Algebră universală

Algebra universală este ramura algebra , care este destinat să trateze , în general , și în mod simultan diferitele structuri algebrice  : grupe , monoids , inele , spații vectoriale , etc. Permite definirea într-un mod uniform a morfismelor , substructurilor ( sub-grupuri , sub-monoide , sub-inele , sub-spații vectoriale etc.), coeficienții, produsele și obiectele libere pentru aceste structuri.

În matematică, multe tipuri de structuri algebrice satisfac diferite axiome (grupuri, inele, spații vectoriale, rețea , algebră booleană , algebră Lie ). Pentru aceste diferite tipuri de structuri, definim o noțiune de morfism și construcții de structuri care sunt analoage sau care au proprietăți analoge (substructuri, coeficienți, produse, coproduse, obiecte libere, limite proiective și inductive etc.). Aceste morfisme și construcții au un număr mare de proprietăți similare (intersecția subgrupurilor, subinelelor etc., este una, imaginea unui subgrup, a unui subinel etc., printr-un morfism este de asemenea unul). Apoi am definit într-un mod general și abstract structurile algebrice pentru a putea trata aceste construcții și proprietățile lor într-un mod uniform și, ulterior, ne-am putea concentra asupra proprietăților specifice fiecăreia dintre aceste structuri.

Mai mult decât o generalizare a structurilor algebrice obișnuite care ar fi utile numai în algebră, algebra universală are și aplicații în logică și în informatică. O generalizare și mai largă a acestor noțiuni este oferită de teoria categoriilor .

Algebre

Exemplu preliminar

Poate fi util să examinați un exemplu pentru a identifica o noțiune unificatoare de structură algebrică . Uneori, în definiția structurii algebrice, ne limităm la datele legilor de compoziție interne și externe pe un set, dar datele acestor legi nu permit întotdeauna să definească homomorfismele ca aplicații care păstrează aceste legi și sub - structuri ( subgrupuri , subinele etc.) ca părți stabile pentru legi. Iată un exemplu:

Fie un grup , law legea compoziției sale , elementul său neutru , γ aplicația care unui element de asociază inversul său . Fie parte din . Nu este suficient că conține compusul din oricare două elemente , astfel încât acesta este un subgrup al , așa cum arată cazul setului de numere întregi naturale în grupul de numere întregi relative . De fapt, pentru ca acesta să fie un subgrup de , este necesar și, de asemenea, suficient ca acesta să fie stabil pentru legea compoziției, să conțină elementul neutru și să conțină inversul fiecăruia dintre elementele sale. Cu alte cuvinte, este un subgrup de dacă și numai dacă, φ ( S × S ) ⊆ S , γ ( S ) ⊆ S și e ∈ S. Astfel, structura grupului de nu este completă fără γ și . Avem rezultate similare pentru monoizi, inele, spații vectoriale, algebre booleene etc. G{\ displaystyle G}e{\ displaystyle e}G{\ displaystyle G}S{\ displaystyle S}G{\ displaystyle G}S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}G{\ displaystyle G}NU{\ displaystyle {} \ mathbb {N}}Z{\ displaystyle {} \ mathbb {Z}}S{\ displaystyle S}G{\ displaystyle G}S{\ displaystyle S}G{\ displaystyle G}G{\ displaystyle G}e{\ displaystyle e}

Dacă vrem ca structura algebrică să determine substructurile (părți stabile după diferitele legi), trebuie să îmbogățim structurile uzuale (grupuri, inele etc.) cu legi suplimentare.

Algebre

Cele mai uzuale Structurile nu sunt determinate doar de legi, ci de axiome ( asociativitatea , comutativitatea , distributivitatea , elementul neutru, etc.) care guvernează legile: identitatea. Definiția generală a identităților va fi prezentată mai jos. Dacă structurile algebrice verifică anumite identități comune, atunci majoritatea construcțiilor obișnuite (substructuri, coeficienți, produse) deduse din aceste structuri le verifică. Mai întâi ne concentrăm pe construcțiile structurilor definite de legi care nu verifică nicio identitate anume. Stabilitatea identităților prin aceste construcții va asigura că rezultatele astfel obținute se vor aplica cuvânt cu cuvânt Structurilor definite de datele legilor care verifică anumite identități.

O algebră este un set prevăzut cu o structură algebrică , din care vom da o definiție precisă. Dintre algebre, găsim grupuri, monoizi , moduli pe un inel dat (în special spații vectoriale pe un câmp dat), zăbrele și algebre booleene .

Definiție. Fie E o mulțime și n un întreg natural (zero sau nu). Numita operațiune n ary pe E orice aplicare a E n în E .

• În cazul în care n = 2, atunci este o lege de compoziție pe plan intern pe E .
• Dacă n = 1, atunci este o aplicație de E în E , numită operație unară în E .
• În cazul în care n = 0, vorbim de operare nullaire pe E . Operațiile nulare pe E sunt identificate cu elementele lui E , deoarece E 0 = {∅} și hărțile lui {∅} în E sunt identificate cu elementul unic al imaginii lor.
• Noi numim o operațiune finită pe E o hartă care este o p -ary operațiune pe E pentru un număr natural p .

Definiție. Fie A un set. In timp ce o lege a compoziției externe sau a dreptului extern al A la E este , prin definiție , o aplicare a A × E (sau, echivalent, a E x A ) în E . O lege compoziție externă a A la E este identificat cu o hartă A în setul de hărți de la E la E , prin urmare , operațiunile unare ale E  : la un element de al A este asociat harta parțial definită de o a acestei legi externe. Astfel , toate legile de compoziție externe ale A pe E se identifică cu toate aplicațiile de A în , și , prin urmare , pentru toate familiile de operații unare de E indexate de A . EE{\ displaystyle E ^ {E}}EE{\ displaystyle E ^ {E}}

Definiție. O algebră universală sau pur și simplu o algebra ( a nu se confunda cu algebra pe un inel comutativ , care sunt întâlnite în algebra liniară ) este un set A , cu o familie (gol sau nu) a operațiunilor finitary de pe A . Noi spunem că mulțimea A este care stă la baza algebra în cauză.

Pentru a permite procesarea simultană a mai multor algebre, poate fi util să se determine dacă au aceeași semnătură, adică dacă toate sunt inele sau toate rețelele, de exemplu. Pentru aceasta, trebuie să parametrizăm operațiile finite ale algebrelor prin anumite seturi, operațiile n -ary ale aceluiași parametru corespunzând una cu cealaltă. De exemplu, de obicei, în datele legilor unui inel, adunarea vine înainte de înmulțire și astfel știm că adunarea unui inel corespunde adunării unui alt inel și nu multiplicării acestuia.

Definiție. Numim semnătură sau un tip de algebră sau domeniu de operatori orice mulțime Ω dotată cu o hartă σ de Ω în mulțimea N de numere întregi naturale și apoi, pentru fiecare număr natural n , denotăm Ω n l 'imaginea inversă a lui n de σ. O algebră sau o algebră universală cu semnătura Ω este o mulțime A prevăzută, pentru fiecare număr natural n și pentru fiecare element ω cu o operație n- ară pe A , pe care o vom denumi , sau aucune dacă nu există confuzie. Rezultate. Spunem apoi că datele acestor operații finite definesc pe set o structură algebrică cu semnătura Ω. Ωnu{\ displaystyle \ Omega _ {n}}ωLA{\ displaystyle \ omega _ {A}}

Unii autori presupun că toate algebra este nevidă ( în cazul în care nu există nici o operație nullary), dar având în vedere algebre goale este util din punct de vedere al teoriei categoriilor.

Convenție . În cele ce urmează, ne oferim o dată pentru totdeauna o semnătură de algebră Ω = (Ω n ) n ∈ N și toate algebrele sunt presupuse a fi de această semnătură, dacă nu se specifică altfel.

Dacă A este o algebră, numim element constant sau distins al lui A elementele lui A care identifică operațiile nulare definite de elementele lui . Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}

Exemple de algebre

Să oferim câteva exemple de algebre.

• Un set este o algebră dotată fără operație finită (nu excludem că semnătura algebrei este goală).
• Un set ascuțit este un set E prevăzut cu un element E , adică cu o operație nulară.
• O magmă este un set prevăzut cu o lege a compoziției, adică o operație binară.
• Un monoid este o magmă asociativă prevăzută cu un element neutru. Prin urmare, este prevăzut cu o operație binară și o operație nulară.
• Un grup este un monoid astfel încât orice element admite un invers și, prin urmare, este prevăzut cu operația unară care îi asociază inversul cu un element. Astfel este prevăzută cu o operație binară, o operație nulară și o operație unară.
• Dacă M este un monoid (de exemplu , un grup), un set E înzestrat cu acțiunea lui M pe E este o algebră, considerând E înzestrat, pentru orice element un al M , cu operațiunea unar x → ax de E în E .
• Un inel (unitar) este atât un grup pentru adunare, cât și un monoid pentru multiplicare. Prin urmare, este echipat cu două operații binare, două operații nulare (0 și 1) și o operație unară (trecerea la opus).
• Un modul pe un inel A este un grup comutativ prevăzut cu o lege externă a lui A care verifică anumite proprietăți. Prin urmare, este înzestrat cu o operație binară (adunarea), o operație nulară (0), o operație unară (care la x asociază - x ) și, pentru orice element din A al unei operații unare (homotezia corespunzătoare).
• O algebră peste un anumit inel comutativ A este un modul E peste A cu o multiplicare peste E care este biliniară. Poate exista confuzie cu utilizarea termenului „algebră”. Adesea se presupune implicit că E este o algebră asociativă , adică multiplicarea este asociativă, dar există algebre neasociative ( algebre Lie , de exemplu).
• O algebră unitară peste un anumit inel comutativ A este o algebră peste A a cărei multiplicare admite un element unitate.
• O rețea este un set prevăzut cu două legi de compoziție care verifică anumite proprietăți (limita superioară și inferioară).
• O algebră booleană este o rețea și este prevăzută cu cel mai mic element, cel mai mare element și harta care unui element îi asociază complementul. Deci, este prevăzut cu două operații binare, două operații nulare (0 și 1) și o operație unară.
• Fie X un spațiu afin peste un câmp K . Apoi, pentru orice număr natural non-zero n și pentru orice secvență finită de n elemente ale lui K a cărei sumă este egală cu 1, avem operație n -ary care la o secvență de n- puncte asociază baricentrul acestor puncte afectate de aceste elemente K . Prin urmare, definim o structură algebrică pe X . Astfel, orice spațiu afin de pe K poate fi considerat ca fiind înzestrat cu o structură algebrică. Pentru a evita excepțiile, setul gol este considerat ca un spațiu afin atașat unui spațiu vector redus la 0.

