În matematică , un număr real este un număr care poate fi reprezentat printr-o parte întreagă și o listă finită sau infinită de zecimale . Prin urmare, această definiție se aplică numerelor raționale , ale căror zecimale se repetă periodic dintr-un anumit rang, dar și altor așa-numite numere iraționale , precum rădăcina pătrată a lui 2 , π și e .
Conceptul de număr real apare treptat de manipulare rapoarte magnitudini de geometrica altele decât rapoartele de ansamblu naturale pentru examinarea lor de către Eudoxus de Knidos în IV - lea secol î.Hr.. AD Este , de asemenea , se încadrează în apropierea problemelor de soluții algebrice și oferă loc, în mijlocul XIX - lea secol, a subliniat numerele transcendent . Dar definiția numerelor reale nu a fost formalizată decât câteva decenii mai târziu, cu construcțiile lui Dedekind pe de o parte și a Cantor și Méray pe de altă parte.
Ansamblul numerelor reale, notat ℝ, apoi un corp complet ordonat , adică este prevăzut cu cele patru operații aritmetice care îndeplinesc aceleași reguli privind fracțiile și aceste operații sunt în concordanță cu ordinea relației. Dar, de asemenea, satisface proprietatea marginii superioare pe care se bazează analiza reală . În cele din urmă, acest set este caracterizat de Hilbert ca fiind cel mai mare corp arhimedic . În linia reală completată valorile infinite nu mai satisfac regulile operaționale ale câmpurilor, extinderea la câmpul numerelor complexe face imposibilă relația de ordine totală compatibilă, în timp ce analiza non-standard alăturată a numerelor infinit de mici care invalidează caracterul arhimedian .
Cuvântul „reală“ este folosit pentru a descrie cifrele din XVII - lea secol, dar este definit în mod explicit, spre deosebire de numere imaginate că , la sfârșitul XIX - lea lea a fost , de asemenea , spre deosebire de „număr oficial“ în anumite tratate de teologie sau filozofie din aceeași perioadă.
Numerele reale sunt folosite pentru a reprezenta orice măsură fizică, cum ar fi: prețul unui produs, timpul dintre două evenimente, altitudinea (pozitivă sau negativă) a unui sit geografic, masa unui atom sau distanța până la cea mai apropiată galaxie. Aceste măsurători depind de alegerea unei unități de măsură, iar rezultatul este exprimat ca produsul unui număr real de către o unitate. Numerele reale sunt folosite în fiecare zi, de exemplu în economie, informatică, matematică, fizică sau inginerie.
Cel mai adesea, sunt utilizate doar anumite subseturi de numere reale:
Deși toate aceste subseturi de reale sunt de cardinalitate infinită, toate sunt numerotabile și, prin urmare, reprezintă doar o mică parte a setului de reali. Fiecare are propriile sale proprietăți. Două sunt studiate în special de matematicieni: numerele raționale și numerele algebrice ; Numim „ iraționale ” realele care nu sunt raționale și „ transcendente ” acelea care nu sunt algebrice.
Utilizarea fizică a numerelor reale în măsurătorile de expresie din două motive principale:
Pe de altă parte, fizicianul nu poate efectua măsurători cu o precizie infinită. Reprezentarea numerică a rezultatului unui calcul poate fi aproximată la fel de exact cum se dorește cu un număr zecimal. În starea actuală a fizicii, este chiar teoretic imposibil pentru a efectua măsurători de precizie infinită. De aceea, atât pentru nevoile experimentale, cât și pentru cele teoretice, dacă fizicianul calculează măsurătorile în ℝ, el exprimă rezultatele numerice sub formă de numere zecimale.
Astfel, fizicianul folosește proprietățile numerelor reale care fac posibilă acordarea unui sens măsurătorilor pe care le efectuează și oferă teoreme puternice pentru a-și demonstra teoriile. Pentru valorile numerice, este satisfăcut cu numere zecimale. Când măsoară distanța parcursă de un punct material pe un cerc complet, el folosește valoarea fără a pune la îndoială existența acesteia, dar un număr adesea mic de zecimale este suficient pentru calcule.
