Morfism

În matematică , termenul „  morfism  ” desemnează o noțiune fundamentală care permite compararea și relaționarea obiectelor matematice între ele.

În algebră generală , un morfism (sau homomorfism ) este o aplicație între două structuri algebrice de același fel, adică seturi prevăzute cu legi de compoziție internă sau externă (de exemplu două grupuri sau două spații vectoriale ), care respectă anumite proprietăți la trecerea de la o structură la alta.

Mai general, noțiunea de morfism este unul dintre conceptele de bază din teoria categoriilor  ; atunci nu este neapărat o aplicație, ci o „săgeată” care leagă două „obiecte” sau „  structuri  ” care nu sunt neapărat seturi.

Definiții

Caz general ( teoria modelelor )

Fie și să fie două structuri , ale seturilor respective și . Un morfism de în este o aplicație a în astfel încât: M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}NU{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}M{\ displaystyle M}NU{\ displaystyle N}M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}NU{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}m{\ displaystyle m}M{\ displaystyle M}NU{\ displaystyle N}

• pentru orice simbol de funcție -ary și pentru tot ceea ce avem (inclusiv pentru n = 0, care corespunde cazului constantelor);nu{\ displaystyle n}f∈L{\ displaystyle f \ in {\ mathcal {L}}}(laeu)eu∈Mnu{\ displaystyle (a_ {i}) _ {i} \ în M ^ {n}}m(fM(laeu)eu)=fNU(m(laeu))eu{\ displaystyle m (f ^ {\ mathcal {M}} (a_ {i}) _ {i}) = f ^ {\ mathcal {N}} (m (a_ {i})) _ {i}}
• pentru orice simbol al relației -aire și pentru orice , dacă atuncinu{\ displaystyle n}R∈L{\ displaystyle R \ in {\ mathcal {L}}}(laeu)eu∈Mnu{\ displaystyle (a_ {i}) _ {i} \ în M ^ {n}}(laeu)eu∈RM{\ displaystyle (a_ {i}) _ {i} \ în R ^ {\ mathcal {M}}}(m(laeu))eu∈RNU{\ displaystyle (m (a_ {i})) _ {i} \ în R ^ {\ mathcal {N}}}

vs.NU{\ displaystyle c ^ {\ mathcal {N}}}desemnând interpretarea simbolului în structură . vs.{\ displaystyle c}NU{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}

Caz de monoizi

În categoria monoizilor, un morfism este o aplicație , între doi monoizi și , care verifică: f:(M,∗,e)⟶(M′,⋆,e′){\ displaystyle f: (M, *, e) \ longrightarrow (M ', \ star, e') \,} (M,∗,e){\ displaystyle (M, *, e) \,}(M′,⋆,e′){\ displaystyle (M ', \ star, e')}

• ∀(g,h)∈M2, f(g∗h)=f(g)⋆f(h){\ displaystyle \ forall (g, h) \ în M ^ {2}, ~ f (g * h) = f (g) \ stea f (h)} ;
• f(e)=e′{\ displaystyle f (e) = e '}.

Cazul grupurilor

În categoria grupurilor , un morfism este o aplicație , între două grupuri și , care verifică: f:(G,∗)⟶(G′,⋆){\ displaystyle f: (G, *) \ longrightarrow (G ', \ star) \,} (G,∗){\ displaystyle (G, *) \,}(G′,⋆){\ displaystyle (G ', \ star) \,}

• ∀(g,h)∈G2, f(g∗h)=f(g)⋆f(h){\ displaystyle \ forall (g, h) \ în G ^ {2}, ~ f (g * h) = f (g) \ stea f (h)}.

Suntem mulțumiți de această condiție unică, deoarece are ca rezultat și . f(e)=e′{\ displaystyle f (e) = e '}∀X∈G,f(X-1)=(f(X))-1{\ displaystyle \ forall x \ în G, f (x ^ {- 1}) = (f (x)) ^ {- 1}}

Carcasa inelelor

În categoria inelelor , un morfism este o mapare între două inele (unitare) , care îndeplinește cele trei condiții: f:LA→B{\ displaystyle f: A \ to B}

• ∀la,b∈LA, f(la+LAb)=f(la)+Bf(b){\ displaystyle \ forall a, b \ in A, ~ f (a + _ {A} b) = f (a) + _ {B} f (b)} ;
• ∀la,b∈LA, f(la∗LAb)=f(la)∗Bf(b){\ displaystyle \ forall a, b \ in A, ~ f (a * _ {A} b) = f (a) * _ {B} f (b)} ;
• f(1LA)=1B{\ displaystyle f \ left (1_ {A} \ right) = 1_ {B}}.

