În matematică , un spațiu compact secvențial este un spațiu topologic în care orice secvență are cel puțin o subsecvență convergentă . Noțiunea de compactitate secvențială menține legături strânse cu cele de cvasicompactitate și compacitate și cu cea de compacitate contabilă . Pentru un spațiu metric (în special pentru un spațiu vector normalizat ), aceste patru concepte sunt echivalente.
Intuitiv, un întreg compact este „mic” și „închis”, în sensul că nu se poate „scăpa” de el. Dacă formăm o serie de puncte ale acestui set, elementele sale nu se pot îndepărta mult unele de altele și se pot concentra asupra anumitor valori. Acest articol propune o abordare a compactității în cadrul restrâns al spațiilor metrice, unde este echivalent cu compactitatea secvențială.
Se spune că un spațiu este compact dacă este separat și aproape compact . Cu toate acestea, definiția obișnuită a cvasicompactității este echivalentă cu următoarea, care corespunde cuvânt cu cuvânt cu cea a compactității secvențiale, cu o diferență: secvențele sunt înlocuite cu secvențe generalizate :
Un spațiu cvasicompact este un spațiu topologic în care orice secvență generalizată are cel puțin o subsecvență generalizată convergentă.
Câteva contra-exemple sunt suficiente pentru a se convinge că această adăugare a cuvântului „generalizat” este foarte importantă. Cele mai faimoase sunt:
Cu toate acestea, există legături între aceste două noțiuni prin intermediul conceptului multifacetic al compactității numărabile (uneori sub anumite ipoteze, verificate întotdeauna când spațiul este metrizabil ): a se vedea articolul detaliat.
Pe de altă parte, orice compact „suficient de mic” este compact secvențial. Conform ipotezei continuumului , acest „suficient de mic” se traduce prin: „având cel mult la fel de multe elemente ca ℝ”. Mai precis (și fără presupunerea continuă):Orice cvasicompact cu o cardinalitate mai mică sau egală cu ℵ 1 este compact secvențial.
Fie f o hartă continuă (sau chiar numai secvențial continuă ) pe un spațiu compact secvențial K și ( y n ) o succesiune de puncte ale lui f ( K ), cu y n = f ( x n ), apoi secvența ( x n ) admite un subsir convergent la un element X al K . Prin continuitate, secvența de imagini converge la f ( X ) care aparține lui f ( K ).
Partea A a unui spațiu topologic X se numește secvențial relativ compactă dacă toate următoarele valori în A are cel puțin o sub-secvență care converge în X . Această noțiune trebuie comparată cu cele de compactitate relativă și de compactitate relativă numărabilă, dar aderența unei părți relativ secvențial compacte sau chiar a unei părți secvențial compacte nu este neapărat compactă secvențial.
Un număr foarte mare de probleme de topologie și de analiză funcțională apar în contextul spațiilor vectoriale normalizate de orice dimensiune sau, mai general, ale spațiilor metrice. Instrumentul principal este apoi noțiunea de secvență convergentă . Dacă avem o distanță peste spațiu, putem obține o mulțime de informații din compacitate și o putem caracteriza folosind următoarea teoremă fundamentală.
Teorema lui Bolzano - Weierstrass - Un spațiu metric este compact dacă și numai dacă este compact secvențial.
Într-un spațiu metric:
Acest invers este totuși adevărat atunci când spațiul metric este linia reală, planul obișnuit sau mai general un spațiu vectorial real de dimensiune finită prevăzut cu o normă :
Teorema lui Borel - Lebesgue - În ℝ n , compacte sunt delimitate închise.
Articolul „ Teorema lui Borel-Lebesgue ” demonstrează acest lucru din noțiunea de compactitate, dar se poate da și una din aceea, echivalentă aici , a compactității secvențiale:
Demonstrație prin compactitate secvențialăȘtim deja că într-un spațiu metric, totul compact secvențial este închis și delimitat. În ℝ n , dimpotrivă, dacă K este o parte închisă mărginită, atunci este una închisă a unui cub [- M , M ] n pentru M suficient de mare. Datorită formei slabe a „teoremei Bolzano-Weierstrass” în ℝ (orice secvență reală mărginită admite o subsecvență convergentă), [- M , M ] este secvențial compact, deci și produsul său (cubul) . Deoarece K este închis secvențial în acest cub, el moștenește această compactitate secvențială .
Un spațiu metric se spune că este adecvat dacă toate bilele sale închise sunt compacte sau, ceea ce echivalează cu același lucru, dacă compactele sale sunt cele închise. Teorema anterioară este optimă în următorul sens:
Teorema compactității Riesz - Un spațiu vectorial normalizat real este adecvat (dacă și) numai dacă este de dimensiune finită.
Partea „dacă” se reduce, prin echivalența normelor , la caracterizarea compactelor lui ℝ n , furnizate de teorema Borel-Lebesgue.
Partea „numai dacă” este teorema de compactitate Riesz propriu-zisă și este demonstrată din nou folosind, printre altele, teorema Bolzano-Weierstrass .
Se spune că un spațiu metric X este precompact dacă orice secvență din X are o subsecvență Cauchy . Prin urmare, este imediat că X este secvențial compact dacă și numai dacă este precompact și complet .
În consecință, orice spațiu metrizabil compact (secvențial) este homeomorf pentru unul închis al cubului Hilbert [0, 1] ℕ (întrucât orice metrică precompactă este separabilă și orice spațiu metrizabil separabil este homeomorf pentru un sub spațiu de [0, 1] ℕ ) . În special, are cel mult puterea continuului .
(ro) Ronald Brown , „ Pe hărți adecvate secvențial și o compactificare secvențială ” , J. Lond. Matematica. Soc. , vol. 7, n o 21973, p. 515-522 ( citiți online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">