Algebra pe un inel

În matematică și mai precis în algebră generală , o algebră peste un inel comutativ A este o structură algebrică care este definită după cum urmează:

( E , A , +, ∙, ×) este o algebră peste A sau o A- algebră, dacă:

1. ( E , +, ∙) este un modul pe A ;
2. legea compoziției interne ×, de la E x E la E , este biliniară .

Definiții

Fie A un inel comutativ și E un modul pe A înzestrat cu o operație binară . Dacă această operație binară este biliniară , ceea ce înseamnă că pentru toate (elementele modulului) și pentru toate (scalare), aceste identități sunt adevărate: ×:E×E→E,(X,y)↦X×y{\ displaystyle \ times: E \ times E \ to E, (x, y) \ mapsto x \ times y}X,y,z∈E{\ displaystyle x, y, z \ în E \,}la∈LA{\ displaystyle a \ în A}

• (X+y)×z=(X×z)+(y×z) ;{\ displaystyle (x + y) \ times z = (x \ times z) + (y \ times z) ~;}
• X×(y+z)=(X×y)+(X×z) ;{\ displaystyle x \ times (y + z) = (x \ times y) + (x \ times z) ~;}
• (la⋅X)×y=la⋅(X×y)=X×(la⋅y),{\ displaystyle (a \ cdot x) \ times y = a \ cdot (x \ times y) = x \ times (a \ cdot y),}

atunci E este o algebră peste A . De asemenea , ei spun că E este o A - algebră , unde A este algebra de bază E . Operația biliniară se numește multiplicare în algebra E .

Când A este un câmp comutativ ( E, +,. ) Este un spațiu vectorial al A .

Un morfism între două A -algebre E și F este un morfism pentru legile interne (adunare și multiplicare) și produsul prin scalari: f:E→F{\ displaystyle \, f \ ,: \, E \ to F}

f(X+y)=f(X)+f(y), f(X×y)=f(X)×f(y) și f(la⋅X)=la⋅f(X){\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y), ~ f (x \ times y) = f (x) \ times f (y) ~ {\ text {și}} ~ f ( a \ cdot x) = a \ cdot f (x)}

pentru toată lumea și pentru orice . X,y∈E{\ displaystyle x, y \ in E}la∈LA{\ displaystyle a \ în A}

Un morfism este un izomorfism dacă și numai dacă este bijectiv ( inversul său este apoi automat un morfism de algebre). Se spune că două A -algebre sunt izomorfe dacă există un izomorfism al A -algebrelor de la una la alta.

Exemple

• Găsim un număr mare de exemple de algebre în algebre asociative , cele pentru care a doua lege internă este asociativă. Acesta este cazul inelelor și pseudo-inelelor care sunt -algebre. În această mare familie de algebre asociative, găsim, de asemenea, seturi care sunt prevăzute cu două legi interne care le fac inele și o lege externă care le face spații vectoriale pe un câmp sau moduli pe un inel. Acesta este cazul setului de matrici pătrate de dimensiunea n pe un inel sau pentru setul de polinoame pe un inel.Z/nuZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}} nuZ{\ displaystyle n \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

• Printre algebrele neasociative, putem cita
  • algebra Lie , care sunt non-algebre asociative peste un câmp.
  • pentru un inel , unde "." este multiplicarea externă și „ produsul cruce este un exemplu de algebra nonassociative peste un inel.LA{\ displaystyle A}(LA3,+,.,∧){\ displaystyle (A ^ {3}, +,., \ wedge)}∧{\ displaystyle \ wedge}

Evaluare și referință

1. N. Bourbaki , Algebra , 1970, cap. III, p. 2.

Vezi și tu

• Algebra pe un câmp
• Algebră asociativă
• Algebra Clifford
• Algebra geometrică
• Algebra minciunii