După cum arată aceste exemple, pentru a descrie majoritatea structurilor algebrice obișnuite, s-ar putea limita la algebre care au doar operații binare, operații nulare și operații unare. Dar, chiar și pentru aceste structuri, poate fi util să se ia în considerare orice operații finite, deoarece, cu o lege a compoziției asociative, putem, pentru orice număr natural n -nul , să definim o operație n -ary care cu n elemente asociază produsul lor (sau suma lor).

În definițiile obișnuite ale acestor structuri, mulțimea nu este prevăzută cu toate aceste operații finite, ci doar cu unele dintre ele, iar axiomele acestor structuri implică existența celorlalte.

Aceste exemple permit determinarea întregii structuri necesare pentru a defini corect omomorfismele și substructurile ( subgrupuri , subinele etc.).

Cele Organismele comutative sunt inele nu reduse la un element care orice element nenul este inversabil. Într-un corp, aplicația care la un element diferit de zero își asociază inversul nu este definită peste tot (0 nu este inversabilă) și, prin urmare, nu este o operație unitară pe întregul corp, ci doar pe grupul elementelor sale reversibile. Pentru a depăși acest dezavantaj, trebuie să dezvoltăm teoria algebrelor parțiale , unde operațiile finitare nu sunt definite peste tot.

Iată două exemple banale, care sunt importante.

• Pentru orice set E este un Singleton , există o algebrică Ω unică structură semnătură pe E . Se spune că o algebră al cărei set de bază este un singleton este banală .
• Există pe mulțimea goală cel mult o structură algebrică cu semnătura Ω și, pentru ca una să existe, este necesar și suficient ca setul de parametri ai operațiilor nulare să fie gol, adică „nu există nici o operație nulară. De exemplu, nu există un grup gol, dar există o singură magmă goală și există o singură rețea goală.Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}

Definiția algebrei asigură faptul că admitem inele triviale și algebre booleene triviale, adică reduse la un singur element. Unii autori exclud aceste inele și algebre booleene.

Homomorfisme

Oferim aici o definiție generală a homomorfismelor care include omomorfisme ale grupurilor, inelelor, modulelor ( hărți liniare ) etc.

Definiție. Fie A și B algebre cu aceeași semnătură Ω. Un omomorfism sau morfism (sau Ω- omomorfism sau un Ω- morfism dacă este necesar) de la A la B este o mapare de la A la B care păstrează operațiile finite corespunzătoare acelorași elemente ale lui Ω. Mai exact, o hartă f de la A la B este un omomorfism dacă și numai dacă, pentru fiecare număr natural n și pentru fiecare element ω din , ( f ( ), ..., f ( )) = f ( ( , .. . )), oricare ar fi elementele , ..., de la a . Pentru n = 0, aceasta înseamnă că f ( ) = (de exemplu, dacă A și B sunt spații vectoriale pe un câmp K , avem f (0) = 0). Ωnu{\ displaystyle \ Omega _ {n}}ωB{\ displaystyle \ omega _ {B}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}ωLA{\ displaystyle \ omega _ {A}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}ωLA{\ displaystyle \ omega _ {A}}ωB{\ displaystyle \ omega _ {B}}

Chemat endomorphism a unei algebre A orice morfism de A în A .

Vedem aici că homomorfismele definite aici corespund homomorfismelor diferitelor structuri algebrice pe care le întâlnim în algebră generală (monoizi, grupuri, inele, moduli pe un inel dat, mulțimi ordonate etc.).

S-ar putea ca, pentru unele algebre A și B , să nu existe omomorfism de la A la B , chiar dacă A și B nu sunt goale. De exemplu, nu există omomorfismul inelelor câmpului numerelor raționale în inelul numerelor întregi relative.Î{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Q}}}Z{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Z}}}

Exemplu. Să K un corp, X și Y spațiu afin K . X și Y sunt algebre, luând în considerare, pentru orice număr natural n -zero și pentru orice secvență finită de n elemente ale lui K a cărei sumă este egală cu 1, operația n -ary care la o secvență de n- puncte asociază centroidul de acele puncte afectate ale acestor elemente K . Apoi omomorfismelor X în Y pentru structuri algebrice astfel definite sunt altele decât hărțile afine de X în Y . Cu alte cuvinte, mapările afine ale lui X în Y nu sunt altele decât mapările lui X în Y care păstrează baricentrele.

Propunere. Fie A , B și C algebre. Compusul unui morfism de A în B și un morfism B în C este un homomorfism de la A la C . Identitatea de aplicare a unei algebre A este o endomorphism a A . În ceea ce privește teoria categoriilor , clasa algebrelor semnăturale Ω cu homomorfisme formează o categorie pentru compoziția homomorfismelor (ca aplicații).

Definiție. Fie A și B algebre cu aceeași semnătură. Numim izomorfism de la A la B sau, dacă A = B , automorfism de la A , orice omomorfism de la A la B care este bijectiv . Pentru izomorfism f de la A la B , bijectie inverse a f este un izomorfism B la A . Acest lucru coincide cu noțiunea de izomorfism din teoria categoriilor.

Propunere. Setul de endomorfisme ale lui A este un monoid pentru compoziția homomorfismelor, pe care îl denotăm prin End ( A ). Setul de automorfisme ale lui A este un grup pentru compoziția homomorfismelor, pe care le denotăm prin Aut ( A ). Este grupul de elemente inversabile ale capătului monoid ( A ).

În cazul în care acestea există, atunci algebra goale sunt elementele originale numai din categoria de semnare Ω de algebră, adică, pentru orice algebră A , există un morfism al setului gol în A . Dacă nu există algebră goală, există și obiecte inițiale, care nu sunt goale. Algebrele triviale sunt singurele obiecte finale ale acestei categorii, adică pentru orice algebră A , există un omomorfism unic al lui A într-o algebră trivială.

Subalgebre

Definiția subalgebras

Definiți aici noțiunea de subalgebră, care generalizează noțiunile obișnuite de structuri induse (sau substructuri) ale structurilor algebrice obișnuite, de exemplu subgrupuri , subinele , submodule (sau subspatii vectoriale ) etc.

Ne oferim o dată pentru totdeauna o algebră A cu semnătura Ω.

Definiție. O subalgebra de A (sau sub -Ω- algebra de A , dacă se dorește să se precizeze) este o parte a A , care este stabilă pentru fiecare operații finitary A . Mai precis, un subset S al lui A este o subalgebră a lui A dacă și numai dacă, pentru orice număr natural n , pentru orice element ω din și oricare ar fi elementele , ..., din S , ( , ... ) , ) S . Dacă n = 0, acest lucru înseamnă că elementul de A aparține S . Ωnu{\ displaystyle \ Omega _ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}ωLA{\ displaystyle \ omega _ {A}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}ωLA{\ displaystyle \ omega _ {A}}

Dacă S este o subalgebră a lui A , atunci prin restrângerea la S a operațiilor lui A , obținem o structură algebrică cu semnătura Ω pe mulțimea S , despre care se spune că este indusă de cea a lui A și, prin urmare, S este deci canonic o algebră de semnătura Ω. Atunci când se analizează S ca o algebră, este pentru această structură algebrică pe S .

Putem verifica dacă subalgebrele corespund structurilor induse pentru structurile algebrice obișnuite: subseturi ascuțite, sub-magme, sub-monoide, sub-grupuri, sub-inele, sub-module (sau sub-spații vectoriale), subalgebre ale unui algebra peste un inel comutativ, subalgebre unitare ale unei algebre unitare peste un inel comutativ, subrețele, subalgebre booleene etc. Cu toate acestea, subalgebrele câmpurilor sunt subinelele sale și nu neapărat toate subcâmpurile sale (inversarea nu este o operație unitară).

Exemplu. Să K un corp și X un spațiu afin pe K . X este o algebră luând în considerare, pentru orice număr natural nenul și pentru orice secvență finită de n elemente ale lui K a cărei sumă este egală cu 1, operația n- ară care la o secvență de n- puncte asociază baricentrul celor puncte afectate ale acestor elemente K . Apoi subalgebra X echipat cu structura algebrică pe X sunt nimeni altul decât subspațiile afine de X . Cu alte cuvinte, subspatiile afine ale lui X nu sunt altele decât părțile lui X care sunt stabile pentru baricentrii. Vidă este un subspațiu afin al X , și , astfel , o sub-algebra X .

Proprietățile subalgebrelor

Iată proprietățile elementare ale subalgebrelor. Cititorul poate fi familiarizat cu afirmații similare în cazul grupurilor, inelelor sau modulelor. Notăm cu A o algebră.

• A este o subalgebra A . În cazul în care este goală (deci , dacă nu există elemente care se disting de la A ), atunci vidă este o sub-algebra A .Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}
• Pentru orice subalgebră B a lui A , injecția canonică a lui B în A este un omomorfism.
• Intersecția unui set non-gol de sub-algebre A este o sub-algebra A .
• Orice subalgebră a unei subalgebre a lui A este o subalgebră a lui A (moștenirea subalgebrelor).
• Să B o algebră, f un homomorfism de la A la B . Apoi , imaginea f a subalgebra A este o subalgebra B și imaginea inversă sub f unui subalgebra B este o subalgebra A . În special, imaginea f este un sub-algebra B .
• Fie B o algebră, f un omomorfism de la A la B , C și D să fie subalgebre ale lui A și respectiv B. Dacă f ( C ) este inclus în D , atunci maparea de la C la D care coincide cu f este un omomorfism. În special, restricția lui f la C este un morfism C în B .
• Setul de puncte fixe ale unui endomorphism de A este un sub-algebra A .
• Să B o algebră, f și g morfisme de A în B . Apoi multimea elementelor x din A astfel încât f ( x ) = g ( x ) este un sub-algebra A .
• Unirea unui set E de subalgebrele de A , care este filtrarea pentru relația de incluziune (adică, în cazul în care A și B aparțin E , atunci există un element de E care conține A și B ) este o subalgebra de A , numit, filtrare unirea acestor subalgebre. În special, reuniunea unui set ordonat de subalgebrele de A este o subalgebra A .

