Algebra minciunii

În matematică , o algebră Lie , numită în cinstea matematicianului Sophus Lie , este un spațiu vectorial care este prevăzut cu o paranteză Lie , adică o lege de compunere biliniară , antisimetrică și internă, care verifică relația lui Jacobi . O algebră Lie este un caz special de algebră peste un câmp .

Definiții, exemple și primele proprietăți

Definiție

Fie K un câmp comutativ .

O algebra Lie pe K este un spațiu vectorial pe K înzestrat cu o hartă biliniară a în care satisface următoarele proprietăți: ${\ mathfrak {g}}$ $(x, y) \ mapsto [x, y]$ ${\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

$\ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0$ ;
$\ forall x, y, z \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.$

Produsul se numește cârlig Lie (sau pur și simplu cârlig) al și . Deoarece paranteză este o funcție bilineară alternativă a , avem și identitatea tuturor în . Identitatea (2) de mai sus se numește identitate Jacobi . $[X y]$ $X$ $y$ $X y$ $[x, y] = - [y, x]$ $X y$ ${\ mathfrak {g}}$

O subalgebră Lie a este un subspatiu vector de stabil pentru paranteză Lie. Orice subalgebră Lie de este în mod evident înzestrată cu o structură de algebră Lie peste K. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Notă : spre deosebire de algebrele tensoriale (și algebrele Clifford , inclusiv algebrele exterioare ), algebrele Lie nu sunt nici unitare, nici asociative .

Câteva exemple clasice de algebre Lie

Orice spațiu vectorial poate fi prevăzut cu o structură algebră Lie prin setare ,. O astfel de algebră Lie, unde paranteze Lie este identic zero, se numește abeliană. $E$ $\ forall x, y \ in E, \ [x, y] = 0$
Dintr-o algebră asociativă peste un câmp , putem construi o algebră Lie astfel: stabilim (este comutatorul celor două elemente x și y ). Este ușor de verificat că definim în acest fel pe o structură a algebrei Lie. $(LA,*)$ $\ forall x, y \ în A, \ [x, y] = x * yy * x$ $LA$ În schimb, orice algebră Lie este conținută într-o algebră asociativă, numită algebră învelitoare , în care cârligul Lie coincide cu cârligul definit mai sus. Dacă este diferit de zero, algebra învelitoare este mult mai mare decât ea însăși. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$
Ca exemplu concret al situației de mai sus, luați în considerare spațiul matricilor cu coeficienți în K. Este o algebră asociativă pentru produsul matricial obișnuit. Prin urmare, îi putem da și o structură a algebrei Lie, cu paranteză . Notăm această algebră atunci când considerăm structura sa de algebră Lie. ${\ mathcal {M}} _ {n} (K)$ $n \ ori n$ $[A, B] = AB-BA$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$
Evident, orice subspațiu vector de stabil de paranteză este o algebră Lie. Astfel, putem verifica dacă setul matricelor de urme zero este o algebră Lie, pe care o denotăm . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak {sl}} _ {n} (K)$ De fapt, teorema lui Ado arată că orice algebră Lie dimensională finită poate fi văzută ca o subalgebră a lui . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$
Un alt exemplu fundamental, mai geometric, este următorul. Fie o varietate diferențială . Atunci spațiul vectorial format din câmpurile vectoriale de pe are o structură naturală de algebră Lie, fără a fi o algebră . $M$ $M$
În special, mulțimea câmpurilor Killing ale unei varietăți Riemanniene sau pseudo-Riemanniene formează o algebră Lie, care corespunde grupului de izometrii ale varietății considerate.
Spațiul euclidian tridimensional ℝ 3 cu produsul încrucișat ca paranteză Lie este o algebră Lie.

