askey și Robert Rankin , și-au propus fie să le demonstreze, fie să caute referințe în literatura existentă; Berndt se poate baza și pe notele pe care Watson și Wilson le-au făcut în anii 1930 pentru proiectul lor de publicare abandonat. Între 2005 și 2018, a publicat o ediție adnotată, în alte cinci volume, a rezultatelor „caietului pierdut”, de această dată fiind ajutat și de Ken Ono , care, ca și Andrews, este un specialist în formele modulare pe care aceste rezultatele se referă. în esență.

Moștenirea matematică

De îndată ce a fost anunțată vestea morții sale, Hardy a declarat: „Ceea ce a reușit să facă [în ciuda dizabilităților sale] este deja minunat [...] când cercetarea pe care lucrarea sa a inspirat-o este finalizată, va părea mult mai mult minunat din nou. „ Multe dintre traseele deschise de Ramanujan sunt explorate în următorii douăzeci de ani; Hardy descrie câteva dintre aceste progrese în prelegerile sale de la sfârșitul anilor 1930, pe care le adună într-o carte publicată la Cambridge în 1940.

Cu toate acestea, spre sfârșitul anilor 1950, opera lui Ramanujan a căzut în relativă uitare, iar caietele, publicate de Institutul Tata în 1957, dar dificil de descifrat, au rămas confidențiale. Un progres important rezultă totuși din lucrările asupra conjecturii lui Ramanujan din 1965, culminând cu demonstrația conjecturii de către Pierre Deligne în 1974; Ideile lui Ramanujan dau naștere unor dezvoltări fructuoase (folosind în special noile instrumente ale geometriei algebrice ), corelând această conjectură aparent foarte specializată cu multe și importante întrebări deschise, precum programul Langlands ; poate mai anecdotic, conjectura a permis construirea explicită a anumitor grafice , cărora le-am dat pe bună dreptate numele graficelor Ramanujan .

La începutul anilor 1980, lucrările lui Bruce Carl Berndt asupra rezultatelor celor trei caiete, precum și descoperirea „caietului pierdut”, au condus la realizarea că, așa cum a spus Freeman Dyson , „majoritatea conjecturilor lui Ramanujan nu erau doar formule frumoase, dar aveau consistență și profunzime ” . În special, importanța ultimelor descoperiri ale lui Ramanujan a fost percepută doar treptat din anii 1990, în principal în urma lucrării lui Ken Ono ; se bazează pe unele dintre aceste rezultate pentru a obține, în 2014, un set spectaculos de noi formule algebrice .

Această moștenire impresionantă explică calificativul de „vizionar”, cel puțin la fel de des atașat la numele său ca cel de „geniu”. Unele dintre cuvintele lui Ramanujan au ajutat la menținerea misterului în viață; dacă Hardy a insistat că nu vedem „nimic mistic” în presupunerile pe care le-a afirmat, Ken Ono menționează nedumerirea sa la unele dintre predicțiile sale, precise și detaliate, care i se par inaccesibile cu instrumentele de care dispune.

Alte omagii

În 1983, la cererea lui Janaki Ammal, văduva sa, Richard Askey i-a însărcinat sculptorului Paul Granlund să realizeze busturi de bronz ale lui Ramanujan (pe baza fotografiei din pașaport). O subvenție face posibilă realizarea a zece busturi; cel promis lui Janaki se află acum la Institutul Ramanujan pentru Studii Avansate în Matematică (departamentul de matematică al Universității din Madras , care se numește Ramanujan din 1950).

Tamil Nadu sărbătorește ziua de naștere a Ramanujan 22 decembrie ca Ziua IT de stat ( Ziua Națională a Industriei și Tehnologiei ); această aniversare este sărbătorită și de către Government Arts College din Kumbakonam unde a studiat, precum și de Institutul indian de tehnologie din Chennai . În 2011, pentru a 125- a aniversare a nașterii sale, guvernul indian a spus că pe 22 decembrie va fi acum „Ziua Națională a Matematicii”, iar prim-ministrul indian Manmohan Singh a anunțat că 2012 va fi motivul matematicii Anului Național .

Mai multe instituții acordă distincții matematice cu referire la Ramanujan. The Shanmugha Academy premiază Sastra Ramanujan Premiul pentru un matematician tânăr (sub 32 de ani , vârsta morții sale) , care a desfășurat o activitate remarcabilă în domeniile preferate Ramanujan lui: fracții continue , seria , numărul de teorie ; în parteneriat cu universitatea din Kumbakonam , a creat, de asemenea, în 2000, un muzeu și un centru universitar dedicat vieții și activității sale, Centrul Srinivasa Ramanujan . Centrul International de Fizica Teoretica din Trieste premiază ICTP Ramanujan Premiul tinerilor matematicieni din țările în curs de dezvoltare, în cooperare cu Uniunea Internațională matematică . Societatea indiană de matematică a organizat o conferință comemorativă „Srinivasa Ramanujan” în fiecare an din 1990 .

În 2010, Colegiul Deshbandhu, un colegiu universitar afiliat la Universitatea din Delhi și situat în districtul Kalkaji din Delhi de Sud , a fost redenumit Colegiul Ramanujan.

O ștampilă cu imaginea lui Ramanujan este emisă de Guvernul Indiei în 1962 (pentru a 75- a aniversare a nașterii sale) care comemorează descoperirile sale în teoria numerelor; după ce a fost reproiectat, această ștampilă este pusă din nou în circulație pe26 decembrie 2011de India Post . 22 decembrie 2012, o ștampilă de cinci rupii , emisă cu ocazia primei „Zile Naționale a Matematicii”, prezintă un portret al matematicianului indian, pe un fundal de formule și figuri geometrice.

In fictiune

În romanul său , intitulat Contabilul indian și publicat în 2009, scriitorul american David Leavitt retrage colaborarea, pe fundalul Primului Război Mondial, dintre Ramanujan și Hardy, prin amintirile acestuia din urmă, evocate în timp ce începea o serie de prelegeri despre lucrări ale lui Ramanujan cu ocazia sărbătoririlor tercentenare ale Universității Harvard . Deși centrată pe caracterul matematicianului britanic, în special în tinerețe și relațiile sale sociale în cadrul societății secrete a Apostolilor din Cambridge , lucrarea romancierului descrie figura talentatului autodidact indian prin prezentarea întâlnirilor făcute la Cambridge de el. ci și diverse elemente ale biografiei sale.
În 2007, Simon McBurney a scris și a regizat A Disappearing Number , o piesă inspirată de colaborarea dintre Ramanujan și Hardy; această piesă a fost interpretată în special în Franța (în versiunea sa originală cu subtitrări) la Teatrul Nanterre-Amandiers în 2008.

În cinema și televiziune

Mai multe filme și documentare îi sunt dedicate:

Ramanujan , film biografic de Gnana Rajasekaran , lansat în 2014.
The Man Who Defied Infinity , film biografic de Matt Brown, 2016 (lansat în Franța pe DVD în 2017), bazat pe cartea lui Robert Kanigel , The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan ; rolul lui Ramanujan este jucat de Dev Patel .
În 2016, Ministerul Afacerilor Externe din India a produs un documentar intitulat Srinivasa Ramanujan - The Mathematician & His Legacy [„Srinivasa Ramanujan: matematicianul și moștenirea sa”], conținând în special interviuri cu matematicieni contemporani, precum și reconstituiri ale scenelor din viaţă.

