Plan (matematică)

În geometria clasică , un plan este o suprafață plană nelimitată, prevăzută cu noțiuni de aliniere , unghi și distanță și în care pot fi inscripționate puncte , linii , cercuri și alte figuri plane obișnuite. Astfel, servește drept cadru pentru geometria plană și, în special, pentru trigonometrie atunci când este prevăzut cu o orientare și face posibilă reprezentarea setului de numere complexe .

Un plan poate fi, de asemenea, conceput ca parte a unui spațiu euclidian tridimensional , în care face posibilă definirea secțiunilor plane ale unui solid sau ale unei alte suprafețe. Mai general, un plan apare în geometria vectorială și geometria afină , ca un sub- spațiu bidimensional , în afară de noțiunile de unghi și distanță. Prin definirea acestor structuri pe alt corp decât numerele reale , conceptul de hartă ajunge să afecteze structura care satisface teorema Desargues .

În geometria proiectivă , planul este completat de o linie dreaptă la infinit pentru a obține un plan proiectiv , ca planul Fano . Această structură definește o geometrie neeuclidiană ca în planul hiperbolic .

Definiții

Primele abordări

În geometria clasică, definiția unui plan este axiomatică și își propune să idealizeze reprezentările fizice ale suprafețelor plane (tabel, masă, foaie ...). Găsim o definiție axiomatică a planului în Euclid , în jurul anului 300 î.Hr., care definește o suprafață ca „aceea care are numai lungime și lățime” și apoi specifică în definiția sa 7:

O zonă plană este aceea care este plasată și între liniile sale drepte.

Câteva secole mai târziu, Denis Henrion , în traducerea și comentariile sale asupra Elementelor , încearcă să explice sensul „plasat și între liniile sale drepte” indicând faptul că este o suprafață a cărei părți din mijloc nu sunt nici ridicate, nici coborâte. că extremele, că este cea mai scurtă suprafață dintre cele care au aceleași extreme, că părțile din mijloc umbresc părțile extreme. El explică faptul că, dacă prin orice punct al unei suprafețe, putem roti o linie rămânând în suprafață, atunci această suprafață este plană.

Aceeași idee se reflectă în definiția lui Adrien-Marie Legendre din Elements of Geometry (1790):

O suprafață este cea care are lungime și lățime, fără înălțime sau grosime. Planul este o suprafață, în care, luând două puncte după bunul plac și unind aceste două puncte printr-o linie dreaptă, această linie se află în întregime în suprafață.

sau în această definiție din The Little Encyclopedia of Mathematics (1980):

Mulțimea liniilor care vin dintr-un punct A și care intersectează o linie d care nu trece prin A sau paralelă cu d formează un plan.

Înregistrare carteziană

În XVII - lea  secol , geometria analitică a lui Descartes și Fermat a descris toate punctele planului de perechi de coordonate . În limbajul matematic contemporan, planul este apoi în bijecție cu întregul , astfel încât distanța dintre două puncte corespunde normei euclidiene care ilustrează teorema lui Pitagora .

La fel, prin reprezentarea spațiului ca mulțimea triplelor numerelor reale, un plan este ansamblul soluțiilor unei ecuații cartesiene a formei , unde coeficienții nu sunt toți zero. Planurile apar astfel ca suprafețele de nivel ale unei forme liniare în spațiu.

Prezentare algebrică

Dezvoltarea algebrei liniare în secolul  al XIX- lea oferă o definiție a planului cu conceptul de spațiu vectorial și dimensiunea unui corp  :

Un plan (vector sau afin) este un spațiu vector (sau afin ) de dimensiunea 2.

Acesta este cazul, de exemplu, al setului de numere complexe , al setului de funcții afine , al setului de secvențe care îndeplinește o relație de recurență liniară de ordinul 2 al formei (ca cea a secvenței Fibonacci ) sau al setului de soluții a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul 2 al formei pe un interval dat.

Această prezentare implică existența unui punct O și a doi vectori și astfel încât punctele planului să fie punctele M care îndeplinesc o egalitate vectorială a formei , unde a și b descriu ambele câmpul scalarilor. Spunem apoi că tripletul este un sistem cartezian de coordonate al avionului și vom folosi această prezentare în restul articolului.

Planul geometriei clasice este realizat într-un spațiu afin pe câmpul numerelor reale . Dar multe construcții geometrice păstrează sensul asupra altor corpuri, în special asupra corpurilor finite .