Morfisme și idealuri

Un morfism al algebrelor Lie este o hartă liniară care respectă paranteze Lie, adică astfel încât ${\ mathfrak {g}}$ $\ phi$

\ forall a, b \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ phi ([a, b]) = [\ phi (a), \ phi (b)]

Un ideal al este un subspatiu vectorial astfel incat . Este în special o subalgebră Lie. Dacă o algebră Lie nu admite un ideal non-trivial, se spune că este simplă. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ $\ forall g \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall h \ in {\ mathfrak {h}}, \ [g, h] \ in {\ mathfrak {h}}$

Dacă este un ideal de , putem forma coeficientul de prin : este coeficientul de spațiu vectorial , prevăzut cu paranteze definită de . Proiecția este apoi un morfism al algebrelor Lie. ${\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}$ $[g + {\ mathfrak {h}}, g '+ {\ mathfrak {h}}] = [g, g'] + {\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}$

O reprezentare a unei algebre Lie este un morfism . Cu alte cuvinte, este o hartă liniară, cum ar fi . ${\ mathfrak {g}}$ $\ phi \ ,: \, {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ $\ phi ([g, h]) = \ phi (g) \ phi (h) - \ phi (h) \ phi (g)$

Morfismul definit de definește o reprezentare a , numită reprezentare anexă (în) . Identitatea lui Jacobi exprimă tocmai faptul că $reclama$ respectă cârligul. Nucleul acestei reprezentări este centrul algebrei Lie . ${\ text {ad}}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl (g)}}$ ${\ text {ad}} (g) (h) = [g, h]$ ${\ mathfrak {g}}$ $Z ({\ mathfrak {g}}) = \ {g \ in {\ mathfrak {g}}, \ forall h \ in {\ mathfrak {g}}, [g, h] = 0 \}$ ${\ mathfrak g}$

Relația cu grupurile Lie și grupurile algebrice

Algebrele Lie sunt asociate în mod natural cu grupurile Lie . Dacă este un grup Lie și e elementul său neutru , atunci spațiul tangent la e to este o algebră Lie; construcția exactă a acestei algebre este detaliată în secțiunea corespunzătoare a articolului Lie Group . Aceeași construcție este valabilă pentru grupurile algebrice . În general, notăm cu litere gotice mici algebra Lie asociată cu un grup Lie sau un grup algebric. Astfel, așa cum am văzut deja, desemnează setul de matrice pătrate de dimensiunea n și desemnează setul de matrice pătrate de dimensiunea n cu urmă zero. În același mod, denotați setul de matrici pătrate A de mărime n antisimetrică etc. În toate aceste exemple, suportul Lie nu este nimic altceva decât comutatorul: . $G$ $G$ ${\ mathfrak {gl_ {n}}}$ ${\ mathfrak {sl}} _ {n}$ ${\ mathfrak {so_ {n}}}$ $[A, B] = AB-BA$

Dacă este un morfism de grup între două grupuri de Lie și și , dacă presupunem diferențiat, atunci diferențialul său de identitate va fi un morfism între algebrele Lie și de și . În special, unei reprezentări de diferențiat, asociem o reprezentare a . $\ phi$ $G$ $H$ $\ phi$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ $G$ $H$ $G$ ${\ mathfrak {g}}$

Clasificarea algebrelor Lie este utilizată în mod esențial pentru studiul grupurilor Lie, grupurilor algebrice și reprezentărilor acestora.

Clasificare

Dacă și sunt două subalgebre Lie ale unei algebre Lie , denotați subspaiul vectorial generat de elementele formei pentru și . ${\ mathfrak {a}}$ ${\ mathfrak {b}}$ ${\ mathfrak {g}}$ $[{\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}]$ $[a, b]$ $a \ in {\ mathfrak {a}}$ $b \ in {\ mathfrak {b}}$

Nilpotente Algebre de minciună

Se spune că o algebră Lie este nilpotentă atunci când orice secvență de comutatoare ajunge să fie zero, când n devine suficient de mare. $[[g_ {1}, g_ {2}], g_ {3}], \ dots, g_ {n}]$

Mai precis, să definim după și . $Acest}$ $C_ {0} = {\ mathfrak {g}}$ $C _ {{i + 1}} = [C_ {i}, {\ mathfrak {g}}]$

Dacă există un i astfel încât = 0, spunem că este nilpotente. Această noțiune trebuie comparată cu cea a grupului nilpotent . Orice algebră Lie abeliană este nilpotentă. $Acest}$ ${\ mathfrak {g}}$