Ramanujan este, de asemenea, o sursă de inspirație pentru mai multe personaje fictive:

În Will Hunting , Will, un geniu matematic autodidact, este comparat cu Ramanujan de către profesorul Lambeau, care l-a descoperit și îi servește drept mentor.
Amita Ramanujan , tânăra matematiciană indiană din seria Numb3rs , a fost numită pentru a-i aduce un omagiu.

Opera lui Ramanujan

Articolele publicate în ziarele indiene și engleze au fost compilate de Godfrey Harold Hardy și colaboratorii săi:

Srinivasa Ramanujan, Lucrări colectate ale Srinivasa Ramanujan , Providența , Societatea Americană de Matematică ,1962.

Fotocopiile caietelor lui Ramanujan au fost publicate de Institutul de Cercetări Fundamentale Tata (TIFR); cele din „caietul pierdut” (și alte documente împrăștiate) de Editura Narosa .

S. Ramanujan, Notebooks , Bombay, Tata Institute of Fundamental Research,1957, 2 volumeÎn 2012, a fost publicată de TIFR o a doua ediție (de o calitate mult mai bună și care respectă în special culoarea cernelurilor utilizate de Ramanujan).
S. Ramanujan, Caietul pierdut și alte lucrări nepublicate , New Delhi, Editura Narosa,1988.

Rezultatele celor trei caiete, „caietul pierdut” și corespondența au fost analizate de Bruce Carl Berndt (în colaborare cu alți matematicieni, în special George Andrews și Robert Rankin ).

Bruce C. Berndt , Caietele lui Ramanujan , New York, Springer.

- volumul I,	1985	;
- volumul II,	1989	;
- volumul III,	1991	;
- volumul IV,	1993	;
- volumul V,	2005	.

Bruce C. Berndt și George E. Andrews , Caietul pierdut al lui Ramanujan , New York, Springer.

- volumul I,	2005	;
- volumul II,	2008	;
- volumul III,	2012	;
- volumul IV,	2013	;
- volumul V,	2018	.

Bruce C. Berndt și Robert A. Rankin , Ramanujan: Letters and Commentary , Providence , American Mathematical Society ,1995.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia engleză intitulat „ Srinivasa Ramanujan ” ( vezi lista autorilor ) .