În cele din urmă, deși numerele reale pot reprezenta orice cantitate fizică, numerele reale nu sunt cele mai potrivite pentru studiul a foarte multe probleme fizice. Dintre supersetele construite în jurul realului au fost create pentru a putea gestiona unele spații fizice. De exemplu :
Orice număr real poate fi reprezentat ca un „ număr infinit de expansiune zecimală ”. Această definiție poate părea mai simplă decât altele utilizate în mod obișnuit de matematicieni, de exemplu limita unei secvențe convergente. Cu toate acestea, pare rapid a fi inadecvat și implică definiții și demonstrații mult mai complexe. Într-adevăr, numerele reale sunt interesante pentru structura și proprietățile mulțimii pe care o formează: adunarea, multiplicarea, relația de ordine și proprietățile care leagă aceste concepte. Aceste proprietăți sunt slab reflectate de definiția „expansiune zecimală infinită” și apar probleme teoretice:
Cu toate acestea, odată ce structura setului de numere reale a fost stabilită, notația de expansiune zecimală permite calcule eficiente, ținând cont de faptul că nu contează atât zecimalele exacte ale unui număr, cât poziția numărului față de față de celelalte reale.
Din cele mai vechi timpuri , reprezentarea unei cantități măsurabile - de exemplu, o lungime sau o durată - a îndeplinit o nevoie. Primul răspuns a fost construirea fracțiilor (coeficientul a două numere întregi pozitive). Această soluție, implementată foarte devreme în rândul sumerienilor și egiptenilor , este în cele din urmă eficientă. Vă permite să vă apropiați de orice lungime cu toată precizia dorită.
Corespondență cu lungimiPrima Formalizarea construit în sistem pe care le știm este rezultatul lucrării lui Euclid în III - lea secol î.Hr.. AD . Construcția sa, înscrisă în Elementele sale , aduce două idei mărețe ale unei contribuții majore în istoria matematicii.
Să presupunem că o lungime dată este aleasă ca unitate. Raționamentul geometric, cu siguranță deja cunoscut babilonienilor , arată că dacă A este un pătrat cu unitate laterală și B un pătrat cu latura egală cu diagonala d a lui A , atunci aria lui B este dublă față de A , altfel spune: d 2 = 2.
Probabil cel V - lea lea î.Hr.. AD , matematicienii greci demonstrează că lungimile diagonalei pătratului și ale laturii sale sunt incomensurabile : nu există niciun segment, oricât de mic ar fi, care să permită „măsurarea” exact a acestor două dimensiuni. Spunem astăzi că acest raport de lungime, care este rădăcina pătrată a lui 2 , este irațional , adică nu este egal cu o fracție: dacă ar fi o fracțiemnu, prin împărțirea diagonalei pătratului în m părți egale și a laturii sale în n părți egale am obține segmente de aceeași lungime.
Aceasta arată că fracțiile nu pot fi suficiente pentru a reprezenta cantitățile măsurabile.
Există o simplă dovadă aritmetică a acestui rezultat , care se bazează pe un argument de paritate. În IV - lea secol î.Hr.. AD , Aristotel face aluzie la aceasta într-una din scrierile sale. Se găsește mai detaliat în Cartea X a Elementelor lui Euclid .
Extindere zecimală non-periodică nelimitatăDacă fracțiile fac într-adevăr posibilă exprimarea oricărei lungimi cu precizia dorită, ar trebui totuși să se înțeleagă că operațiunile și în special diviziunea devin complexe dacă sistemul de numerotare nu este adaptat. Problema este descrisă de articolul fracțiunii egiptene, care oferă câteva exemple concrete.