Unirea subalgebrelor nu este întotdeauna o subalgebră. De exemplu, două linii vectoriale distincte de întâlnire a unui spațiu vectorial E pe un corp nu este un subspatiu liniar al E .

Autorii care exclud algebre goale exclud în general subalgebre goale, iar apoi intersecția subalgebrelor nu este neapărat o subalgebră, cu excepția cazului în care este neocupată.

Subalgebre generate

Definiție. Sau X o porțiune dintr - o algebră A . Intersecția tuturor subalgebrele A care conține X este o subalgebra G la A , care se spune generat de X . (Acest generalizează subgrupurile generate, din subrings generate, cele generate submodule etc.) Dacă G = A , atunci spunem că X este o porțiune de generare a A și X generează A . Definim în mod analog familiile generatoare și generează familiile .

Definiție. Dacă există o parte generatoare finită a unei algebre A , spunem că A este de tip finit . Dacă există un element al lui A care generează A , atunci spunem că A este monogen . Aceasta generalizează noțiunile analoage găsite în teoria grupurilor, inelelor, modulelor etc.

Propunere. Pentru relația de incluziune, setul de subalgebre ale unei algebre A este o rețea completă, adică orice set de subalgebre admite o limită inferioară și o limită superioară pentru relația d 'incluziune. Limita inferioară a unei familii de subalgebre este intersecția sa, iar limita superioară este subalgebra generată de unirea sa.

Iată câteva proprietăți ale subalgebrelor generate.

• Fie A o algebră. Harta care la orice parte X a A asociază subalgebra lui A generată de X este în creștere, pentru relația de incluziune, adică dacă X este o parte a unei părți Y a lui A , subalgebra A generată de X este inclusă în cea cauzată de Y .
• Să A și B algebrele, X o porțiune generatoare A , f și g morfisme de A în B . Dacă restricțiile f și g la X sunt egale, atunci f și g sunt egale. Deci, un homomorfism între două algebre este determinat de restricția sa la o parte generatoare.
• Să A și B algebrele, f un homomorfism de la A la B și X parte A . Apoi imaginea de la f a subalgebrei A generată de X este subalgebra lui B generată de f ( X ).

Exemple

• Dacă K este un câmp, spațiile vectoriale pe K care sunt de tip finit sunt cele care au dimensiuni finite, iar cele care sunt monogene sunt cele care sunt zero și cele care sunt de dimensiunea 1.
• Să G grup și E un G subansamblul, adică un set E prevăzut cu o cotă de G pe E . Pentru ca E să fie monogen, este necesar și suficient ca E să nu fie vid și acțiunea lui G asupra E să fie tranzitivă.

Produse din algebre

Produse din algebre

Noțiunile de produs direct de grupuri , inele și module sunt generalizate, în cadrul general al algebrei universale, ca un caz particular al produsului în teoria categoriilor .

Să fie o familie de semnătură algebre Ω indexată printr - un set (finită sau nu) și P produsul cartezian a seturilor care stau la baza acestor algebre. (LAeu)eu∈Eu{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in I}}

Definiție. Există o structură algebrică unică cu semnătura Ω pe P astfel încât, fiecare număr natural n și pentru fiecare element ω din , ( , ..., ) = pentru fiecare element = din P , cu k = 1, ..., n . Spunem că algebra care este P înzestrată cu această structură algebrică este produsul direct sau produsul sau algebra produsă . din această familie de algebre. O observăm . Dacă I = {1, ..., n}, nota de asemenea × ... × . Ωnu{\ displaystyle \ Omega _ {n}}ωLA{\ displaystyle \ omega _ {A}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}(ωLAeu(X1eu,...,Xnueu))eu∈Eu{\ displaystyle (\ omega _ {A_ {i}} (x_ {1i}, ..., x_ {ni})) _ {i \ in I}}Xk{\ displaystyle x_ {k}}(Xkeu)eu∈Eu{\ displaystyle (x_ {ki}) _ {i \ in I}}∏eu∈EuLAeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}LA1{\ displaystyle A_ {1}}LAnu{\ displaystyle A_ {n}}

Exemplu. Să luăm cazul a două algebre A și B . Apoi, structura algebrică a lui A × B este definită după cum urmează: pentru orice număr natural n , pentru orice element ω din , oricare ar fi elementele din și din , cu i = 1, ..., n , avem (( , ) , ..., ( , )) = ( ( , ..., ), ( ( , ..., ). Ωnu{\ displaystyle \ Omega _ {n}}laeu{\ displaystyle a_ {i}}LAeu{\ displaystyle A_ {i}}beu{\ displaystyle b_ {i}}Beu{\ displaystyle B_ {i}}ωLA×B{\ displaystyle \ omega _ {A \ times B}}la1{\ displaystyle a_ {1}}b1{\ displaystyle b_ {1}}lanu{\ displaystyle a_ {n}}bnu{\ displaystyle b_ {n}}ωLA{\ displaystyle \ omega _ {A}}la1{\ displaystyle a_ {1}}lanu{\ displaystyle a_ {n}}ωB{\ displaystyle \ omega _ {B}}b1{\ displaystyle b_ {1}}bnu{\ displaystyle b_ {n}}

Iată câteva proprietăți de bază ale produselor algebrelor.

• Proiectoarele canonice ale . (care unui element își asociază componenta de index dat) sunt omomorfisme surjective.∏eu∈EuLAeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}
• Structura algebrică a este structura algebrică unică pe setul pentru care proiectoarele canonice sunt omomorfisme.∏eu∈EuLAeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}∏eu∈EuLAeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}
• Fie, pentru tot i în I , un omomorfism al unei algebre într-o algebră . Apoi , harta de la care sa asociat este un homomorfism.feu{\ displaystyle f_ {i}}LAeu{\ displaystyle A_ {i}}Beu{\ displaystyle B_ {i}}∏eu∈Eufeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} f_ {i}}∏eu∈EuLAeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}∏eu∈EuBeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} B_ {i}}(Xeu)eu∈Eu{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ în I}}(feu(Xeu))eu∈Eu{\ displaystyle (f_ {i} (x_ {i})) _ {i \ in I}}
• Fie, pentru tot i din I , o subalgebră a lui . Atunci este o subalgebră a .Beu{\ displaystyle B_ {i}}LAeu{\ displaystyle A_ {i}}∏eu∈EuBeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} B_ {i}}∏eu∈EuLAeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}
• Produsul algebrelor este asociativ și comutativ, într-un sens care trebuie specificat pe care cititorul îl va putea determina (într-un mod analog produsului cartezian al seturilor).
• Graficul unui omomorfismelor între două algebre A și B este un sub-algebra A x B .

Iată proprietatea fundamentală a produselor algebrelor.

Teorema. Fie, pentru tot i în I , proiectorul canonic al produsului (unui element îi asociem componenta indexului i ) și fie B o algebră. Indiferent de morfisme de B în (pentru toți i în I ), există un morfism unic g de B în așa fel încât, pentru toți i în I , (este omomorfismelor ale cărui componente sunt les ). peu{\ displaystyle p_ {i}}∏eu∈EuLAeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}feu{\ displaystyle f_ {i}}LAeu{\ displaystyle A_ {i}}∏eu∈EuLAeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}peu∘g=feu{\ displaystyle p_ {i} \ circ g = f_ {i}}feu{\ displaystyle f_ {i}}

Aplicația algebră

Fie A o algebră și X o mulțime. Toate aplicațiile de X în A este identic cu produsul algebrelor toate egal cu A . Prin urmare, rezultă că există o structură algebrică canonică pe setul de aplicații X în A . Câteva exemple de algebre sunt subalgebre de algebre de mapări ale unui set într-o algebră. LAX{\ displaystyle A ^ {X}}

Exemplu. Fie E un spațiu topologic (un interval al câmpului R al numerelor reale, de exemplu). Setul de funcții de la E la R , sau în câmpul C al numerelor complexe, este un inel, iar setul de funcții continue de la E la R , sau C , este un subinel al acestui inel. Dacă notăm cu V un spațiu vectorial real sau complex de dimensiune finită, setul de hărți de la E la V este un spațiu vectorial real sau complex, iar setul de hărți continue de la E la V este un subspatiu vectorial al acestui vector spațial. Găsim algebre de acest tip în analiză (inele sau spații vectoriale de aplicații analitice continue, diferențiabile, spațiu vectorial de aplicații integrabile etc.).

Iată câteva proprietăți ale algebrei aplicației.

• Harta diagonală a lui A în (care unui element din A asociază harta constantă corespunzătoare) este un omomorfism.LAX{\ displaystyle A ^ {X}}
• Pentru orice element x al lui X , evaluarea în x , care la o hartă a lui X în A își asociază valoarea x , este un omomorfism în în A (este proiector al produsului).LAX{\ displaystyle A ^ {X}}
• Pentru orice subset Y al lui X , harta în care o hartă a lui X în A își asociază restricția la Y este un homomorfism.LAX{\ displaystyle A ^ {X}}LADa{\ displaystyle A ^ {Y}}

Fie A și B algebre. Setul de morfisme de A în B , nu este neapărat o subalgebra de algebra de aplicații A la B . Cu toate acestea, acesta este cazul monoizilor comutativi, grupurilor comutative, modulelor pe un inel comutativ, dar nu și pentru inele.