Note

Nu știm exact circumstanțele în care a fost făcută această fotografie; aparține colecției de portrete ale matematicienilor Institutului Oberwolfach pentru Cercetări Matematice , căruia i-a fost donat în 2005 de Konrad Jacobs .
numele său complet, Srinivasa Ramanujan (Aiyangar), este de fapt compus cu numele tatălui său Srinivasa, la care se adaugă uneori lui Brahman castă numele Aiyangar (sau Iyengar); cel mai adesea l-a semnat pe S. Ramanujan și le-a explicat prietenilor săi englezi „că nu are nume de familie” .
Alți trei copii s-au născut în 1889, 1891 și 1894, dar au trăit doar câteva luni.
Contrar a ceea ce ar putea sugera titlul său , această carte conține multe alte formule de analiză, de exemplu despre logaritm și funcții exponențiale .
El obține în special formule similare cu formulele lui Euler , dar, mortificat pentru a afla că sunt deja cunoscute, ascunde sub acoperișul casei sale hârtiile în care le-a notat.
Ediția folosită de Ramanujan s-a intitulat în mod specific (în) George Shoobridge Carr , O sinteză a rezultatelor elementare în matematică pură: conținând propuneri, formule și metode de analiză, cu demonstrații prescurtate. Suplimentat de un index al lucrărilor de matematică pură care se regăsesc în principalele jurnale și tranzacții ale societăților învățate, atât engleze, cât și străine, din secolul actual ,1886( citește online ).
Chiar această carte, care era încă expusă în această bibliotecă când Berndt a vizitat-o, a fost furată de atunci, după cum povestește Ken Ono , care spera să găsească acolo note marginale din Ramanujan.
Hardy , preluat de mulți comentatori, vorbește despre 6.165 de rezultate, dar în realitate Berndt enumeră doar puțin peste 4.000 de teoreme în această carte.
Iyer (sau Aiyer, Ayyar etc. ) este numele de castă brahmană , care explică prezența sa frecventă ca nume propriu în unele surse și confuziile rezultate.
Convingerile sale religioase sunt rănite de disecțiile broaștelor la care este forțat.
De exemplu, folosește litere neconvenționale pentru anumite variabile și funcții.
Mărturiile diferă în legătură cu această căsătorie. Aranjată de ceva vreme și simbolică până la pubertatea tinerei fete, aceasta ar fi fost aproape anulată, Ramanujan neavând vizitat socrii până foarte târziu. Odată căsătorit, cu toate acestea, și-a luat foarte serios responsabilitățile ca șef al familiei și, după moartea sa, văduva sa a trebuit să folosească energie neclintită pentru a se asigura că munca și memoria lui sunt păstrate.
El suferă de un hidrocel care va fi operat în cele din urmă gratuit în 1910; operația îl lasă slab și anxios.
Scrisoarea MJM Hill CLT Griffith (unul dintre foștii săi elevi care i-au scris în numele lui Ramanujan), 28 noiembrie 1912 ( (în) PK Srinivasan Ramanujan: An Inspiration , memorial flight 1 and 2, Muthialpet High School. Madras, 1968) .
În timp ce unele dintre criticile lui Hill sunt solide, Ramanujan trebuia să se plângă în a doua scrisoare adresată lui Hardy că Hill considera că este potrivit să-i recomande o carte de analiză elementară „pentru a evita să cadă în capcana unor serii divergente” , ca și cum Ramanujan nu ar fi fost capabil să realizeze pe cont propriu că a scrie care nu avea niciun sens în limbajul obișnuit al sumelor seriilor; mai multe detalii găsiți în articolul Suma lui Ramanujan . ${\ displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots = -1 / 12}$
Ramanujan părea să-i atribuie teoreme bine cunoscute; în plus, unul dintre rezultatele pe care le-a dat asupra numerelor prime a fost cu siguranță greșit. Hardy urma să declare mai târziu că a înțeles reacția colegilor săi, care trebuie să fi crezut că este o „ manivelă ” așa cum vedem atât de des.
Potrivit lui Hardy, primise scrisoarea în poșta de dimineață, o aruncă o privire scurtă, credea că este o glumă și nu se mai gândise la asta. Dar unele dintre formule l-au bântuit toată ziua; în cele din urmă a luat contact cu Littlewood și s-au izolat seara în biblioteca din Cambridge, pentru a ieși după două ore și jumătate, „acum sigur că era un om de geniu” .
Robert Kanigel a dat biografia pe care a scris titlul „ Omul care a cunoscut infinitul: o viață a geniului Ramanujan ” .
Pentru un brahman ortodox, traversarea oceanului era un tabu la acea vreme cunoscut sub numele de Kala pani .
O analiză mai nuanțată a acestei decizii este dată de Kanigel: Ramanujan ar fi susținut ulterior că refuzul său nu a venit de la el, ci de la prietenul său Narayana, totuși această afirmație ar fi putut fi doar un mijloc de salvare a feței.
Ea îi ceruse lui Ramanujan să o însoțească, dar acesta refuzase (posibil influențat de Ramachandra), explicându-i că nu se poate concentra asupra matematicii sale, era atât de tânără și drăguță.
Hardy ar observa mai târziu că aceste erori provin din lipsa stăpânirii lui Ramanujan a tehnicilor analitice moderne, dar, adaugă el, aceste eșecuri sunt într-un sens chiar mai spectaculoase decât succesele sale (prefața ediției din 1927); el va reveni la această remarcă în prelegerile sale din 1937, observând că aceste erori aparente ascund adesea rezultate exacte mai profunde, care trebuie descoperite.
Bruce Carl Berndt a primit aceste informații de la Paul Erdős .
El explică în 1927 că cele mai mari eșecuri ale lui Ramanujan au avut loc în teoria analitică a numerelor , unde „ghicirea teoremei este aproape nimic și unde numai dovezi riguroase pot evita erorile [pe care chiar Gauss le-ar putea comite]” .
Arestat de agenții din Scotland Yard , sănătos și sănătos - trenul fusese oprit cu câțiva metri înainte de locul în care tânărul căzuse -, este eliberat grație intervenției lui Hardy.
Importanța acestor rezultate (referitoare în special la „ funcțiile theta false ” pe care le-a construit) nu va fi recunoscută pe deplin decât după redescoperirea „caietului pierdut” din 1976.
El suferă permanent de dureri de stomac, iar caracterul său, până atunci calm și optimist, suferă, dar, la pat, își continuă cercetările până în ultimele sale zile.
El a descoperit în special în ultimul an al vieții sale funcții analoage, „ funcțiile theta false ”; el a înregistrat în formulele „pierdute“ notebook - uri și conjecturilor despre ele a căror importanță nu a fost într - adevăr recunoscut până după redescoperirea acestui notebook - uri în 1976, și care nu au fost încă pe deplin înțelese de la începutul cărții. XXI - lea secol .
Această lucrare de verificare, care se întinde pe mai mult de 25 de ani și a fost finalizată în mare parte în 1996, se datorează în mare parte lui Bruce Carl Berndt , cu colaborarea altor câțiva matematicieni, inclusiv George Andrews și frații Jonathan și Peter Borwein ; Multe verificări de rutină ar fi putut fi încredințate lui Mathematica , dar Berndt atrage în mod repetat atenția asupra extraordinarei puteri de calcul a lui Ramanujan, permițându-i să descopere și să controleze aceste rezultate fără ajutor.
Deși a contribuit, de exemplu, la dezvoltarea metodei cercului , intuiția sa l-a înșelat astfel în studiul distribuției numerelor prime : „teoria lui seamănă cu ceea ce s-ar întâmpla dacă zero-urile complexe ale funcției zeta Riemann nu ar exista”
Anumite declarații ale lui Ramanujan, de exemplu atribuind aceste formule lui Namagiri Thayar , zeița sa tutelară , au contribuit la menținerea misterului. Dacă Hardy a insistat că vedem aici doar o „putere extraordinară a manipulărilor formale, a vitezei în formarea și respingerea ipotezelor și a intuiției relațiilor ascunse dintre obiectele aparent fără legătură” , Ken Ono menționează perplexitatea sa în fața anumitor previziuni ale Ramanujan, confirmat recent de calcule computerizate dureroase, și care i se par inaccesibile cu instrumentele de care dispune Ramanujan.
