Multiplicare

Multiplicarea este una dintre cele patru operații de aritmetică elementară , cu adaos , scăderea și diviziunea . Această operație este adesea notată cu crucea de înmulțire "×", dar poate fi notată și prin alte simboluri (de exemplu punctul de mijloc "·") sau prin absența unui simbol.

Rezultatul său se numește produs , numerele pe care le înmulțim sunt factorii .

Înmulțirea a două numere a și b se spune indiferent în franceză „a multiplicat cu b” sau „b ori a”.

Înmulțirea a două numere întregi poate fi văzută ca o adunare repetată de mai multe ori. De exemplu, „de 3 ori 4” poate fi văzut ca suma a trei numere 4; „De 4 ori 3” poate fi văzut ca suma a patru numere 3:

De 3 ori 4 = 4 înmulțit cu 3 = 4 × 3 = 4 + 4 + 4; 4 ori 3 = 3 înmulțit cu 4 = 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3;

cu: $3 \ ori 4 = 4 \ ori 3 = 12.$ Înmulțirea poate fi utilizată pentru a număra elemente dispuse într-un dreptunghi sau pentru a calcula aria unui dreptunghi a cărui lungime și lățime sunt cunoscute. De asemenea, face posibilă determinarea unui preț de achiziție, cunoscând prețul unitar și cantitatea achiziționată.

Înmulțirea este generalizată la alte seturi decât numerele clasice (întregi, relative, reale). De exemplu, se poate multiplica complex între ele, funcțiile , ale matricilor și chiar vectori de numere.

Notări

În aritmetică , înmulțirea este adesea scrisă folosind semnul „×” între termeni, adică în notație infixată . De exemplu,

{\ displaystyle 2 \ times 3 = 6}

(oral, „de trei ori (numărul) două este egal cu șase”)

{\ displaystyle 3 \ times 4 = 12}

{\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 5 = 6 \ times 5 = 30}

{\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 2 \ times 2 \ times 2 = 32}

Acest simbol este codificat în Unicode U + 00D7 × semn de multiplicare ( HTML : × ×) . În modul matematic în LaTeX , este scris \times.

Există alte notații matematice pentru multiplicare:

Înmulțirea este notată și printr-un punct, în înălțime medie sau mică: $5 \cdot 2$ sau $5. 3$
În algebră , o multiplicare care implică variabile este adesea scrisă printr-o simplă juxtapunere (de exemplu, xy pentru x ori y sau 5 x pentru cinci ori x ), numită și multiplicare implicită . Această notație poate fi utilizată și pentru cantități care sunt înconjurate de paranteze (de exemplu, 5 (2) sau (5) (2) de cinci ori două). Această utilizare implicită a multiplicării poate crea ambiguități atunci când concatenarea variabilelor corespunde cu numele unei alte variabile sau când numele variabilei dinaintea parantezei poate fi confundat cu numele unei funcții sau pentru determinarea ordinii operațiilor .
În multiplicarea vectorului, simbolurile cruce și punct au semnificații diferite. Simbolul încrucișat reprezintă produsul încrucișat al a doi vectori de dimensiunea 3, oferind un vector ca rezultat, în timp ce simbolul punct reprezintă produsul punct al a doi vectori de aceeași dimensiune (posibil infinit), oferind un scalar .
În programarea computerului , asteriscul (ca în 5*2) este notația cea mai comună. Acest lucru se datorează faptului că, în mod istoric, computerele erau limitate la un set mic de caractere (cum ar fi ASCII sau EBCDIC ) care nu aveau un simbol ca ⋅sau ×, în timp ce asteriscul se găsește pe toate tastaturile. Această utilizare își găsește originile în limbajul de programare FORTRAN .

Înmulțirea în seturi de numere

Înmulțirea în numere întregi

A înmulți un număr întreg cu altul înseamnă a adăuga acest număr întreg în sine de mai multe ori. Deci, să înmulțești 6 cu 4 înseamnă să calculezi 6 + 6 + 6 + 6, rezultatul 6 × 4 se spune de 4 ori 6 (ca de 4 ori numărul 6 ) sau 6 înmulțit cu 4 . Rezultatul acestei operații îl numim produsul de 6 cu 4. În această înmulțire, 6 se numește multiplicand, deoarece acesta se repetă și 4 se numește multiplicator, deoarece indică de câte ori 6 trebuie repetat.

