Alternativitate
În matematică , mai ales în algebra generală , proprietatea alternativității se poate lega de legile interne ale compoziției , în special multiplicarea anumitor algebre . Este o proprietate mai puțin puternică decât asociativitatea și, pentru algebre, mai puternică decât asociativitatea puterilor .
Definiție
O magmă M spune stânga alternativă dacă ( xx ) y = x ( xy ) pentru toți x și y în M și dreapta alternativ , dacă există ( xx ) = ( yx ) x pentru toți x și y în M .
Se spune că este alternativă dacă este atât alternativă la stânga, cât și alternativă la dreapta.
Proprietăți
Orice jumătate de grup (adică orice magmă asociativă ) este clar alternativă. Conversa este falsă: algebra octoniilor este alternativă, dar nu asociativă.
Mai general, pentru ca o magmă M să fie alternativă, este suficient ca orice sub-magmă de M generată de două elemente să fie asociativă.
Pentru orice magmă, această condiție suficientă nu este necesară (o magmă alternativă poate să nu aibă nici măcar puteri asociative).
Pentru o algebră, această condiție suficientă este, de asemenea, necesară, conform teoremei lui Artin . Un corolar este că orice algebră alternativă (ro) are puteri asociative, dar invers este fals: sedeniunile formează o algebră cu puteri asociative, deși nu alternativă.
Orice algebră alternativă este flexibilă , adică satisface identitatea ( xy ) x = x ( yx ). Argumentele elementare asupra asociatorului fac posibilă demonstrarea directă a acestui caz particular al teoremei lui Artin și chiar demonstrarea faptului că dacă o algebră A îndeplinește două dintre următoarele trei condiții, atunci îndeplinește a treia:
A este o alternativă la stânga,
A este o alternativă la dreapta,
A este flexibil.
Orice algebră alternativă verifică identitățile lui (en) Moufang :
- ( zxz ) y = z ( x ( zy ))
-
y ( zxz ) = (( yz ) x ) z
- ( zy ) ( xz ) = z ( yx ) z
(întrucât algebra este flexibilă, subexpresiile de neegalat de mai sus ale formei aba sunt neechivoce).
Câteva demonstrații
- Asociatorul [,,], definit prin [ x, y, z ] = x ( yz ) - ( xy ) z , este o hartă triliniară .
- Alternativitatea la stânga și la dreapta și flexibilitatea rezultă respectiv prin: [ x, x, y ] = 0, [ y, x, x ] = 0 și [ x, y, x ] = 0. Două condiții au ca rezultat al treilea. Într-adevăr, fiecare implică antisimetria parțială a alternatorului, cu respectarea variabilelor (1, 2), (2, 3) și (1, 3). Deoarece oricare dintre transpozițiile asociate generează întregul grup simetric S 3 , conjuncția oricăror două dintre cele trei condiții este echivalentă cu: alternatorul este (total) antisimetric.
- Orice algebră alternativă verifică prima identitate a lui Moufang: la fel și a doua (inversând dreapta și stânga).
(zXz)y-z(X(zy))=[zX,z,y]+[z,X,zy]=-[z,zX,y]-[z,zy,X]=-(z2X)y+z((zX)y)-(z2y)X+z((zy)X)=-[z2,X,y]-z2(Xy)-[z2,y,X]-z2(yX)+z((zX)y+(zy)X)=z(-z(Xy)-z(yX)+(zX)y+(zy)X)=z([z,X,y]+[z,y,X])=0.{\ displaystyle {\ begin {align} (zxz) yz (x (zy)) & = [zx, z, y] + [z, x, zy] \\ & = - [z, zx, y] - [ z, zy, x] \\ & = - (z ^ {2} x) y + z ((zx) y) - (z ^ {2} y) x + z ((zy) x) \\ & = - [z ^ {2}, x, y] -z ^ {2} (xy) - [z ^ {2}, y, x] -z ^ {2} (yx) + z {\ Big (} ( zx) y + (zy) x {\ Big)} \\ & = z {\ Big (} -z (xy) -z (yx) + (zx) y + (zy) x {\ Big)} \\ & = z {\ Big (} [z, x, y] + [z, y, x] {\ Big)} = 0. \ end {align}}}
- Al treilea poate fi dedus de exemplu din primul:
(zy)(Xz)-z(yX)z=[z,y,Xz]+z(y(Xz)-(yX)z)=-[z,Xz,y]-z[y,X,z]=-(zXz)y+z((Xz)y-[y,X,z])=-z(X(zy)-(Xz)y+[y,X,z])=-z(-[X,z,y]+[y,X,z])=0.{\ displaystyle {\ begin {align} (zy) (xz) -z (yx) z & = [z, y, xz] + z {\ Big (} y (xz) - (yx) z {\ Big) } \\ & = - [z, xz, y] -z [y, x, z] \\ & = - (zxz) y + z {\ Big (} (xz) y- [y, x, z] {\ Big)} \\ & = - z {\ Big (} x (zy) - (xz) y + [y, x, z] {\ Big)} \\ & = - z {\ Big (} - [x, z, y] + [y, x, z] {\ Big)} = 0. \ end {align}}}
Note și referințe
-
Demonstrat în Schafer 1995 , p. 29-30 și în Clark 2010 , p. 10-11
-
Schafer 1995 , p. 27-28
-
Clark 2010 , p. 8-10
Articol asociat
Teorema Artin-Zorn (ro)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">