Alte exemple pot fi găsite cu identitățile Rogers-Ramanujan , estimarea asimptotică a funcției de partiție sau conjectura Ramanujan .
Acesta este un caz special al fracției continue Rogers-Ramanujan , din care a obținut multe valori non-banale, legate de identitățile pe care le descoperise . ${\ displaystyle R (p) = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {p} {1 + {\ cfrac {p ^ {2}} {1 + {\ cfrac {p ^ {3}} { 1 + \, \ cdots}}}}}}}}}}$
O formulă mai generală apare în al doilea caiet al lui Ramanujan (BC Berndt, Caietele lui Ramanujan , vol. II, intrarea 43, p.166): (pentru ). ${\ displaystyle 1 + {\ frac {x} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {x ^ {2}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {x ^ {3}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ frac {x ^ {4}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots + {\ cfrac {1} {x + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {2} {x + {\ cfrac {3} {1 + {\ cfrac {4} {x + \ cdots}}}}}}}}} }} = {\ sqrt {{\ frac {{\ rm {e ^ {x}}} \ pi} {2}} x}}}$ $x> 0$
Acesta este discriminantul câmpului pătratic real , adică discriminantul formei pătratice ; un studiu mai aprofundat al acestei noțiuni și al aplicațiilor sale poate fi găsit în cartea lui Gérald Tenenbaum : Introducere în teoria numerelor analitice și probabilistice . ${\ displaystyle {\ mathbb {Q}} ({\ sqrt {58}})}$ ${\ displaystyle m ^ {2} -58n ^ {2}}$
Ia și ; a arăta convergența acestui radical infinit nu este foarte dificil, dar pentru a obține rezultatul lui Ramanujan este nevoie de ingenioase manipulări algebrice (vezi o analiză mai precisă în articolul Radical imbricat ). ${\ displaystyle x = 2}$ ${\ displaystyle n = a = 1}$
Berndt subliniază că nu este foarte dificil să se demonstreze aceste formule (de exemplu, folosind software-ul algebrei), dar forma lor relativ simplă pentru această alegere precisă a coeficienților și semnelor arată, dacă nu existența unor teorii profunde subiacente, cel puțin virtuozitatea Ramanujan.
Hardy subliniază totuși că aceste formule nu produc toate soluțiile la această problemă și pare să le găsească mai mult anecdotice decât profunde.
Aceste aproximări sunt reproduse în al doilea caiet al lui Ramanujan (BC Berndt, Caietele lui Ramanujan , vol. II, p.88).
De fapt, acest număr este, de asemenea, aproape întreg : $e π \sqrt 163$ = 262537412640768743, 999999999999 25 ... Cu toate acestea, fără resurse de calculator și fără a utiliza rezultatele teoretice legate de aceste numere (rezultate pe care Ramanujan le-a cunoscut și pe care le-a ajutat să stabilească pentru numere ca ), este imposibil să obțineți o valoare aproximativă suficient de precisă pentru a decide întrebarea. De Gelfond-Schneider teorema arată că oricum acest număr egal cu , este în mod necesar transcendentă . ${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {- i {\ sqrt {163}}}}$
Primele note ale caietelor sale, scrise pe când era încă școlar, descriu cercetările sale despre pătratele magice și menționează în special construcția unui uimitor pătrat diabolic a cărui primă linie, 22 12 18 87, reprezintă data nașterii sale.
O copie a acestui taxi a fost făcută pentru filmul Omul care a sfidat infinitul .
Cel mai mic număr care poate fi descompus în două moduri diferite în suma a două puteri a patra este 635.318.657 ; a fost descoperit de Leonhard Euler în jurul anului 1770, dar abia în 1957 John Leech a demonstrat că este cel mai mic. ${\ displaystyle = 158 ^ {4} + 59 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4}}$
Urmează această anecdotă că un număr de taxi (numele complet al taxiurilor englezești ale vremii) a fost definit ca un număr natural care poate fi exprimat ca suma a două cuburi în două moduri diferite (d alte numere având această proprietate, așa cum a avut fost deja găsite în XVII - lea secol de Bernard Frénicle de Bessy ). ${\ displaystyle 4104 = 2 ^ {3} + 16 ^ {3} = 9 ^ {3} + 15 ^ {3}}$
Deși aceasta poate fi doar o coincidență, mai mulți matematicieni au subliniat că numărul 1729 a intervenit în studiul lui Ramanujan asupra curbelor eliptice în raport cu o anumită suprafață K3 .
Această fotografie, cea mai bună dintre puținele pe care le avem despre Ramanujan, luată din pașaportul său, a fost transmisă lui Hardy pentru această carte de văduva sa, Janaki Ammal, după cum povestește Chandrasekhar (mare admirator al lui Ramanujan) în această carte a amintirilor .
În 2003, Bruce Carl Berndt a reluat (pe baza corespondenței diferiților actori) vicisitudinile acestor trei caiete. Primul a rămas în Anglia în 1919; după moartea lui Ramanujan, Hardy a trimis-o la Universitatea din Madras, care i-a furnizat o copie scrisă de mână, urmată de trimiterea celorlalte două caiete, precum și note împrăștiate care constituie „caietul pierdut”, între 1923 și 1925. La o dată nedeterminată după 1935, caietele (dar nu și celelalte documente) au fost returnate la Madras de George Neville Watson , care începuse să le exploateze, dar își pierduse interesul pentru ele.
Whittaker va explica mai târziu că hârtiile disparate acopereau podeaua unei camere mari groase de 12 centimetri și că fusese „incredibil de norocos” să dea peste ceva de interes.
Andrews explică apoi că Whittaker și Rankin, ale căror interese matematice nu merg în direcția rezultatelor acestor documente (spre deosebire de ale sale), nu și-au dat seama de importanța lor, crezând că sunt note împrăștiate. set care acoperă ultimele sale cercetări.
Acest nume, datorat lui Andrews, a fost contestat, Rankin explicând de exemplu că nu era un caiet și că, bine depus în biblioteca Wren din Cambridge, nu a fost pierdut; Andrews a subliniat însă că documentele care au fost ignorate de 55 de ani ar putea fi numite în mod legitim.
Berndt consideră că descoperirea „caietului pierdut” este esențială în reînnoirea atenției pentru Ramanujan la începutul anilor 1980; Emma Lehmer a declarat astfel că descoperirea ei „a fost comparabilă cu cea a unei schițe complete a celei de-a zecea simfonii a lui Beethoven” .
Uneori , denumite în continuare „notebook - uri destrămat de Ramanujan“ ( Ramanujan „notebook - uri roase ) , datorită stării lor de uzură.
Numărul exact nu este complet clar, pe de o parte din cauza repetărilor, pe de altă parte, deoarece anumite „formule” grupează mai multe rezultate similare.
Acestea sunt, în special, identitățile lui Rogers-Ramanujan , lucrarea sa despre funcția tau și congruențele Ramanujan pe care le descoperise între partițiile unui număr întreg .
Scrierea de mână a lui Ramanujan este, în general, lizibilă, dar a dezvoltat un sistem de notații personale, de exemplu folosind litere neobișnuite pentru anumite constante și variabile, care nu fac întotdeauna posibilă realizarea importanței rezultatelor obținute.
Înregistrate în esență în „caietul pierdut”, acestea sunt rezultate referitoare la funcțiile theta și funcțiile analoage pe care le-a construit, „ funcțiile theta false ”; unele dintre aceste rezultate au fost confirmate doar în 2012 prin calcule computerizate, dar avem încă doar justificări teoretice parțiale.
El a susținut, de exemplu, că Namagiri Thayar , zeița sa tutelară , i-a dezvăluit anumite formule în vis.
Într-un interviu din 1978, Janaki a spus: „Mi s-a promis că voi ridica o statuie în memoria soțului meu. Unde este ea ? „ Citind acest interviu, Richard Askey a decis să facă aceste busturi.
Tamil Nadu este statul în care a locuit Ramanujan.
Această ștampilă (foarte mărită) ilustrează coperta cărții lui Berndt și Rankin, Ramanujan: Scrisori și comentarii .
Găsim versiuni digitale ale acestor fotocopii pe acest site dedicat scrierilor lui Ramanujan (în) .

