Teoria mulțimilor este o ramură a matematicii , creată de matematicianul german Georg Cantor , la sfârșitul XIX - lea secol.
Teoria mulțimilor este dată ca primitive noțiunile de mulțime și apartenență , din care reconstituie obiectele obișnuite ale matematicii: funcții , relații , numere întregi naturale , relative, raționale, numere reale, complexe ... De aceea teoria mulțimilor. teoria mulțimilor este considerată o teorie fundamentală despre care Hilbert ar putea spune că este un „paradis” creat de Cantor pentru matematicieni.
Pe lângă faptul că oferă o bază pentru matematică, Cantor a introdus concepte radical noi cu teoria mulțimilor, inclusiv ideea că există mai multe tipuri de infinit care pot fi măsurate și comparate folosind numere noi ( ordinali și cardinali ).
Datorită modernității sale, teoria mulțimilor a fost extrem de controversată, în special pentru că postulează existența unor mulțimi infinite, în contradicție cu anumite principii ale matematicii constructive sau intuiționiste .
La începutul XX - lea secol, mai mulți factori matematicieni au condus la elaborarea unui axiomatică la teoria mulțimilor: descoperirea paradoxuri , cum ar fi paradoxul lui Russell , dar mai ales sub semnul întrebării în jurul ipoteza continuum care a necesitat o definiție precisă a conceptului de ansamblu. Această abordare formală a condus la mai multe sisteme axiomatice , cele mai cunoscute fiind axiomele ZF , dar și teoria claselor lui von Neumann sau teoria tipurilor de Russell .
Cantor este principalul creator al teoriei mulțimilor pe care l-a introdus la începutul anilor 1880. În timp ce lucra la problemele de unicitate a seriilor trigonometrice în anii 1870, Cantor a fost condus să definească o noțiune de derivare. Seturi de numere reale : dat un set de numerele reale, derivata sa este din care au fost eliminate toate punctele izolate . De exemplu, dacă luăm setul, atunci fiecare număr este izolat, astfel încât este pur și simplu . Acest ultim set poate fi la rândul său derivat, iar derivatul său este setul gol.
Dacă acum luăm, fiecare este izolat în , dar nu mai sunt, deci derivatul este . Prin urmare, vedem că setul poate fi diferențiat de trei ori.
Prin iterarea acest proces, putem construi astfel un set de numere reale , care derivă un număr infinit de ori în următorul sens: dacă notăm derivatul de -lea , atunci ele formează o secvență descrescătoare (pentru includerea) seturilor; derivata infinită a este intersecția a tot ceea ce denotăm . Dar nu se oprește aici: Cantor a descoperit existența unor seturi de reali care conțin puncte izolate, prin urmare este încă diferențiat. Există astfel mulțimi pe care le putem obține un infinit + 1 dată, un infinit + 2 ori, ..., 2 infinități de ori etc. Prin urmare, părea să existe o aritmetică a infinitului și tocmai explicând acest lucru, Cantor a dezvoltat teoria mulțimilor.
Ideea de bază a fost definirea echipotenței : două seturi A și B sunt echipotente sau au aceeași cardinalitate (același număr de elemente atunci când sunt finite), dacă există o modalitate de asociere cu fiecare element al lui A și un singur element a lui B și invers. Astfel , putem arăta că setul de numere întregi naturale are aceeași cardinalitatea ca setul de numere raționale , deși este un subset adecvat al . Se spune că aceste două seturi pot fi numărate infinit . Pe de altă parte, mulțimea numerelor reale nu are aceeași cardinalitate ca sau , ci o cardinalitate mai mare care se numește puterea continuumului . Cantor a dat două dovezi ale a ceea ce este de nenumărat, iar a doua, care folosește un argument cunoscut sub numele de argument diagonal al lui Cantor , a avut o influență extraordinară și a avut multe și diverse aplicații în logică și matematică.
Cantor a aprofundat teoria și a construit ierarhii infinite de mulțimi infinite, numere ordinale și numere cardinale . Aceste construcții au fost controversate în timpul său, opoziția fiind condusă de finitistul Leopold Kronecker ; dar astăzi sunt acceptate de majoritatea matematicienilor.
