Fracție continuă și aproximare diofantină

În matematică , fracția continuată a unui x irațional oferă o aproximare diofantină a lui x . Mai precis, indicele redus n , adică fracția limitată la n trepte, este o rațională care aproximează x (în mod implicit dacă n este par și prin exces dacă n este impar). Dimpotrivă, dacă luăm în considerare o fracție continuă infinită, adică o secvență infinită ( a n ) al cărei prim termen a 0 este un număr întreg relativ și toate cele ulterioare sunt numere întregi strict pozitive, secvența redusă a acesteia converge la un x irațional a cărui fracție continuată este format din o n .

Fracțiile reduse h n / k n oferă cele mai bune aproximări raționale ale unui x irațional , în următorul sens: redusul indicelui n este o aproximare situată la o distanță de x mai mică de 1 / k n 2 și, dacă o fracție p / q este o aproximare situată la o distanță de x mai mică de 1 / (2 q 2 ), atunci p / q este o reducere de x . Acest rezultat se numește cea mai bună teoremă de aproximare .

Fracțiile continuate sunt folosite pentru a aproxima iraționale precum rădăcinile pătrate sau numărul $π$ . Această proprietate face posibilă rezolvarea anumitor ecuații diofantine precum cea a lui Pell-Fermat . De asemenea, oferă o condiție necesară și suficientă pentru ca un număr să fie rațional, la originea primei demonstrații a iraționalității numărului $e$ . Permite mersul mai departe și proprietățile aproximărilor diofantine obținute folosind fracții continuate fac posibilă construirea primelor numere demonstrate a fi transcendente , apoi pentru a arăta că $e$ și $π$ sunt transcendente.

Preambul

General

Cele mai simple exemple pot fi găsite la începutul articolului Fracție continuă și se referă la numere raționale. Un număr rațional x este reprezentat după cum urmează:

{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ frac {1} {a_ {3} + {\ frac { 1} {\ cdots + {\ frac {1} {a_ {n}}}}}}}}}}}} = [a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ cdots, a_ {n}]}

Ambele notații, cu bare de fracție sau paranteze pătrate înseamnă același lucru. Dacă p este un număr întreg mai mic decât n , termenul a p , numit coeficientul sau coeficientul incomplet al indicelui p , desemnează un număr întreg strict pozitiv, cu excepția poate a unui 0 care este orice număr întreg. Fracțiunea care se oprește la termenul unei p este redus al indicelui p și dacă 1 / x p + 1 este completarea pentru a adăuga în expresie a unei p pentru a obține valoarea exactă x , atunci x p + 1 se numește coeficientul complet al indicelui p + 1 , care are ca rezultat egalitatea:

{\ displaystyle x = [a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {p}, x_ {p + 1}].}

Acest concept nu se limitează la raționalități. Dacă x este un număr irațional , succesiunea coeficienților este infinită, iar cea a reductoarelor este alternată și converge la x . Pentru orice secvență infinită de numere întregi a n , strict pozitivă cu excepția posibilă a unui 0 care poate fi negativ sau zero, secvența de reduceri construite folosind coeficienții a n converge la o irațională a cărei fracție continuă este alcătuită din coeficienții a n . Un exemplu simplu de această natură este dat în articolul Fracția continuă a unui irațional pătratic . O irațională pătratică este o soluție irațională a unei ecuații pătratice cu coeficienți raționali. Fracția continuată a unui irațional este periodică de la un anumit rang, dacă și numai dacă, acest număr este pătratic.

Unele rezultate utile sunt prezentate în articolul detaliat. Dacă h n / k n denotă reducerea ordinii n , avem următoarele relații de recurență:

{\ displaystyle h_ {n + 2} = a_ {n + 2} h_ {n + 1} + h_ {n}, \ quad k_ {n + 2} = a_ {n + 2} k_ {n + 1} + k_ {n} \ quad {\ text {și}} \ quad \ left [a_ {0}, a_ {1}, \, \ dots, a_ {n-1}, x_ {n} \ right] = {\ frac {x_ {n} h_ {n-1} + h_ {n-2}} {x_ {n} k_ {n-1} + k_ {n-2}}},}

ceea ce arată că numeratorii și numitorii reducerilor formează două secvențe care tind spre infinit. Încă avem următoarele rezultate:

{\ displaystyle k_ {n} h_ {n-1} -k_ {n-1} h_ {n} = (- 1) ^ {n} \ quad {\ text {sau din nou:}} \ quad {\ frac { h_ {n}} {k_ {n}}} - {\ frac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}}} = {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} { k_ {n} k_ {n-1}}}}

În special (conform primei forme a acestei egalități) h n și k n sunt coprimă și (conform celei de-a doua) converge secvența de reduceri .

