Magma (algebră)

În matematică , o magmă este una dintre structurile algebrice utilizate în algebra generală . O magmă este prin definiție un întreg prevăzut cu o lege de compoziție internă .

Definiții

Dacă notăm un set și o lege de compoziție internă în , perechea notată este o magmă. Cu această definiție, întregul nu este identic cu magma, dar sunt identificate în mod obișnuit. $M$ $\stea$ $M$ $(M, \ stea)$ $M$

Nicio axiomă nu este impusă acestei legi a compoziției interne, adesea notată ca multiplicare .

Spunem că magma este: $(M, \ stea)$

unifică dacă are un element neutru , adică ; $e$ ${\ displaystyle \ forall x \ in M, \ e \ star x = x \ star e = x}$
o jumătate de grup (sau asociativă) dacă este asociativă ; $\stea$
un monoid dacă satisface ambele proprietăți (asociativitate și existența unui element neutru ).

Dacă și sunt magme, un morfism de magmă sau homomorfism de magmă , de în este prin definiție o mapare f de la M la N astfel încât, pentru toate elementele x , y ale lui M, să avem ${\ displaystyle (M, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (N, \ star)}$ ${\ displaystyle (M, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (N, \ star)}$

{\ displaystyle \ qquad f (x \ cdot y) = f (x) \ stea f (y).}

În cazul în care , în plus, f este o bijectie , reciproca f este un morfism de magme din în și noi spunem că f este un izomorfism de magme. Reciprocitatea unui izomorfism magmatic este un izomorfism magmatic. ${\ displaystyle (N, \ star)}$ ${\ displaystyle (M, \ cdot)}$

Dacă contextul este suficient de clar, spunem pur și simplu „morfism” decât „morfism magmatic”, dar există cazuri în care acest lucru ar putea duce la confuzie. De exemplu, un morfism al magmelor între monoizi nu este neapărat un morfism al monoizilor .

Exemple de magme

Magma goală este singura magmă din setul gol .
${\ displaystyle (\ mathbb {N}, +)}$ este un monoid comutativ . În plus, totul este regulat .
${\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ times)}$ este, de asemenea, un monoid comutativ, dar 0 nu este regulat.
${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, -)}$ este o magmă non- asociativă și necomutativă . Nici măcar nu unifică ci doar unifică în dreapta deoarece, dacă admite un element neutru (unic, care nu este automat) în dreapta (0), nu admite niciunul în stânga. Pe de altă parte, această magmă este permutativă și regulată.
Noi numim magmă opusă magmei magmă unde pentru toți . $M = (E, \ stea)$ $M ^ {{op}} = (E, \ boxplus)$ $x \ boxplus y = y \ star x$ ${\ displaystyle (x, y) \ în E ^ {2}}$
Coeficient de magmă

Murskiǐ a arătat în 1965 că magma cu trei elemente prevăzută de legea internă de mai jos nu are o axiomatizare ecuațională finită (sau bază ecuațională). $\ {0,1,2 \}$ $\stea$

Magma {0,1,2} furnizată cu

\stea

$\stea$	1	2
0	0	0
1	0	1
2	2	2

Magme gratuite

Definim prin inducție pe întreg o secvență de mulțimi după cum urmează: $n \ geqslant 1$ $M_ {n} (X)$

Noi pozăm ; for este suma setată a seturilor pentru . $M_ {1} (X) = X$ $n \ geqslant 2$ $M_ {n} (X)$ $M_ {p} (X) \ ori M _ {{np}} (X)$ $1 \ leqslant p \ leqslant n-1$

Suma mulțimii familiei este notată ; fiecare dintre seturi este identificat prin imaginea sa canonică din . $(M_ {n} (X)) _ {{n \ geqslant 1}}$ $M (X)$ $M_ {n} (X)$ $M (X)$

Pentru fiecare element al , există un întreg unic astfel încât ; o numim lungimea lui și o notăm . $\omega$ $M (X)$ $nu$ $\ omega \ în M_ {n} (X)$ $\omega$ $l (\ omega)$

Setul este format din elementele de lungime 1 in . $X$ $M (X)$

Să și în ; hai să stabilim și . Imaginea prin injecția canonică a în setul de sume se numește compusul lui și și se notează sau . Prin urmare, avem și fiecare element de lungime este scris într-un mod unic în forma cu și în . $\omega$ $\ omega '$ $M (X)$ $p = l (\ omega)$ $q = l (\ omega ')$ $(\ omega, \ omega ')$ $M_ {p} (X) \ ori M_ {q} (X)$ $M _ {{p + q}} (X)$ $\omega$ $\ omega '$ $\ omega \ omega '$ $\ omega \ bullet \ omega '$ $l (\ omega \ bullet \ omega ') = l (\ omega) + l (\ omega')$ $M (X)$ $\ geqslant 2$ $\ omega '\ omega' '$ $\ omega '$ $\ omega "$ $M (X)$

Numim magmă gratuită construită pe X setul prevăzut cu legea compoziției . $M (X)$ $\ bullet$

Magmele obișnuite

Un grup este un monoid din care toate elementele sunt inversabile.

Structura inelului implică două legi interne ale compoziției pe același set și, prin urmare, două magme, dar un inel nu este o magmă strict vorbind. Același lucru este valabil și pentru alte structuri algebrice chiar mai complexe, cum ar fi cea a modulului pe un inel .

Istoric

Termenul de magmă a fost introdus pentru prima dată în contextul algebrei generale de Nicolas Bourbaki .

Vechiul nume „grupoid al minereului”, introdus de Bernard Hausmann și Øystein Ore în 1937 și folosit uneori până în anii 1960, este astăzi de evitat, utilizarea termenului grupoid fiind astăzi rezervată teoriei categoriilor , unde înseamnă ceva altceva.

Note și referințe

N. Bourbaki , Algebra I , capitolele 1-3, p. I.12 §2 1, Element neutru, Definiție 2.
N. Bourbaki, AI, p. I.2-3.
(în) VL Murskiǐ, „Existența într-o logică cu trei valori a unei clase închise cu bază finită, care nu are un sistem complet de identități finite”, Soviet Math. Dokl. , zbor. 6, 1965, p. 1020-1021 .
Bourbaki, A I.77, §7, Magme libere.
Bourbaki, A I.15, §2 3, Elemente reversibile, Definiție 6.
(în) BA Hausmann și Øystein Ore, " Teoria cvasi-grupurilor " , Amer. J. Math. , vol. 59, nr . 4,1937, p. 983-1004 ( JSTOR 2371362 ).
Dov Tamari , „ Probleme de asociativitate a monoizilor și probleme de cuvinte pentru grupuri ”, Seminarul Dubreil , vol. 16, n o 1, 1962-63 ( citiți online )Expus n o 7, p. 1-29 .
(în) „ groupoid ” pe Dicționar online de cristalografie .
(în) Massimo Nespolo, " Cristalografia matematică mai are un rol în secolul XXI? » , Acta Crystallographica, secțiunea A , vol. 64,2008, p. 97 ( DOI 10.1107 / S0108767307044625 ).
(în) L. Beklemishev , Mr. Pentus și N. Vereshchagin , probabilitate, Complexitate, Gramatici , al. „ AMS Translations - Seria 2” ( nr . 192)1999, 172 p.(Traducere în limba engleză a trei teze de doctorat în limba rusă, dintre care prima: [ (ru) citită online ] , 1992).