Sistem numeric

Un sistem de numerotare este un set de reguli care guvernează una sau mai multe numerotări date. Mai explicit, este un set de reguli pentru utilizarea semnelor , cuvintelor sau gesturilor care fac posibilă scrierea, starea sau imitarea numerelor , acestea din urmă fiind născute, în forma lor scrisă, în același timp decât scrisul , din necesitatea de a organizează recolte, comerț și întâlniri . Sistemul numeric indo-arab este astăzi cel mai utilizat în lume.

Principiu de bază

Cel mai vechi sistem de numerotare, numit unar , se dovedește impracticabil, mai ales atunci când vine vorba de manipularea unor cantități mari. Pentru a remedia acest neajuns, soluția constă în gruparea unităților în pachete de fiecare dată când se atinge aceeași valoare, care se numește baza numărului . La fel, aceste pachete sunt grupate în pachete de ordin superior și așa mai departe. De obicei, numărul de elemente din fiecare pachet, care oferă baza numărării, este același. Cu toate acestea, există excepții, de exemplu în nota noastră de ore: șaizeci de secunde pentru un minut, șaizeci de minute pentru o oră, douăzeci și patru de ore pentru o zi, douăzeci și opt până la treizeci și unu de zile pentru o lună. La fel, numerația mayașă , cu caracter vigesimal , este neregulată pentru a se apropia de calendar. Numărătorii babilonian , a unui șaizecelea caracter , este prezentat ca o combinație de sisteme.

Multe sisteme au fost folosite de diferite popoare și timpuri.

• Un sistem binar (baza 2) utilizat în limbile din America de Sud și Oceania este similar cu sistemul numeric utilizat în informatică (1 curent este activat, 0 curent nu este activat)
• Un sistem ternar (baza 3)
• Un quinary (baza 5) ale căror urme rămân până la XX - lea  secol în limbile africane , dar , de asemenea , parțial în rating Ciuvașă , Suzhou , Roman și Maya . Numele numerelor 6, 7, 8 și 9 în multe limbi mărturisesc acest sistem quinar: se spune că sunt 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3 și 5 + 4 în wolof (limba Nigerului) -Congolese de familie ), în khmeră (limba austro-asiatice), în nahuatl (limba uto-aztecă), și, în mai multe limbi austroneziene , cum ar fi Lote sau Ngadha (în formă parțială). Baza quinară apare ca o bază secundară a bazei zecimale și a bazei vigesimale.
• Un sistem senar (baza 6) este utilizat în limbile Ndom și Kómnzo din Papua Noua Guinee , precum și în zaruri . Folosește șase cifre de la 0 la 5, numărătoarea degetelor prin "multipli de trei" baze, cea mai convenabilă.
• Un sistem octal (baza 8) este utilizat în limba Pame de Nord , în Mexic și în limba Yuki , în California , precum și în informatică.
• Un sistem nonar (baza 9) este contrar bazelor hexadecimale, „puterea a trei”. Include două digis ternare într-o singură cifră.
• Un sistem zecimal (baza 10) a fost folosit de multe civilizații, cum ar fi chinezii din primele timpuri și, probabil, proto-indo-europenii . Astăzi, este de departe cea mai răspândită.
• Un sistem duodecimal (baza 12) este folosit în Nepal de către poporul Chepang. S -a descoperit, datorită avantajelor sale în ceea ce privește divizibilitatea (cu 2, 3, 4, 6), pentru un anumit număr de monede și unități de cont curent în Europa în Evul Mediu , parțial în țările anglo-saxon. În imperial sistem de unități și în comerț. De asemenea, este folosit pentru a număra luni, ore, flori, stridii și ouă.
• Un sistem hexazecimal (baza 16), foarte frecvent utilizat în electronică, precum și în informatică. Interesul său constă în conversii banale cu baza 2, permițând în același timp o scriere mai compactă a numerelor.
• Un sistem vigesimal (sau vicesimal, baza 20) există în Bhutan în limba Dzongkha și era folosit în rândul aztecilor și, deși neregulat, pentru numerotația mayașă . O găsim din nou, datorită avantajelor sale în ceea ce privește divizibilitatea (cu 2, 4, 5, 10). Unii cred că a fost folosit și de galii sau de basci în primele zile, dar nu se știe cu adevărat dacă numerotarea lor era zecimală sau vigesimală.
• Pentru numerotația babiloniană a fost utilizat un sistem sexagesimal (baza 60) , precum și de către indieni și arabi în trigonometrie . În prezent este utilizat pentru măsurarea timpului și a unghiurilor.