Exemplu: numărul $e$

În 1737, Leonhard Euler a calculat expansiunea continuă a fracției numărului $e$ , baza logaritmului natural :

{\ displaystyle {\ text {e}} = [2, \ overbrace {1,2,1}, \ overbrace {1,4,1}, \ cdots, \ overbrace {1,2k, 1}, \ cdots \ ,] = [2, {\ overline {1,2k, 1}}] \ quad k \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}

(bara utilizată aici înseamnă o repetare infinită a secvenței de numere întregi pe care o acoperă).

El demonstrează astfel că $e$ este irațional , deoarece expansiunea sa într-o fracție continuă este infinită (el arată, de asemenea, că $e$ 2 este irațional).

Abordarea lui Euler

Dorind să-și justifice dezvoltarea, Euler studiază ecuația Riccati $aq ' ( p ) + q 2 ( p ) = 1$ . O soluție este q ( p ) = coth ( p / a ), ceea ce îi permite să afirme: ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {e}} ^ {2p / a} +1} {{\ rm {e}} ^ {2p / a} -1}} = [a / p, 3a / p , 5a / p, 7a / p, \ ldots],}$ nu va ezita să rescrie ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {e}} ^ {1 / s} +1} {{\ rm {e}} ^ {1 / s} -1}} = [2s, 6s, 10s, 14s , \ ldots]}$ (care este echivalent, prin conversie , cu dezvoltarea funcției tangente hiperbolice care va fi stabilită riguros de Lambert : ${\ displaystyle \ tanh t = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {2t} -1} {{\ rm {e}} ^ {2t} +1}} = {\ frac {1} {[ 1 / t, 3 / t, 5 / t, 7 / t, \ ldots]}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1 / t}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 3 / t}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 5 / t}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 7 / t}} + \ cdots = {\ frac {t \ mid } {\ mid 1}} + {\ frac {t ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {t ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} + {\ frac { t ^ {2} \ mid} {\ mid 7}} + \ cdots).}$

Aceasta îi conferă a priori o expansiune de $e 1 / s$ numai într-o fracție continuă generalizată : ${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {1 / s} = 1 + {\ frac {2 \ mid} {\ mid 2s-1}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 6s}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 10s}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 14s}} + \ cdots,}$ dar el a dezvoltat tehnici de conversie , constând aici în inserarea a două 1 pentru a scăpa de 2 în primul numărător și a face din aceasta o fracție continuă simplă: ${{\ rm {e}}} ^ {{1 / s}} = [1, s-1,1,1,3s-1,1,1,5s-1,1,1,7s-1, \ ldots],$ care, pentru s = 1, dovedește rezultatul anunțat.

O altă aplicație pe care am putea-o găsi ar fi să obținem o valoare aproximativă de $e$ . Reducerea ordinii 2 este egală cu 2,75, iar cea a ordinii 10 propune 7 cifre semnificative. Totuși , abordarea întregii serii oferă mai simplu o dovadă a iraționalității și a aproximărilor ( cf. articolul e (număr) ). Extinderea continuă a fracției ne permite să mergem puțin mai departe, deoarece demonstrează că $e$ nu este o soluție la nicio ecuație pătratică cu coeficienți raționali, deoarece expansiunea sa continuă a fracției nu este periodică. Acest tip de abordare nu ne permite să mergem mai departe. Sunt necesare idei noi, de exemplu, pentru a arăta transcendența $e$ .

În ciuda acestor limitări, fracțiile continue care oferă secvențe raționale convergente către $e$ sunt bogate în informații despre natura aritmetică a limitei. Restul articolului arată, de exemplu, că dacă t este rațional, atunci $e$ t nu este. Abordarea la originea dovezii este aceea care a făcut posibilă stabilirea irațională a lui $π$ .

Fragmente de istorie

Ideea de a apropia un număr utilizând o fracțiune înapoi în continuare la originea conceptului, în India V - lea secol . Odată cu rezolvarea identității lui Bézout , este prima motivație care împinge pentru utilizarea unei astfel de noțiuni. Âryabhata ( 476 - 550 ) îl folosește în ambele scopuri și în special pentru a extrage rădăcini pătrate .

Proprietatea de aproximare a fracțiilor continue se găsește accidental pe rădăcina lui 13 de Rafael Bombelli ( 1526 - 1572 ) generalizată apoi de Pietro Antonio Cataldi ( 1548 - 1626 ) la toate rădăcinile pătrate. Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ) dezvoltă aspectul teoretic al metodei. El arată că orice număr real admite o expansiune unică într-o fracție continuă simplă și că este irațional dacă și numai dacă această fracție continuă este de lungime infinită. El inventează o metodă, cunoscută acum ca aproximantul lui Padé, pentru a determina cea a lui $e$ , care este prima demonstrație a iraționalității sale. Jean-Henri Lambert ( 1728 - 1777 ) duce explorarea mai departe și arată că nici $π$ nu este rațional.