Noțiunea de cardinalitate a unui set l-a determinat pe Cantor să pună o întrebare care urma să devină fundamentală: există seturi de reali care sunt nenumărate (au strict mai multe elemente decât ), dar, de asemenea, nu au puterea continuă (au strict mai puține elemente) decât )? Această întrebare (posibilul răspuns negativ la care se cunoaște sub numele de ipoteza continuumului ) nu a primit un răspuns în timpul vieții lui Cantor (până la Gödel în 1938 nu s-a primit un prim jumătate de răspuns), dar a obținut un răspuns. în special dezvoltarea teoriei axiomatice a mulțimilor.
Teoria lui Cantor este considerată „ naivă ”, deoarece nu folosește încă o axiomatică precisă și pentru că pentru el a existat doar o singură teorie de mulțimi, un singur univers de seturi așteptat, în timp ce teoreticienii de astăzi jonglează cu universuri diferite.
După aceasta, am reușit să simplificăm, suficient de nedrept pentru Cantor, rezumând teoria sa la o utilizare tacită a axiomei extensionalității și a unei versiuni prea puternice a schemei axiomelor de înțelegere, care, în esență, ne-ar permite pentru a asocia toate obiectele care verifică această proprietate cu orice proprietate. O astfel de teorie, pe care nu o vom atribui lui Cantor, este contradictorie. Aceasta duce la două familii de paradoxuri. Unele, precum paradoxul lui Berry sau paradoxul lui Richard , se referă la faptul că limbajul nu este bine definit, altele, precum paradoxul lui Russell sau paradoxul celui mai mare cardinal , la o utilizare prea largă a limbajului. Înțelegere : atunci când încercăm să construim setul S = {A | A∉A} dintre toate mulțimile care nu le aparțin, întâlnim o contradicție. Schema actuală a axiomelor de înțelegere , propusă de Zermelo, este restricționată pentru a evita acest paradox.
Cantor știa, înainte de descoperirea paradoxului lui Russell, paradoxuri mai complexe, dar de aceeași natură, precum paradoxul lui Burali-Forti sau paradoxul celui mai mare cardinal . Mulți teoreticieni ai seturilor sunt de acord că cea mai adecvată axiomatizare pentru teoria dezvoltată de Cantor este teoria ZFC cu axioma fondatoare (vezi mai jos) sau teoria claselor lui von Neumann , Gödel și Bernays. , Care este, într-un anumit sens (care poate să fie precis), echivalent.
La începutul secolului, Cantor este din ce în ce handicapat de starea lui nervos, dar soluțiile sale la paradoxurile circula corespondența și sunt cunoscute la sfârșitul XIX - lea secol, de la Richard Dedekind și în Göttingen lui David Hilbert și gol marcat de Ernst Zermelo . Cu toate acestea, pentru mulți matematicieni ai vremii, paradoxurile pun la îndoială validitatea teoriei mulțimilor, soluțiile propuse de Cantor sunt prea informale pentru a-i convinge pe cei care le cunosc. Unii se îndreaptă spre metoda axiomatică, ilustrată în același timp de Hilbert pentru fundamentele geometriei (1899).
Astfel, în 1908 , Ernst Zermelo a construit un sistem de axiome pentru teoria mulțimilor. În afară de axioma extensionalității , se pot vedea aceste axiome ca o restricție a versiunii contradictorii a schemei axiomelor de înțelegere la cazurile utile particulare, care nu permit derivarea paradoxurilor. În acest sistem, el include, de asemenea, axioma alegerii (care nu are nimic de-a face cu înțelegerea), o axiomă la acea vreme foarte controversată, cu care a arătat (în 1904) teorema bunei ordine și care a fost, de asemenea, implicit folosită de Cantor. Sistemul lui Zermelo a fost completat în anii 1920 de Abraham Adolf Fraenkel și Thoralf Skolem , care ar adăuga schema de axiome de înlocuire (un alt caz special de înțelegere nelimitată), dând teoria cunoscută astăzi sub numele de ZF (fără axioma de alegere) sau ZFC (cu axioma de alegere). Alți autori au lucrat de atunci asupra problemei axiomatizării teoriei mulțimilor, în special John von Neumann care a definit o alternativă foarte interesantă la ZF : teoria claselor .