Citate originale

„ Nu am un nume de familie adecvat. "
„ Noi, inclusiv profesorii, l-am înțeles rar. "
„ M-a frapat rezultatele matematice extraordinare conținute în el. Nu m-am gândit să-i sufoc geniul printr-o programare în treptele inferioare ale departamentului de venituri. "
„ Metodele domnului Ramanujan erau atât de concise și de noi, iar prezentarea lui atât de lipsită de claritate și precizie, încât obișnuitul [cititor matematic], neobișnuit cu o astfel de gimnastică intelectuală, cu greu îl putea urma. "
„ un gust pentru matematică și o anumită abilitate ”
" părea greu de crezut. "
„ Nu mai văzusem nimic mai puțin ca ei înainte. "
„ Trebuie să fie adevărate, pentru că, dacă nu ar fi adevărate, nimeni nu ar avea imaginația să le inventeze. "
„ Un om de geniu ”
„ cu siguranță cel mai remarcabil pe care l-am primit vreodată. "
„ Un matematician de cea mai înaltă calitate, un om cu o originalitate și o putere cu totul excepționale. "
„ Este esențial să văd dovezi ale unor afirmații ale dumneavoastră. "
„ o țară străină ”
„ Am găsit în tine un prieten care văd munca mea cu simpatie. "
„ ce putem face pentru S. Ramanujan. "
„ să nu mai stea între fiul ei și împlinirea scopului vieții sale. "
„ Pot să cred că este cel puțin un Jacobi. "
„ Îl pot compara doar cu Euler sau Jacobi. "
„ Este relativ ușor să faci presupuneri inteligente, dar nu contează decât rigoarea absolută. "
„ Ar fi putut deveni cel mai mare matematician al timpului său. "
„ Mi s-a părut ridicol să-l îngrijorez în legătură cu modul în care găsise una sau alta teoremă cunoscută, când îmi arăta jumătate de duzină de noi aproape în fiecare zi. "
„ Această lungă memorie reprezintă munca, probabil, într-un backwater al matematicii, […] arată foarte clar extraordinara stăpânire a lui Ramanujan asupra algebrei inegalităților. "
„ O ecuație pentru mine nu are sens decât dacă reprezintă un gând al lui Dumnezeu. "
„ o manifestare misterioasă a înțelepciunii imemoriale a Răsăritului. "
„ o ființă umană rațională care s-a întâmplat să fie un mare matematician. "
„ toate religiile i s-au părut mai mult sau mai puțin la fel de adevărate. "
„ Ar fi trebuit să se nască acum 150 de ani ”
„ A fost (ca să spunem așa) care ar putea fi teoria dacă funcția zeta nu ar avea zerouri complexe. " .
„ Îmi amintesc că am fost odată să-l văd când era bolnav la Putney. Călărasem în cabina de taxi numărul 1729 și am remarcat că numărul mi s-a părut mai degrabă unul plictisitor și că sper că nu va fi un semn nefavorabil. „Nu, a răspuns el, este un număr foarte interesant; este cel mai mic număr exprimabil ca suma a două cuburi în două moduri diferite ”. "
„ fiecare număr întreg pozitiv era unul dintre prietenii săi personali. "
„ Ceea ce a făcut de fapt este suficient de minunat [...] când cercetările pe care lucrarea sa le-a sugerat au fost finalizate, probabil că va părea mult mai minunat decât face astăzi. "
„ Atât de mult încât a presupus că nu era doar formule frumoase, ci avea substanță și profunzime. "
„ Au spus cu ani în urmă că va fi ridicată o statuie în cinstea soțului meu. Unde este statuia? "