Se stabilește utilizarea unei fracții continue ca aproximare diofantină pentru a studia natura aritmetică a unui număr. XIX - lea secol este că o mai bună înțelegere a numerelor transcendentale. Joseph Liouville folosește unul pentru a afișa primul număr arătat că este transcendent. Dacă cunoștințele descrise în acest articol se opresc aici, povestea continuă. Printre numeroasele progrese, îl putem cita pe Charles Hermite care a stabilit transcendența lui $e$ în 1873 . Apoi, folosind o metodă similară, Ferdinand von Lindemann a arătat în 1882 aceea a lui $π$ .

Cea mai bună teoremă de aproximare rațională

Un corolar elementar al teoremei de aproximare a lui Dirichlet este existența, pentru orice irațional, a aproximărilor raționale „bune”, cu numitori arbitrari mari k și o precizie în 1 / k 2 (prin comparație, o aproximare zecimală nu are, în general, o precizie de ordinul 1 / k ):

Pentru orice x irațional , există o infinitate de raționale care pot fi scrise h / k cu k ≠ 0 și h întregi astfel încât | x - h / k | <1 / k 2 .

Pentru un x rațional , există în mod evident doar un număr finit de astfel de fracții h / k . Astfel, un irațional se caracterizează prin faptul că se apropie „mai bine” decât un rațional printr-o aproximare diofantină. Utilizând reducerile unui x irațional , putem explica o astfel de infinitate de aproximări „bune” ale lui x și putem reduce limita superioară 1 / k 2 împărțind-o la 2 și chiar la √ 5 . O teoremă a lui Hurwitz stabilește chiar că pentru orice x irațional , există o infinitate de aproximări h / k cu o eroare mărginită de 1 / ( √ 5 k 2 ):

Orice reducere h / k a unui x irațional satisface limita superioară (1). La două reduceri consecutive, există una care verifică creșterea (2). La trei reduceri consecutive, există una care verifică creșterea (3).

{\ displaystyle (1) \; \ left | x - {\ frac {h} {k}} \ right | <{\ frac {1} {k ^ {2}}}, \ quad (2) \; \ left | x - {\ frac {h} {k}} \ right | <{\ frac {1} {2k ^ {2}}}, \ quad (3) \; \ left | x - {\ frac {h } {k}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {5}} k ^ {2}}}.}

Pe de altă parte, teorema Thue-Siegel-Roth ( care o rafinează pe cea a lui Liouville ) arată că atunci când x irațional este algebric și, oricât de mare este gradul său, nu putem îmbunătăți exponentul 2: pentru toate ε> 0, există o constantă A > 0 astfel încât pentru orice h / k rațional , | x - h / k | ≥ A / k 2 + ε .

De asemenea, vorbim despre o „cea mai bună” aproximare, într-un sens diferit, având în vedere că h / k se apropie de x bine când kx - h este mic. Pentru k fix, valoarea minimă a | kx - h |, notat ║ kx ║, este atins pentru h egal cu întregul cel mai apropiat de kx irațional . Pentru n ≥ 1, ║ k n x ║ = | k n x - h n | iar secvența de reduceri se apropie de x „din ce în ce mai bine”, în sensul că secvența de | k n x - h n | este strict în scădere . Mai mult, k n +1 este cel mai mic numitor k > k n care este „mai bun” decât k n , adică astfel încât ║ kx ║ <║ k n x ║. Aceasta este ceea ce exprimă următoarea definiție și teoremă, care oferă în plus o definiție și un algoritm alternativ pentru expansiunea continuă a fracției lui x .

Definiție - Cea mai bună aproximare a lui x este o fracție h / k ( k > 0), astfel încât ║ kx ║ = | kx - h | și ║ k'x ║> ║ kx ║ pentru orice număr întreg k ' astfel încât 1 ≤ k' <k .

O astfel de fracție se apropie, așadar, de x mai bine decât orice fracție cu un numitor mai mic, în sensul specificat mai sus și a fortiori în sensul obișnuit: dacă 1 ≤ k '<k atunci | k'x - h ' | > | kx - h | deci | x - h '/ k' | > | x - h / k |.

Teorema - Cele mai bune aproximări ale unui irațional sunt reductorii acestuia.

Demonstrații

În restul probelor, x denotă un irațional, n un întreg natural, a n coeficientul indicelui n al lui x și h n / k n este redus al indicelui n .