Abia în secolul al V- lea , școala indiană a descoperit conceptul de zero și a dezvoltat un sistem de numerotație zecimal și pozițional .
Apare apoi o a doua problemă. Toate fracțiile au o expansiune zecimală în măsura în care această expansiune este infinită și periodică, adică secvența zecimalelor nu se oprește, ci se bucură peste un număr finit de valori. Apare apoi întrebarea de a cunoaște ce sens să acordăm unui obiect caracterizat printr-o succesiune de zecimale non-periodice. De exemplu, numărul cu expansiune zecimală infinită care este exprimat ca
0.1010010001 ... unde numărul 0 dintre cifrele 1 crește la infinit, corespunde unei lungimi? Suite și seriiÎn a doua jumătate a XVII - lea secol , există o dezvoltare extraordinară a matematicii în domeniul de calcul serii și apartamente .
Nicolaus Mercator , Bernoulli , James Gregory , Gottfried Wilhelm Leibniz și alții lucrează la serii care par să convergă, dar ale căror limite nu sunt raționale. Acesta este cazul de exemplu:
Mai rău, Liouville în 1844 , dovedește existența numerelor transcendente, adică nu rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi. Prin urmare, nu este suficient să se completeze raționalele prin adăugarea numerelor algebrice pentru a obține mulțimea tuturor numerelor.
În a doua parte a secolului al XVII- lea , Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz au inventat o nouă ramură a matematicii. Acum se numește analiză , pe atunci era cunoscută sub numele de calcul infinitesimal . Această ramură capătă aproape imediat o imensă faimă, deoarece stă la baza unei noi teorii fizice universale: teoria newtoniană a gravitației . Unul dintre motivele acestei faime este rezolvarea unei vechi întrebări dacă Pământul se învârte în jurul Soarelui sau invers.
Cu toate acestea, calculul infinitesimal nu poate fi demonstrat riguros în setul numerelor raționale. Dacă calculele sunt corecte, ele sunt exprimate într-un limbaj de mare complexitate și dovezile provin mai mult din intuiția geometrică decât dintr-o explicație riguroasă în sensul timpului nostru.
Imposibilitatea construirii analizei în ansamblul fracțiilor constă în faptul că această ramură a matematicii se bazează pe analiza infinit de mică. Cu toate acestea, putem compara numerele raționale cu o infinitate de boabe mici de nisip (de dimensiuni infinit de mici) pe linia reală lăsând infinit mai multe găuri decât materia. Analiza nu poate fi satisfăcută cu un astfel de suport. Necesită un spațiu complet pentru sprijin . Cuvântul este folosit aici într-un sens dublu, sensul intuitiv care înseamnă că micile găuri în număr infinit trebuie să fie acoperite și sensul pe care matematicienii îl dau astăzi mai abstract, dar formalizat riguros.
Această noțiune este atât de important ca acesta să devină , la începutul XX - lea secol o ramură a matematicii numita mare topologie .
De ce ℝ este esențial pentru analizăAnaliza presupune că o funcție reală a variabilei reale este în esență cunoscută prin comportamentul ei infinitesimal. De exemplu, dacă accelerația unei planete este cunoscută în orice moment și se cunoaște poziția și viteza ei inițiale, atunci este posibil să se deducă traiectoria exactă. Un lanț de teoreme, cel al teoremei creșterilor finite, care este dovedit de teorema lui Rolle, care este dovedită de teorema limitei, devine falsă pe fracțiile raționale. Dacă reprezentăm această teoremă în termeni picturali, putem descrie aceste teoreme după cum urmează: pentru teorema incrementului finit, dacă o mașină parcurge 120 km în 2 ore, atunci această mașină călătorește cel puțin o dată la 60 km / h ; pentru teorema lui Rolle (respectiv teorema limitei), dacă o mașină pleacă și ajunge din același loc fără să schimbe vreodată banda, atunci a făcut o întoarcere în U cel puțin o dată (respectiv există un moment în care mașina este cea mai departe de punct de start).