Structura incidenței

La sfârșitul XIX - lea  secol , după descoperirea geometriilor neeuclidiene , o mișcare este în curs de dezvoltare pentru axiomatizing geometria în continuare căutând să - l golească de conținutul său ontologic. David Hilbert , în Grundlagen der Geometrie ( Baza geometriei ), definește punctele, liniile și planurile spațiului prin relațiile care le unesc ( axiomele incidenței ):

Cel puțin un punct este situat pe orice plan. Să nu fie aliniate 3 puncte, există un singur și un singur plan care conține aceste trei puncte. Dacă două puncte (distincte) ale unei linii sunt situate într-un plan, întreaga linie este situată în plan. Dacă două planuri au un punct în comun, atunci au un alt punct în comun. Există cel puțin 4 puncte care nu se află în același plan.

O reducere a axiomelor lui Hilbert permite găsirea geometriei plane în afara contextului geometriei în spațiu  :

Prin două puncte distincte trece o singură linie dreaptă. Orice linie dreaptă trece prin cel puțin două puncte. Există cel puțin trei puncte nealiniate. Printr-un punct din afara liniei d , trece doar o linie disjunctă de d .

Structura incidenței astfel definită este satisfăcută de toate spațiile afine de dimensiunea 2 indiferent de corpul subiacent, dar și de alte structuri precum planul lui Moulton .

Hilbert identifică faptul că teorema lui Desargues a geometriei clasice este dedusă din alte axiome, dar nu din cele ale incidenței în plan, în timp ce este formulată doar în termeni de incidență. Introducându-l ca o axiomă suplimentară, acesta caracterizează de fapt toate spațiile afine de dimensiunea 2. Și înlocuind-o cu teorema lui Pappus , obținem o caracterizare a tuturor spațiilor afine pe câmpuri comutative .

Relațiile dintre linii și plane

Poziție relativă

Două planuri

Într-un spațiu afin de dimensiunea 3, există doar două poziții relative ale a două planuri:

Această disjuncție este specifică spațiului tridimensional. În dimensiuni mai mari, două planuri pot avea un singur punct de intersecție sau pot fi disjuncte fără a fi paralele.

Direcția este ușor de comparat din ecuațiile carteziene:

Având în vedere două planuri asociate respectiv cu ecuațiile și , cele două planuri sunt paralele dacă și numai dacă vectorii și sunt coliniari.

Acești vectori sunt, respectiv, vectori normali la planuri într-o bază ortogonală , sau codifică în baza duală a formelor liniare ale căror plane sunt suprafețe de nivel .

Drept și plan

Având în vedere un plan al spațiului, o linie a acestui spațiu poate fi:

Includerea într-un spațiu afinar de dimensiuni mai mari nu oferă nicio altă poziție relativă a unei linii și a unui plan.

Proprietăți

De Teorema acoperișului afirmă că , dacă o linie de un plan este paralelă cu o linie a unui alt plan secant la prima, atunci aceste linii sunt paralele cu intersecția celor două planuri.

Trei planuri care se intersectează două câte două au linii de intersecție care sunt în mod necesar toate paralele sau concurente.

Unghi

În spațiul tridimensional euclidian, produsul scalar face posibilă definirea unghiului dintre doi vectori diferiți de zero. Având în vedere doi vectori necoliniari ai unui plan, produsul încrucișat arată existența unui vector ortogonal la și (și, prin urmare, la orice alt vector care leagă două puncte ale planului) calificat drept vector normal la plan. Acest vector este unic până la multiplicarea cu un scalar.

Două planuri care se intersectează delimitează diedru al căror unghi variază între unghiul zero și unghiul plat și care corespunde unghiului dintre vectorii lor normali. Dacă acești vectori normali sunt ei înșiși ortogonali, se spune că planurile sunt perpendiculare. Nu se spune că sunt ortogonale, deoarece există vectori diferiți de zero reprezentați atât în ​​unul, cât și în celălalt (de exemplu, vectori care își direcționează intersecția în cazul a două planuri secante).

Distanţă

Distanța dintre două planuri sau între un plan și o linie este distanța minimă dintre un punct al unuia și un punct al celuilalt. Acest minim este 0 dacă cele două seturi sunt de intersecție neocupată și se atinge de-a lungul segmentelor ortogonale față de cele două seturi altfel.

Utilizări

Reprezentarea relației dintre două variabile

Planul este suportul reprezentării vizuale și permite aprecierea unei relații între două variabile numerice .

Dacă fiecare valoare a primei variabile corespunde unei singure valori (cel mult) a celei de-a doua, relația se spune că este funcțională , iar graficul relației este o curbă reprezentativă a funcției .

Când cele două variabile sunt descrise de un eșantion statistic , relația este reprezentată de un grafic scatter .

