Grup unic

În matematică , un grup de simplu este un non - trivială grup care nu are nici un subgrup distins alta decât el însuși și al subgrupului triviale.

Definiție

Se spune că un grup este simplu dacă are exact două subgrupuri distincte: ( fiind elementul neutru al grupului) și el însuși. $(G, *)$ ${\ displaystyle (\ {e \}, *)}$ $e$ $(G, *)$

Exemple

Câteva exemple de grupuri simple:

Singurele grupuri abeliene simple sunt grupurile ciclice de ordinul întâi. Într-adevăr, orice subgrup al unui grup abelian este normal și un grup non-trivial care nu are alt subgrup decât el însuși și subgrupul său trivial este ciclic de ordinul întâi.

Demonstrație

Fie G un grup non-trivial care nu are alt subgrup decât el însuși și subgrupul său trivial. Fie g un element al lui G altul decât neutrul; subgrupul generat de g nu este banal, deci egal cu G , astfel încât G este monogen . Mai mult, G este finit (altfel, ar fi izomorf la ℤ și ar conține subgrupul strict 2ℤ). G este deci ciclic de ordin finit n . Pentru orice divizor d al lui n , G are un subgrup de ordinul d , deci d este egal cu 1 sau n . Astfel, n este neapărat prim.

Grupul SO 3 (ℝ) al matricilor ortogonale speciale de ordinul 3 cu coeficienți reali este simplu. Mai general, grupurile SO n (ℝ) sunt simple dacă și numai dacă n este impar. Pentru n chiar, grupul SO n (ℝ) conține subgrupul normal {Id, -Id} și nu este simplu. Grupa coeficient SO n (ℝ) / {Id, -Id} este simplă dacă și numai dacă numărul par n este mai mare sau egal cu 6. Grupul SO 4 (ℝ) / {Id, -Id} nu este simplu , fiind izomorfă la produsul SO 3 (ℝ) de la sine.
Pentru n mai mare sau egal cu 5, grupul alternativ pe elemente este simplu. Acest rezultat se află la baza teoriei rezoluției de către radicali . $nu$ $An}$
Multe grupuri de tip Lie sunt simple. Acesta este cazul, de exemplu, al grupului simplu de ordin 168 care poate fi văzut ca grupul liniar al unui spațiu vectorial de dimensiunea 3 pe câmpul finit cu două elemente.
Grupurile sporadice .

Interes

Termenul „simplu” înseamnă că astfel de grupuri nu sunt, într-un fel, „reductibile” la un grup mai ușor de gestionat. Interesul unui subgrup non-trivial distins al unui grup este adesea de a permite construirea grupului coeficient . Studiul lui este apoi redus la cel al și . Această construcție nu este posibilă pentru un grup simplu și, prin urmare, nu putem reduce studiul nostru la cel al unui grup de coeficienți cardinali mai mic decât acesta. $H$ $G$ $G / H$ $G$ $H$ $G / H$

Orice grup simplu non- abelian este de nerezolvat .

Grupurile simple finite sunt importante deoarece pot fi văzute ca elemente de bază ale tuturor grupurilor finite , în același mod în care toate numerele întregi pot fi descompuse în produse de numere prime .

Clasificarea grupurilor simple , finite a fost finalizată în 1982.

Teorema Feit-Thompson

Teorema Feit-Thompson spune că orice grup finit de ordin impar este rezolvabil . Rezultă că orice grup finit simplu non-abelian este de ordin egal și, prin urmare, conține cel puțin o involuție (adică un element de ordinul 2).

Note și referințe

(în) Joseph J. Rotman (în) , Introducere în teoria grupurilor [ ediții cu amănuntul ], Ediția a 4- a , ediția 1999, p. 39 .
N. Bourbaki , Elements of math , Algebra , cap. 1, 1970, p. 36.
D. Perrin, Curs de algebră , Elipse,1996

Vezi și tu