Axioma de alegere a apărut în mod explicit într - o publicație de Ernst Zermelo din 1904, adică înainte de publicarea axiomatizarea sale de teoria mulțimilor. Axioma alegerii este într-adevăr de o natură diferită de celelalte axiome ale teoriei mulțimilor menționate mai târziu și care, în cea mai mare parte, rezultă dintr-o analiză atentă a înțelegerii nelimitate . Într-adevăr, axioma alegerii nu oferă o definiție explicită a setului construit (set de alegere sau funcție de alegere în funcție de versiune). Pe de altă parte, în articolul său din 1904, Zermelo demonstrează cu axioma de alegere celebra sa teoremă, care afirmă că orice set poate fi bine ordonat, o propoziție care nu are nimic evident din punct de vedere intuitiv, chiar și numai pentru „setul de reali”. Axioma de alegere a fost utilizată tacit cel puțin de Georg Cantor , dar publicația lui Zermelo a stârnit dezbateri aprinse în rândul matematicienilor vremii.
Axioma alegerii este, de altfel, foarte legată de infinitul matematic, de fapt, axioma alegerii este intuitivă adevărată pentru un număr finit de alegeri și, în plus, este complet demonstrabilă în acest caz din celelalte axiome ale teoriei mulțimilor. Acum suntem în jurul anului 1904 în mijlocul controversei declanșate de descoperirea paradoxurilor. Diverse concepții ale infinitului matematic se ciocnesc apoi. Acest lucru va merge până la chestionarea radicală a fundamentelor matematicii de către Luitzen Egbertus Jan Brouwer , fondatorul intuiționismului , care exclude principiul părții terțe excluse , care este situat bine în amonte de axioma alegerii. Cu toate acestea, la acea vreme, unii matematicieni care nu au mers atât de departe și acceptă anumite forme de raționament non-constructiv, erau precauți de axioma alegerii. Émile Borel a scris din nou în 1950: „Este deja un rezultat important obținut de oponenții axiomei lui Zermelo ca toți cei care admit această axiomă să aibă grijă, atunci când obțin o nouă teoremă, să precizeze dacă dovada acestei teoreme necesită sau nu utilizarea axiomei lui Zermelo. Această axiomă a creat astfel o ramură separată a matematicii; importanța și interesul acestei ramuri îi va decide soarta. „ Putem spune încă că astăzi, tocmai am văzut utilizarea sa în ramuri importante ale matematicii, axioma alegerii este larg acceptată.
Acest lucru cu atât mai mult cu cât știm din lucrarea lui Gödel că admiterea axiomei alegerii nu este mai „riscantă”, în sensul că arată că, dacă teoria ZFC a fost inconsecventă, și teoria ZF (vezi secțiunea privind rezultatele independenței) în teoria mulțimilor de mai jos).
Am identificat, de asemenea, restricții ale axiomei alegerii, cum ar fi axioma alegerii numărabile (ceea ce face posibil, de exemplu, să arătăm că o uniune numărabilă a seturilor numărabile este numărabilă), ea însăși o consecință a axiomei seturilor numărabile . alegere dependentă (care permite de exemplu să arate existența unei secvențe descrescătoare infinite pentru o relație nefondată ). Astfel Robert Solovay a publicat în 1970 coerența teoriei ZF + axioma alegerii dependente + orice subset de numere reale este măsurabilă prin Lebesgue, o teorie care contrazice axioma alegerii în toată generalitatea sa, relativ la teoria ZF + există o cardinal inaccesibil (o întărire a teoriei ZF care face posibilă arătarea coerenței ZF). Cu toate acestea, axioma alegerii numărabile este insuficientă în geometria algebrică, deoarece tratamentul câmpurilor închise algebric necesită lema lui Zorn echivalentă cu axioma alegerii; de aceea teorema conform căreia orice câmp poate fi scufundat într-un câmp închis algebric se bazează pe axioma de alegere generală.