Aceste teoreme sunt intuitiv atât de evidente, încât chiar ne întrebăm cum este posibil să le dovedim. Newton a dus consecințele acestor dovezi până acum, încât doar câteva persoane rare din zilele sale au putut înțelege cu adevărat opera sa majoră Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Dovezile s- au bazat întotdeauna pe o presimțire .
Să explicăm apoi de ce dovada teoremei limitei impune o înțelegere profundă a naturii topologice a numerelor reale. Pentru aceasta, să luăm în considerare funcția f pe numerele raționale ale intervalului din ℚ, unde ℚ denotă mulțimea numerelor raționale, definite prin:
Funcția pare discontinuă într-un punct al cărui pătrat este egal cu 2, dar acest punct nu există în numere raționale, deci funcția este continuă oriunde este definită. Observăm că găurile mici ne rup noțiunea intuitivă de continuitate. Prin urmare, o descriere infinitesimală nu poate descrie în mod adecvat o funcție, deoarece găurile mici permit salturi care nu sunt descrise de comportamentul infinitesimal . Prin urmare, noțiunea noastră intuitivă de continuitate nu are același sens în ℚ ca în ℝ. Cu cât abscisa se apropie de linia acestui punct care nu există în ℚ, cu atât crește. Prin urmare, nu există niciun punct care să atingă maximul. Adevăratul dreptDacă existența numerelor negative apare foarte devreme în istorie ( matematica indiană ), abia în 1770 au obținut, datorită lui Euler, un statut real de număr și și-au pierdut caracterul de artificiu de calcul. Dar trebuie să așteptați un secol pentru a vedea setul de partener real către toate punctele unei linii reale orientate spre dreapta .
Considerăm o linie D care conține un punct O pe care îl vom numi, prin convenție, origine. Fie eu un punct I distinct de O aparținând lui D pe care îl identificăm cu numărul 1. Prin convenție, vom spune că distanța de la O la I este egală cu 1 și că orientarea liniei este cea a lui O către I În orice punct M de pe linie, asociem distanța dintre O și M. Dacă M și I sunt pe aceeași parte față de O, atunci distanța este numărată pozitiv, altfel este negativă.
Această relație pe care formalizarea curentă o numește bijecție face posibilă identificarea unui număr real într-un punct de linie.
Dezvoltarea analizei în secolele XVIII și XIX i- a determinat pe matematicienii francezi și germani să pună la îndoială natura numerelor reale. Aceste întrebări i-au determinat să identifice proprietățile fundamentale (completitudine, secvențe adiacente etc.) pe care s-ar putea baza construcțiile posibile ale lui ℝ, care au fost formalizate în jurul anului 1870 de Cantor, Méray și Dedekind.
ConstructieÎn cursul său de analiză la École Polytechnique , Augustin Louis Cauchy propune prima definiție riguroasă a unei limite . O secvență de numere reale indexate cu numere naturale (numite o secvență ) converge la o limită (neapărat unică) x când distanța | x - x n | devine cât de mic se dorește pentru n suficient de mare. El stabilește un criteriu care îi poartă astăzi numele, criteriul Cauchy : este necesar și suficient ca distanțele | x n - x m | sunt cât de mici se doresc pentru n și m suficient de mari. Afirmând acest criteriu, Cauchy afirmă completitudinea câmpului numerelor reale, o proprietate pe care se poate baza definiția sa. Această abordare a fost oficializată de Méray în 1869 apoi de Cantor în 1872. Această idee, potrivită în special analizei, găsește extensii în metodele de finalizare .
O a doua construcție a fost publicată de Richard Dedekind în 1872. Ea provine din studiul relației de ordine pe fracții. O tăietură Dedekind este un set A de rațional ca orice rațională A este mai mică decât orice rațională a complementul A . Un real este apoi reprezentat printr-o tăietură Dedekind. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 2 este reprezentată de setul raționalelor negative și raționalele pozitive ale pătratelor mai mici de 2. Există variante ale definiției cutoff conform autorilor.