Orice reducere verifică creșterea (1): (cf. Fracție continuă # Încadrare și convergență ) și . ${\ displaystyle \ left | x - {\ frac {h_ {n}} {k_ {n}}} \ right | <{\ frac {1} {k_ {n} k_ {n + 1}}}}$ ${\ displaystyle k_ {n + 1} \ geq k_ {n}}$
La două reduceri consecutive, există una care satisface creșterea (2):
numărul x este situat între cele două reduceri h n / k n și h n +1 / k n +1 , deci ${\ displaystyle \ left | {\ frac {h_ {n}} {k_ {n}}} - x \ right | + \ left | x - {\ frac {h_ {n + 1}} {k_ {n + 1 }}} \ right | = {\ frac {1} {k_ {n} k_ {n + 1}}}.}$ În general, k n +1 este strict mai mare decât k n, prin urmare ${\ displaystyle {\ frac {1} {2k_ {n} ^ {2}}} + {\ frac {1} {2k_ {n + 1} ^ {2}}} - {\ frac {1} {k_ { n} k_ {n + 1}}} = {\ frac {(k_ {n + 1} -k_ {n}) ^ {2}} {2k_ {n} ^ {2} k_ {n + 1} ^ { 2}}}> 0}$ care demonstrează următoarea majorare: ${\ displaystyle \ left | {\ frac {h_ {n}} {k_ {n}}} - x \ right | + \ left | x - {\ frac {h_ {n + 1}} {k_ {n + 1 }}} \ right | <{\ frac {1} {2k_ {n} ^ {2}}} + {\ frac {1} {2k_ {n + 1} ^ {2}}}}$ iar concluzia urmează.
Cazul excepțional k n +1 = k n poate apărea numai dacă n = 0 și a 1 = 1. Verificăm direct în acest caz că 0 < h 1 / k 1 - x <1 / ( a 2 + 1) ≤ 1 / (2 k 1 2 ).
La trei reduceri consecutive, există una care verifică creșterea (3):
Hardy Wright , p. 210-211 .
Fie h și k două numere întregi astfel încât 0 < k < k n +1 . Următoarea inegalitate este verificată și egalitatea are loc numai dacă k = k n și h = h n : ${\ displaystyle | kx-h | \ geq | k_ {n} x-h_ {n} |}$ (în special: o fracțiune al cărei numitor k satisface k n ≤ k < k n +1 este o aproximare mai bună a lui x dacă și numai dacă este egală cu a n- a redusă).
Vedeți dovada celei mai bune teoreme de aproximare pe Wikiversitate .

Dovada acestei teoreme permite, de asemenea, să demonstreze următoarea proprietate, utilizată pentru studiul fracțiilor continue periodice .

Pentru orice x irațional , orice fracțiune h / k care îndeplinește limita superioară (2) de mai sus este redusă cu x .

Aceste afirmații și dovezile lor se adaptează la cazul în care x este rațional, cu o anumită precauție în cazul în care x este un semidegru.

Numere echivalente

Se spune că două numere reale x și y sunt echivalente dacă există numere întregi a , b , c , d astfel încât ad - bc = ± 1 și y = ( ax + b ) / ( cx + d ), cu alte cuvinte dacă a transformarea Full Möbius vă permite să treceți de la unul la altul. Cele clasele de echivalență sunt , prin urmare, orbitele acțiunii din PGL grupului (2, ℤ) și orbita 0 este setul de raționamente.

Serret a demonstrat că două iraționale x și y , ale fracțiilor continue respective [ a 0 , a 1 , ...] și [ b 0 , b 1 , ...], sunt echivalente dacă și numai dacă există două numere naturale h și k astfel încât pentru tot i ≥ 0, a h + i = b k + i .

Se spune că numerele echivalente cu raportul auriu sunt „nobile”. Acestea sunt acelea pentru care constanta √ 5 , în teorema lui Hurwitz ( vezi mai sus ), nu poate fi îmbunătățită. Pentru un x nerațional nobil, √ 5 poate fi înlocuit cu √ 8 , care este cea mai bună constantă dacă și numai dacă x este echivalent cu rădăcina pătrată a lui 2 .

Iraţionalitate

Rezultatul Lambert

Lambert este un pionier în utilizarea aproximărilor diofantine construite folosind fracții continue, ceea ce îi permite să arate iraționalitatea lui $π$ . Nu folosește direct fracția continuată a acestui număr, deci nu avem o expresie ca Euler pentru $e$ . Dacă teoria garantează existența unei fracții continue egale cu $π$ , dificultatea constă în faptul că nu există atunci nicio metodă cunoscută care să arate că această expansiune este infinită.