Când cele două variabile sunt ele însele funcții ale unei a treia variabile, în special a unei variabile temporale, relația lor este ilustrată printr-o traiectorie, posibil obținută printr-o ecuație diferențială. În special, studiul relațiilor dintre evoluția unei cantități și derivata sa în timp dă naștere la reprezentarea unui portret de fază .

Simetrie

O simetrie (ortogonală) față de un plan P este o transformare geometrică care în orice punct M al planului asociază punctul unic M ' astfel încât segmentul [ M M' ] să fie ortogonal cu planul din mijlocul său .

Compusul a două simetrii față de două planuri secante este o rotație în jurul liniei lor de intersecție, cu un unghi dublu față de unghiul diedru.

Compusul a două simetrii față de două planuri paralele este o translație a unui vector normal la cele două planuri și a normei de două ori distanța dintre planuri.

O astfel de simetrie este caracteristică speciilor de animale bilaterale .

Proiecție

O proeminență (afin) pe un plan paralel cu o linie dreaptă de secant la planul, este o transformare geometrică care asociază cu fiecare punct M punctul unic de intersecție dintre planul și paralele cu d prin M . Dacă linia este ortogonală cu planul, atunci vorbim de proiecție ortogonală .

O astfel de proiecție idealizează fenomenul de umbră pe un suport plan în cazul iluminării la infinit (care este o bună aproximare a iluminării Soarelui). Proiecția rafinată pe un plan guvernează, de asemenea, reprezentarea în perspectivă cavalerească . De asemenea, este utilizat în dimensiuni mai mari pentru a vizualiza un nor de date, în special utilizând analiza componentelor principale .

Secțiune

O secțiune plană a unei figuri spațiale este pur și simplu intersecția acelei figuri cu un plan. Această noțiune face posibilă vizualizarea structurilor matematice sau concrete ca în arhitectură , fizică, chimie și biologie, în special cu utilizarea scanerului tridimensional .

Schimbarea reprezentării

Într-un cadru afin

Axiomele incidenței lui Hilbert evidențiază diferite caracterizări ale unui plan într-un spațiu afin. Există un singur plan:

  • conținând trei puncte nealiniate;
  • care conține o linie și un punct care nu aparțin acestei linii;
  • conținând două linii care se intersectează;
  • conținând două linii drepte neconfundate și paralele.

Prima caracterizare face posibilă obținerea pur și simplu a fiecăruia dintre următoarele, și invers.

Din trei puncte neliniate A , B , C , putem defini un sistem de coordonate . În schimb, orice semn de referință poate fi scris în această formă.

Având în vedere un sistem de coordonate al planului, obținem o reprezentare parametrică a formei . In dimensiune 3, dacă notăm , și obținem ecuațiile parametrice cu . În schimb, orice reprezentare parametrică afină face posibilă găsirea coordonatelor punctului de origine (prin anularea parametrilor) și a celor doi vectori de direcție (factorii parametrilor din fiecare dintre cele trei ecuații).

În cele din urmă, dintr - o referință plan în spațiu și un punct generic , asocierea punctului cu planul este caracterizat prin anularea produsului mixt al vectorilor , , care măsoară coplanaritatea implicit.

, cu și, de asemenea,

Acești 4 factori notați definesc apoi ecuația carteziană .

În schimb, dintr-o ecuație cartesiană scrisă cu nu toate zero, putem alege un punct de soluție evident (de exemplu, alegând o coordonată asociată cu un coeficient diferit de zero, prin anularea celorlalte două coordonate și prin rezolvarea ecuației de gradul I rămase), apoi determinăm o bază a subspaiului vector al ecuației în .

Într-un cadru euclidian tridimensional

Următoarele caracterizări se bazează pe noțiunile de distanță și unghi (în special de ortogonalitate ) care provin din structura euclidiană a spațiului în geometria clasică.

Dat fiind un punct A și un vector diferit de zero, există un plan unic care trece prin A și ortogonal către , numit vector normal .

Această caracterizare a unui plan se obține foarte ușor dintr-un sistem de coordonate al planului, prin utilizarea produsului încrucișat .

În schimb, având în vedere un punct și un vector normal , găsim cu ușurință o ecuație cartesiană .

Alte caracterizări se reduc la alegerea unui punct și a unui vector normal:

Având în vedere două puncte distincte A și B în spațiu, există un plan unic care este locusul punctelor echidistante ale lui A și B și numit plan mediator al segmentului [ A B ] .

Având în vedere două linii disjuncte și ne paralele, există un singur plan care se află la aceeași distanță de toate punctele celor două linii.

Având în vedere un punct A și două planuri P și P 'care nu sunt paralele în spațiu, există un singur plan care trece prin A și perpendicular pe P și P' .