O a treia construcție se bazează pe metoda segmentelor imbricate. O cuibărire este o secvență descrescătoare de intervale închise de numere raționale a căror lungime tinde la 0. Un număr real este apoi definit ca o clasă de modul cuibărire o relație de echivalență. Potrivit lui Mainzer (de) , „verificarea proprietăților câmpului ordonat este relativ dureroasă” , ceea ce explică de ce această abordare pare mai puțin avantajoasă decât cele două precedente. Există, de asemenea, o altă metodă din expansiunile zecimale, însă adunarea și multiplicarea nu sunt operații ușor de definit.
În 1899, David Hilbert a dat prima definiție axiomatică a câmpului numerelor reale. Toate metodele anterioare construiesc „același” set, cel al numerelor reale.
Soluția este mai bogată decât se așteptaXIX - lea secol arată că această nouă structură, setul de numere reale, operațiuni și de relație nu doar își îndeplinește promisiunea , dar merge mai departe.
Evoluția conceptelor de număr real și continuitate este la fel de filosofică pe cât de matematică. Faptul că numerele reale formează o entitate continuă înseamnă că nu există „salt” sau „ band gap ”. Intuitiv, este la fel ca percepția umană asupra spațiului sau fluxul de timp. Anumiți filozofi concep că, de altfel, este exact același lucru pentru toate fenomenele naturale. Acest concept este rezumat prin deviza matematicianului și filosofului Leibniz: natura non facit saltus , „natura nu face salturi”.
Povestea continuității începe în Grecia antică . În V - lea lea î.Hr.. AD , atomii cred nu numai că natura este formată din „salturi”, ci și că există particule de bază nedivizibile, atomi . Cei synechists susțin că totul este conectat, continuu. Democrit este un adept al unei naturi formate din atomi intercalati cu vid, în timp ce Eudoxus îl contrazice, făcând din lucrarea sa unul dintre cei mai vechi precursori ai analizei. Acestea evoluează ulterior către ceea ce este cunoscut sub numele de geometrie euclidiană .
Cu toate acestea, XVII - lea secol , matematicieni énonçaient o funcție continuă este , de fapt format din linii drepte infinit de mici, adică infinitezimal. Acesta este modul în care conceptul de infinit de mic, văzut dintr-o perspectivă atomistă, poate promova acest mod de a concepe natura. Prin urmare, problema infinitului este centrală pentru înțelegerea continuității și a numerelor reale.
De Paradoxurile Zeno ilustrează împotriva-intuitivitatea conceptului de infinit. Una dintre cele mai cunoscute este cea a săgeții, în care ne imaginăm o săgeată în zbor. În orice moment, săgeata se află într-o poziție precisă și dacă momentul este prea scurt, atunci săgeata nu are timp să se miște și rămâne în repaus pentru acel moment. În următoarele momente, ea rămâne nemișcată din același motiv. Săgeata este încă staționară și nu se poate mișca: mișcarea este imposibilă. Pentru a rezolva acest paradox, trebuie să adăugăm aceste infinit de mici de un număr infinit de ori, prin metoda limită , descoperite în timpul evoluției analizei.
Conceptul de continuitate al numerelor reale este central în analiză , de la începutul istoriei sale. O întrebare fundamentală este dacă o funcție dată este de fapt o funcție continuă . În secolul al XVIII- lea , am formulat această întrebare ca „O variație infinitesimală în câmpul său generează o schimbare infinitesimală a imaginii sale? ". În XIX - lea secol , această formulare este abandonată și înlocuită cu limitele .