Cu toate acestea, faptul că de 4 ori 6 este egal cu 6 ori 4, face această distincție inutilă, iar cele două numere sunt numite factori ai produsului. Acesta este notat 6 × 4 - care citește indiferent „de patru ori șase” sau „șase înmulțit cu patru” - sau 4 × 6. În cărțile școlare aritmetice din ultimele două secole, citim mai degrabă în al doilea mod inițial. „Times” a fost simțit a fi mai puțin precis (cum ar fi „și„ pentru adăugare).

Nu este eficient, pe termen lung, să vezi multiplicarea ca adunare repetată. Prin urmare, este necesar să învățați rezultatul înmulțirii tuturor numerelor întregi de la 1 la 9. Acesta este scopul tabelului de înmulțire .

Înmulțirea în numere întregi îndeplinește următoarele proprietăți:

putem modifica ordinea factorilor fără a modifica rezultatul final: a × b = b × a. Spunem că multiplicarea este comutativă ;
când trebuie să înmulțești trei numere între ele, poți fie să înmulțești primele două, cât și să înmulțești rezultatul obținut cu al treilea factor sau să înmulțești între ele ultimii doi, apoi să înmulțești rezultatul cu primul număr: (a × b) × c = a × (b × c). Spunem că multiplicarea este asociativă ;
când trebuie să înmulțiți o sumă (sau o diferență) cu un număr, puteți calcula mai întâi suma și înmulți rezultatul cu numărul sau altfel, mai întâi înmulțiți fiecare termen al sumei cu acest număr și apoi efectuați suma: ( a + b) × c = (a × c) + (b × c). Spunem că multiplicarea este distributivă pentru adunare deoarece am distribuit c la cei doi termeni ai sumei.

Parantezele indică ordinea în care ar trebui efectuate operațiile. În practică, pentru a evita să trageți prea multe paranteze, folosim, prin convenție, următoarea regulă de prioritate: înmulțirile se efectuează întotdeauna înainte de adăugări. Astfel, în scrierea 4 + 5 × 2, trebuie să citim 4 + (5 × 2), adică 4 + 10 = 14 și nu (4 + 5) × 2 care ar fi valorat 18.

4 + 5 \ times 2 = 4 + (5 \ times 2) = 4 + 10 = 14,

(4 + 5) \ times 2 = 9 \ times 2 = 18 \ neq 4 + 5 \ times 2.

Această regulă se numește prioritate de funcționare .

Ultima proprietate se referă la comparații. Dacă două numere sunt aranjate într-o anumită ordine și înmulțite cu același număr strict pozitiv, rezultatele vor fi ordonate în aceeași ordine. Dacă a <b atunci a × c <b × c. Spunem că înmulțirea cu numere întregi pozitive este compatibilă cu ordinea.

Simbolul folosit pentru înmulțire este crucea × (a × b), dar găsim și în calculele cu litere punctul (a b) sau chiar nimic (ab) dacă nu există o ambiguitate posibilă. $\ cdot$ $\ cdot$

Există două operațiuni oarecum specifice:

înmulțirea cu 1 care nu schimbă factorul: 1 × a = a × 1 = a. Spunem că 1 este un element neutru pentru multiplicare;
înmulțirea cu 0 care dă întotdeauna 0: 0 × a = a × 0 = 0. spunem că 0 este un element absorbant pentru înmulțire.

Înmulțirea în zecimale

Pentru a multiplica zecimalele între ele, folosim faptul că produsele pot fi realizate în orice ordine. Dacă vrem să înmulțim, de exemplu, 43,1 cu 1,215, facem următoarele observații

{\ displaystyle {\ begin {align} 43,1 \ times 1.215 & = \ left (431 \ times {\ frac {1} {10}} \ right) \ times \ left (1 \; 215 \ times {\ frac {1} {1 \; 000}} \ right) \\ & = (431 \ times 1 \; 215) \ times \ left ({\ frac {1} {10}} \ times {\ frac {1} { 1 \; 000}} \ right) \\ & = (431 \ times 1 \; 215) \ times {\ frac {1} {10 \; 000}}. \ End {align}}}

De acolo se naște regula: pentru a înmulți între ele două zecimale, se numără numărul de cifre situat după punctul zecimal din cele două numere și se face suma. Produsul este apoi realizat, fără a lua în considerare virgula. În cele din urmă, plasăm virgula în rezultatul final, lăsând la dreapta atâtea cifre cât suma am obținut anterior.