Anumite baze de numere sunt utilizate în domeniile științifice, în special în electronica digitală și în informatică. Consultați articolul Basic (aritmetică) pentru mai multe detalii.

Sisteme de rostire

Unele numere beneficiază exclusiv de un nume simplu, cum ar fi mille în franceză. În caz contrar, mai multe principii fac posibilă compunerea lor.

• Plus  : în franceză șaptesprezece (10 + 7), șaptezeci (60 + 10);
• multiplicare  : patru-douăzeci (4x20), două sute (2x100) în limba franceză;
• scăderea  : optsprezece este declarat a fi duodeviginti în latina clasică (două de douăzeci, 20-2);
• divizia  : cincizeci este declarat a fi bântui-kant în bretonă ( la jumătate [de-] sută, 100/2);
• protracția (termenul introdus de Claude Hagège ): treizeci și cinci a spus holhu CA Kal în Yucatec ( între cinci 1002 optzeci, 15, 2 x 20, 15 2 × 20 sau 15 din cele douăzeci precedente 2 x 20, adică 15 + 20). În expresia lui 35 (ca și în cea a treizeci) este recomandabil să restaurați un relator implicit (sau șters) care a fost tu (în realitate ti + u cu ti = locativ „spre” și u = indicele personal al  persoanei a 3 -a ” lui 'care, în acest context, a fost folosit pentru a deriva ordinalul de la cardinal, astfel încât expresia lui 35 să fie analizată ca „15 către anii douăzeci”.

Uneori se folosește un sistem auxiliar. Comparativ cu sistemul principal, acesta poate fi:

• mai jos  : numărul wolof este zecimal, dar folosește un sistem chinar auxiliar, douăzeci și șase se spune că este ñaar fukk ak juroom benn în wolof (două zeci și cinci unul, 2 × 10 + 5 + 1);
• sus  : numărul basc este zecimal, dar folosește un sistem vicesimal auxiliar, o sută cincizeci și două se spune în ehunta berrogeita hamabi în bască (sută două douăzeci și două și două, 100 + 2 × 20 + 10 + 2 ). De asemenea, în franceză din Franța și în franceză canadiană (Quebec) persista optzeci și nouăzeci ( în loc de optzeci în Elveția și șaptezeci și nouăzeci în Elveția și Belgia), care provin din medieval sistem vicesimal. , Folosit ca auxiliar pentru zecimal principal sistem de origine latină.

În cele din urmă, unele numere beneficiază de o construcție independentă de baza utilizată. Astfel, în prezent în bretonă , optsprezece se numește triwecʼh (trei-șase, 3 × 6). Au existat și foste daounav (două-nouă, 2 × 9) și, respectiv, pentru patruzeci și cinci și patruzeci și nouă, pemp nav (cinci nouă, 5 × 9) și seizh seizh (șapte șapte, 7 × 7). Este de la sine înțeles că această ultimă formă nu provine dintr-o bază șapte, ci din valoarea simbolică a acestui număr.

Sisteme mimice

Oamenii folosesc în mod tradițional părți ale corpului pentru numărare. Pentru un număr zecimal sau quinar, degetele sunt în general implicate. Yukis , folosind un octal , folosiți spații între degete pentru a conta. Cei Chepang oameni , care folosesc un sistem de duodecimal , utilizați degetul mare pentru a conta pe falangele ale degetelor . De asemenea, au fost folosite multe alte metode.

Sisteme de evaluare

Simbolurile folosite pentru a scrie numerele sunt cifrele . Regulile de utilizare a acestor numere fac posibilă diferențierea schematică a trei familii principale de sisteme de notare: sistemele aditive, hibride și poziționale.

Sisteme aditive

Aceste sisteme folosesc numere pentru a reprezenta puterile bazei și, eventual, submultiplii acestor puteri. Celelalte numere se obțin prin juxtapunerea acestor simboluri. Cititorul este apoi responsabil pentru adăugarea valorilor simbolurilor pentru a cunoaște numărul. Acesta este cazul cu sistemele de numerotare egiptene , grecești , romane , gotice sau, mai simplu, cu sistemul unar sau numerotarea pădurilor .

Există, de asemenea, atât sisteme aditive, cât și sisteme subtractive. Astfel, numărul roman , aditiv, cunoaște o variantă aditivă și subtractivă ulterioară.