Unul dintre cele mai bune exemple de ciudățenii la care duce axioma alegerii este cu siguranță paradoxul Banach-Tarski , publicat în 1924 care, folosind axioma alegerii, afirmă că se poate tăia o sferă într-un număr finit de piese, să le mute. printr-o serie de mișcări rigide ( translație și rotație ), permițând anumitor piese să traverseze altele și să le reunească, formând două copii ale sferei originale. Acest lucru pare să contrazică intuiția noastră fizică a noțiunii de volum, dar paradoxul Banach-Tarski implică părți care nu pot fi măsurate.
Sistemele axiomatice pentru teoria mulțimilor, ZF , clasa teorie , teoria de tip sunt echivalente cu cel puțin în sensul că toți fac posibilă pentru a reprezenta elementele esențiale ale matematicii. Printre acestea ZF este cel mai frecvent și de aceea i se oferă o descriere informală aici.
Teoria pe care se bazează pe axiomele originale Zermelo se numește Zermelo teoria sau teoria Z . Dacă o completăm prin axioma de înlocuire a lui Fraenkel, obținem teoria lui Zermelo-Fraenkel, sau mai simplu teoria ZF , deși forma finală a axiomelor se datorează lui Skolem. Când îi adăugăm axioma alegerii, obținem teoria ZFC („C” pentru „alegere”).
Un aspect important al teoriei ZF este că toate obiectele cu care se ocupă sunt mulțimi și pot fi doar mulțimi. În special, fiecare element al unui set este el însuși un set. Prin urmare, alte obiecte matematice familiare, cum ar fi numerele, trebuie definite în termeni de mulțimi.
În mod strict vorbind, axiomele ZF sunt pur și simplu afirmații ale calculului predicatelor egalitare de prim ordin într-un limbaj care are un singur simbol primitiv pentru apartenență ( relație binară ). Prin urmare, ceea ce urmează ar trebui văzut doar ca o încercare de a exprima în franceză semnificația așteptată a acestor axiome. Mai mult, axioma de separare (sau de înțelegere) și axioma de înlocuire sunt de fapt scheme infinite de axiome.
Primele rezultate notabile de independență în teoria mulțimilor sunt cele ale lui Kurt Gödel, care demonstrează că axioma alegerii este compatibilă cu teoria ZF, cu alte cuvinte, dacă teoria ZF este consecventă , atunci teoria ZFC este de asemenea consecventă. De asemenea, arată același rezultat pentru ipoteza continuumului în ceea ce privește ZF sau ZFC. Gödel folosește metoda numită de la metoda modelelor interioare , echivalează cu construirea, de exemplu într-un model de ZF care nu îndeplinește neapărat axioma alegerii, o subclasă a acesteia care are o nouă relație de apartenență care să satisfacă axioma alegerii. Prin urmare, o contradicție a teoriei ZFC duce la o contradicție a teoriei ZF.
Paul Cohen , în 1963, demonstrează că negarea ipotezei continuumului (HC) este compatibilă cu teoria ZFC: dacă teoria ZFC este consecventă , atunci teoria ZFC + (non HC) este de asemenea consecventă. Metoda pe care a introdus-o, forțând , avea să aibă un succes enorm în teoria mulțimilor. Reformulat, extins, iterat (în) , a permis să arate multe rezultate ale independenței.
Rezultatele independenței anterioare se bazează pe rezultate echicohérence (sau équiconsistance) , de exemplu consistența teoriei ZF aduce coerență ZF + AC (invers este evident). Dar pentru alte axiome, cum ar fi axiomele cardinalilor mari, acest lucru nu este cazul: în teoria ZFC + „există un cardinal inaccesibil” putem arăta existența unui model de ZFC, este adică consistența această teorie. A doua teoremă a incompletitudinii lui Gödel ne permite să deducem că existența unui cardinal inaccesibil nu este dovedibilă în ZFC (presupunând bineînțeles că această ultimă teorie este consecventă). Prin urmare, a doua teoremă a incompletitudinii face posibilă demonstrarea rezultatelor independenței. Se folosește mai mult pentru a compara teorii, o teorie fiind „mai puternică” decât alta dacă își poate demonstra consistența.