3,15 × 1,2 =? (există 3 cifre după punctul zecimal, 2 în primul număr și 1 în al doilea număr) 315 × 12 = 630 × 6 = 3.780 3,15 × 1,2 = 3,780 = 3,78.

Această regulă funcționează deoarece calculul „fără a lua în considerare punctul zecimal” revine la multiplu 3,15 cu 100, pentru a obține 315 și pentru a înmulți 1,2 cu 10 pentru a obține 12. Aceste înmulțiri trebuie compensate la sfârșitul calculului prin înmulțire. invers, deci o divizare, la 100 și la 10: 3 780 devine apoi 378 apoi 3,78, dând rezultatul operației solicitate.

Înmulțirea cu numere negative

Putem vedea produsul de 4 ori (–6) ca suma a (–6) repetată de 4 ori, adică (–6) + (–6) + (–6) + (–6) = –24.

De asemenea, putem vedea produsul (–4) ori (6) ca un număr 6 pe care îl eliminăm de 4 ori. Astfel, a face produsul de (–4) ori 6 înseamnă a scădea 24, pe care îl scriem (–4) × 6 = –24.

În cele din urmă, putem vedea produsul (–4) ori (–6) ca număr (–6) pe care îl scădem de 4 ori, deci trebuie să scădem –24. Eliminarea –24 înseamnă a adăuga 24 deci (–4) × (–6) = 24.

Aceste exemple explică regula pentru numerele cu semn. Pentru a produce produsul a două numere semnate, realizăm produsul valorilor absolute ale acestora și atribuim rezultatul semnului - dacă semnele celor doi factori sunt diferite și semnul plus (+) dacă cei doi factori au același lucru semn.

Aceste reguli pot fi rezumate după cum urmează:

mai puțin de mai puțin egali mai mult mai puțin cu mai mult egal cu mai puțin mai mult cu mai puțin egal cu mai puțin mai mult de mai mult egal mai mult

Înmulțirea în numere întregi relative are aceleași proprietăți ca înmulțirea în numere întregi naturale (este comutativă, asociativă, distributivă pentru adunare) cu o singură excepție: nu păstrează întotdeauna ordinea: dacă două numere sunt aranjate într-o anumită ordine și dacă le înmulțim de un întreg strict pozitiv, ordinea este păstrată

–2 <3 și (–2) × 4 <3 × 4

dar dacă îl înmulțim cu un număr strict negativ, ordinea este inversată

(–2) <3 și (–2) × (–4)> 3 × (–4).

Înmulțirea în fracții

Înmulțirea a două fracții între ele înseamnă înmulțirea numărătorilor și a numitorilor dintre ele:

{\ frac ab} \ times {\ frac cd} = {\ frac {a \ times c} {b \ times d}}.

În mulțimea ℚ a numerelor raționale , înmulțirea păstrează proprietățile deja enunțate cu aceeași dificultate în ceea ce privește ordinea și înmulțirea cu un număr negativ.

Înmulțirea în reali

Este o generalizare a multiplicării anterioare. Păstrează aceleași proprietăți.

Verso

Reciprocul unui număr pentru înmulțire este numărul cu care trebuie înmulțit pentru a obține 1.

De exemplu :

inversul lui 10 este 0,1 deoarece 10 × 0,1 = 1;
inversul lui 2 este 0,5 deoarece 2 × 0,5 = 1;
inversul lui 3 ⁄ 4 este 4 ⁄ 3 deoarece 3 ⁄ 4 × 4 ⁄ 3 = 12 ⁄ 12 = 1.

Inversul numărului a este notat cu 1 ⁄ a sau chiar cu −1 .

Asa de :

inversul lui $π$ este notat cu $1 ⁄ π$ ;
inversul lui 2 este notat cu 1 ⁄ 2 = 0,5.

În funcție de seturile de numere, nu găsim întotdeauna un invers în set:

în mulțimea numerelor întregi, numai 1 și –1 au invers;
oricare ar fi setul de numere care verifică 0 ≠ 1, 0 nu are invers deoarece 0 înmulțit cu a dă întotdeauna 0 și niciodată 1;
în mulțimea raționalelor și în mulțimea realelor, toate numerele cu excepția 0 au un invers.

Cea de-a patra operație a matematicii elementare, împărțirea poate fi apoi văzută ca multiplicare prin invers.