Algebra matricilor triunghiulare stricte, adică de formă, oferă un exemplu de algebră Lie nilpotentă. ${\ mathfrak n}$ $\ left ({\ begin {matrix} 0 & \ star & \ cdots & \ star \\\ vdots & \ ddots & \ star & \ vdots \\\ vdots & 0 & \ ddots & \ star \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\\ end {matrix}} \ right)$

Teorema lui Engel afirmă că o algebră Lie este nilpotent dacă și numai dacă imaginea reprezentării Adjoint este combinat cu un sub-algebră . ${\ mathfrak n}$

Cu toate acestea, exemplul algebrei abeliene Lie (deci nilpotente) arată că există subalgebre nilpotente dintre care nu sunt conjugate cu o subalgebră a . ${\ mathfrak {gl}} _ {1} (K)$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak n}$

Algebre rezolvabile de minciună

Definiți prin inducție de și $D_ {i}$ $D_ {0} = {\ mathfrak {g}}$ $D _ {{i + 1}} = [D_ {i}, D_ {i}]$

Dacă există un i astfel încât = 0, spunem că este rezolvabil. Ca și în cazul algebrelor nilpotente, această noțiune corespunde cu cea a unui grup rezolvabil . Este ușor de văzut că orice algebră Lie nilpotentă este rezolvabilă. $D_ {i}$ ${\ mathfrak {g}}$

Un exemplu de algebră Lie rezolvabilă este dat de algebra matricilor triunghiulare superioare din . ${\ mathfrak b}$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$

The Lie Teorema arată că , dacă K este algebric închis și caracteristica zero, atunci orice sub - rezolvabile algebra Lie a se combina cu un sub-algebra . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak b}$

Algebre de Lie semi-simple și reductive

Spunem că o algebră Lie este semi-simplă atunci când nu conține un ideal rezolvabil non-banal. se spune că este reductiv atunci când reprezentarea sa asistentă este semi-simplă . ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Atunci când K are o caracteristică zero și aceasta este de dimensiune finită, semi-simplitatea lui este echivalentă cu nedegenerarea formei Killing definită de , unde tr denotă urmele. Mai mult, este reductiv dacă și numai dacă este semi-simplu. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ $K (x, y)$ $K (x, y) = tr (ad (x) ad (y))$ ${\ mathfrak {g}}$ $[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]$

Putem arăta că, în aceleași ipoteze, orice algebră Lie semisimplă este de fapt o sumă directă de algebre Lie simple .

Algebrele Lie simple cu dimensiuni finite peste câmpul numbers al numerelor complexe sunt clasificate prin diagrame Dynkin . Prin urmare, există 4 familii de algebre Lie simple (sau 3 dacă avem în vedere și ca aceeași familie) și 5 algebre Lie excepționale, fiecare corespunzând unei diagrame Dynkin diferite. $B_ {n}$ $D_ {n}$

O diagramă Dynkin de tip corespunde algebrei Lie . $A_ {n} (n \ geq 1)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} (\ mathbb {C})}$
O diagramă Dynkin de tip corespunde algebrei Lie . $B_ {n} (n \ geq 2)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1} (\ mathbb {C})}$
O diagramă Dynkin de tip corespunde algebrei Lie . $C_ {n} (n \ geq 3)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n} (\ mathbb {C})}$
O diagramă Dynkin de tip corespunde algebrei Lie . $D_ {n} (n \ geq 4)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n} (\ mathbb {C})}$
Algebrele Lie excepționale, corespunzătoare celorlalte diagrame Dynkin (de tip E 6 , E 7 , E 8 , F 4 și G 2 ) nu au o interpretare atât de simplă.