Lambert stabilește mai întâi o expresie a funcției tangente sub forma unei fracții continue. Pentru aceasta, el aplică algoritmul lui Euclid ( cf. articolului Aproximantul lui Padé ). Problema este că acest tip de abordare generează o expresie numită fracție continuă generalizată : sunt expansiuni ale unui număr real x de următoarea formă:

{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {b_ {1}} {a_ {1} + {\ cfrac {b_ {2}} {a_ {2} + {\ frac {b_ {3}} { a_ {3} + \ dots}}}}}} = a_ {0} + {\ frac {b_ {1} \ mid} {\ mid a_ {1}}} + {\ frac {b_ {2} \ mid } {\ mid a_ {2}}} + {\ frac {b_ {3} \ mid} {\ mid a_ {3}}} + \ dots}

Notarea utilizată în partea dreaptă este cea a lui Pringsheim (cu inversarea în apropierea literelor a și b în comparație cu notația sa obișnuită acum a fracțiilor continuate generalizate). Rezultatele descrise în prima parte a acestui articol nu se mai aplică. Și, spre deosebire de fracțiile continuate studiate până acum, numite simple prin opoziție, faptul de a permite valori arbitrare pentru a n și b n pune problema convergenței , cu care se ocupă Lambert în cazul particular al funcției tangente, explicând cele reduse. Apoi el stabilește un rezultat care generalizează propoziția indicând că o fracție continuă simplă infinită nu este niciodată rațională:

Dacă seria infinită de numere întregi diferite de zero ( a n ) n > 0 și ( b n ) n > 0 sunt astfel încât dintr-un anumit rang, | a n | > | b n | + 1 și dacă fracția generalizată pe care o definesc converg, precum și „fracțiile extrase” ale acesteia , atunci limita este irațională.

Demonstrație

Să presupunem, fără pierderea generalității, că întregul a 0 este zero și procedați pas cu pas, presupunând mai întâi că inegalitatea | a n | > | b n | +1 este adevărat pentru toate n > 0.

Valorile absolute ale redusei sunt crescute cu 1:
Să arătăm prin inducție pe p că valoarea absolută a reduse p e este mărită cu 1. Dacă p este zero, redusul este și proprietatea verificată. Să presupunem că rezultatul este adevărat la ordinea p . Valoarea redusă ( p + 1) -th este egală cu ${\ displaystyle {\ frac {b_ {1}} {a_ {1} + z}} \ quad {\ rm {cu}} \ quad z = {\ frac {b_ {2} \ mid} {\ mid a_ { 2}}} + \ ldots + {\ frac {b_ {p + 1} \ mid} {\ mid a_ {p + 1}}}.}$ Deoarece z este p e redus al unei fracții care îndeplinește aceleași ipoteze, valoarea sa absolută este, prin ipoteză de inducție, mărită cu 1, prin urmare | a 1 + z | ≥ | a 1 | - 1> | b 1 |, care arată rezultatul.
Valoarea absolută a limitei este strict mărită cu 1:
Limita este egală cu ${\ displaystyle {\ frac {b_ {1}} {a_ {1} + y}} \ quad {\ rm {cu}} \ quad y = {\ frac {b_ {2} \ mid} {\ mid a_ { 2}}} + {\ frac {b_ {3} \ mid} {\ mid a_ {3}}} + \ dots}$ Conform punctului anterior și prin trecerea limitei, | y | ≤ 1 prin urmare | a 1 + y | ≥ | a 1 | - 1> | b 1 |, care arată rezultatul.
Limita fracției continuate generalizate este irațională:
acum argumentăm prin absurd și presupunem că limita este scrisă p 1 / p 0 cu p 0 și p 1 întregi. Asa de ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad {\ frac {b_ {n + 1} \ mid} {\ mid a_ {n + 1}}} + {\ frac {b_ {2} \ mid } {\ mid a_ {2}}} + \ ldots = {\ frac {p_ {n + 1}} {p_ {n}}} \ quad {\ rm {cu}} \ quad p_ {n + 1} = b_ {n} p_ {n-1} -a_ {n} p_ {n}}$ și conform punctului anterior, | p n +1 / p n | <1. | p n | prin urmare, constituie o secvență infinită de numere întregi pozitive strict descrescătoare, ceea ce este absurd (această tehnică demonstrativă se numește metoda descendentă infinită ).
Irationalitatea ramane adevarata daca inegalitatea | a n | > | b n | + 1 are loc doar dintr-un anumit rang:
Conform celor de mai sus, coeficientul complet $x N$ corespunzător acestui rang este irațional. Deoarece $b k$ sunt diferite de zero, deducem treptat iraționalitatea lui ${\ displaystyle x_ {k} = {\ frac {b_ {k}} {a_ {k} + x_ {k + 1}}}, {\ text {for}} k = N-1, \ ldots, 1. }$

