Grupul cotientului

În studiul grupurilor , coeficientul unui grup este o operație clasică care permite construirea de noi grupuri din cele vechi. Dintr-un grup G și un subgrup H al lui G , putem defini o lege a grupului pe mulțimea G / H a claselor lui G care urmează lui H , cu condiția ca H să fie stabilă prin automorfismele interioare ale lui G , adică drept clasele laterale sunt egale cu clasele din partea stângă ( gH = Hg ). Un astfel de subgrup se numește subgrup normal sau subgrup distinct .

Partiția unui grup în clase modulo un subgrup

Dat fiind un element g al lui G , definim clasa din stânga gH = { gh | h ∈ H }. Ca g are un element de invers , setarea gh are aceeași dimensiune ca și H . Mai mult, orice element al lui G aparține exact unei clase la stânga lui H ; a claselor stângă sunt reprezentate clasele de echivalență ale relației de echivalență definită prin g 1 ~ g 2 dacă și numai dacă g 1 -1 g 2 ∈ H . Numărul de clase din stânga lui H se numește indicele lui H în G și se notează [ G : H ]. În cazul unui grup finit , teorema Lagrange pe cardinalitatea subgrupurile, iar clasele de formula permit pentru a vedea că acest indice este finit și este un divizor de ordinul a grupului G .

Cele Clasele de pe dreapta sunt definite în mod analog: Hg = { hg | h ∈ H }. Sunt, de asemenea, clasele de echivalență pentru o relație de echivalență adecvată, iar numărul lor este, de asemenea, egal cu [ G : H ].

Definiție

Dacă pentru toate g ∈ G , gH = Hg , atunci H este numit un subgrup distinct sau normal sau invariant. În acest caz (și numai în acest caz), legea grupului lui G este compatibilă cu ~, ceea ce face posibilă definirea unei multiplicări pe clase prin

(g_ {1} H) \ cdot (g_ {2} H) = (g_ {1} g_ {2}) H.

Acest lucru conferă setului de coeficienți o structură de grup; acest grup se numește grupa câtul G de H (sau , uneori , factor de grup) și este notat G / H . Harta f: G → G / H, g ↦ gH este atunci un morfism de grup . Directă a imaginii f ( H ) constă numai din elementul de identitate al G / H , și anume clasa eH = H . Harta f se numește morfism canonic sau proiecție canonică .

Sub-coeficient al unui grup G sunt prin definiție coeficientii subgrupurilor de G . Subgrupurile de coeficienți ai lui G fac parte din acesta.

Exemple

Luați în considerare mulțimea ℤ a numerelor întregi relative și subgrupul 2ℤ alcătuit din numere întregi pare. Apoi grupul de coeficient ℤ / 2ℤ este format din două elemente, reprezentând clasa numerelor pare și clasa numerelor impare.
Mulțimea ℝ a numerelor reale, considerată ca un grup aditiv, și subgrupul său 2 $π$ ℤ fac posibilă definirea unui grup coeficient utilizat pentru măsurarea unghiurilor orientate.

Proprietăți

G / G este un grup banal, adică redus la elementul neutru.
Dacă { e } este subgrupa banal al G , G / { e } este canonicește izomorfă G .
Dacă H se distinge, aplicarea G în G / H este un morfism surjectiv numit proiecția canonică G a G / H . Său nucleu este H .
Mai general, dacă f : G → G ' este un morfism de grup, există o secvență exactă : G → G' → G ' / Im f → 1.
Dacă G este abelian , ciclic , nilpotent sau rezolvabilă , va fi aceeași pentru G / H .
Produsul C 1 ∙ C 2 din două clase (definit mai sus scriind C i sub forma g i H ) coincide cu setul de produse ale unui element C 1 cu un element C 2 .
G / H este abelian dacă și numai dacă, H conține toate elementele formei xyx -1 y -1 , unde x, y aparțin lui G, cu alte cuvinte toate comutatoarele lui G.

Factorizarea morfismelor

Putem caracteriza grupurile de coeficienți prin următoarea proprietate fundamentală:

Fie f : G → G ' un morfism de grup. Fie H nucleul lui f . Apoi , H se distinge și f este "factorizata" într - un morfism injectiv f : G / H → G ' astfel încât f ∘ p = f , unde p este proiecția G pe G / H .

Istorie

Potrivit lui Bourbaki , pentru Iordania apare prima dată noțiunea de grup coeficient.

Expresia „coeficientul grupurilor G și H ” a fost introdusă în 1889 de Otto Hölder , care a propus notația G | H .

Note și referințe

Serge Lang (traducerea lui Braemer și Richard), Structuri algebrice , Paris, InterEditions,1976, p.34, Lang folosește această proprietate aici pentru a arăta că Sn nu poate fi rezolvat pentru n> 4
N. Bourbaki, Algebra I, capitolele 1-3 , Paris, 1970, p. I.164. A se vedea, de asemenea, Dirk Schlimm, „Despre abstractizare și importanța de a pune întrebările corecte de cercetare: ar fi putut Jordan să demonstreze teorema Jordan-Hölder? », Erkenntnis , vol. 68, nr. 3, mai 2008, pp. 409-420, rezumat disponibil pe JSTOR , conform căruia Iordania folosește noțiunea de grup de coeficiente într-un articol din 1873.
(De) O. Hölder , " Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen (Zur Reduction der algebraischen Gleichungen) " , Math. Ann. ,1889, p. 31, disponibil pe site-ul Universității din Göttingen . (Referință dată de (en) W. Burnside , Teoria grupurilor de ordine finită , Dover,1911( reeditare 2004), p. 39)))

Articole similare