Sisteme hibride

Aceste sisteme folosesc numere pentru unități și pentru puteri de bază. Numerele care reprezintă o putere a bazei utilizate sunt, dacă este necesar, combinate cu un număr care reprezintă o unitate, iar numerele sunt astfel reprezentate prin adăugarea multiplilor puterilor bazei. Acesta este cazul sistemelor numerice chineze și japoneze . Se poate observa că un astfel de sistem de notație are o puternică analogie cu sistemul pentru vorbirea numerelor în majoritatea limbilor. (De exemplu, în franceză, numărul două mii opt opt ​​sute șaptesprezece , este, de asemenea, format prin adăugarea multiplilor puterilor bazei 10: 2 × 10³ + 8 × 10² + 1 × 10¹ + 7.)

Sisteme poziționale

Aceste sisteme utilizează cifre, al căror loc în scrierea numărului indică greutatea atribuită acestora (greutatea n 0 = 1, greutatea n 1 = n, greutatea n 2 , ... pentru o bază n). Acesta este cazul sistemelor numerice maya și babiloniene , precum și a sistemelor numerice indiene și arabe care sunt originea matematicii moderne. Acestea vă permit acum să scrieți numere pur și simplu indiferent de bază, folosind zero pozițional.

Într-un astfel de sistem, o bază β necesită cifre β pentru a reprezenta toate numerele întregi. De obicei, valoarea acestor numere variază de la 0 la β-1; dar există și tipuri de reprezentări nestandardizate:

• sisteme k-adic, fără 0, folosind, pentru o bază β, cifre de la 1 la β (acestea sunt sisteme bijective );
• sisteme echilibrate care folosesc, pentru o bază ciudată β, cifre de la - (β-1) / 2 la (β-1) / 2;
• sisteme redundante, folosind pentru o bază β un număr de cifre strict mai mare decât β.

Unele sisteme sunt incomplete deoarece nu pot reprezenta toate numerele. Acesta este cazul, de exemplu, cu sistemele de bază β care utilizează un număr de cifre strict mai mic decât β.

Mai multe sisteme au aplicații în electronică și informatică. Aceste sisteme au particularitatea de a reprezenta numere pe un număr definit de poziții și, prin urmare, pot reprezenta numai numere întregi până la o anumită limită. De exemplu,

• în binar: sistem negabinar  ;
• în ternar: sistem ternar echilibrat  ;
• în baza β: sistemul Avizienis .

Alte sisteme

Există, de asemenea, sisteme alternative de reprezentări ale numerelor, fie derivate din sistemul pozițional, fie independente de conceptul de bază definit mai sus. Iată câteva exemple,

• în matematică (a se vedea secțiunea corespunzătoare următoare): expansiunea continuă a fracției , expansiunea Engel în serie , expansiunea Hensel , sistemul modular de reprezentare  ;
• electronice și computere: am crezut că binarul (sau codul Gray), complementul complementului celor două , BCD .

Matematică

Definiție

• Un sistem de numerotare este un triplu ( X, I, φ ), unde X este mulțimea pentru a enumera, eu este un nit fi sau numere numărabile și φ este o mapare injectivă în seria de cifre , . În notația zecimală, X este setul de numere naturale, este setul de cifre zecimale și secvența asociată cu un număr întreg este secvența cifrelor sale zecimale. Aplicația cp se numește reprezentare a cererii și φ ( x ) este reprezentarea x ∈ X . Suitele eligibile sunt definite ca reprezentări de imagine φ ( x ) pentru x ∈ X .Φ:X↪EuNU{\ displaystyle \ Phi: X \ hookrightarrow I ^ {\ mathbb {N}}}X↦(ϵnu(X))nu≥1{\ displaystyle x \ mapsto (\ epsilon _ {n} (x)) _ {n \ geq 1}}
  Eu={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}{\ displaystyle I = \ {0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9 \}}
  