Geometrie vectorială

Un plan este un sub-spațiu bidimensional al unui spațiu vectorial peste un câmp comutativ . Vorbim și în acest caz de plan vector.

Un plan este întotdeauna generat de doi vectori și nu coliniar. În acest fel, este un vector al planului dacă și numai dacă este o combinație liniară a și , cu coeficienți în . Dacă este de dimensiune finită , se poate defini și un plan prin forme liniare independente care anulează toți vectorii planului. Este deosebit de interesant să existe această ultimă caracterizare disponibilă, dacă se dorește, de exemplu, să se determine punctele de intersecție ale planului și ale unui alt obiect, de exemplu o curbă sau o suprafață.

Abordarea analitică în dimensiunea 3

În cazul în care spațiul este de dimensiunea 3, o singură formă liniară este suficientă pentru a defini un plan. Cunoașterea a doi vectori și care îl generează, de coordonate

este util să știi cum să faci o formă liniară dând ecuația planului. Produsul mixt al , și este zero dacă și numai dacă aparține planului generat de și . Acest produs mixt este scris

S-a obținut astfel forma liniară dorită.

În schimb, dacă avem o formă liniară care definește un plan, putem găsi cu ușurință doi vectori care generează acest plan din forma liniară. În mod necesar există un coeficient diferit de zero între și . Să spunem că acest coeficient este . Putem apoi rescrie ecuația planului în formă

Apoi, înlocuind cuplul cuplurile independente și , obținem doi vectori

care sunt neapărat independente deoarece proiecțiile lor respective pe planul față de axa lui sunt vectori independenți.

Generalizare în dimensiune superioară

Să presupunem că într-un spațiu de dimensiune doi vectori și independenți. Cum se găsesc forme liniare independente care dau ecuațiile planului? Aceasta înseamnă căutarea unei baze de soluții a sistemului liniar

Pentru a face acest lucru, selectăm doi indici și astfel încât cuplurile și să fie liniar independente. Geometric, acest lucru echivalează cu selectarea unui plan de coordonate astfel încât proiecțiile respective ale și pe acest plan, paralele cu subspațiile, să fie independente. Un astfel de plan există încă pentru că și sunt independenți. Odată ce acest lucru este făcut, rescriem sistemul anterior în formular

Soluția acestui sistem liniar este obținută prin metodele clasice. Pentru a obține o bază a spațiului soluției, va fi suficient să se substituie secvenței de elemente elementele bazei canonice a spațiului vector , adică

.

În schimb, având în vedere forme liniare independente , găsim doi vectori independenți în planul definit ca setul de puncte în care aceste forme liniare se anulează reciproc, găsind o bază pentru setul de soluții ale sistemului. În practică, cel mai bun mod de a procedeul este de a pune matricea sistemului într- o formă eșalonată , prin intermediul unor permutări posibile pe coloane. După cum este de rang , acest algoritm va furniza variabile în comparație cu care se va rezolva și două variabile independente de pus în al doilea membru. Rezoluția este apoi rapidă. Formulele lui Cramer trebuie absolut evitate pentru a detecta indicii variabilelor în raport cu care rezolvăm: ar trebui să calculăm determinanți , pentru un număr total de operații de ordinul , dacă calculăm determinanții prin algoritmul Gauss-Jordan , întrucât trecerea sub formă de trepte face posibilă încheierea pentru o serie de operații de ordinul .

Note și referințe

  1. Stella Baruk, „Plan” în Dicționarul de matematică elementară , Éditions du Seuil, Paris 1995.
  2. Geometrie - istorie și epistemologie, cap 27: elaborarea obiectelor ideale în Culturemath.ens.fr
  3. Thomas Hausberger, „  Repere istorice și epistemologice asupra geometriilor neeuclidiene  ” , Irem de Montpellier - grup Matematică și filozofie,2015
  4. Euclid, Elements , Cartea 1 , definiția 5
  5. D. Henrion, Cele cincisprezece cărți ale elementelor geometrice ale lui Euclid: plus cartea aceluiași Euclid traduse și în franceză de către Henrion menționat și tipărite în timpul vieții sale , Book Premier, definiția 7 .
  6. Adrien Marie Legendre, Elements of geometry - Prima carte. Definițiile 5 și 6 , 1840
  7. Collective (dir. W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner) ( tradus  sub îndrumarea lui Jacques-Louis Lions, profesor la Colegiul Franței), Enciclopedie mică de matematică [„Kleine Enzyklopädie der Mathematik »], Paris, Didier ,1997( 1 st  ed. 1980), 896  p. ( ISBN  978-2-278-03526-7 ) , p.  201.

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe