Produs direct

Majoritatea structurilor algebrice permit o construcție foarte simplă a unei structuri produse pe produsul cartezian al mulțimilor subiacente. Mai general, putem numi un produs direct un produs care face naveta cu functorul de uitare . Acesta este cazul topologiei produse în categoria spațiilor topologice .

Produs direct din două magme

Fie E un set prevăzut cu o lege de compoziție internă T și F un set prevăzut cu o lege de compoziție internă . Putem defini o lege de compoziție internă a produsului cartezian E × F după cum urmează: ⋆{\ displaystyle \ star}∗{\ displaystyle *}

(X,y)∗(X′,y′)=(X T X′,y⋆y′).{\ displaystyle (x, y) * (x ', y') = (x \ T \ x ', y \ star y').}

Proprietăți

• Dacă T și sunt asociative, atunci legea este asociativă.⋆{\ displaystyle \ star}∗{\ displaystyle *}
• Dacă T și sunt comutative, atunci legea este comutativă.⋆{\ displaystyle \ star}∗{\ displaystyle *}
• Dacă T admite un element neutru e și dacă admite un element neutru f , atunci este neutru pentru . ⋆{\ displaystyle \ star}(e,f){\ displaystyle (e, f)}∗{\ displaystyle *}
  • Dacă în plus x admite un x simetric pentru T și dacă y admite un y simetric pentru , atunci (
  x , y ) admite ( x ' , y' ) ca simetric.⋆{\ displaystyle \ star}

Produs direct al magmelor

Fie ( E i ) i ∈ I o familie de mulțimi , fiecare E i fiind înzestrat cu o lege de compoziție internă . Putem defini o lege de compoziție internă a produsului cartezian ∏ i ∈ I E i după cum urmează: ⋆eu{\ displaystyle \ star _ {i}}∗{\ displaystyle *}

(Xeu)eu∈Eu∗(Xeu′)eu∈Eu=(Xeu⋆euXeu′)eu∈Eu{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ in I} * (x '_ {i}) _ {i \ in I} = (x_ {i} \ star _ {i} x' _ {i} ) _ {i \ in I}}

Această construcție este valabilă indiferent dacă I este un set finit sau infinit .

Proprietăți

• Dacă fiecare lege este asociativă, legea este asociativă.⋆eu{\ displaystyle \ star _ {i}}∗{\ displaystyle *}
• Dacă fiecare lege este comutativă, legea este comutativă.⋆eu{\ displaystyle \ star _ {i}}∗{\ displaystyle *}
• Dacă fiecare lege are un element neutru e i (respectiv neutru în dreapta, respectiv neutru în stânga), familia ( e i ) i ∈ I este neutră (respectiv neutră în dreapta, respectiv neutră în stânga) pentru .⋆eu{\ displaystyle \ star _ {i}}∗{\ displaystyle *}
• Dacă fiecare lege are un element neutru și dacă în fiecare E i , orice element x i are un simetric (respectiv simetric drept, respectiv stâng simetric) y i , atunci familia ( x i ) i ∈ I admite familia ( y i ) i ∈ I ca simetric (respectiv dreapta simetric, respectiv stâng simetric).⋆eu{\ displaystyle \ star _ {i}}

În special, produsul direct al unei familii de grupuri este un grup.

Produs direct al inelelor

Fie ( E i ) i ∈ I o familie de mulțimi, fiecare E i fiind înzestrat cu două legi și . Ca anterior, putem defini o lege , produsul direct și o lege , produsul direct al legilor . +eu{\ displaystyle + _ {i}}∗eu{\ displaystyle * _ {i}}+{\ displaystyle +}+eu{\ displaystyle + _ {i}}∗{\ displaystyle *}∗eu{\ displaystyle * _ {i}}

Dacă fiecare lege este distributivă în raport cu legea , atunci legea este distributivă în raport cu legea . ∗eu{\ displaystyle * _ {i}}+eu{\ displaystyle + _ {i}}∗{\ displaystyle *}+{\ displaystyle +}

În special, dacă fiecare E i este prevăzut cu o structură de inel, se construiește astfel un inel de produs direct.

Produs direct al spațiilor vectoriale

Este o familie ( E i ) i ∈ I de spații vectoriale pe același corp K . Următoarele legi fac din produsul cartezian ∏ i ∈ I E i un spațiu K -vectorial, numit produsul familiei ( E i ) i ∈ I  :

(tueu)eu∈Eu+(veu)eu∈Eu=(tueu+veu)eu∈Eu,λ(tueu)eu∈Eu=(λtueu)eu∈Eu.{\ displaystyle (u_ {i}) _ {i \ in I} + (v_ {i}) _ {i \ in I} = (u_ {i} + v_ {i}) _ {i \ in I}, \ quad \ lambda (u_ {i}) _ {i \ in I} = (\ lambda u_ {i}) _ {i \ in I}.}

Vectorul nul este familia (0) i ∈ I format de vectorii nule ale spațiilor E i .

Atunci când toate E i sunt egale cu același K vectorul spațiu E ( de exemplu , K , văzută ca K - dreapta foto ) Π i ∈ I e I este spațiul vectorial E I a aplicațiilor I în E .

Note și referințe

1. N. Bourbaki , Algebra , cap.  II, secțiunea 5 pentru produse infinite și p. A-II-10 pentru produse cu module directe .
2. Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966, Exemplul 4, p. 166-167.

Articol asociat

Suma directă

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">