Din secolul al XVIII- lea , infinitezimalele cad din grație: se spune că sunt folosite practic, dar eronate, inutile și contradictorii. Limitele suplinesc și de la începutul XX - lea secol , infinitezimal nu mai sunt baza analizei. În matematică, ele rămân într-un fel nonconcepte, până când sunt reintroduse cu cheltuieli mari în geometria diferențială , oferindu-le statutul matematic al câmpului tensorial .
În științele aplicate, în special în fizică și inginerie , folosim întotdeauna infinitesimale. Acest lucru cauzează în mod evident probleme de comunicare între aceste științe și matematică.
Putem caracteriza pe scurt mulțimea numerelor reale, pe care le denotăm în general prin propoziția lui David Hilbert : ℝ este ultimul câmp comutativ arhimedean și este complet . „Ultimul” înseamnă că orice câmp comutativ arhimedean este izomorf pentru un subset de ℝ. Aici „izomorf” înseamnă intuitiv că are aceeași formă sau se comportă exact în același mod , deci putem, fără mari dificultăți, să spunem că sunt la fel.
O abordare axiomatică constă în caracterizarea unui concept printr-o serie de definiții. Acest punct de vedere, care este precursorul Hilbert în formalismul modern, sa dovedit extrem de fructuoasă în XX - lea secol. Noțiuni precum topologia, teoria măsurării sau probabilitățile sunt acum definite de o axiomatică. O abordare axiomatică presupune o înțelegere perfectă a structurii în cauză și permite o dovadă a teoremelor numai din aceste definiții. Acesta este motivul pentru care definițiile bune în matematică pot fi atât de puternice. Cu toate acestea, o definiție axiomatică a lui ℝ nu arată că există un astfel de set. Apoi pare necesar să se construiască această structură (a se vedea articolul Construirea numerelor reale ).
Avem mai multe definiții axiomatice echivalente:
Definiția 1 este prezentată la începutul secțiunii. Echivalența dintre definițiile 2 și 3 este demonstrată în articolul Construirea numerelor reale . Echivalența dintre definițiile 3 și 4 este în esență un rezultat pe seturi ordonate (a se vedea articolul Topologia ordinii ).
Unicitatea este până la izomorfism (unic), adică dacă K este un câmp complet ordonat care îndeplinește aceleași ipoteze, atunci există un izomorfism (unic) strict crescător din K în ℝ.
Să detaliați definiția 2:
Această secțiune este în esență tehnică. Se ocupă de proprietățile esențiale și elementare pentru o lucrare analitică despre ℝ.
Următoarea proprietate poate fi dedusă din faptul că ℝ este arhimedean.
Celelalte proprietăți sunt consecințe ale proprietății limitei superioare.
Există un set de funcții deosebit de interesante, polinoamele . Uneori, un polinom poate fi luat în considerare . Adică, este exprimat ca produsul unor polinoame neconstante de grade mai mici. Idealul fiind acela că se poate factoriza orice polinom în factori de gradul 1 (adică sub forma ax + b ). Această proprietate depinde de câmpul pe care construim aceste polinoame. De exemplu , pe domeniul rationale, oricare ar fi n mai întreg decât sau egal cu 2 , există ireductibile polinoame de grad n , adică că ele nu pot fi exprimate sub forma unui produs de polinoame de grade mai mici. Pentru numerele reale, demonstrăm că cel mai mare grad al unui polinom ireductibil este egal cu două. Cu alte cuvinte, dacă polinomul nu se descompune, este pentru că are forma ax 2 + bx + c . Se spune că câmpurile care au numai polinoame de gradul 1 ca polinoame ireductibile sunt închise algebric .
Dacă ℝ nu este închis algebric, putem scufunda acest corp într-un corp mai mare. Acesta este un corp nou, corpul numerelor complexe . Cu toate acestea, acest corp nu este în general „mai bun”. Închiderea sa algebrică este o proprietate foarte interesantă, dar are un cost: domeniul complexelor nu poate avea o relație de ordine compatibilă cu cele două operații ale sale. Într-un fel, ceea ce se câștigă pe o parte se pierde pe cealaltă.