Coeficienți și congruențe

Definiție și proprietăți de bază

Este obișnuit să se definească grupul coeficient al unui grup printr-un subgrup distinct , inelul coeficient al unui inel de un ideal cu două cozi sau modulul coeficientului unui modul de un submodul. Dar generalizarea acestor noțiuni în cadrul algebrei universale este mai puțin imediată. Acești coeficienți sunt de fapt coeficienți cu privire la relații de echivalență particulare și în aceste exemple clasele de echivalență a elementelor neutre ( e , respectiv 1 și 0) sunt subgrupurile distincte, idealurile bilaterale și submodulele.

Fie A o algebră de semnătură Ω. Noi numim congruență  (ro) (sau Ω- congruență , dacă vrem să specificați) din A orice relație de echivalență R într - o astfel încât, pentru orice număr natural n , pentru orice ω element de oricare ar fi elementele , ..., , ,. .., a, în cazul în care , pentru i = 1, ..., n , și sunt echivalente cu R , atunci ( ..., ) și ( , ..., ) sunt echivalente cu R . Ωnu{\ displaystyle \ Omega _ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}y1{\ displaystyle y_ {1}}ynu{\ displaystyle y_ {n}}Xeu{\ displaystyle x_ {i}}yeu{\ displaystyle y_ {i}}ωLA{\ displaystyle \ omega _ {A}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}ωLA{\ displaystyle \ omega _ {A}}y1{\ displaystyle y_ {1}}ynu{\ displaystyle y_ {n}}

Sau R o congruență A . Apoi, fiecare dintre operațiile lui A trece la următorul coeficient R , adică produce o operație "bine definită" în setul de coeficienți A / R  : compusul claselor de echivalență a elementelor lui A pentru R este clasa de echivalență a compusului lui elementele a la R . O structură algebrică este astfel definită pe A / R , și algebra astfel obținută se numește câtul algebra  (in) sau, mai simplu, câtul dintre A de către R . Când considerăm mulțimea A / R ca o algebră cu semnătura Ω, este pentru această structură algebrică.

Canonic surjection de A pe A / R este un homomorfism. De fapt, structura algebrică a A / R este structura algebrică unică pe mulțimea A / R pentru care această surjecție este un omomorfism.

Să revenim la cazul grupurilor. Să fie G un grup. Apoi, pentru orice subgrup H al G , relația de echivalență în G definită de H ( x și y sunt echivalente dacă și numai dacă aparține H ) este un incongruența G . In schimb, pentru orice congruență R a G , clasa de echivalență a elementului neutru G este un subgrup al lui G . Aceasta oferă o bijectie între congruența G și a subgrupurilor normale ale G . Rezultate similare se obțin pentru inele și module prin înlocuirea subgrupurilor distincte cu idealuri cu două cozi și, respectiv, sub-moduli. Xy-1{\ displaystyle xy ^ {- 1}}

Congruențele lui A nu sunt altele decât subalgebrele produsului algebrei A × A care sunt relații de echivalență.

Iată câteva proprietăți ale congruențelor.

• Identitatea setului A și setul A × A sunt congruentelor A .
• Intersecția unui set de congruentelor A este o congruență A .
• Să B o subalgebra A . Pentru congruență R a A , relația de echivalență pe B indusă de R (sau intersecția R ∩ ( B x B ) cu B × B ) este un congruență în B , care se spune ca a indus pe B prin R .
• Pentru binare relație R în A , există o congruență mai mic de A , care conține și este intersecția setului de congruentelor A care le conțin, și se spune generat de R .
• Setul de congruențe al lui A este o rețea completă pentru relația de incluziune, adică orice set de congruențe ale lui A admite, pentru relația de incluziune, o limită inferioară și o limită superioară . În această rețea, limita inferioară a unei familii de congruențe este intersecția acesteia, iar limita superioară este congruența generată de unirea sa.

Exemplu de geometrie afină. Să K un corp și E un spațiu afin K atașat unui spațiu vectorial V pe K . Considerăm E ca o algebră pentru o semnătură adecvată (vezi mai sus). Pentru orice subspațiu vectorial W al lui V , setul de perechi ( x , y ) de puncte ale lui E astfel încât x - y aparține lui V este o congruență a acestei algebre și astfel obținem o bijecție între rețeaua congruențelor lui E este cea a subspatii de V .

Trecerea la coeficientul și teoremele izomorfe

La fel ca în cazul grupurilor, inelelor și modulelor, există o noțiune de trecere la coeficientul de omomorfisme și există teoreme de izomorfie .

Prima teoremă a izomorfiei. Să A și B algebre, f un homomorfism de la A la B . Atunci relația de echivalență U în A asociată cu f ( x este echivalentă cu y pentru U dacă și numai dacă f ( x ) = f ( y )) este o congruență în A , se spune că este asociată cu f și se notează , și l Harta g de la A / la B dedusă din f prin trecerea coeficientului este un homomorfism injectiv și, prin urmare, g definește un izomorfism de la A / la f ( A ). Dacă f este o surjection , atunci g este izomorfism de A / pe B . Rf{\ displaystyle R_ {f}}Rf{\ displaystyle R_ {f}}Rf{\ displaystyle R_ {f}}Rf{\ displaystyle R_ {f}}

Mai general, dacă R și S sunt congruențe ale lui A și respectiv B și dacă, oricare ar fi elementele x și y ale lui A care sunt echivalente pentru R , f ( x ) și f ( y ) sunt echivalente pentru S (spunem în timp ce f este compatibil cu R și S ), apoi, trecând la coeficient, definim o hartă a lui A / R în B / S , iar această hartă este un omomorfism.

Propunere. Sau R o relație de echivalență într - o algebră A . Pentru ca R să fie o congruență a lui A , este necesar și suficient ca să existe un omomorfism f al lui A într-o algebră B astfel încât R să fie congruența lui A asociată cu f .

Definiție. Spunem că o algebră B este o imagine homomorfă a unei algebre A dacă există un omomorfism surjectiv f de la A pe B , iar atunci B este izomorfă la algebra A / R , unde R este congruența lui A asociată cu f .

Iată proprietatea fundamentală a algebrelor coeficiente.

Teorema. Să A și B algebrele, R o congruență A și p harta canonică A la A / R . Pentru orice morfism f de A / R în B , atunci f o p este un homomorfism de la A la B , care este compatibil cu R . Harta f f o p a mulțimii de omomorfisme de la A / R la B în mulțimea de omomorfisme de la A la B care sunt compatibile cu R este o bijecție. În ceea ce privește teoria categoriilor , acest lucru poate fi interpretat spunând că perechea ( A / R , p ) este un reprezentant al functorului , al categoriei algebrelor semnăturii Ω în categoria seturilor, care are orice algebră X de semnare Ω implică toate morfisme A în X care sunt compatibile cu R . ↦{\ displaystyle \ mapsto}

Definiție. Să A fi o algebra B sub-algebra A și R o congruență A . Se spune că B este saturată pentru R dacă clasa de echivalență pentru R oricărui element B este inclus în B , este de a spune că , dacă B este unirea claselor de R . Reuniunea a tuturor claselor de echivalență pentru R a elementelor B este o sub-algebra A care este saturat la R , și se numește saturat de B la R . Este egal cu imaginea R ( B ) din B prin relația R .

Propunere. Fie A și B algebre astfel încât să existe un homomorfism f de la A la B și să fie R congruența lui A asociată cu f . Atunci maparea setului de subalgebre ale lui A care sunt saturate pentru R la setul de subalgebre ale lui f ( B ) care la o astfel de subalgebră C a lui A asociază f ( C ) este o bijecție.

A doua teoremă a izomorfiei. Să A fi o algebra B sub-algebra A , R o congruență A și C saturat B pentru R . Apoi , injecția canonică B în C este compatibil cu relațiile de echivalență în S și T induse la B și C prin R , și , prin urmare, a fost trecerea coeficientului, un morfism g de B / S în C / T . Dacă mai mult A = C , atunci g este izomorfism de B / S pe A / R = C / T .

A treia teoremă izomorfă. Să A fi o algebră, R și S ale congruentelor Un astfel încât R este inclusă în S . Apoi identitatea lui A este compatibilă cu R și S și apoi relația de echivalență asociată cu harta h a A / R pe A / S dedusă din identitatea lui A prin trecerea la coeficient este notată S / R și se numește coeficientul lui S prin R . Aplicarea lui ( A / R ) / ( S / R ) în A / S dedusă din h prin trecerea la coeficient este un izomorfism ( R - urile sunt simplificate ).

Propunere. Să A fi o algebră și R o congruență A . Apoi maparea setului de congruențe ale lui A care conține R la setul de congruențe ale lui A / R care la orice congruență S a lui A care conține R asociază S / R este o bijecție.

Propunere. Fie o familie de algebre și, pentru orice element i din I , o congruență în . Apoi binar relația R în definită de R dacă și numai dacă R este o congruență în . Este relația de echivalență asociată cu omomorfismelor g de in care sa asociati familia din clasele de echivalență ale următoare des . Conform primei teoreme a izomorfiei, deducem din g trecând la următorul coeficient R un izomorfism al sur . (LAeu)eu∈Eu{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in I}}Reu{\ displaystyle R_ {i}}Reu{\ displaystyle R_ {i}} ∏eu∈EuLAeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}(Xeu)eu∈Eu{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ în I}} (yeu)eu∈Eu{\ displaystyle (y_ {i}) _ {i \ in I}}Xeu{\ displaystyle x_ {i}} yeu{\ displaystyle y_ {i}}∏eu∈EuLAeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}∏eu∈EuLAeu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}∏eu∈EuLAeu/Reu{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i} / R_ {i}}(Xeu)eu∈Eu{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ în I}}(Reu(Xeu))eu∈Eu{\ displaystyle (R_ {i} (x_ {i})) _ {i \ in I}}Xeu{\ displaystyle x_ {i}}Reu{\ displaystyle R_ {i}}∏eu∈EuLAeu/R{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i} / R}∏eu∈Eu(LAeu/Reu){\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} (A_ {i} / R_ {i})}

Algebre simple

Definiție. Spunem că o algebră A este simplă  (en) dacă mulțimea congruențelor sale este o mulțime cu două elemente, adică dacă A nu este nici goală, nici banală și dacă nu există altă congruență decât identitatea lui A și congruența A × A .

