Conectivitate (matematică)

Conectivitatea este o noțiune de topologie pe care formalizează conceptul de „obiect într - o singură bucată.“ Se spune că un obiect este conectat dacă este făcut dintr-o singură „piesă”. În caz contrar, fiecare dintre piese este o componentă conectată a obiectului studiat.

Definiție

Fie E un spațiu topologic . Următoarele patru propoziții sunt echivalente:

E nu este uniunea a două deschideri neuniforme disjuncte ;
E nu este unirea a două neîncetate disjuncte închise ;
singurele deschise-închise ale lui E sunt ∅ și E ;
orice hartă continuă a lui E într-un set de doi elemente cu topologia discretă este constantă.

Dacă una dintre aceste condiții echivalente este îndeplinită, spunem că spațiul E este conectat .

Ultima dintre aceste patru caracterizări este adesea cea mai convenabilă de utilizat pentru a demonstra un rezultat de conectivitate.

O parte X a unui spațiu topologic E se spune că este conectată dacă este un spațiu conectat atunci când este prevăzut cu topologia indusă .

Conectivitate și numere reale

Părțile conectate ale ℝ sunt intervalele .

Proprietăți

Noțiunea de conectivitate este în mod clar invariantă de homeomorfisme .
Orice set furnizat cu topologia sa grosieră este conectat. Rezultă că setul gol este conectat, precum și orice spațiu redus la un punct .

Unire, intersecție, aderență, produs

Dacă X și Y sunt două părți conectate ale unui spațiu topologic, în general uniunea și intersecția lui X și Y nu sunt conectate.

Pe de altă parte, unirea celor două părți conectate este conectată imediat ce au un punct comun (este chiar suficient ca una dintre cele două să îndeplinească aderența celeilalte). Mai general :

Pentru orice familie (finită sau nu) de părți conectate a căror intersecție nu este goală, uniunea este conectată.

Exemple de aplicare:

orice parte conectată prin arcuri este conectată (ca o uniune a căilor din această parte toate având aceeași origine fixă);
dacă este o serie de părți conectate astfel încât fiecare să aibă un punct comun cu următoarea, atunci uniunea este conectată (ca o reuniune a cărei, prin inducție, sunt conectate). $(X_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(\ forall n \ in \ mathbb {N}, X_ {n} \ cap X _ {{n + 1}} \ neq \ varnothing)$ $\ cup _ {{n \ in \ mathbb {N}}} X_ {n}$ $Y_ {n}: = \ cup _ {{k \ leq n}} X_ {k}$

Dacă A este o parte conectată a lui E, atunci aderența sa A este conectată deoarece, în general, orice parte B a lui E este astfel încât A ⊂ B ⊂ A este conectată.

Teorema de compensare vamale: într - un spațiu topologic, orice parte legat care îndeplinește atât o porțiune C și complementară sa se potrivească neapărat cu limita de C .

Un produs de spații care nu sunt goale este conectat dacă (și numai dacă) fiecare factor este. Mai general, spațiul total al unui pachet de bază și a fibrelor conexe este conectat.

Componente conexe

Având în vedere un punct x al unui spațiu topologic E , unirea tuturor părților conectate care conțin x este conectată. Este cea mai mare (în sensul relației de incluziune) dintre toate părțile conectate care conțin x . Este notat cu C x și este numită componentă conectată de x în E . Componentele conectate ale punctelor E sunt, prin urmare, părțile maxime conectate pentru includere (există doar una dacă spațiul este conectat). Ele formează o partiție a lui E ; și anume: ei sunt clasa de relație de echivalență pe E . Se spune că două puncte ale lui E sunt conectate dacă se află în aceeași componentă conectată.

Cel puțin, avem C x = { x }; aceasta înseamnă că { x } este singurul subset de E conectat care conține x, dar nu neapărat că x este un punct izolat (vezi exemple). Dacă C x = { x } pentru orice punct x al lui E , spunem că E este complet discontinuu . Cel mult, avem C x = E ; acesta este cazul în care E este conectat.

Componentele conectate sunt întotdeauna închise, dar nu întotdeauna deschise (sunt dacă și numai dacă spațiul este suma lor topologică ); in orice caz:

componentele conectate ale unui spațiu conectat local sunt deschise;
orice parte neconectată conectată care este atât închisă, cât și deschisă este o componentă conectată.

Exemple

ℝ * are două componente conectate: ℝ + * și ℝ - *.
Mai general, grupul GL ( n , ℝ) al matricilor inversabile de dimensiunea n are două componente conectate, date de semnul determinantului .
În ℕ și mai general într-un spațiu dotat cu topologie discretă, componentele conectate sunt singletonii.
În ℚ, niciun punct nu este izolat, dar componentele conectate sunt, de asemenea, singletonii. Același fenomen se întâmplă și pentru întregul Cantor . Acestea sunt, prin urmare, exemple de spații total discontinue .
Orice deschidere a lui ℝ este conectată local (deoarece ℝ este) este, prin urmare, o uniune ( prin urmare, o reuniune la cel mai numărabil ) $\cup k \inκ I k$ a unor intervale deschise neuniforme disjuncte: componentele sale conectate. Prin urmare, este homeomorf la ℝ × $κ$ (unde $κ$ este dotat cu topologia discretă ).