Scopul numerelor reale este de a furniza un set de numere cu proprietățile potrivite pentru a construi analiza. Sunt posibile două abordări care utilizează două concepte diferite.
Eleganța favorizează baza axiomatică mai slabă. În XX - lea de lucru din secolul al reformulare general al matematicii se realizează prin combinația Bourbaki și rezultatele în scris o carte numită elemente matematice . Această lucrare tratează riguros o mare parte a matematicii actuale. Din acest motiv, Elementele dezvoltă și demonstrează proprietățile setului de reali din topologie. Aceasta este alegerea pe care o vom urma aici.
ProprietățiCâte numere reale sunt? Un infinit , dar care? Două seturi au aceeași cardinalitate (intuitiv: același „număr de elemente”) dacă sunt echipotente . De exemplu , seturile ℕ , ℤ , ℚ sau ℚ , deși nested și fiecare chiar conținând mai multe „copii“ ale celui precedent, au aceeași „mărime“: este cardinal de seturi numărabile , notat ℵ₀ . Georg Cantor a arătat că există cardinali infiniti strict mai mari, oferind, prin argumentul său diagonal, o dovadă că ℝ nu este contabil: vezi articolul Argumentul diagonal al lui Cantor . Iată încă una.
O altă dovadă a necontabilității lui ℝSă arătăm că intervalul [0, 1] nu poate fi numărat, arătând că o secvență din [0, 1] nu este niciodată surjectivă . Este suficient să găsiți un punct în [0, 1] care nu se află în setul de imagini al secvenței. Pentru aceasta, să definim prin inducție două secvențe , cum ar fi:
Să inițializăm cele două suite întrebându-ne:
Este evident că proprietatea (1) este adevărată dacă n este egal cu 0. Să ne definim apoi secvențele pentru rangul n + 1.
Intervalul fiind inclus în interval , nu poate conține niciun element al secvenței de ordine strict mai mic decât n , prin ipoteză de inducție . Prin construcție, acesta nu poate conține și proprietatea (1) este verificată.
Cele două secvențe fiind adiacente ( ), limita lor comună aparține, pentru toate n , intervalului , prin urmare este diferită de primele n valori ale secvenței . Deoarece n este arbitrar, propoziția este dovedită.
Cardinalitatea mulțimii numerelor reale se numește puterea continuumului și se notează uneori c . De asemenea, se menționează 2 ℵ₀ deoarece ℝ este de fapt echipotent la setul de părți ale lui ℕ - care, printr-o altă teoremă a Cantorului , oferă o dovadă mai precisă a necontabilității sale:
ℵ₀ = card (ℕ) <card ( P (ℕ)) = card (ℝ) = c .Cantor și-a pus întrebarea existenței unui cardinal strict între ℵ₀ și c . Ipoteza sa, numită ipoteza continuumului , este că un astfel de cardinal nu există. Problema cardinalilor a fost cuprinsă de Cantor într-o teorie mai largă , teoria mulțimilor , care servește acum ca bază pentru o mare parte a matematicii. Abia în a doua jumătate a secolului XX nu a fost găsit răspunsul la întrebarea ipotezei continuumului: este indecidabil în teoria obișnuită a seturilor ( ZFC ). Aceasta înseamnă că este imposibil să demonstrăm atât existența, cât și inexistența unui astfel de cardinal dacă nu modificăm baza axiomatică utilizată.
Mulțimea numerelor reale prevăzute cu adunarea și multiplicarea obișnuită cu numere raționale este un spațiu vectorial peste vector (set de numere raționale). În 1905, în timpul căutării de soluții non- continue la ecuația funcțională a lui Cauchy , Georg Hamel a expus o bază de ℝ considerată ca spațiu vectorial pe . Existența unei astfel de baze este asigurată dacă ne asumăm axioma alegerii . O bază Hamel a lui ℝ este de nenumărat.