Numere raționale tangente, inclusiv $π$

Fracțiile generalizate care aproximează numărul $π$ erau cunoscute cu mult înainte de Lambert . William Brouncker arătase de exemplu că:

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ arctan (1) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {5 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots}

Dar această fracțiune este departe de a verifica ipotezele lemei iraționalității . Lambert ia apoi problema în mod opus și dezvoltă în fracție continuă funcția tangentă :

{\ displaystyle \ tan t = {\ frac {t \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {t ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} - {\ frac {t ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} - {\ frac {t ^ {2} \ mid} {\ mid 7}} - \ cdots}

sau (prin conversie ):

{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) = {\ frac {m \ mid} {\ mid n}} - {\ frac {m ^ {2} \ mid} { \ mid 3n}} - {\ frac {m ^ {2} \ mid} {\ mid 5n}} - {\ frac {m ^ {2} \ mid} {\ mid 7n}} + \ cdots.}

Această fracțiune îndeplinește ipotezele propunerii sale dacă m și n sunt numere întregi nenule, ceea ce îi permite să afirme următorul rezultat:

Tangenta oricărui rațional non-zero este o irațională.

Prin contrapunere , toate realele nenule a căror tangentă este rațională sunt iraționale. Numărul $π$ face parte din el, deoarece tangenta sa este zero.

Demonstrație

Mai exact - întrucât nu este exclus a priori faptul că numerele reale în care cosinusul dispare sunt raționale - Lambert demonstrează că în orice rațional non-zero în care este definită tangenta , acesta este irațional. Într-adevăr, la un astfel de punct m / n , a arătat convergența fracției sale continue:

{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) = {\ frac {m \ mid} {\ mid n}} - {\ frac {m ^ {2} \ mid} { \ mid 3n}} - {\ frac {m ^ {2} \ mid} {\ mid 5n}} - {\ frac {m ^ {2} \ mid} {\ mid 7n}} + \ cdots.}

Evident, există un indice i astfel încât pentru toate j ≥ i , (2 j - 1) n > m 2 + 1. Conform rezultatului lui Lambert, tan ( m / n ) este, așadar, irațional.

Exponențială a raționalului

Euler dedusese iraționalitatea lui e și $e$ 2 din expansiunile lor în fracții continue simple. Lambert merge mult mai departe datorită fracțiilor continuate generalizate: definește funcția tangentă hiperbolică și, transpunând calculele precedente, obține în același mod:

{\ displaystyle \ tanh t = {\ frac {t \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {t ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {t ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} + {\ frac {t ^ {2} \ mid} {\ mid 7}} + \ cdots.}

Se aplică același raționament ca și pentru funcția tangentă și tangenta hiperbolică a oricărui rațional non-zero este irațional sau, care este echivalent:

Exponențiala oricărei nenul raționale este irațională.

Alte aplicații

Ecuația Pell-Fermat

Pell-Fermat Ecuația este următoarea ecuație, în care d semnifică o perfectă non - pătrat întreg pozitiv .

{\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = \ pm 1 \;}

Orice pereche de soluții ( a , b ) ale acestei ecuații, corespunde fracției a / b , care se întâmplă să fie o aproximare a rădăcinii lui d . Această aproximare este la o distanță mai mică de 1 / (2 b 2 ) de rădăcină; este deci o reducere a fracției continue. Această proprietate poate fi utilizată pentru a elucida structura setului de soluții. De asemenea, oferă un algoritm de extracție a rădăcinii pătrate al cărui număr de zecimale exacte se dublează la fiecare pas.

Automatul Huygens

O aplicație curioasă vine din ceasornicarie. Christian Huygens ( 1629 - 1695 ) a dorit să creeze un automat planetar, adică un sistem cu manivelă reprezentând mișcarea diferitelor planete ale sistemului solar. Știind că raportul dintre un an terestru și cel al lui Saturn este aproximativ egal cu 2.640.858 / 77.708.431, cum să alegem numărul de dinți pentru diferitele unelte care alcătuiesc mașina? Aproximarea diofantină reprezentată de fracția continuată îi oferă o soluție: „Acum, când neglijăm de la orice fracție ultimii termeni ai seriei și cei care o urmează, și când îi reducem pe ceilalți plus numărul întreg la un numitor comun, raportul dintre acesta din urmă și numărător va fi apropiat de cel al celui mai mic număr dat celui mai mare; iar diferența va fi atât de mică încât ar fi imposibil să se obțină un acord mai bun cu un număr mai mic. "