Conectivitate și continuitate

Conform definiției, un spațiu este conectat atunci când imaginea sa printr-o hartă continuă nu este niciodată spațiul discret {0, 1}. Cu toate acestea, acesta din urmă ( a fortiori ) nu este conectat. Mai general :

Orice imagine continuă a unei relații este legată.

Adică, în cazul în care E este un spațiu conectat și f o cartografiere continuă a E într - un spațiu F , apoi f ( E ) este un subset conectat de F . Într-adevăr, dacă g este o hartă continuă a lui f ( E ) în spațiul discret {0, 1}, atunci g ∘ f - continuu pe E conectat - este constant, prin urmare, g este constant. În special :

aceasta oferă o dovadă a faptului că orice cale este conectată - ceea ce corespunde cazului în care E este un interval real - și a teoremei valorilor intermediare (care este cazul particular al unei căi în ℝ) cu condiția să fi demonstrat anterior că orice interval real este conectat, așa cum sa indicat mai sus , fără a utiliza această teoremă;
fiecare coeficient al unei conexiuni este conectat.

Aplicații constante la nivel local

Definiție - O hartă f a unui spațiu topologic X într-un set Y se spune că este constantă locală (en) pe X dacă orice punct al lui X are o vecinătate pe care f este constantă.

O funcție locală constantă peste X nu este neapărat constantă peste X , dar este dacă spațiul X este conectat, așa cum arată următoarea teoremă.

Teorema - Dacă f este constant la nivel local pe X atunci când este constantă pe fiecare componentă conexă a lui X .

Conversa acestei teoreme este falsă în general (luăm X = ℚ), dar adevărată dacă X este conectat local.

Două aplicații fundamentale pentru analiză

Pentru a arăta că o proprietate este adevărată pentru toate punctele unei părți despre care știm că sunt conectate, arătăm că setul de puncte care o satisface este deschis și închis.

Aceasta este ceea ce facem pentru teorema unicității soluțiilor globale ale unei ecuații diferențiale și pentru principiul extensiei analitice .

Aplicațiile sunt numeroase. Linia ℝ și planul ℝ 2 nu sunt homeomorfe: dacă ar fi cazul, linia privată de un punct ar fi homeomorfă pentru planul privat de un punct. Dar al doilea spațiu este conectat, primul nu.

Același argument arată că cercul S 1 nu este homeomorf pentru un interval.

Acest argument nu se extinde la dimensiuni superioare. Dacă vrem să arătăm folosind aceleași idei că ℝ 2 și ℝ 3 nu sunt homeomorfe, trebuie să aducem conexiunea simplă (adică conexiunea prin arcuri a spațiului dantelă ). Rezultatul este încă adevărat pentru dimensiunile superioare , dar necesită instrumente mai puternice, cum ar fi omologia, pentru demonstrație .

Putem cita, de asemenea, ca aplicație a conexiunii, analiza enigmei celor trei case . Obiectul acestei enigme este de a conecta trei puncte ale planului identificate cu case la alte trei, identificate cu furnizorii (apă, gaz și electricitate). Fiecare casă trebuie să fie legată de cei trei furnizori și linkurile nu trebuie să se încrucișeze. Dovada imposibilității rezoluției se bazează pe teorema lui Jordan , care este exprimată în termeni de conectivitate.

Într-un grup topologic G , componenta conectată a identității, numită componenta neutră (en) și notată G 0 , este un subgrup distinct . Ca orice componentă conectată , G 0 este închis în G și, în plus, este deschis dacă G este conectat local (în special dacă G este conectat local prin arcuri, în special dacă G este un grup Lie ). Grupa coeficientului G / G 0 (furnizat cu topologia coeficientului ) este total discontinuă ; este discret dacă și numai dacă G 0 este deschis.

Următoarea proprietate este foarte utilă pentru afișarea rezultatelor conectivității:

Fie G un grup topologic și H un subgrup. Dacă grupul H și spațiul G / H sunt conectate, atunci G este el însuși conectat.

Note și referințe

Această proprietate este demonstrată în capitolul Wikiversitate despre conectivitate ( vezi mai jos ).
(în) Gregory Naber, Topologie, geometrie și câmpuri de măsurare: fundații , Springer ,2013( citiți online ) , p. 81.
Vezi de exemplu acest exercițiu corectat pe Wikiversitate .
(în) Markus Stroppel, Grupuri compacte la nivel local , EMS ,2006( citiți online ) , p. 55.
(ro) O. Ya. Viro (ro) , OA Ivanov, N. Yu. Netsvetaev și VM Kharlamov (de) , Topologie elementară , AMS ,2008( citiți online ) , p. 192 și 201.

Vezi și tu

Articole similare

Spațiu bine înlănțuit
Space unicohérent (ro)
Teorema Phragmén-Brouwer (ro)

Bibliografie

Georges Skandalis , topologiei și analiză 3 - lea an , Dunod , coll. „Sciences Sup”, 2001
Claude Wagschal, Topologie și analiză funcțională , Hermann , col. „Metode”, 1995