  
• Georg Cantor definește un sistem de numerotare ca datele unei serii de numere naturale a n aranjate în ordine crescătoare (în cazul sistemului zecimal: a n = 10 n ) și pentru fiecare, cu o valoare maximă m n a coeficientului de pe care ni-l permitem să-l înmulțim (în cazul sistemului zecimal: m n = 9). El numește reprezentarea unui număr natural N toate secvență finită de coeficienți c k , fiecare c k fiind un număr natural mai mic sau egal m k , astfel încât suma c k a k este egal cu N . El demonstrează că un astfel de sistem este „simplu”, adică reprezintă fiecare număr întreg N în mod unic, dacă și numai dacă a 0 = 1 și pentru toate n , a n +1 = (1 + m n ) a n , atunci în acest caz se extinde reprezentările numerelor întregi în reprezentări ale realelor ( pozitive ), adăugându-le serii infinite ale formei∑k=1+∞dklak,dk∈{0,1,...,mk-1}.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {d_ {k}} {a_ {k}}}, \ quad d_ {k} \ in \ {0,1, \ ldots , m_ {k-1} \}.}
• Aviezri S. Fraenkel oferă o definiție generală a unui sistem numeric și descrie cazuri de unicitate și completitudine: un sistem numeric este complet dacă permite reprezentarea tuturor numerelor întregi.
• Studiul sistematic a fost preluat în contextul limbajelor formale și al combinatoriei de către Michel Rigo.
• Problema propagării amânării a fost studiată de Valérie Berthé , Christiane Frougny, Michel Rigo și Jacques Sakarovitch.

Exemple

• Reprezentarea q -adică sau scrierea în baza q : orice număr natural natural este scris într-un mod unic ca , cu cifrele și unde este numărul de cifre ale lui n în baza q . De asemenea, orice reală poate fi scris, într - un mod unic , în cazul în care expansiunea sa este corectă (secvența nr infinit de q -1 ca și 0,999 ... = 1), cum ar fi .nu=∑eu=0NUϵeu(nu)qeu{\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}0≤ϵeu(nu)<q{\ displaystyle 0 \ leq \ epsilon _ {i} (n) <q}ϵNU(nu)≠0{\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}NU=⌊Buturuga⁡(nu)Buturuga⁡(q)⌋+1{\ displaystyle N = \ left \ lfloor {\ frac {\ log (n)} {\ log (q)}} \ right \ rfloor +1}nu=∑eu=-∞NUϵeu(nu)qeu{\ displaystyle n = \ sum _ {i = - \ infty} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}
• Reprezentarea Zeckendorf  : numerele Fibonacci , , folosit pentru a scrie tot întreg natural unic , cu numerele și .F0=1{\ displaystyle F_ {0} = 1}F1=2{\ displaystyle F_ {1} = 2}Fnu+2=Fnu+1+Fnu{\ displaystyle F_ {n + 2} = F_ {n + 1} + F_ {n}}nu=∑eu=0NUϵeu(nu)Feu{\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) F_ {i}}ϵeu(nu)∈{0,1}{\ displaystyle \ epsilon _ {i} (n) \ in \ {0,1 \}}ϵNU(nu)≠0{\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}
• Reprezentarea în fracții continue  : orice număr real poate fi scris (într-un mod unic dacă expansiunea este adecvată) cu și pentru k> 0 .X=la0+1la1+1la2+1la3+...{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ frac {1} {a_ {3} + \ dots}} }}}}}la0∈Z{\ displaystyle a_ {0} \ in \ mathbb {Z}}lak∈NU∗{\ displaystyle a_ {k} \ in \ mathbb {N} ^ {*}}
• Sisteme de numere de bază care nu sunt întregi  : baza de aur este un exemplu.
• Descompunerea în numere prime este un sistem de numerotare, în special , utilizat de calculatoare cuantice , ∀nu∈NU∗,∃!(αp)p∈P∈NU(P):nu=∏p∈Ppαp{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, \ există! (\ alpha _ {p}) _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ in \ mathbb {N} ^ {({\ mathcal {P}})}: n = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {\ alpha _ {p}}}.

• Sistemul de reprezentare modulară (RNS) permite, folosind o bază de module prime reciproce , să enumere toate numerele întregi până la secvența lor restantă folosind teorema restului chinezesc .{m1,m2,...,mnu}{\ displaystyle \ {m_ {1}, m_ {2}, \ ldots, m_ {n} \}}0≤X<M{\ displaystyle 0 \ leq x <M}M=∏eu=1numeu{\ displaystyle M = \ prod _ {i = 1} ^ {n} m_ {i}}(X(modmeu))1≤eu≤nu{\ displaystyle (x {\ pmod {m_ {i}}}) _ {1 \ leq i \ leq n}}
• Numărul factorial  (în) , în care o secvență finită de numere întregi cu reprezintă numărul întreg .(Xnu,...,X1){\ displaystyle (x_ {n}, \ ldots, x_ {1})}0≤Xk≤k{\ displaystyle 0 \ leq x_ {k} \ leq k}∑k=1nuXk.k!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} .k!}