în care , și (respectiv , și ) denotă operațiile și neutrul multiplicativ respectiv al celor două inele și . +LA{\ displaystyle + _ {A}}∗LA{\ displaystyle * _ {A}}1LA{\ displaystyle 1_ {A}}+B{\ displaystyle + _ {B}}∗B{\ displaystyle * _ {B}}1B{\ displaystyle 1_ {B}}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

Cazul spațiilor vectoriale

În categoria spațiilor vectoriale  (en) pe un câmp fix K , un morfism este o aplicație , între două K - spații vectoriale și , care este liniară, adică care satisface: f:E→F{\ displaystyle f: E \ to F} (E,+E,⋅E){\ displaystyle (E, + _ {E}, \ cdot _ {E})}(F,+F,⋅F){\ displaystyle (F, + _ {F}, \ cdot _ {F})}

• f{\ displaystyle f}este un morfism al grupurilor de in  ;(E,+E){\ displaystyle (E, + _ {E})}(F,+F){\ displaystyle (F, + _ {F})}
• ∀X∈E, ∀λ∈K, f(λ⋅EX)=λ⋅Ff(X){\ displaystyle \ forall x \ in E, ~ \ forall \ lambda \ in K, ~ f (\ lambda \ cdot _ {E} x) = \ lambda \ cdot _ {F} f (x)},

care este echivalent cu:

∀(X,y)∈E×E, ∀λ∈K, f(λ⋅EX+Ey)=λ⋅Ff(X)+Ff(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E \ times E, ~ \ forall \ lambda \ in K, ~ f (\ lambda \ cdot _ {E} x + _ {E} y) = \ lambda \ cdot _ {F} f (x) + _ {F} f (y)}.

Cazul algebrelor

În cazul celor două - algebre unifere și , un morfism satisface: K{\ displaystyle K} (LA,+,×,.){\ displaystyle (A, +, \ times ,.)}(B,+˙,×˙,.){\ displaystyle (B, {\ dot {+}}, {\ dot {\ times}},.)}

• f{\ displaystyle f}este o hartă liniară a in  ;LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
• f{\ displaystyle f} este un morfism inelar,

care este echivalent cu:

• f(1LA)=1B{\ displaystyle f (1_ {A}) = 1_ {B}} ;
• ∀(X,y)∈LA2, ∀(λ,μ)∈K2, f(λ.X+μ.y)=λ.f(X)+˙μ.f(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ in A ^ {2}, ~ \ forall (\ lambda, \ mu) \ in K ^ {2}, ~ f (\ lambda .x + \ mu .y) = \ lambda .f (x) {\ dot {+}} \ mu .f (y)} ;
• ∀(X,y)∈LA2, f(X×y)=f(X)×˙f(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ în A ^ {2}, ~ f (x \ times y) = f (x) {\ dot {\ times}} f (y)}.

Cazul seturilor comandate

Un morfism între două mulțimi ordonate ( A , ⊑) și ( B , ≼) este o hartă crescândă f de la A la B (care păstrează ordinea), adică care satisface: pentru toate x și y în A astfel încât x ⊑ y , avem f ( x ) ≼ f ( y ).

Definiția morfismelor seturilor preordonate este identică.

În categoria spațiilor topologice , un morfism este pur și simplu o hartă continuă între două spații topologice . În cadrul topologic, cuvântul „morfism” nu este folosit, dar este același concept.

Caz de spații măsurabile

În categoria spațiilor măsurabile , un morfism este o funcție măsurabilă.

Clasament

• Un endomorfism este un morfism al unei structuri în sine;
• un izomorfism este un morfism între două seturi prevăzute cu același tip de structură, astfel încât există un morfism în direcția opusă, astfel încât și sunt identitățile structurilor;f{\ displaystyle f}f′{\ displaystyle f '}f∘f′{\ displaystyle f \ circ f '}f′∘f{\ displaystyle f '\ circ f}
• un automorfism este un izomorfism al unei structuri în sine;
• un epimorfism (sau morfism epic ) este un morfism astfel încât: pentru orice pereche de morfisme de tip (și deci și pentru orice ), dacă , atunci  ;f:LA→B{\ displaystyle f: A \ to B}g,h{\ displaystyle g, h}B→E{\ displaystyle B \ to E}E{\ displaystyle E}g∘f=h∘f{\ displaystyle g \ circ f = h \ circ f}g=h{\ displaystyle g = h}
• un monomorfism (sau morfism monic ) este un morfism astfel încât: pentru orice pereche de tip morfisme (și deci și pentru orice ), dacă , atunci .f:LA→B{\ displaystyle f: A \ to B}g,h{\ displaystyle g, h}E→LA{\ displaystyle E \ to A}E{\ displaystyle E}f∘g=f∘h{\ displaystyle f \ circ g = f \ circ h}g=h{\ displaystyle g = h}

Exemplu: identitatea unui set este întotdeauna un automorfism, indiferent de structura considerată.

Referințe

1. (ro) Nicolae Popescu și Liliana Popescu, Teoria categoriilor , Sijthoff & Noordhoff,1979( citiți online ) , p.  3.
2. Pentru mai multe detalii, a se vedea de exemplu (în) Maurice Auslander  (de) și David Buchsbaum  (de) , Grupuri, inele, module , Dover ,2014( 1 st  ed. 1974) ( citit on - line ) , p.  85-86.
3. N. Bourbaki , Elemente de matematică  : teoria seturilor [ detaliile edițiilor ], p. IV.11 și 12 (exemplu 1).

Vezi și tu

• Antimorfism
• Criptomorfism
• Morfism grafic
• Criptare homomorfă

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">