Ordinea densă

Noțiunea de ordine densă este o noțiune de matematică , în legătură cu noțiunea de relație de ordine .

Set ordonat dens în sine

Definiție

O mulțime ordonată (E, ≤) se spune că este densă în sine , sau mai simplu densă , dacă, pentru orice pereche (x, y) de elemente ale lui E astfel încât x <y există un element z al lui E astfel încât x <z <y .

De exemplu, orice corp complet ordonat este dens în sine, în timp ce inelul ℤ al numerelor întregi nu este.

Proprietăți

Cantor a demonstrat că orice set total ordonat, numărabil și dens în sine, fără maxim sau minim, este izomorf pentru mulțimea ℚ a numerelor raționale dotate cu ordinea obișnuită: a se vedea articolul „  Teorema lui Cantor (teoria ordinelor)  ”. Acesta este în special cazul, încă pentru ordinea obișnuită, a lui ℚ *, a lui ℚ + *, a lui ℚ ⋂] 0,1 [, a mulțimii numerelor diadice sau chiar a numerelor reale algebrice .

Subset dens al unui set ordonat

Definiție

Se spune că un subset X al unei mulțimi ordonate (E, ≤) este dens în E dacă, pentru orice pereche ( x , y ) de elemente ale lui E astfel încât x <y , există un element z al lui X astfel încât x < z <y (deci un infinit).

Exemple

Conceptul de dens set ordonat , în sine , este cazul special în cazul în care X = E .

În segmentul real [0, 1] (prevăzut cu ordinea obișnuită), intervalul deschis ] 0, 1 [este dens. La fel (prin izomorfismul mulțimilor ordonate ) în linia reală completă ℝ = {–∞} ∪ℝ∪ {+ ∞} , ℝ este dens.

În orice Arhimede domeniu , rațional ℚ subgrup este dens și , în orice domeniu total comandat L , în cazul în care o buna subcâmp K ⊊ L este dens , apoi sa complementului L \ K prea. (Astfel, ℚ și ℝ \ ℚ sunt dense în câmpul ℝ al numerelor reale.)

Demonstrație

• Între două elemente a < b ale unui corp arhimedic, există întotdeauna un rațional. Există un număr întreg q > 1 / ( b - a ), care, prin urmare, verifică: q > 0 și qb - qa > 1. Apoi alegând pentru p cel mai mic întreg relativ care este strict major qa (este numărul întreg 1 + ⌊ qa ⌋ ), obținem: qa < p ≤ qa + 1, deci qa < p < qb , apoi a < p / q < b .
• Dacă un subcâmp adecvat K ⊊ L este dens, atunci și complementul său. Α este un element pozitiv L \ K . Prin presupunere, există un element r zero al lui K între a / α și b / α. Elementul r α al lui L \ K este apoi inclus între a și b .

În cazul în care E este un set ordonat, în intervalele deschise formează o verigile de prebaza a unei topologie numită „ordine  topologie  “.

În acest caz, un subset X al lui E care este dens în sensul anterior al relației de ordine este într-adevăr dens în E în sensul acestei topologii . Cu toate acestea, inversul este fals: o mulțime ordonată este întotdeauna densă în sine pentru topologia ordinii (ca pentru orice topologie) fără a fi neapărat densă în sine pentru relația sa de ordine, așa cum arată exemplul lui ℤ pentru ordinea obișnuită .

Note și referințe

1. Izomorfismul urmează să fie luat în categoria mulțimilor ordonate, adică există o bijecție strict crescătoare între mulțimea considerată și mulțimea raționalelor.
2. X. Oudot Allano și dl Chevalier , matematică MPSI 1 st an , Hachette Superior al.  „H Prep  ”,2008( citiți online ) , p.  274.