Această definiție generalizează noțiunea de grupuri simple , de module simple pe un inel dat. Definiția inelelor simple și a algebrelor simple (pe un inel) variind de la un autor la altul, această definiție o generalizează uneori. În cazul algebrelor Lie asupra unui câmp dat comutativ, se cere în plus ca algebrele Lie simple  (en) să fie necomutative și de dimensiune finită .

Algebra de termeni și varietăți de algebre

Algebre ale termenilor

Algebra termenilor de semnătură Ω pe un set este o algebră care va permite definirea noțiunii de identitate într-o algebră, de exemplu asociativitate, comutativitate și distributivitate. Intuitiv, este format din toate combinațiile formale de elemente ale acestui set din elemente de Ω, interpretate ca operatori. Ne putem gândi la această algebră ca la un fel de algebră de polinoame în cele nedeterminate (în număr finit sau infinit).

Definiție. Să fiu un set. Există un mic set T astfel încât I și sunt incluse în T (presupunem că aceste două seturi disjuncte) și astfel încât, pentru orice număr natural diferit de n , pentru orice element ω din și oricare ar fi n elementele , ..., de T , secvența (ω, ..., ) face parte din T . Există apoi o structură algebrică unică cu semnătura Ω pe T astfel încât este mulțimea constantelor lui T și astfel încât, pentru orice număr natural diferit de n , pentru orice element ω din și oricare ar fi n elementele , ..., de T , ( , ..., ) = (ω ,, ..., ), care permite să notăm cu ω ( , ..., ) elementul (ω ,, ..., ) de T . Numim algebră a termenilor cu semnătura Ω construită pe I și notăm cu ( I ) sau T ( I ) algebra astfel obținută. Se mai numește algebre de cuvinte sau algebră absolut liberă . Elementele lui T se numesc termeni sau cuvinte . Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}Ωnu{\ displaystyle \ Omega _ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}Ωnu{\ displaystyle \ Omega _ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}ωT{\ displaystyle \ omega _ {T}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}X1{\ displaystyle x_ {1}}Xnu{\ displaystyle x_ {n}}TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}}

Elementul I al T este notat și sunt numite nedeterminat de T . Xeu{\ displaystyle X_ {i}}Xeu{\ displaystyle X_ {i}}

Astfel, termenii sunt expresii formale făcând ca elementele lui Ω să opereze pe nedeterminate ( elementele lui I ) și constantele (elementele lui ) și făcând ca elementele lui Ω să opereze pe expresiile astfel obținute și reiterând cele precedente, de un număr finit de ori. Xeu{\ displaystyle X_ {i}}Ω0{\ displaystyle \ Omega _ {0}}

Teorema . Algebra T = ( I ) are o proprietate universală  : pentru orice algebră A și pentru orice mapare f de la mulțimea I la A , există un omomorfism unic al algebrelor de la T la A care se extinde f și astfel obținem o bijecție între toate aplicațiile I în a și toate omomorfismele T în a . TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}}

Fie A o algebră. Prin identificarea setului de hărți ale lui I în A la setul de familii de elemente ale lui A indexate de I , avem, conform celor de mai sus, o bijecție canonică φ între setul de familii de elemente ale lui A indexat de I și toate homomorfismele T în A . Pentru orice familie de elemente ale A indexate de I și pentru orice element T al T , vom nota valoarea la T a cp homomorfism ( ) de T în A  : atunci spunem că acest element al A este obținut prin substituirea aux . Intuitiv, fiecare apariție de necunoscut este înlocuit cu termenul t de elementul de A și calculează expresia obținută în A . Acest lucru este interpretat în același mod ca înlocuirea indeterminatelor unui polinom al elementului unei algebre asociative unificate și comutative pe un inel comutativ. (laeu)eu∈Eu{\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ în I}}t((laeu)eu∈Eu{\ displaystyle t ((a_ {i}) _ {i \ în I}}(laeu)eu∈Eu{\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ în I}}laeu{\ displaystyle a_ {i}}Xeu{\ displaystyle X_ {i}}Xeu{\ displaystyle X_ {i}}laeu{\ displaystyle a_ {i}}

Pentru orice algebră A , există un morfism surjectiv cu valori în A definite pe algebra de termeni construite pe A .

Identități

Definiție. Numim identitatea semnăturii Ω construită pe X orice pereche de elemente ale lui T = ( X ). Având în vedere o identitate ( u , v ), spunem că o algebră A satisface identitatea u = v dacă, pentru orice familie x = a elementelor lui A indexate de I , avem u ( x ) = v ( x ), în altul cuvinte, înlocuind, pentru orice element i al lui I , același element al lui A pentru nedeterminat în u și v , elementele lui A astfel obținute sunt egale. TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}} (Xeu)eu∈Eu{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ în I}}Xeu{\ displaystyle X_ {i}}

Exemple. Considerăm o magmă M , adică un set prevăzut cu o singură lege a compoziției.

• Presupunem că I = {1, 2, 3} și considerăm T = T ({1, 2, 3}) și identitatea ( ) = ( ). A spune că M satisface această identitate înseamnă a spune că M este asociativ.X1{\ displaystyle x_ {1}}X2{\ displaystyle x_ {2}}X3{\ displaystyle x_ {3}}X1{\ displaystyle x_ {1}}X2{\ displaystyle x_ {2}}X3{\ displaystyle x_ {3}}
• Presupunem că I = {1, 2} și considerăm T = T ({1, 2}) și identitatea = . A spune că M satisface această identitate înseamnă a spune că M este comutativ. Acest exemplu se aplică și monoizilor, grupurilor și inelelor.X1{\ displaystyle x_ {1}}X2{\ displaystyle x_ {2}}X2{\ displaystyle x_ {2}}X1{\ displaystyle x_ {1}}

Exemple. Iată câteva exemple de identități:

• asociativitatea unei legi a compoziției;
• comutativitatea unei legi a compoziției;
• idempotența unei legi a compoziției (pătratul oricărui element x este egal cu x ), de exemplu legile unei rețele  ;
• distributivitatea unei legi a compoziției asupra alteia (înmulțirea cu privire la adăugarea unui inel);
• distributivitatea unei legi externe a compoziției pe o lege a compoziției (una dintre axiomele de exemplu a spațiului vectorial;
• „asociativitatea” unei legi externe (de exemplu identitatea ( ab ) x = a ( bx ), într-un spațiu vectorial pe un câmp, unde a și b sunt scalari și x este un vector);
• faptul că un element este un element neutru pentru o lege a compoziției (atunci când elementul neutru face parte din semnătură);
• faptul că un element este „neutru” pentru o lege externă, (de exemplu, identitatea 1. x = x într-un spațiu vectorial pe un câmp, unde 1 este elementul unitar al câmpului scalarilor);
• faptul că o aplicație dată asociază cu orice element al unui grup inversul său (când funcția inversă face parte din semnătură).

Soiuri de algebre

Definiție. O varietate de algebre de semnătură Ω este o clasă V de algebre de semnătură Ω astfel încât există o mulțime I și un subset S de ( I ) × ( I ) astfel încât V este clasa tuturor algebrelor de semnătură Ω care satisfac fiecare dintre identitățile S . De fapt, pentru a defini varietățile de algebre în general, ne-am putea limita la luarea în considerare a algebrei termenilor unui set infinit numărabil fixat definitiv (setul numerelor naturale, de exemplu). TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}}TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}}

De exemplu, monoizii, grupurile, inelele, modulele de pe un anumit inel (sau spațiile vectoriale pe un câmp dat) formează varietăți de algebre.

Soiurile de algebre cu o semnătură dată formează categorii pentru homomorfisme și compoziția homomorfismelor, iar aceste categorii au cele mai multe dintre proprietățile comune obișnuite ale categoriilor de grupuri, monoizi, inele, spații vectoriale pe un câmp etc. : construirea de structuri și coeficienți induși, existența și construcția de produse, existența obiectelor libere, existența oricăror limite și colimite, construirea oricăror limite și filtrarea colimitelor. Într-un anumit sens, putem spune că soiurile de algebre sunt categorii „bune” de algebre.

Clasa tuturor algebrelor care sunt goale sau banale formează o varietate de algebre.

Anumite operații ale structurilor algebrice care ne fac să ne ocupăm de o varietate de algebre nu sunt date în definiția obișnuită. De exemplu, un grup de un set prevăzut cu o lege de compoziție verificarea anumitor proprietăți, ci numai existența a elementului neutru și existența inversul oricărui element fac parte din definiția obișnuită, dar grupul n „nu este, în definiția obișnuită, prevăzută cu un element neutru și o inversiune. Pentru a determina cu ce operații avem de-a face într-o varietate de algebre, putem examina axiomele substructurilor (subgrupuri, subinele etc.).

Fie V o varietate de algebre. Avem un functor , despre care se spune că uită , al categoriei V din categoria mulțimilor prin asocierea oricărei algebre A a lui V mulțimea sa de bază.

