Soi (algebră)

În algebra universală , o varietate este o clasă ecuațională , adică o clasă K ne-goală de structuri algebrice cu aceeași semnătură care satisfac un set de identități (numită axiomatizare ecuațională a clasei).

Exemplu

Un monoid este un set E prevăzut cu o lege internă asociativă * și un element neutru . Astfel, pentru toate elementele x, y, z ale unui monoid, sunt valabile următoarele ecuații:

(x * y) * z = x * (y * z) x * e = x e * x = x

Mai mult, aceste trei ecuații caracterizează noțiunea de monoid. Astfel, clasa de monoizi este o varietate, deoarece este definită de aceste trei ecuații.

Teorema HSP

Conform definiției, orice soi K satisface:

(H) orice imagine prin omomorfism a unui element al lui K este în K;
(S) fiecare substructură a unui element K este în K;
(P) orice produs direct al elementelor lui K se află și în K.

Teorema HSP lui Garrett Birkhoff (1935) afirmă că Reciproca este adevărată: orice clasă stabilă de morfisme, subansamblelor și produse este equational.

Articol asociat

Teorema varietății Eilenberg

Note și referințe

Birkhoff, G. (oct. 1935), „Despre structura algebrelor abstracte”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31 (4): 433-454
(ro) JS Oliveira și G.-C. Rota , lucrări selectate despre algebră și topologie de Garrett Birkhoff , Springer Science & Business Media,1 st ianuarie 1987( ISBN 978-0-8176-3114-7 , citit online )