Algebra Lie este reductivă și algebra Lie derivată este . ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$

Algebrele Lie semi-simple semidimensionale peste câmpul numbers al numerelor reale sunt clasificate prin involuțiile algebrelor Lie complexe sau, echivalent, prin involuațiile sistemelor radiculare (en) . Aceasta corespunde noțiunii de algebră Lie simetrică (en) . Ca o clasă de algebră Lie simplă, putem cita:

Algebre compacte Lie. Acestea sunt algebrele Lie ale grupurilor compacte. Există exact una care corespunde fiecărei algebre complexe de Lie.
Algebre complexe de Lie privite ca algebre reale de Lie.
Celelalte pot fi clasificate în familii AI, AII, AIII, BI, CI, CII, DI, DIII și în algebre excepționale

EI, EII, EIII, EIV (tip ) EV, EVI, EVII (tip ) EVIII, EIX (tip ) FI, FII (tip ) și GI (tip ) după notația Helgason (de) ). $E_ {6}$ $E_ {7}$ $E_ {8}$ $F_ {4}$ $G_2$

Dimensiune infinită

Nu există o clasificare generală a algebrelor Lie infinite dimensionale, dar au fost studiate mai multe clase de astfel de algebre.

O algebră Kac-Moody este o algebră Lie definită abstract în termeni de generatori și relații codate de o matrice Cartan generalizată nu neapărat pozitivă definită. Prin urmare, ele pot avea o dimensiune infinită. Clasificarea lor generală nu este încă la îndemână, dar sunt cunoscute mai multe subtipuri
- O algebră de afin Kac-Moody (In) are proprietatea că toate sub-diagramele Dynkin diagrama sa Dynkin corespund algebrelor sub-Lie de dimensiune finită. Matricea sa generalizată Cartan este atunci de corang 1. Algebrele afine Kac-Moody au fost clasificate de Victor Kac . Acestea sunt utilizate pe scară largă în fizica teoretică în studiul teoriilor câmpului conform și în special în studiul modelelor WZW .
- O algebră Kac-Moody hiperbolică are o diagramă Dynkin conectată cu proprietatea că, dacă eliminăm o rădăcină din aceasta, obținem o algebră Lie semi-simplă cu dimensiuni finite sau o algebră Kac-Moody afină. De asemenea, au fost clasificați și au un rang maxim de 10. Matricea lor Cartan generalizată este nedegenerată și cu semnătură lorentziană (adică cu exact o direcție negativă).
algebra generalizată Kac-Moody (în) sau algebra Borcherds: acesta este un tip de algebră Lie generalizând conceptul de algebră Kac-Moody a cărui matrice Cartan generalizată poate avea rădăcini simple numite imaginare pentru care Elementul diagonal al matricei Cartan generalizate este negativ. Au fost introduse de Richard Ewen Borcherds ca parte a studiului monstruosului conjectură de lună .

Generalizare

Există diferite tipuri de generalizări de algebra Lie pot fi menționate sunt inele Lie (în) cele superalgebras Lie , a grupurilor cuantice , The algebra Leibniz , algebra pre-Lie (în) .

Articole similare

Note și referințe

Djohra Saheb Koussa , Abdelhak Djoudi și Mustapha Koussa , „ Analiza sistemului eolian conectat la rețea în regiunea aridă ”, IREC2015 Al șaselea Congres Internațional de Energii Regenerabile , IEEE,martie 2015( ISBN 978-1-4799-7947-9 , DOI 10.1109 / irec.2015.7110927 , citit online , accesat la 15 septembrie 2020 )
(în) Sigurdur Helgason , Geometrie diferențială și spații simetrice , AMS ,1962, 487 p. ( ISBN 978-0-8218-2735-2 , citit online )

N. Bourbaki , Elemente de matematică , grupuri și algebre de minciună
Jacques Dixmier , Algebrele învăluitoare , Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996 ( ISBN 978-2-87647-014-9 )
(ro) James E. Humphreys , Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , New York, Springer , col. „ GTM ” ( nr . 9)1978, A 2 -a ed. , 173 p. ( ISBN 978-0-387-90053-7 )
(ro) Nathan Jacobson , algebre Lie , New York, Dover ,1979( 1 st ed. 1962), 331 p. ( ISBN 978-0-486-63832-4 , prezentare online )
Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introducere în algebrele minciunii , ediția I, Springer, 2006. ( ISBN 1-84628-040-0 ) .