Exemple de soiuri de algebre

Vom găsi aici lista principalelor soiuri de algebre pe care le întâlnim în matematică. Pentru fiecare dintre următoarele tipuri de structuri algebrice, clasa tuturor algebrelor care sunt de acel tip formează o varietate de algebre:

• Cele Seturile (fără operație finită).
• În seturi ascuțite , adică seturile prevăzute cu un element.
• De magmele , adică seturile prevăzute cu o lege de compoziție.
• Magmele asociative, adică magmele a căror lege este asociativă.
• Magmele comutative, adică magmele a căror lege este comutativă.
• Magmele unitare, adică magmele care au un element unitate.
• Monoizi, adică magme unitare a căror lege este asociativă.
• Monoizii comutativi.
• Grupurile.
• Grupuri comutative.
• De algebre unar cu operatorii dintr - un anumit set de S , adică seturile E înzestrate cu o lege externă a S pe E (prin urmare , un operator unar pe E pentru fiecare dintre elementele de S ).
• M -Setează, unde M este un dat monoid (un grup de exemplu), adică, seturile E prevăzut cu o cotă de G pe E .
• Grupuri operatorii dintr - un set dat S , adică grupurile G prevăzute cu legislația externă S pe G care definește, pentru fiecare dintre elementele S o endomorphism a grupurilor G .
• Grupuri comutative cu operatori dintr - un anumit set de S .
• The quasigrupuri .
• Cele bucle . Buclele asociative nu sunt altceva decât grupuri.
• Cele semi-inele .
• Cele inele .
• Cele comutative inele .
• Cele Modulele pe un inel dat A (în particular, spațiile vectoriale peste un anumit corp K ).
• Cele bimodules pe două inele date A și B (o operație unară pentru fiecare dintre elementele A și B ).
• Algebra peste un inel comutativ dat A (fără presupuneri , altele decât bilinearity multiplicare).
• Algebra asociativă peste un inel comutativ dat A .
• Unitar algebra asociativă peste un inel comutativ dat A .
• Unitatea asociativă algebra comutativă dat un inel comutativ A .
• Algebre alternative asupra unui anumit inel comutativ A , adică o algebră peste A a cărei multiplicare este astfel încât ( xx ) y = x ( xy ) și y ( xx ) = ( yx ) x indiferent de elementele x și y ale lui A (de exemplu, algebra reală a lui Cayley octonions ).
• Unitatea algebra alternativă peste un inel comutativ dat A .
• Cele inele involutive , adica inelele A cu un inel antiautomorphism de A (izomorfism de A pe opusă inelului la A ). Exemple: câmpul numerelor complexe furnizat cu conjugarea numerelor complexe sau câmpul cuaternionilor furnizat cu conjugarea cuaternionilor. Sunt folosite în teoria formelor sesquiliniare pe un inel.
• Algebra involutiv peste un inel comutativ dat A , adică, asociativ algebrele Unitatea E pe A prevăzut cu o involuție A, adică o automorphism a A -modul x → x * E astfel încât ( x *) și * ( xy ) * = y * x * oricare ar fi x și y în E . Ele generalizează inelele involutive (luând inelul numerelor întregi relative pentru A ). Algebrele implicative se găsesc în analiza funcțională ( C * -algebre ).Z{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Z}}}
• Modulele diferențiale de pe inel un anumit comutativ A , adică adică A -modulelor M prevăzut cu un endomorphism D de M astfel încât D ( D ( x )) = 0 pentru orice element x in M . Modulele implicative se găsesc în algebra omologică (un complex de lanțuri poate fi considerat ca un modul diferențial).
• Inelele diferențiale, adică inelele A dotate cu un endomorfism al grupei D din A astfel încât, oricare ar fi elementele x și y din A , avem D ( xy ) = D ( x ). y + x . D ( y ). Exemplu: inelul polinoamelor cu unul nedeterminat cu coeficienți într-un inel prevăzut cu derivarea polinoamelor sau inelul funcțiilor reale nedefinibil diferențiate definit pe R prevăzut cu derivarea funcțiilor sale.
• Algebra Lie peste un inel comutativ dat A .
• Iordania algebrelor pe o comutativă K de diferite caracteristici de 2.
• Cele semi-laticile  (en) sau semi-zăbrele, adică de comutative asociative magmas T astfel încât, pentru orice element x al T , x ² = x .
• The spaliere .
• Rețelele delimitate, adică rețelele având un element mai mic și un element mai mare, aceste elemente având în vedere ca operații nulare.
• Cele distributiv structuri cristaline .
• Rețeaua modulară  (în) .
• Cele Boolean algebrelor .
• Cele inele booleene , adică să spunem inelele O astfel încât, pentru orice element x al A , x ² = x . Este echivalent să ne oferim o structură de algebră booleană pe un set și o structură inelară booleană pe acest set.

Structuri Aici algebrice care nu se formează soiuri algebrice: a semi-grupuri , adică monoids care fiecare element este anulabilă, în câmpurile comutative , cele principale inele , de inele factoriale , a modulelor libere dintr - o anumită bază non-triviale inelul A , care nu este un câmp, rețelele complete.

Fie K un câmp (comutativ sau nu). Fie X un spațiu afin peste un câmp K , considerând mulțimea goală ca un spațiu afin atașat unui spațiu vector zero. Apoi, pentru orice număr natural non-nul n și pentru orice secvență finită de n elemente ale lui K a cărei sumă este egală cu 1, avem operație n -ary care la o secvență de n- puncte asociază baricentrul acestor puncte afectate de aceste elemente K . Prin urmare, definim o structură algebrică pe X . De fapt, putem arăta că, prin asocierea cu fiecare spațiu afin de pe K algebra astfel definită, avem un functor al categoriei de spații afine de pe K (morfismele sunt hărți afine) într-o varietate de algebre care este de fapt o echivalență de categorii . Acest lucru arată că proprietățile categorice ale soiurilor algebrice se aplică categoriei de spațiu afin peste K .

Proprietățile soiurilor de algebre

Soiurile de algebre sunt stabile pentru majoritatea construcțiilor obișnuite din algebră. Fie V o varietate de algebre. Avem următoarele proprietăți.

• Orice subalgebra unei algebră de V este o algebra V .
• Pentru congruență R unei algebra A de V , algebra câtul a A prin R este o algebra V .
• Oricare ar fi algebra A și B , în cazul în care există un morfism surjectiv de A peste B și dacă A este o algebră V , atunci B este o algebra V .
• Orice algebra este izomorfă o algebra de V este o algebra V .
• Algebra produs al unei familii de algebre V este o algebra V .
• Algebra vacuum (dacă există) este o algebră V și orice algebra triviale (adică , care este un singleton) este o algebra V .

De fapt, avem următoarea caracterizare a soiurilor de algebre.

Teorema lui Birkhoff . Pentru ca o clasă V de algebre de semnătură Ω să fie o varietate de algebre, este necesar și suficient ca aceasta să îndeplinească următoarele proprietăți:

• orice subalgebră a unei algebre a lui V este o algebră a lui V ;
• oricare ar fi algebrele A și B , dacă A este o algebră a lui V și dacă există un omomorfism surjectiv de la A la B , atunci B este o algebră a lui V ;
• produsul unei familii de algebre V este o algebra V .

Propunere. Fie V o varietate de algebre. Apoi, în sensul teoriei categoriilor , izomorfismele categoriei V nu sunt altele decât omomorfismele lui V care sunt bijecții, iar monomorfismele lui V nu sunt altele decât omomorfismele lui V care sunt injecții. Orice omomorfism surjectiv al lui V este un epimorfism din categoria V , dar inversul poate fi fals, așa cum se arată în categoria inelelor (sau monoizilor): putem arăta că există, în categoria inelelor, injecția canonică a inelul numerelor întregi raționale din câmpul numerelor raționale este un epimorfism. Z{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Z}}}Î{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Q}}}

În varietățile de algebre, unii autori numesc epimorfisme homomorfisme surjective, care pot fi confundate cu epimorfisme cu teoria categoriilor.

Propunere. Produsele directe ale algebrelor lui V nu sunt altele decât produsele în sensul teoriei categoriilor .

Toate proprietățile generale ale soiurilor de algebre se aplică tuturor structurilor algebrice care formează soiuri de algebre enumerate anterior și multor altora. Prin urmare, putem defini pentru structurile sale omomorfisme, subalgebre și congruențe și putem construi produsele directe și coeficienții, într-un mod uniform. Mai mult, așa cum vom vedea, putem construi limite arbitrare și colimite de filtrare ale funcționarilor (în special limitele proiective și inductive ale sistemelor proiective și inductive indexate prin seturi de filtrare ordonate ) în același mod ca în teoria mulțimilor . În special, avem egalizatoare, co-egalizatoare și produse din fibre, construite ca în teoria seturilor. Putem arăta, de asemenea, că aceste structuri admit orice colimită și, în special, coproduse (sau sume) și coproduse de fibre (sau sume amalgamate sau fibrate), dar fiecare varietate de algebre are construcția sa, care poate diferi de construcția pe care se găsește în teoria mulțimilor. Putem construi algebre libere generate de seturi.

Algebre libere

Algebre libere

Găsim în algebră diverse obiecte libere pe un set: monoizii liberi, grupurile libere , modulele libere pe un inel dat, algebra polinoamelor cu coeficienți într-un inel comutativ. Toate aceste exemple sunt destul de bine cunoscute (la nivel universitar). Toate aceste construcții au proprietăți comune, care intră de fapt sub teoria categoriilor și sunt generalizate în varietăți de algebre.

Fie V o varietate de algebre cu semnătura Ω și presupunem că există algebre non-banale în V , adică algebre care au mai mult de un element. Deci avem următoarea teoremă:

Teorema. Pentru orice set I , există o algebră L de V care conține I ca subset astfel încât, pentru orice algebră A de V și pentru orice hartă f de la I la A , există un omomorfism unic de la L la A care se extinde f . Se spune că o astfel de algebra L este o algebră liberă construit pe I in V . Partea I a L este apoi un generator de L .

În cazul în care V este varietatea tuturor Ω algebre semnătură, în timp ce algebra termenul ( I ) este o algebră liberă construit pe I . TΩ{\ displaystyle T _ {\ Omega}}

Propunere. Oricare ar fi liber algebra L și M construit pe I la V , există un izomorfism unic de L pe M , care se extinde identitatea aplicarea setului I . Astfel, algebra liberă construită pe I în V este unică, cu excepția unui singur izomorfism.

Algebrele libere construite pe I în V sunt, prin urmare, unice, cu excepția unui singur izomorfism. Prin urmare, le putem alege o dată pentru totdeauna. Dar există o construcție canonică, care este o algebră câtul a algebrei de termeni construite pe I . Această construcție este valabilă în fiecare dintre soiurile de algebre, dar în practică, în cele mai importante soiuri de algebre, există o construcție explicită mai simplă, care depinde într-adevăr de varietatea de algebre considerate. Constructii explicit nu contează cu adevărat, dar am construit o putere de a vorbi de algebră liberă și nu o algebră liberă construit pe I . Iată construcția sa.