Referințe

(în) Colecția foto Oberwolfach, " Srinivasa Ramanujan " , Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbHMai 2018(accesat la 26 mai 2018 ) .
Acest documentar este disponibil integral pe Wikimedia Commons .
(în) Hema Vijay, " Acesta este locul unde Ramanujan a fost născut " [ "Aici Ramanujan sa născut"], The Hindu ,26 februarie 2013( citește online ).
Kanigel 1991 , p. 12.
Kanigel 1991 , p. 11.
(în) " Srinivasa Ramanujan | Biografie, realizări și fapte ” , pe Enciclopedia Britanică (accesat la 23 decembrie 2019 )
Berndt și Rankin 2001 , The Ramanujan Family Record , p. 29 .
(în) Pankaja Srinivasan , " Formula nostalgiei " , The Hindu ,19 octombrie 2012( citiți online , consultat la 7 septembrie 2016 ).
Alladi 2012 , p. 161.
Kanigel 1991 , p. 13.
Kanigel 1991 , p. 14.
Kanigel 1991 , p. 19-20.
Kanigel 1991 , p. 25.
Kanigel 1991 , p. 27.
Hardy 1940 .
Kanigel 1991 , p. 50.
Ono 2006 .
Hardy 1937 , p. 139.
Kanigel 1991 , p. 39.
(în) Tucker McElroy, de la A la Z de matematicieni ,2005( ISBN 0-8160-5338-3 ) , p. 221.
Kanigel 1991 , p. 53.
Kanigel 1991 , p. 54.
Kanigel 1991 , p. 55-56.
Berndt 1985 , voi. Eu, p. 5 .
Kanigel 1991 , p. 342.
(ro) K. Srinivasa Rao, „ Soția lui Ramanujan: Janakiammal (Janaki) ” [PDF] , la imsc.res.in , Institutul de Științe Matematice din Chennai ,Februarie 2003(accesat la 8 mai 2018 ) .
Kanigel 1991 , p. 77.
Kanigel 1991 , p. 72, 74-75.
Kanigel 1991 , p. 80.
Kanigel 1991 , p. 86.
(en) Bruce C. Berndt, Youn Seo Choi și Soon Yi Kang, „ The Problems Submitted by Ramanujan to the Journal of the Indian Mathematical Society ” , Contemporary Mathematics ,1997( citește online )
Kanigel 1991 , p. 87.
Kanigel 1991 , p. 91.
(în) PV Seshu Iyer , „ The Late Mr. S. Ramanujan, BA, FRS ” , Journal of the Indian Mathematical Society , vol. 12, n o 3,Iunie 1920, p. 83.
Kanigel 1991 , p. 96.
Kanigel 1991 , p. 105.
Kanigel 1991 , p. 106.
Kanigel 1991 , p. 170-171.
Kanigel 1991 , p. 161 și 169.
Hardy 1920 .
Kanigel 1991 , p. 168.
Kanigel 1991 , p. 162-163; 169.
Hardy 1985 , Postfață.
Citat de CP Snow .
„Lansarea pe DVD a poveștii incredibile a unui geniu în matematică”, Science et Vie , martie 2017, p. 126-127 .
Kanigel 1991 .
Kanigel 1991 , p. 173.
Kanigel 1991 , p. 184-186.
Kanigel 1991 , p. 185.
Kanigel 1991 , p. 176.
Kanigel 1991 , p. 175.
(în) Suresh Ram , Srinivasa Ramanujan , New Delhi, National Book Trust,1972, p. 29.
Ranganathan 1967 , p. 30–31.
Kanigel 1991 , p. 182.
Kanigel 1991 , p. 183.
Kanigel 1991 , p. 184.
(în) Eric Harold Neville , " Srinivasa Ramanujan " , Natura , vol. 149, nr . 3776,Martie 1942, p. 293 ( DOI 10.1038 / 149292a0 , Bibcode 1942Natur.149..292N ).
Kanigel 1991 , p. 168 și 190.
Kanigel 1991 , p. 194.
Kanigel 1991 , p. 196.
Kanigel 1991 , p. 202.
Ramanujan 1962 .
Hardy 1940 , p. 10.
(în) GH Hardy , Colected Papers of GH Hardy , Vol. 7, Oxford, Oxford University Press,1979, 720 p..
(în) BC Berndt, " Srinivasa Ramanujan " , The American Scholar , n o 58,1989, p. 234-244.
Hardy 1927 , p. 151 și 154.
Hardy 1937 , p. 146.
(ro) S. Ramanujan , „ Numere foarte compuse ” , Proc. London Math. Soc. (2) , vol. 14,1915, p. 1347-409 ( DOI 10.1112 / plms / s2_14.1.347 , citiți online ) ; găsită în caietele lui Ramanujan , restul tezei a fost finalizat și comentat în 1997 de Jean-Louis Nicolas și Guy Robin în Jurnalul Ramanujan ( (în) citit online ).
Kanigel 1991 , p. 299-300.
(în) Srinivasa Ramanujan Aiyangar, Bruce C. Berndt și Robert Alexander Rankin, Ramanujan: Letters and Commentary ["Ramanujan: Letters and comments"], Providence , American Mathematical Society , al. „ Istoria matematicii ”,1995, 347 p. ( ISBN 978-0-8218-0287-8 , OCLC 901689611 , citit online ) , p. 3.
Kanigel 1991 , p. 297.
Kameshwar C. Wali ( tradus din engleză de Anne Magnon), Chandrasekhar, nașterea astrofizicii [„ Chandra: a biography of Chandra S. Chandrasekhar ”], Paris , Diderot Editeur, Arts et sciences, col. „Biografie”,1997( 1 st ed. 1990), 350 p. ( ISBN 978-2-86332-214-7 , OCLC 36998066 , notificare BnF n o FRBNF36966939 ) , p. 281-283.
Berndt și Rankin 2001 , p. 77-80.
Kanigel 1991 , p. 307.
Kanigel 1991 , p. 317.
Kanigel 1991 , p. 325.
Kanigel 1991 , p. 329.
Hardy 1921 .
(în) DAB Young, " Ramanujan's Illness " , Notes and Records of the Royal Society of London , Londra , Royal Society , vol. 48, n o 1,ianuarie 1994, p. 107-119 ( JSTOR 531423 ).
(în) Doug Peterson , „ Raiders of the Lost Notebook ” , UIUC College of Liberal Arts and Sciences (accesat la 11 ianuarie 2014 ) .
(în) JWC Gunn și B. Savage , " Raport privind tratamentul infecțiilor cu Entamoeba Histolytica " , Jurnalul Corpului Medical al Armatei Regale , vol. 33, nr . 5,1919, p. 418-426.
Kanigel 1991 , p. 29-30.
Kanigel 1991 , p. 76.
(în) K. Srinivasa Rao, „ Personalitatea lui Ramanujan ” , pe imsc.res.in , Institutul de Științe Matematice din Chennai ,Martie 2003.
Kanigel 1991 , p. 36.
Kanigel 1991 , p. 281.
Ranganathan 1967 , p. 88.
(în) Gregory Chaitin , „ Mai puțină dovadă, mai mult adevăr ” , New Scientist , n o 261428 iulie 2007, p. 49.
Hardy 1937 , p. 140.
Alladi 2012 , p. 3-5.
Bleicher 2014 .
(în) Paul Erdős, „ Ramanujan și eu ” [„Ramanujan și eu”] [PDF] ,5 noiembrie 2006(accesat la 10 mai 2018 ) .
Hardy 1985 .
(en) Bruce C. Berndt, „ O privire de ansamblu asupra caietelor lui Ramanujan ” [PDF] , la math.uiuc.edu ,5 iunie 2003, p. 1-4.
Édouard Thomas, „ Caietele misterioase ale lui Ramanujan s-au descifrat în cele din urmă ”, Maths Société Express, International Committee of Mathematical Games (www.cijm.org) ,2016, p. 57-62.
(în) Bruce Carl Berndt , Caietele lui Ramanujan: Partea V , New York , Springer Science + Business Media ,1998, 624 p. ( ISBN 978-0-387-94941-3 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1624-7 , prezentare online ).
(în) Bruce Carl Berndt , Caietele lui Ramanujan, partea 5 , Springer ,1997( ISBN 978-0-387-94941-3 , citit online ) , p. 4.
(în) " Rediscovering Ramanujan " , Frontline (revista) , vol. 16, n o 17,August 1999, p. 650 ( citește online ).
Hardy 1937 , p. 145.
Hardy 1921 , p. 44.
Kanigel 1991 , p. 30.
Hardy 1937 , p. 149.
Ono 2006 , p. 649.
Bleicher 2014 , p. 55.
Kanigel 1991 , p. 167.
Hardy 1937 , p. 144.
Hardy 1937 , p. 148.
(în) Nayandeep Deka Baruah, Bruce Carl Berndt și Heng Huat Chan, „ Seria lui Ramanujan pentru 1 / π ” [„Seria lui Ramanujan către ”], Asociația Matematică a Americii , ${\ displaystyle 1 / \ pi}$ 2009( citește online ).
(en) [PDF] Jonathan și Peter Borwein , Pi și AGM , Monografii și studii ale Societății Matematice Canadiene, 1987 [ citiți online ] .
(en) S. Ramanujan, „ Ecuații modulare și aproximări la $\ pi$ ” , Quart. J. Math. , vol. 45,1914, p. 350-372 ( citiți online )
Kanigel 1991 , p. 169.
Gérald Tenenbaum , Introducere în teoria numerelor analitice și probabilistice , Paris , Belin , col. „Scări”,2015, A 4- a ed. ( 1 st ed. 1990), 592 p. ( ISBN 978-2-7011-9656-5 , OCLC 933777932 , notificare BnF n o FRBNF44452677 ) , p. 388.
(în) Bruce Carl Berndt , Caietele lui Ramanujan IV , p (p |) [1] ? ? ([1-9] [0-9] * (- [1-9] [0-9] *)?).
(în) Bruce Carl Berndt , Caietele lui Ramanujan IV , p.39.
(în) Eric W. Weisstein , „ Ecuația diofantină - Puterile 3 ” pe MathWorld .
(în) Srinivasa Ramanujan, Wikisource , " Squaring the Circle " ["Squaring the Circle"], reproducerea unei secțiuni din JIMS, vol. 138, p. 132 , la en.wikisource.org , Journal of the Indian Mathematical Society,2 februarie 2013(accesat la 10 mai 2018 ) .
(în) Martin Gardner , „ Jocuri matematice ” , Scientific American , Vol. 23,Aprilie 1975, p. 127.
(în) aniversare Magic Square pe mathstimes.com.
(în) John J. O'Connor și Edmund F. Robertson , "Citate de GH Hardy ( GH Hardy Quotes )" în arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St Andrews ( citiți online )..
(în) „ Obituary Notices: Srinivasa Ramanujan ” , Hardy, GH, Proceedings of the London Mathematical Society 19 , p. lvii .
(în) Marianne Freiberger, „ Ramanujan surprinde din nou ” [„Ramanujan încă surprinde”], pe plus.maths.org , Revista More (în) ,3 noiembrie 2015(accesat la 10 mai 2018 ) .
