Element neutru

În matematică , mai precis în algebră , un element neutru (sau element de identitate ) al unui set pentru o lege de compoziție internă este un element al acestui set care lasă toate celelalte elemente neschimbate atunci când este compus cu ele prin această lege. Se spune că o magmă cu un element neutru este unificată .

Definiție

Sau o magmă. Se spune un element al : $(E, \ stea)$ $e$ $E$

neutru în stânga dacă ; $\ forall x \ in E, \ e \ star x = x$
neutru în dreapta dacă ; $\ forall x \ in E, \ x \ star e = x$
neutru dacă este neutru în dreapta și în stânga.

Exemple

Un element neutru se referă la legea luată în considerare:

0 este elementul neutru al adaosului aritmetic, precum și al binarului " sau ";
1 este elementul neutru al multiplicării aritmetice, precum și al binarului „ și ”;
Unitatea Matricea de ordinul n este elementul neutru al înmulțirii de pătrate matrici de ordinul n ;
Gol Cuvântul este elementul neutru al concatenarea șirurilor.

Proprietăți

Este posibil ca elementul neutru din stânga (respectiv din dreapta) să nu fie unic. De exemplu, luați în considerare un set E care conține cel puțin două elemente. Putem defini o lege G pe E prin formula G ( x , y ) = x și o lege D prin formula D ( x , y ) = y . Pentru legea G , orice element este neutru în dreapta și nici unul nu este neutru în stânga. Pentru legea D , orice element este neutru în stânga și nici unul nu este neutru în dreapta.
Pe de altă parte, dacă există un element neutru în stânga și un element neutru în dreapta, atunci setul admite un singur element neutru și, în plus, orice element neutru din stânga (respectiv, în dreapta) este egal cu aceasta. Într-adevăr, pentru toate elementele e g neutru în stânga și e d neutru în dreapta, avem: e d = e g e d = e g .
În această situație - mai ales atunci când G este un grup - singurul element neutru G este denumit în mod obișnuit neutru al G .
Într-un grup , neutrul este singurul element idempotent , adică singurul element x astfel încât xx = x .

Note și referințe

N. Bourbaki , Algebra , cap. Eu, p. I-12 .
Aviva Szpirglas , Algebra L3: Curs complet cu 400 de teste și exerciții corectate [ detaliul ediției ], Partea III: Grupuri, Exemple 6.2.
Jean-Pierre Marco și Laurent Lazzarini, Matematica L1 , p. 119 , previzualizare pe Google Cărți .
Jean-Marie Monier, Metode MPSI și exerciții de matematică , p. 213 , previzualizare pe Google Cărți .

Vezi și tu