Fie S setul de perechi de elemente ale ( este mulțimea numerelor întregi naturale) care sunt identități satisfăcute de orice algebră a lui V și fie R congruența generată de mulțimea lui ( f ( s ), f ( t )) astfel încât f este un homomorfism de la și ( s , t ) este un membru al s . Apoi , compusul injectarea canonică I în și a surjection canonice pe L = / R este o injecție și, prin identificarea I în imaginea acestei injectări, L este o algebră liberă construit pe I in V , pe care o numim este algebra liberă construită pe I în V și o denotăm ( I ). TΩ(NU){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (\ mathbb {N})}}NU{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {N}}}TΩ(Eu){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (I)}}TΩ(NU){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (\ mathbb {N})}}TΩ(Eu){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (I)}}TΩ(Eu){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (I)}}TΩ(Eu){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (I)}}TΩ(Eu){\ displaystyle {} ^ {T _ {\ Omega} (I)}}LV{\ displaystyle L_ {V}}

Exemple. Iată varietăți de algebre în care este bine cunoscută construcția explicită a algebrelor libere construite dintr-un set I , cu o indicație a construcției explicite:

• magme: este de fapt algebra termenilor;
• monoizi: monoidul cuvintelor construit pe I , adică ansamblul secvențelor finite ale elementelor lui I , cu juxtapunere ca produs (și cu cuvântul gol ca element neutru);
• grupuri: grupul liber construit pe I  ;
• monoizi comutativi: mulțimea familiilor de sprijin finite ale elementelor indexate de mulțimea I  ;NU{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {N}}}
• modulele pe un anumit inel A  : setul de familii de suport finite ale elementelor A indexate de mulțimea I  ;
• algebre asociative unificatoare pe un anumit inel comutativ A  : algebră tensorială pe A -modulul liber construit pe I  ;
• algebra unital asociative și comutative peste un inel comutativ dat A  : algebra polinoamelor cu coeficienți în A cu nedeterminat prin fiecare dintre elementele I , care este izomorf cu algebra simetrică a A -modul construit pe I .

Propunere. Oricare ar fi mulțimile I și J și harta f de la I la J , există un homomorfism unic de la ( I ) la ( J ) care se extinde pe f , iar noi îl denotăm ( f ). Acest homomorfism este injectiv, surjectiv sau izomorf, în funcție de faptul că f este injectiv, surjectiv și bijectiv. În ceea ce privește teoria categoriilor , definim astfel un functor F al categoriei de mulțimi în V , care este de fapt un adjuvant la stânga funcționarului uitat al lui V în categoria mulțimilor. LV{\ displaystyle L_ {V}}LV{\ displaystyle L_ {V}}LV{\ displaystyle L_ {V}}

Definiție. Noi spunem că algebra V este liber ca qu'algèbre de V (fără a face referire la un set de nedeterminat) în cazul în care este izomorf cu o algebră gratuit construit pe un set în V . Depinde de soiul V și nu doar de Ω. Aceasta generalizează noțiunea de modul liber sau grup liber.

Pentru algebra A , există un morfism surjectiv valori în A definit pe o algebră liber construit pe platoul de filmare de bază la A .

Algebre inițiale

În sensul categoria teorie, orice varietate de algebre A admite obiecte inițiale, adică o algebră U astfel încât, pentru orice algebra A de V , există un morfism unic U în A . Obiectele inițiale din colectorul V nu sunt altceva decât obiecte libere construite pe setul gol și sunt unice, cu excepția unui singur izomorfism.

În categoria seturilor, setul gol este singurul obiect inițial, dar într-o varietate de algebre, obiectele inițiale nu au setul gol ca set subiacent, cu excepția cazului în care există o operație nulară în semnătură (în timp ce obiectele finale au singletoni ca mulțime subiacentă, obiecte finale din categoria mulțimilor).

Iată câteva exemple de obiecte inițiale în varietăți de algebre:

• pentru magme sau magme asociative, magma goală este singurul obiect inițial;
• pentru seturi ascuțite, monoizi, grupuri și moduli pe un anumit inel, obiectele inițiale sunt algebrele banale;
• pentru inele, inelul întregilor raționali este un obiect inițial;Z{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Z}}}
• pentru orice inel comutativ K , K este un obiect inițial al varietății de algebre asociative unifere peste K  ;
• rețeaua goală este singurul obiect inițial al varietății rețelelor;
• algebra booleană {0, 1} este un obiect inițial al varietății de algebre booleene.

Algebre gratuite pe un set cu un singur element

Functorul de uitare al varietății de algebre V din categoria seturilor este reprezentabil . Cu alte cuvinte, există o pereche ( U , c ) formată dintr-o algebră U a lui V și un element c al mulțimii care stau la baza U astfel încât, pentru orice algebră A a lui V , harta f → f ( c ) a lui Hom ( U , A ) în setul care stă la baza A este bijecție. Reprezentanții functor identifică cu algebra liber pe un set construit într - un element ( c în cauză) în V . În categoria seturilor, perechea ({0}, 0) este un reprezentant al funcției de identitate a categoriei seturilor.

Iată câteva exemple de varietăți de algebre:

• pentru categoria de monoizi (și monoizi comutativi) :, unde este monoidul aditiv al numerelor întregi naturale (inclusiv 0);(NU,1){\ displaystyle {} ^ {(\ mathbb {N}, 1)}}NU{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {N}}}
• pentru magmele asociative (și magmele asociative comutative) :, luând în considerare adunarea;(NU∖{0},1){\ displaystyle {} ^ {(\ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}, 1)}}
• pentru grupuri (și grupe comutative)  :;(Z,1){\ displaystyle {} ^ {(\ mathbb {Z}, 1)}}
• pentru A -module, unde A este un inel: ( A , 1);
• pentru M -seturi, unde M este un monoid (acestea sunt mulțimile E dotate cu o acțiune de M pe E ): ( M , 1);
• pentru A -algebre asociative unificate (și comutative), perechea ( A [ X ], X ), unde A [ X ] denotă A -algebra polinoamelor cu X nedeterminat  ;
• pentru seturi punctate: (({0, 1}, 0), 1).

Să fie G un grup. Pentru o acțiune de G pe un set nevid E să fie pur și simplu tranzitiv, este necesar și suficient ca G -set care este setul E prevăzut cu această acțiune să fie un liber G -set construit pe un element al E .

Substituţie

Să fiu un set. Pentru orice element i al lui I , putem denota apoi elementul lui ( I ) cu care este identificat i și spunem că sunt nedeterminate ale lui ( I ). Interpretând elementele I în acest fel , avem următorul rezultat. Xeu{\ displaystyle X_ {i}}LV{\ displaystyle L_ {V}}Xeu{\ displaystyle X_ {i}}LV{\ displaystyle L_ {V}}

Fie La o algebra V . Prin identificarea setului de hărți ale lui I în A la setul de familii de elemente ale lui A indexate de I , avem, conform definiției algebrelor libere, o bijecție canonică φ între setul de familii de elemente A sunt indexate de I și toate morfisme L = ( i ) în A . Pentru orice familie de elemente ale A indexate de I și pentru orice element t al L , notăm valoarea la t a φ ( ): atunci spunem că acest element A se obține prin substituirea aux . Acest lucru este interpretat în același mod ca înlocuirea indeterminatelor unui polinom al elementului unei algebre asociative unitare și comutative pe un inel comutativ. LV{\ displaystyle L_ {V}}(Xeu)eu∈Eu{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ în I}}t((Xeu)eu∈Eu){\ displaystyle t ((x_ {i}) _ {i \ în I})}(Xeu)eu∈Eu{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ în I}}Xeu{\ displaystyle x_ {i}}Xeu{\ displaystyle X_ {i}}

Fie A o algebră a lui V , t un element al lui L = ( I ). Prin asocierea în acest mod cu orice element al unui element al elementului A , obținut prin substituție în t , se obține o mapare a în A care este interpretată, în cazul varietății de algebre asociative unificatoare și comutative pe un inel comutativ K , ca și harta polinomială asociată cu t . LV{\ displaystyle L_ {V}}LAEu{\ displaystyle A ^ {I}}LAEu{\ displaystyle A ^ {I}}

Dependență și baze

Să A fi o algebră de V , o familie de elemente de A indexat de un set I corespunzător și φ omomorfismelor din ( I ) în A . (Xeu)eu∈Eu{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ în I}}LV{\ displaystyle L_ {V}}

• Pentru ca această familie să fie o familie generatoare de A , este necesar și suficient ca φ să fie o surjecție , care depinde doar de semnătura algebrelor și nu de varietatea algebrelor.
• Spunem că această familie este liberă sau că elementele sale sunt independente în A dacă φ este o injecție și în caz contrar spunem că familia este înrudită sau că elementele sale dependente . Acest lucru generalizează noțiunea de dependență liniară pe care o întâlnești în algebră liniară și de dependență algebrică pe care o întâlnești în algebre asociative unificatoare și comutative pe un inel comutativ (algebră de polinoame).
• Noi spunem că o familie de elemente ale A este o bază de A în cazul în care este o familie și generator de o familie liberă, adică dacă φ este izomorfism. Aceasta generalizează elementele de bază ale modulelor sau ale spațiilor vectoriale.
• Algebra A este liber în V , dacă și numai dacă are o bază în raport cu V .

Noțiunile de familie liberă, elemente independente și bază depind de varietatea algebrelor și nu numai de semnătura algebrelor, spre deosebire de cazul generării familiilor.

Prezentări

Prezentările de grup se găsesc în algebră . Această noțiune este generalizată în cazul soiurilor de algebre.

Definiție. Fie O varietate algebra algebra V . Numim prezentarea lui A (relativ la V ) oricărei perechi ( X , S ) formată dintr-o parte generatoare X a lui A și un set S de perechi de elemente algebra liberă L construită pe X astfel încât congruența R algebra L generată de S este relația de echivalență asociată cu omomorfismelor unic de L pe a care se extinde injecția canonică X în a . Elementele X sunt apoi numite generatoare de prezentare și elementele S în relațiile de prezentare.