(în) Arun Janardhanan , „ O trecere la infinit ” , Indian Express ,6 decembrie 2015( citiți online , consultat la 7 septembrie 2016 ).
(ro) B. Aravind Kumar, „ 3 caiete ale lui Ramanujan fiind microfilmate ” , The Hindu , Chennai ,24 noiembrie 2010( citiți online , consultat pe 4 mai 2018 ).
(ro) George Andrews și Bruce Carl Berndt , Caietul pierdut al lui Ramanujan, partea 1 , Springer,2005( ISBN 978-0-387-25529-3 , citit online ) , p. 1.
Hardy 1937 .
Kanigel 1991 , p. 345.
(în) George E. Andrews , „ Descoperirea caietului pierdut al lui Ramanujan ” , Moștenirea Srinivasa Ramanujan: Lucrările unei conferințe internaționale în sărbătorirea a 125 de ani de la nașterea lui Ramanujan: Universitatea din Delhi ,Decembrie 2012, p. 17–22 ( citiți online )
Kanigel 1991 , p. 346.
Vezi detaliile edițiilor de mai jos .
(în) Frontline , „ Redescoperind Ramanujan ” , vol. 16, n o 17,August 1999, un interviu cu Bruce Carl Berndt .
Kanigel 1991 , p. 341.
Berndt 1985 , voi. Eu, p. 5.
Kanigel 1991 , p. 344.
(în) M. Ram Murty , „ Ramanujan Graphs ” , J. Ramanujan Math. Soc. , vol. 18, n o 1,2003, p. 1-20 ( citiți online [PDF] ).
(în) Michael J. Griffin , Ken Ono și S. Ole Warnaar , " Un cadru de identități Rogers-Ramanujan și proprietățile lor aritmetice " ["Un cadru pentru identitățile Rogers-Ramanujan și proprietățile lor aritmetice"], Duke Mathematical Journal ,2014( DOI 10.1215 / 00127094-3449994 , arXiv 1401.7718 ).
(în) Ariel Bleicher, „ Unul dintre manuscrisele neglijate ale lui Srinivasa Ramanujan a ajutat la rezolvarea misterelor matematice de lungă durată ” , Scientific American ,Mai 2014(accesat la 10 mai 2018 ) .
(în) Clara Moskowitz, " Un matematician vizionar vine pe ecranul de argint " ["Un matematician vizionar concentrat pe ecran"], Scientific American ,Mai 2016(consultat la 10 mai 2018 ) , articol despre filmul Omul care a sfidat infinitul .
Ono 2006 , p. 649.
Bleicher 2014 , p. 55.
Kanigel 1991 , p. 352.
Gerald L. Alexanderson și Leonard F. Klosinski, „ Despre copertă: în Ramanujan Bronz ” , vol. 53, n o 4 [PDF] , American Mathematical Society ,octombrie 2016(accesat la 10 mai 2018 ) .
(în) „ Istoria departamentului de matematică al universității ” , Universitatea din Madras (accesat la 6 aprilie 2018 ) .
(în) C. Jaishankar, „ Ziua națională a lui Ramanujan va fi Ziua Națională a Matematicii ” [„La aniversarea Ramanujanului este„ Ziua Națională a Matematicii '”], The Hindu ,27 decembrie 2011(accesat la 10 mai 2018 ) .
(în) „ Bun venit 2012 - Anul național al matematicii în India ” , India .
(în) Pradip K. Datta, „ Anul național al matematicii: un omagiu pentru Srinivasa Ramanujan ” , despre Știință și Cultură , Indian Science News Association,Martie-aprilie 2013(accesat la 10 mai 2018 ) .
(în) Shanmugha Arts, Science, Technology & Research Academy, " Srinivasa Ramanujan Center (SRC) " pe sas.sastra.edu ,Mai 2018(accesat la 11 mai 2018 ) .
Alladi 2012 , Cap. Niels Henrik Abel: Geniul matematic norvegian , p. 81-88 .
(în) Colegiul Ramanujan ( Universitatea Delhi ), „ Istoria Colegiului Ramanujan ” pe rcdu.in ,Mai 2018(accesat la 11 mai 2018 ) .
(en) Vijay Navlakha, „ Ziua națională a matematicii: fapte și cifre ” , pe Google Books , Asociația filateliștilor din Gujarat,ianuarie 2013(accesat la 10 mai 2018 ) ,p. 10.
(în) American Mathematical Society, " Ramanujan: Letters and Commentary " , American Mathematical Society / London Mathematical Society ,Mai 2018(accesat la 10 mai 2018 ) .
(în) „ India Post a emis timbru comemorativ emis pe S Ramanujan ” , Phila Mirror26 decembrie 2011(accesat la 22 mai 2012 ) .
David Leavitt ( trad. Johan-Frédérik Hel Guedji), Contabilul indian , Paris , Denoël , col. " Și apropo ",2009, 721 p. ( ISBN 978-2-207-26004-3 , OCLC 495205756 , notificare BnF n o FRBNF42085441 ).
(în) Heini Halberstam , " A Book Review : The Indian Clerk " ["Book Review: The Indian Accountant "], Jurnal de capitol Notices of the American Mathematical Society , vol. 55, n o 8, p. 952-956 [PDF] , pe ams.org ,septembrie 2008(accesat pe 12 mai 2018 ) .
(ro) Simon McBurney , Un număr care dispare , Londra, Oberon,2008( ISBN 978-1-84002-830-0 ).
Un număr care dispare , pe site-ul teatrului.
(în) Ramanujan pe baza de date Internet Movie .
(în) Omul care a sfidat infinitul pe Internet Movie Database .
(în) Stuart Jeffries, „ Geniu după cifre: de ce matematica filmelor de la Hollywood nu se adaugă ” , The Guardian ,6 aprilie 2016( citește online )
(în) Numb3rs - Trivia pe IMDb .
(în) Marie-Pierre Moreau , Heather Mendickn și Debbie Epstein , " Construcții ale masculinităților matematice în cultura populară " în Elwood Watson, Pimps, Wimps, Studs, Thugs and Gentlemen ,2009, 318 p. ( prezentare online )
(în) Srinivasa Ramanujan (GH Hardy, PVS Aiyar și Bertram Martin Wilson , ed.), Collected Papers of Srinivasa Ramanujan , Providence , American Mathematical Society ,1962( 1 st ed. 1927) ( prezentare online ).
(în) " Iată ediția a Ramanujan notebook - uri de colecție " [ "O colecție de notebook - uri ediție a Ramanujan"], The Hindu ,27 decembrie 2011( citește online ).
(în) S. Ramanujan, Caietul pierdut și alte lucrări nepublicate , New Delhi, Editura Narosa,1988( ISBN 3-540-18726-X ).
(în) Srinivasa Ramanujan și Bruce C. Berndt, Caietele lui Ramanujan: Partea I [„Caietele lui Ramanujan: Volumul I”], New York , Springer Science + Business Media ,1985, 357 p. ( ISBN 978-0-387-96110-1 , OCLC 643580261 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1088-7 ).
(în) Srinivasa Ramanujan și Bruce C. Berndt, Caietele lui Ramanujan: Partea II ["Caietele lui Ramanujan: Volumul II"], New York , Springer Science + Business Media ,1989, 360 p. ( ISBN 978-0-387-96794-3 , OCLC 848480391 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-4530-8 ).
(în) Srinivasa Ramanujan și Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks: Part III ["The notebooks of Ramanujan: Volume III"], New York , Springer Science + Business Media ,1991, 510 p. ( ISBN 978-0-387-97503-0 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-0965-2 ).
(în) Srinivasa Ramanujan și Bruce C. Berndt, Caietele lui Ramanujan: Partea IV [„Caietele lui Ramanujan: Volumul IV”], New York , Springer Science + Business Media ,1994, 451 p. ( ISBN 978-0-387-94109-7 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-0879-2 ).
(în) Srinivasa Ramanujan și Bruce C. Berndt, Caietele lui Ramanujan: Partea V [„Caietele lui Ramanujan: Volumul V”], New York , Springer Science + Business Media ,1998, 624 p. ( ISBN 978-0-387-94941-3 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1624-7 ).
(în) George E. Andrews și Bruce C. Berndt , Notebook-ul pierdut al lui Ramanujan: Partea I [„The notebook lost Ramanujan: Volume I”], New York , Springer Science + Business Media ,2005, 438 p. ( ISBN 978-0-387-25529-3 , DOI 10.1007 / 0-387-28124-X ).
(în) George E. Andrews și Bruce C. Berndt , Caietul pierdut al lui Ramanujan: Partea II [„ Caietul a pierdut Ramanujan: Volumul II”], New York , Springer Science + Business Media ,2009, 420 p. ( ISBN 978-0-387-77765-8 , DOI 10.1007 / b13290 ).
(în) George E. Andrews și Bruce C. Berndt , Notebook-ul pierdut al lui Ramanujan: Partea a III-a ["The notebook lost Ramanujan: Volume III"], New York , Springer Science + Business Media ,2012, 436 p. ( ISBN 978-1-4614-3809-0 , DOI 10.1007 / 978-1-4614-3810-6 ).
(în) George E. Andrews și Bruce C. Berndt , Caietul pierdut al lui Ramanujan: Partea IV [„ Caietul a pierdut Ramanujan: Volumul IV”], New York , Springer Science + Business Media ,2013, 439 p. ( ISBN 978-1-4614-4080-2 , DOI 10.1007 / 978-1-4614-4081-9 ).
(în) George E. Andrews și Bruce C. Berndt , Caietul pierdut al lui Ramanujan: Partea V [„ Caietul a pierdut Ramanujan: Volumul V”], New York , Springer Science + Business Media ,2018, 425 p. ( ISBN 978-3-319-77832-7 , DOI 10.1007 / 978-3-319-77834-1 ).
(în) Bruce C. Berndt și Robert A. Rankin , Ramanujan: Letters and Commentary ["Ramanujan: Letters commented"], Providence , American Mathematical Society ,1995( ISBN 0-8218-0287-9 , prezentare online ).