Transcendenta

Faptul că există doar un număr finit de fracții p / q la o distanță mai mică de 1 / (2 q 2 ) de rațional înseamnă că un număr rațional se apropie „rău” de fracții. Această idee se generalizează la soluțiile unei ecuații polinomiale. Fie α o soluție de număr real a ecuației f (x) = 0, unde f denotă un polinom de grad d cu coeficienți raționali. Liouville Teorema dă o limită pentru calitatea aproximarea α printr - un număr rațional p / q ; precis, indică faptul că există o constantă reală A astfel încât pentru orice p / q rațional :

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |> {\ frac {A} {q ^ {d}}},}

ceea ce face posibilă construirea unei fracții continue a limitei x care nu este o soluție a oricărei ecuații polinomiale cu coeficienți raționali, adică un număr transcendent. Mai exact, Liouville arată că dacă o fracție continuată ( a n ) converge la un număr algebric de grad d ≥ 2, atunci există o constantă C astfel încât

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad a_ {n + 1} <Ck_ {n} ^ {d-2},}

unde ( k n ) denotă și secvența numitorilor reducerilor acestei fracții continue. Liouville deduce din aceasta metoda sa de construire a numerelor transcendente: „Va fi suficient să se dea cotaților incompleti un mod de formare care îi face să crească dincolo de termenul indicat, pentru a obține o fracție continuă a cărei valoare nu poate satisface nicio ecuație algebrică” și sugerează impune prin recurență, dintr-un anumit rang:

{\ displaystyle a_ {n + 1} \ geq k_ {n} ^ {n}.}

Conform rezultatului său, limita reducerilor oricărei fracții continue astfel construite este un număr transcendent.