Multiplu

Spunem că un număr a este multiplu al unui număr b dacă este rezultatul înmulțirii lui b cu un număr întreg (natural sau relativ)

a este un multiplu al lui b dacă și numai dacă există un număr întreg k astfel încât a = k × b

Când a și b sunt întregi, spunem, de asemenea, că a este divizibil cu b.

Conceptul de corp ordonat

În mulțimea numerelor raționale și în mulțimea numerelor reale , găsim următoarele proprietăți pentru înmulțire:

Asociativitate	Pentru toate a, b, c, a × (b × c) = (a × b) × c
Comutativitate	Pentru toate a și b, a × b = b × a
Element neutru	Pentru toate a, a × 1 = 1 × a = a
Verso	Pentru orice a diferit de zero, există un −1 astfel încât a × a −1 = 1
Distributivitate	Pentru toate a, b și c, (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Element absorbant	pentru toate a, a × 0 = 0 × a = 0
Ordin	Pentru toate a> 0 și toate b și c, dacă b <c atunci ab <ac

Aceste proprietăți asociate cu cele posedate prin adunare pe aceste seturi fac ℝ și ℚ, prevăzute cu adunare și multiplicare, seturi speciale numite câmpuri ordonate .

Tehnici de multiplicare

Cu excepția multiplicării egiptene și a variantei sale rusești care utilizează un principiu binar, tehnicile de multiplicare care s-au dezvoltat de-a lungul secolelor utilizează sistemul zecimal și necesită, în cea mai mare parte, cunoașterea tabelului de înmulțire a numerelor de la 1 la 9, precum și a principiului de distributivitate. Deci, pentru a înmulți 43 cu 25, scriem că 43 × 25 = 43 × (2 zeci + 5) . Apoi distribuim diferiții termeni

43 × 25 = 43 × 2 zeci + 43 × 5 cele. 43 × 25 = (4 × 2 sute + 3 × 2 zeci) + (4 × 5 zeci + 3 × 5 cele) = 8 sute + 6 zeci + 20 zeci + 15 cele = 1.075.

Diferitele metode constau în prezentarea acestui calcul într-un mod practic. Găsim astfel metoda chineză care începe cu greutățile puternice, adică multiplicarea cifrelor cele mai îndepărtate spre stânga. Această metodă este cea utilizată în multiplicarea cu abac . Dar sunt posibile și alte metode, cum ar fi cea folosită în mod obișnuit în școlile franceze, constând în „poziționarea înmulțirii” înmulțind 43 mai întâi cu 5 apoi cu 2 zeci și însumând.

Alte tehnici care utilizează același principiu au fost dezvoltate ca foaia de înmulțire utilizată în secolul al IX- lea de Al-Khwarizmi sau înmulțirea prin gelozii folosite în Evul Mediu în Europa . Acesta din urmă a dat naștere la fabricarea de bastoane automatizând calculul: bastoanele Napier .

Majoritatea acestor tehnici necesită cunoașterea tabelelor de înmulțire . Au fost folosite foarte devreme. Găsim urme de exemplu în Nippur în Mesopotamia 2000 ani î.Hr. AD pe tablete rezervate pentru instruirea ucenicilor cărturari.

Memorarea tabelelor pentru numerele cuprinse între 6 și 9 este uneori dificilă. Georges Ifrah indică o modalitate simplă de a multiplica cu numerele degetelor cuprinse între 6 și 9. Pe fiecare mână, se trasează câte degete câte unități care depășesc 5 pentru fiecare dintre numerele respective. Deci, pentru a înmulți 8 cu 7, punem 3 degete ale mâinii stângi și două degete ale mâinii drepte. Suma degetelor verticale dă numărul de zeci, iar produsul degetelor pliate dă numărul de adunări. Astfel, în exemplu, există 5 degete ridicate , deci 5 zeci . Există 2 degete pliate într-o mână și 3 degete pliate în cealaltă, ceea ce dă 2 × 3 = 6 unități sau 7 × 8 = 56 .

Explicația matematică apelează încă o dată la distributivitate: dacă numim x și y numărul de degete pliate, numerele degetelor erecte sunt a = 5 - x și b = 5 - y și efectuăm înmulțirea de 10 - x cu 10 - y:

(10 - x) (10 - y) = 10 (10 - x) - (10 - x) y = 10 (10 - x) - 10y + xy = 10 (10 - x - y) + xy = 10 (a + b) + xy.