Vezi și tu

Bibliografie

: document utilizat ca sursă pentru acest articol.

In franceza

Godfrey Harold Hardy ( trad. Dominique Jullien și Serge Yoccoz, pref. Charles Percy Snow ), „Ramanujan, un matematician indian” , în Hardy, 1877-1947: apologia unui matematician , Paris , Éditions Belin , col. „Un erudit, o eră”,1985, 191 p. ( ISBN 9782701105307 și 2701105307 , OCLC 19251745 ).
Jonathan Borwein și Peter Borwein (numărul special Les Mathématiciens ), „ Srinivasa Ramanujan ”, Pour la science , n o 2,ianuarie 1994, p. 108-116 ( ISSN 1246-7685 ).
Bernard Randé , Caietele indiene ale lui Srinivasa Ramanujan , Paris, Cassini,2002( ISBN 2-842-25065-6 , prezentare online ).
Ariel Bleicher, „ Notele lui Ramanujan, o comoară inepuizabilă ”, Pour la science , nr . 441,iulie 2014, p. 50-55 ( citiți online ).
Juan José Rué Perna ( trad. Magali Mangin), Spiritul care a vrut să înțeleagă infinitul: Ramanujan , Barcelona, RBA Coleccionables,2018, 159 p. ( ISBN 978-84-473-9318-3 )
Godfrey Harold Hardy , Matematică și matematicieni , Nitens, 2018. ( ISBN 978-2-901122-00-5 ) . Printre cele 23 de texte ale lui sau despre Hardy, mai multe îl evocă pe Ramanujan.

In engleza

(ro) Godfrey Harold Hardy , „ Obituary, S. Ramanujan ” , Nature , vol. 105, nr . 7,Iunie 1920, p. 494 ( citește online ).
(ro) Godfrey Harold Hardy , „ Srinivasa Ramanujan Obituary ” , Proceedings of the London Mathematical Society , vol. 19,1921, p. 40-58 ( citiți online ).
( fr ) Godfrey Harold Hardy , „ The Indian Mathematician Ramanujan ” , The American Mathematical Monthly , vol. 44, n o 3,Martie 1937, p. 137-155 ( citește online ). ; articol inclus în următoarea carte:
( fr ) Godfrey Harold Hardy , Ramanujan, Douăsprezece prelegeri despre subiecte sugerate de viața și opera sa [„Ramanujan, doisprezece prelegeri despre subiecte despre viața și munca sa”], Cambridge University Press,1940.
( fr ) John Edensor Littlewood , A Mathematician's Miscellany [„ Miscellaneous reflections of a mathematician”], Londra, Methuen,1953( citește online )(capitolul 9: Revizuirea lucrărilor colectate ale lui Ramanujan , paginile 84-90).
(ro) Shiyali Ramamrita Ranganathan , Ramanujan, Omul și Matematicianul [„Ramanujan, omul și matematicianul”], Bombay, Editura Asia,1967( ISBN 978-81-7000-557-5 ).
(ro) Robert Kanigel , Omul care a cunoscut infinitul: o viață a geniului Ramanujan , New York, Fiii lui Charles Scribner,1991( ISBN 0-684-19259-4 ).
(ro) Bruce Carl Berndt , Robert Alexander Rankin , Subrahmanyan Chandrasekhar , DAB Young și colab. , Ramanujan: Essays and Surveys ["Ramanujan: Essays and Studies"], Providence , American Mathematical Society , col. „Istoria matematicii, vol. 22 ",2001( ISBN 978-0-8218-2624-9 , OCLC 490711330 , notificare BnF n o FRBNF38852724 , prezentare online ).
(ro) Ken Ono , „ Onorarea unui cadou de la Kumbakonam ” , Notificări ale Societății Americane de Matematică , vol. 56, nr . 6,Iunie-iulie 2006, p. 640-651 ( citiți online ).
(ro) Krishnaswami Alladi , locul lui Ramanujan în lumea matematicii , Springer , India,2012( ISBN 978-81-322-0766-5 ).
( fr ) Krishnaswami Alladi , „ Srinivasa Ramanujan: Going Strong at 125 ” [„Srinivasa Ramanujan: Still Fit at 125”], Notices of the American Mathematical Society , vol. 59,Decembrie 2012, p. 1522-1537 (partea I) ( citiți online )și volumul 60, ianuarie 2013, p. 10-2 2 (partea II) [ citiți online ] .

Articole similare

Caiete Ramanujan
Lista subiectelor numite după Srinivasa Ramanujan , și în special
- Conjectura Ramanujan
- Identități Rogers-Ramanujan
- Premiul SASTRA Ramanujan
- Jurnalul Ramanujan (periodic dedicat domeniilor matematicii pe care le-a influențat).
Aproape numărul întreg
Partiția unui număr întreg
Funcție theta falsă

linkuri externe

„Caietele misterioase ale lui Ramanujan” , prelegere de Édouard Thomas (părțile 2/4 , 3/4 , 4/4 ); vezi și diapozitivele acestei conferințe .
(ro) Site dedicat lui Ramanujan , sponsorizat de Institutul de Științe Matematice din Chennai (sub conducerea KS Rao) și care conține în special
- (in) extrase din corespondența dintre Ramanujan și Hardy ,
- (in) fotocopii de caiete ,
- (ro) articole publicate în India și Anglia etc.
(în) Frontline , " Rediscovering Ramanujan " ["Rediscovering Ramanujan"] : Interviu cu Bruce Carl Berndt privind demonstrațiile rezultatelor caietelor din Ramanujan
Înregistrări de autoritate :
Observații în dicționare generale sau enciclopedii : Enciclopedia Brockhaus • Enciclopedia De Agostini • Enciclopedia Britanică • Enciclopedia Britanică • Enciclopedia Treccani • Gran Enciclopèdia Catalana • Hrvatska enciklopedija • Nationalencyklopedin suedeză • Oxford Dictionary of National Biography • Store norske leksikon
Resurse de cercetare :
- (ro) Proiectul genealogiei matematice