Note și referințe

(La) Leonhard Euler, „ De fractionibus continuis dissertatio ” [„A disertation on continues fractions”], Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae , vol. 9,1744, p. 98-137 ( citește online )(prezentat în 1737). O analiză istorică este propusă de (en) Ed Sandifer, „ Cum a făcut-o Euler - Cine a dovedit că e irațional? » , MAA Online ,Februarie 2006( citește online )și de Alain Juhel, „ iraționalitate și transcendență: inventar înainte de Hermite ” . Vezi și (în) Julian Havil (de) , The Irrationals: A Story of the Numbers You Can not Count On , Princeton University Press ,2012, 298 p. ( ISBN 978-0-691-14342-2 , citit online ) , p. 96-103.
Georges Ifrah , Istoria universală a cifrelor: inteligența oamenilor spusă prin cifre și calcul , Robert Laffont, 1994 ( ISBN 978-2-70284212-6 ) .
(it) MT Rivolo și A. Simi , " he calcolo delle radici quadrate e cubiche in Italia da Fibonacci Bombelli " , Arch. Hist. Exact Sci. , vol. 52, n o 21998, p. 161-193.
(it) S. Maracchia , " Estrazione di secondo Cataldi radice quadrata " , Archimede , vol. 28, n o 21976, p. 124-127.
J.-H. Lambert , " Memoir on some remarkable properties of transcendent [sic] circular and logarithmic quantity ", Histoire de l ' Académie royale des sciences et belles-lettres , Berlin, vol. 17,1761, p. 265-322 ( citește online ), „ Online și comentat ” , pe Bibnum de Alain Juhel.
Charles Hermite , „ Despre funcția exponențială ”, CRAS , vol. 77,1873, p. 18-24 ( citește online ).
(de) F. Lindemann , „ Über die Zahl $π$ ” , Math. Ann. , vol. 20,1882, p. 213-225 ( citește online ).
(de) A. Hurwitz , „ Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche ” , Math. Ann. , vol. 39,1891, p. 279-284 ( citiți online ).
(ro) JWS Cassels , Introducere în aproximarea diofantină , CUP ,1965( citiți online ) , p. 1-4.
(en) Serge Lang , Introducere în aproximări diofantine , Springer ,1995, 130 pag. ( ISBN 978-0-387-94456-2 , citit online ) , p. 9-11.
(în) A. Ya. Khinchin , Fracții continuate , Dover ,1997( 1 st ed. 1964), 95 p. ( ISBN 978-0-486-69630-0 , citit online ) , p. 20-27.
Cu o licență pentru numeratorul h 0 redus / k 0 = a 0/1 , deoarece numărul întreg h care minimizează | x - h | poate fi un 0 + 1.
Domnul Couchouron, Dezvoltarea fracției continue continue , pregătirea pentru agregarea matematicii , Universitatea din Rennes .
(en) GH Hardy și EM Wright , Introducere în teoria numerelor ( 1 st ed. 1938) [ Editions cu amănuntul ], p. 194-197 din ediția din 2008.
Vezi acest exercițiu corectat din lecția „Introducere în teoria numerelor” de pe Wikiversitate .
(de la) Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Teubner,1913( citiți online ) , p. 45.
Hardy Wright , p. 181 din ediția din 2008.
(de) JA Serret, Curs de algebră superioară , vol. 1, Gauthier-Villars ,1866, 3 e ed. ( citiți online ) , p. 34-37.
Perron 1913 , p. 65.
(în) Gilles Lachaud, „Fracții continuate, forme binare pătratice, câmpuri pătratice și funcții zeta” în Algebra și Topologie 1988 , Taejon , Korea Inst. Tehnologie. ,1988( citiți online ) , p. 1-56.
O dovadă a acestei teoreme este detaliată în această misiune din lecția „Introducere în teoria numerelor” de pe Wikiversitate .
Această lemă a fost formulată - fără a explica vreo ipoteză de convergență și confundând clar convergența condițională și necondiționată - în 1806 de Legendre în ediția a IV- a a Elements of Geometry ( Nota 4 ) și este, prin urmare, demonstrată implicit de Lambert: „ Legendre menționează nimic despre convergența fracțiunii sale continue. Dacă cineva își asumă convergența […], afirmația sa despre iraționalitate este dovedită în același mod ca și Lambert […]. " , (En) Rolf Wallisser , " Despre dovada lui Lambert a iraționalității lui $π$ " , în Teoria numerelor algebrice și analiza diofantină (Graz, 1998) , Berlin,2000( citiți online ) , p. 521-530. Din acest motiv, probabil (și fără a observa neglijența lui Legendre, pe care Lambert nu o comite), sau mai probabil (conform analizei lui (de) A. Pringsheim , „ Ueber die ersten Beweise der Irrationalität von $e$ und $π$ ” , S „ber. Math.-phys. München , vol. 28,1898, p. 325-337 ( citiți online )raportat de Wallisser), pentru că nu se uitase decât la o popularizare a lui Lambert despre pătratul cercului , Ferdinand Rudio (de) a susținut, în 1892 ( Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre , stuf. 1971, p. 56-57 ) , că dovada lui Lambert a iraționalității lui $π$ fusese făcută riguroasă doar de Legendre. Această judecată pripită, deși imediat negată în detaliu de Glaisher și apoi de Pringsheim, a fost larg răspândită, chiar distorsionată. Vezi și Michel Serfati, Fragmente din istoria matematicii. T. 4. Cadrarea cercului, fracții continuate și alte povești , APMEP , Paris, 1992 și alte referințe .
În 1888, Ivan Śleszyński (ro) a demonstrat (cel puțin) , că , de fapt , această convergență are loc imediat ce A n și b n sunt numere reale , astfel încât | a n | > | b n | +1: vezi (de) A. Pringsheim , „ Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche ” , S'ber. math.-phys. München , vol. 28,1898, p. 295-324 ( citește online )(nota p. 312 ) și teorema lui Śleszyński-Pringsheim .
Alain Juhel, „ Irraționalitate și transcendență: inventar înainte de Hermite ” (prin inversarea literelor a și b , în conformitate cu notația obișnuită).
A se vedea formula lui Brounker .
Pierre Eymard și Jean-Pierre Laffon, În jurul numărului $π$ , Hermann, 1999 ( ISBN 978-2-70561443-0 ) , p. 135 .
În mod similar ( Perron 1913 , p. 254 ), pentru toate numerele întregi strict pozitive m și n , $\sqrt m$ tan ( $\sqrt m$ / n ) este irațional, ceea ce arată că $π$ 2 în sine este irațional.
Aceste informații, la fel ca majoritatea acestui paragraf, provin de la Claude Brezinski , „ Aceste fracțiuni ciudate care nu se termină niciodată ”, Prelegere la IREM , Universitatea Reunion , „diaporama”,Octombrie 2005, p. 50 ( citește online ).
Brezinski 2005 , p. 51.
Liouville, „ Comunicare verbală ”, Proces-verbal al sesiunilor la Académie des sciences ,13 mai 1844( citește online )(acces la articolul și analiza lui Michel Mendès France ) pe Bibnum . Vezi, totuși, J. Liouville, „ Pe clase foarte extinse de mărimi a căror valoare nu este nici algebrică, nici măcar reductibilă la iraționale algebrice ”, J. Math. Pur Appl. , 1 st serie, T. 16,1851( citește online ), în care Liouville își reformulează și își dovedește rezultatele în termeni puri de aproximare diofantină, fără a le particulariza la fracții continue.

Vezi și tu

Articol asociat

Măsură de iraționalitate

Bibliografie

Roger Descombes, Elements of theory number , PUF , 1986
AM Legendre , Eseu despre teoria numerelor ,1798( citiți online ) , p. 26-29