Există o tehnică similară pentru a înmulți numerele între 11 și 15. Folosim doar degetele ridicate. Numărul degetelor erecte dă numărul de zeci de adăugat la 100, iar produsul degetelor erecte dă numărul de degete de adăugat.

Notări

În tăblițele babiloniene, există o ideogramă care reprezintă multiplicarea A - DU.

În elementele lui Euclid , multiplicarea este văzută ca calculul unei zone. Deci, pentru a reprezenta produsul a două numere, vorbim despre un dreptunghi ABCD, în care laturile AB și AD reprezintă cele două numere. Produsul celor două numere se numește apoi dreptunghi BD (implică aria dreptunghiului cu laturile AB și AD).

Diofant , pe de altă parte, nu folosește un simbol special pentru multiplicare, plasând numerele unul lângă altul. Găsim aceeași lipsă de semn în matematica indiană, numerele sunt adesea plasate una lângă alta, uneori separate printr-un punct sau uneori urmate de abrevierea bha (pentru bhavita, produsul).

În Europa, înainte ca limbajul simbolic să fie admis definitiv, operațiunile erau exprimate în propoziții scrise în latină. Deci de 3 ori 5 a fost scris 3 în 5.

În secolul al XVI- lea , se vede simbolul M folosit de Stifel și Stevin . Crucea Sfântului Andrei × este utilizat pentru a desemna o multiplicare cu Oughtred in 1631 ( Clavis Mathematicae ). Dar găsim în acest moment alte notații, de exemplu o virgulă precedată de un dreptunghi în Hérigone , „5 × 3” scriind „☐ 5, 3:„. Johann Rahn folosește simbolul * pentru el în 1659. Punctul este folosit de Gottfried Wilhelm Leibniz, care găsește crucea prea aproape de litera x. La sfârșitul XVII - lea secol , nu există încă nici un semn stabilit pentru multiplicare, într - o scrisoare către Hermann, Leibniz afirmă că nu are nevoie de majorarea să fie exprimată doar prin încrucișări dar putem folosi , de asemenea , virgule, puncte sau spații.

Abia în secolul al XVIII- lea se generalizează utilizarea punctului pentru multiplicare în limbajul simbolic.

Înmulțirea mai multor factori între ei

Deoarece înmulțirea este asociativă, nu este necesar să se stabilească o prioritate pentru înmulțirile care trebuie efectuate. Cu toate acestea, rămâne să se definească modul de scriere a produsului dintr-un număr nedeterminat de factori.

\ underbrace {a \ times \ cdots \ times a} _ {n}

înseamnă că am multiplicat factorul a în sine de n ori . rezultatul este notat un n și citește „ o la puterea n “.

1 \ times 2 \ times \ cdots \ times n

înseamnă că am făcut produsul tuturor numerelor întregi de la 1 la n , rezultatul este notat cu n ! și citește „ n factorial ”.

Dacă este o succesiune de numere, înseamnă că am produs produsul acestor n factori între ei. Este remarcat și acest produs $(x_ {i})$ $x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ cdots \ times x_ {n}$

\ prod _ {{k = 1}} ^ {n} x_ {k}.

Dacă expresia are un sens, limita produsului precedent atunci când n se apropie de infinit se numește produs infinit și este scrisă

\ prod _ {{k = 1}} ^ {{+ \ infty}} x_ {k}.

Note și referințe

Colectiv, Mică enciclopedie a matematicii , Didier, 1980, p. 24.
Charles Briot , Elements of arithmetic ... , Dezobry, E. Magdéleine et Cie, 1859, p. 27 .
Tehnică de multiplicare așezată pentru numere întregi, [1] .
Tablete NI 2733 sau HS 0217a în Le calcul sexagesimal en Mésopotamie de Christine Proust despre matematica culturii sau matematica mesopotamiană, 2100-1600 î.Hr. de Eleanor Robson p. 175.
Georges Ifrah, Istoria universală a cifrelor , Prima mașină de calculat: mână - elemente de calcul digital.
(en) Florian Cajori , A History of Mathematical Notations [ detaliu ediții ], vol. 1, paragrafele 219-234.
Michel Serfati, Revoluția simbolică , p. 108 .

Vezi și tu

Înmulțirea în complexe
Produs Matrix
Înmulțirea unui vector cu un real în calcul vectorial în geometria euclidiană
Crucea de multiplicare