Această noțiune de prezentări într-o varietate de algebre generalizează bine pe cea a grupurilor. În cazul grupurilor, ne oferim o parte generatoare X a unui grup G (generatoarele) și o parte K a grupului liber L construit pe X (relatoarele) astfel încât distinsul subgrup al lui L generat de K este unic omomorfismelor core L în G , care se extinde injecția canonică X în G . Trecerea de la partea K la setul S de perechi de L se face după cum urmează: în loc să considerăm un element x al lui L (un relator al prezentării), considerăm perechea ( x , e ) formată din x și din neutru elementul e al lui L (o relație de prezentare).

Orice algebră A dintr-o varietate de algebră V admite o prezentare.

Noțiunea de prezentare a algebrelor face uneori posibil să se facă anumite calcule mai simplu, în special atunci când luăm în considerare toată varietatea tuturor algebrelor unei semnături date sau când putem construi în mod explicit algebrele libere din varietatea. exemplu categoria grupurilor).

Spunem că o algebră A a lui V este de prezentare finită dacă există o prezentare ( X , S ) a lui A astfel încât mulțimile X și S să fie finite.

Dacă o algebră A de V are o prezentare finită, atunci este de tip finit.

Limite și colimite

Fie V o varietate de algebre semnăturale Ω. Putem arăta că categoria V admite limite inverse și limite directe și chiar mai general limite și colimite . Putem arăta, de asemenea, că functorul uitării lui V în categoria seturilor creează limite arbitrare și creează colimite de filtrare (filtrare a limitelor inductive).

Teorema. Fie I o categorie mică (respectiv un set de filtrare ordonat ) și F un functor de la I în V și fie L limita (respectiv colimitul) lui F considerat ca un functor în categoria seturilor, prin intermediul uitând functorul. Apoi, există o structură algebrică unică cu semnătura Ω pe L pentru care, pentru orice element i al lui I , harta canonică a lui L în (respectiv a lui L în ) este un omomorfism. Deci , pentru această structură algebrică de L , L este pentru aplicații canonice, o limită (resp. Colimit a) functorul F în categoria V . Putem arăta că această construcție este funcțională. Feu{\ displaystyle F_ {i}}Feu{\ displaystyle F_ {i}}

În special, putem înlocui I cu un set ordonat (respectiv un set de filtrare ordonat) și F cu un sistem proiectiv (resp. Un sistem inductiv) de algebre de V  : obținem limitele proiective (respectiv Limitele inductive).

Exemple (toate construite ca în categoria seturilor)

• Algebra produselor V .
• Egalizatorul și coégalisateur două morfisme între două algebre A și B .
• Produsul fibrelor algebrelor lui A și B ale lui V relativ la omomorfismele u și v ale unei algebre S cu valori în A și respectiv B.

Categoria V admite orice limite și colimite și, prin urmare, categoria este completă și co-completă. Acest lucru ar eșua dacă nu am admite algebre (dacă ar exista cel puțin).

Coproduse și coproduse din fibră. Aceasta are consecința faptului că soiurile de algebre admit coproduse (sau sume directe ). Iată câteva exemple de coproduse:

• pentru familiile de grupuri (sau monoizi), coprodusele sunt produse gratuite  ;
• pentru familiile de module de pe același inel (sau grupuri comutative), coprodusele sunt sumele directe  ;
• pentru familiile finite de algebre asociative unificatoare și comutative pe același inel comutativ, coprodusele sunt produsele tensorale (aceleași pentru inelele comutative).

După cum putem vedea, coprodusele sunt rareori construite ca în cazul seturilor (este atunci reuniunea disjunctă).

Soiurile de algebre admit, de asemenea, coproduse de fibre (sau sume amalgamate ).

Existența deputaților

Următorul rezultat este unul care dă existența adjuvantului anumitor functori între soiurile de algebre și astfel obținem cele mai frecvente cazuri de soluții la problemele universale .

Notăm prin semnăturile Ω și Θ ale algebrelor și V și W prin varietățile de algebre de tip Ω și respectiv Θ.

Teorema. Presupunem că există un functor F din categoria V în categoria W care trece la uitarea functorilor din categoria mulțimilor, adică astfel încât, pentru orice algebră A a lui V , mulțimile sub -jacent cu A și F ( A ) sunt egale și, oricare ar fi algebrele A și B ale lui V și omomorfismul f al lui A în B , hărțile f și F ( f ) sunt egale. Apoi , există un adjunct la stânga G din F . În special, pentru orice algebră A din V și pentru orice algebră C din W , avem o bijecție canonică naturală între seturile de omomorfisme Hom ( F ( A ), C ) și Hom ( A , G ( C )).

Exemple specifice. Cele mai importante cazuri de funcții între V și W sunt cazurile de funcții de incluziune (cu Ω = Θ), funcții de uitare (cu Θ inclus în Ω) sau funcții de modificare a structurii. Iată cele mai frecvente exemple.

• W este categoria mulțimilor (Θ este gol) și F este funcția de uitare a lui V în categoria mulțimilor. Un adjunct al F liber algebra functorul din categoria de seturi în V .
• Un asistent pentru funcția de uitare a categoriei grupurilor comutative din categoria monoidelor comutative este funcționarul care oricărui monoid comutativ M asociază grupul de fracțiuni ale lui M (acest functor asociat cu monoidul aditiv al numerelor întregi naturale grupul întregilor raționali ).NU{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {N}}}Z{\ displaystyle {} ^ {\ mathbb {Z}}}
• O functor incluziune deputat din categoria grupuri comutative în categoria grupurilor este functorul ca orice grup G asociat abelianization ei, adică raportul dintre G de gruparea derivată de la G .
• Dacă A este un inel comutativ, un asistent al functorului de uitare a categoriei algebrelor asociative A- unificatoare (respectiv al algebrelor asociative A- unificatoare și asociative comutative) din categoria A -module este funcționalul care la toate modulele A își asociază algebra tensorială (resp. algebra simetrică ).
• Un asistent al functorului de uitare al categoriei monoidelor din categoria magmei asociative este functorul care oricărei magme asociative S asociază monoidul dedus din S prin adăugarea unui element neutru (adăugăm un element a la S care n 'face nu aparține lui S și extindem multiplicarea lui S într-un mod unic declarând că a este un element neutru al lui S ∪ { a }).
• Dacă A este un inel comutativ unitar, un asistent al functorului de uitare a categoriei A- algebre unitare asociative din categoria A- algebre asociative este functorul care oricărei A- algebre asociative E asociază A -algebra dedusă din E prin adăugarea unui element unitate ( A -algebra a cărei bază A -modul este A × E a cărei multiplicare este dată de ( a , x ) ( b , y ) = ( ab , ay + bx + xy ), indiferent de a și b în A și x și y în E ).
• Dacă K și L sunt două inele astfel încât K este un subinel al lui L , un asistent al functorului care oricărui L -modul N asociază K -modulul M subiacent este funcția de extensie scalară . De exemplu, dacă K este câmpul R al numerelor reale și L este câmpul C al numerelor complexe, atunci un asistent al acestui functor este functorul de complexificare . Dacă K și L sunt comutative, atunci putem înlocui modulele cu algebre asociative unificatoare sau cu algebre Lie și obținem un functor de extensie scalară între categoriile corespunzătoare.
• Dacă K este un câmp comutativ (sau un inel), un asistent al functorului care la orice K - asociativă unitară algebra asociază ei algebra Lie (colțarul Lie fiind [ x , y ] = xy - yx ) este functorul care orice Lie K -algebra își asociază algebra învelitoare.

Exemple generale

• Dacă Θ = Ω și dacă V este inclus în W, funcționarul de incluziune din V în W are un ajutor.
• Dacă Θ este inclus în Ω (adică dacă este inclus în toate n ) și dacă, pentru orice algebră A a lui V , Θ-algebra care stă la baza A este o algebră a lui W , atunci funcționarea care uită de V în W admite un adjunct.Θnu{\ displaystyle \ Theta _ {n}}Ωnu{\ displaystyle \ Omega _ {n}}

Cu excepția algebrei învelitoare a algebrelor Lie, exemplele anterioare sunt de aceste două tipuri (includere și uitare). În acest din urmă caz, obținem un asistent al unui functor de „modificare a structurii”.

Exemplu de geometrie afină. Fie K un câmp (comutativ sau nu). Există o echivalență a categoriei între categoria spațiilor afine peste K cu hărțile afine și o varietate de algebre (a se vedea mai sus). Orice spațiu vectorial V peste K poate fi considerată ca un spațiu afin peste K , și obținem un beton functor din categoria spații vectoriale peste K în categoria spațiu afin de pe K . Rezultă apoi din teorema anterioară că acest functor de uitare admite un adjuvant, care oricărui spațiu afin E pe K își asociază spațiul vector învelitor Ê : se caracterizează, până la izomorfism, prin faptul că E este un hiperplan afin al lui Ê care nu trece prin 0. Este un fel de versiune vectorială a finalizării proiective  (en) a lui E ( spațiul proiectiv P ( Ê ) este o finalizare proiectivă a lui E ).

Istorie

Note și referințe

Note

Referințe

Bibliografie

• George M. Bergman, O invitație la algebră generală și construcții universale , Henry Helson, 1998 ( ISBN  978-0-9655211-4-7 )
• Stanley N. Burris și HP Sankappanavar, Un curs de algebră universală , Springer-Verlag, 1981 ( ISBN  978-3-540-90578-3 )
• Paul Cohn , Universal Algebra , Dordrecht, Olanda, Editura D. Reidel, 1981 ( ISBN  978-9-02771213-4 )
• Pierre Grillet, Algebra , Wiley-Interscience Publication , 1999 ( ISBN  978-0-471-25243-6 )
• Nathan Jacobson , Algebra de bază II , WH Freeman, 1989 ( ISBN  978-0-7167-1933-5 )

Articole similare

• Algebră
• Algebră generală
• Structură (matematică)
• Teoria categoriilor
• Algebra Universalis - un jurnal dedicat algebrei universale

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">