Sistem de numărare a fibrelor

Numerele provin dintr-o transformare neinjectivă T:X→X{\ displaystyle T: X \ to X}

• În reprezentarea q-adică, „cifra unităților” este dată de și secvența cifrelor de unde T este harta .ϵ(nu)=nu(modq){\ displaystyle \ epsilon (n) = n \, ({\ text {mod}} \, q)}ϵk(nu)=ϵ(Tk(nu)){\ displaystyle \ epsilon _ {k} (n) = \ epsilon (T ^ {k} (n))}T(nu)=(nu-ϵ(nu))/q{\ displaystyle T (n) = ({n- \ epsilon (n)}) / q}
• Continuarea figurilor reprezentării în fracții continue provine din și aplicarea lui Gauss .ϵ(X)=⌊1/X⌋{\ displaystyle \ epsilon (x) = \ lfloor 1 / x \ rfloor} T(X)=1/X-ϵ(X){\ displaystyle T (x) = 1 / x- \ epsilon (x)}

Note și referințe

1. „  Numere în wolof  ” , la www.omniglot.com (accesat la 10 ianuarie 2020 )
2. de Tuxy Varman | , "  Cifre khmer  " , pe Srok Khmer - Învață khmer ,28 noiembrie 2014(accesat pe 10 ianuarie 2020 )
3. „  Numere în Nahuatl  ” , pe www.omniglot.com (accesat la 10 ianuarie 2020 )
4. „  Numere în lot  ” , la www.omniglot.com (accesat la 10 ianuarie 2020 )
5. „  Numere în Ngadha  ” , pe www.omniglot.com (accesat la 10 ianuarie 2020 )
6. A. Cauty, Specificități ale numerotației maya precolumbiene , Memoria societății lingvistice din Paris, Seria nouă, volumul XII, 2002, Leuven (Belgia), Peters, p.121-147
7. A. Cauty, Tipul protractiv al numerelor din zona Maya , Fapte ale limbilor, n o  20, 2002: Mesoamerica, Caraibe, Amazonia, Vol. 1, Paris, Ophrys, p. 85-93.
8. Michel Rigo, Limbaje formale, sisteme de automatizare și numerare , vol.  2: Aplicații la recunoaștere și decidabilitate , London / Hoboken, NJ, ISTE / John Wiley & Sons, Inc.,2014.
9. (De) Georg Cantor, "  Ueber die einfachen Zahlensysteme  " , Zeitschrift für Mathematik und Physik , vol.  14,1869, p.  121-128 ( citește online ).
10. (în) Aviezri S. Fraenkel, "  Systems of Numeration  " , American Mathematical Monthly , vol.  92, n o  21985, p.  105-114.
11. Valérie Berthé , Christiane Frougny , Michel Rigo și Jacques Sakarovitch , „  The propagation carry of the successor function  ”, Advances in Applied Mathematics , vol.  120, 2020, articolul nr .  102062 ( DOI  10.1016 / j.aam.2020.102062 , arXiv  1907.01464 ).
12. (în) AJ Kempner, „  Sisteme anormale de numerotație  ” , American Mathematical Monthly , vol.  43, nr .  10,1936, p.  610-617 ( DOI  10.2307 / 2300532 ).
13. John Gribbin , Fizica cuantică , ediția a II- a , Pearson Education, 2007 ( ISBN  978-2-7440-7263-5 ) , p.  57 .
14. Charles-Ange Laisant , "  Despre numerotarea factorială, aplicarea permutațiilor  ", Buletinul Societății Matematice din Franța , vol.  16,1888, p.  176-183 ( citește online ).

Vezi și tu

Articole similare

• Canal digital
• Numerație
• Cifră romană
• Numărul de păduri
• Numărul Ostrowski
• Notatie pozitionala
• Baza (aritmetica)
• Sistem unar
• Numere în franceză
• Cifre arabe
• Numere în lume
• Lista numerelor
• Sistem vicesimal
• Sistemul ordinal
• Cifrele călugărilor
• Istoric sistem digital vechi  (în)
  • Număr preistoric  (în)
  • Australian Digital Aboriginal System  (ro)
  • Stick de numărare

linkuri externe

• NUMERE: curiozități, teorie și utilizări pe site-ul lui Gérard Villemin (numărarea bazelor)
• Numerație
• Convertor de bază pe site-ul Universității Nice-Sophia-Antipolis
• Software pentru a descoperi sisteme de numerotare [1] pe site-ul Michel Ramus