Spațiu separat
În matematică , un spațiu separat , numit și spațiu Hausdorff , este un spațiu topologic în care oricare două puncte distincte admit întotdeauna vecinătăți disjuncte . Această condiție este numită și axioma T 2 în cadrul axiomelor de separare .
Numele se referă la Felix Hausdorff , un matematician german și unul dintre fondatorii topologiei , care a inclus această condiție în definiția sa originală a spațiului topologic.
Această proprietate de separare este echivalentă cu unicitatea limitei oricărui filtru convergent (sau ceea ce echivalează cu același lucru: al oricărei secvențe generalizate convergente).
Exemple și contra-exemple
Tot spațiul metric este separat. Într-adevăr, două puncte situate la o distanță L una de cealaltă admit ca cartiere disjuncte bilele de rază L / 3 centrate pe fiecare dintre ele.
Orice spațiu discret este separat, fiecare singleton constituind o vecinătate a elementului său. În special, un spațiu discret nenumărat este separat și nu poate fi separat .
Topologia comenzii asociate cu o ordine totală este separată.
Exemple de spații nedespărțite sunt date de:
- orice set având cel puțin două elemente și prevăzut cu topologia grosieră (întotdeauna separabilă );
- orice set infinit dotat cu topologia co-finită (care satisface totuși axioma T 1 a spațiului accesibil );
- unele spectre inelare prevăzute cu topologia Zariski .
Principalele proprietăți
- Pentru orice funcție f cu valori într-un spațiu separat și orice punct a care aderă la domeniul definiției lui f , limita lui f la a , dacă există, este unică. Această proprietate este echivalentă cu unicitatea limitei oricărui filtru convergent (sau a oricărei secvențe convergente generalizate) cu valori în acest spațiu.
- În special, limita unei secvențe de valori într-un spațiu separat, dacă există, este unică.
- Două mapări continue cu valori într-o parte care coincid pe o parte densă sunt egale. Mai explicit: dacă Y este separat, dacă f , g : X → Y sunt două hărți continue și dacă există o parte densă D în X astfel încâtasa de
- O topologie mai fină decât o topologie separată este întotdeauna separată.
- Orice subspatiu al unui spatiu separat este separat.
- Un produs din spații topologice neîmprăștiate este separat dacă și numai dacă fiecare dintre ele este.
Pe de altă parte, un coeficient de spațiu al unui spațiu separat nu este întotdeauna separat.
- X este separat dacă și numai dacă, în spațiul produsului X × X , diagonala {( x , x ) | x ∈ X } este închis .
- Graficul unei hărți continuă f : X → Y este închis în X x Y cât mai curând Y este separat. (Într-adevăr, diagonala lui Y este apoi închisă în Y × Y, prin urmare, graficul lui f , imagine reciprocă închis de harta continuă f × id Y : ( x , y ) ↦ ( f ( x ), y ), este închis în X × Y. ) „ Reciprocul ” este fals, în sensul că o mapare grafică închisă nu este neapărat continuă, chiar dacă spațiul de sosire este separat.
- X este separat dacă și numai dacă, pentru orice punct x al lui X , intersecția vecinătăților închise ale lui x este redusă la singletonul { x } (ceea ce duce la separarea T 1 : intersecția tuturor vecinătăților lui x este redusă în singleton).
Spațiu separat local
Un spațiu topologic X este separat local atunci când orice punct al lui X admite o vecinătate separată.
Un astfel de spațiu este întotdeauna T 1, dar nu este neapărat separat sau chiar doar la o singură limită secvențială . Putem de exemplu să luăm în considerare linia reală furnizată cu topologia sa obișnuită și să adăugăm un punct 0 '(care clonează 0 real) ale cărui vecinătăți sunt vecinătățile 0 în care înlocuim 0 cu 0'. În acest spațiu, secvența (1 / n ) converge atât către 0 cât și 0 '.
Note și referințe
- Pentru o demonstrație, a se vedea de exemplu .
- Considerând orice secvență ca o funcție definită pe ℕ, la care punctul este aderent în ℕ ∪ {+ ∞} înzestrat cu topologia ordinii .
- Este, de asemenea, o consecință a faptelor (demonstrate în articolul Axioma separării (topologie) ) că orice spațiu separat este KC și tot spațiul KC are o limită secvențială unică.
- Pentru o demonstrație, a se vedea, de exemplu, .
