Functor

În matematică , functorul este generalizarea la categorii a noțiunii de morfism .

Definiții

Un functor (sau functor covariant ) F : → de la o categorie la o categorie sunt datele $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

a unei funcții care, la orice obiect X al , asociază un obiect F ( X ) al , $\ mathcal C$ $\ mathcal D$
a unei funcții care, oricărui morfism f : X → Y din , asociază un morfism F ( f ): F ( X ) → F ( Y ) din , $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

care

respectă identitățile: pentru orice obiect X al , $\ mathcal C$ ${\ displaystyle F (\ mathrm {Id} _ {X}) = \ mathrm {Id} _ {F (X)},}$
respectați compoziția: pentru toate obiectele X , Y și Z și morfisme f : X → Y și g : Y → Z din , $\ mathcal C$ $F (g \ circ f) = F (g) \ circ F (f).$

Cu alte cuvinte, un functor păstrează domeniile și codomainele morfismelor, identităților săgeților și compoziției.

Un functor contravariant G al unei categorii dintr-o categorie este un functor covariant al categoriei opuse op (cea obținută prin inversarea direcției săgeților în ) în . La orice morfism f : X → Y din , prin urmare, asociază un morfism G ( f ): G ( Y ) → G ( X ) din , și avem „relația de compatibilitate” G ( g ∘ f ) = G ( f ) ∘ G ( g ). $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Exemple

Functorul de identitate al unei categorii , adesea notat cu 1 sau id : → , care trimite fiecare obiect și morfismul asupra sa. $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$
Uitarea functorilor care trimit obiecte dintr-o categorie în obiecte din altă categorie prin „uitarea” anumitor proprietăți ale acestor obiecte:
- functorul lui Ab în Grp care asociază grupul în sine cu un grup abelian , dar în categoria care conține și grupuri non-abeliene (am „uitat” faptul că grupul este abelian). De asemenea, avem funcții de uitare ale lui Grp în categoria Mon a monoizilor și în cea a spațiilor H (en) și a lui Ab în categoria monoizilor comutativi;
- functorul lui Grp în Set care își asociază setul subiacent unui grup (am „uitat” structura grupului).
Pentru orice obiect X dintr-o categorie locală mică , cei doi functori Hom : → Set : Y ↦ Hom ( X , Y ) (covariant) și Y ↦ Hom ( Y , X ) (contravariant). $\ mathcal C$ $\ mathcal C$
Functor constantă este functorul care trimite toate obiectele din categoria de pornire la același obiect al categoriei se încheie și care trimite fiecare săgeată din categoria de pornire la identitatea obiectului de imagine. Este obiectul terminal al categoriei functorilor.
Între doi monoizi (care sunt categorii de obiecte unice ), functorii covarianți sunt pur și simplu morfismele monoizilor.
Un functor definit de la o categorie de produse la o categorie este adesea numit bifunctor . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal E}$

Proprietățile functorilor

Funcționari loiali, plini, pe deplin loiali

Spunem că un functor F : → este: $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

credincios dacă două morfisme f , g : X → Y in sunt egale de îndată ce imaginile lor F ( f ), F ( g ): F ( X ) → F ( Y ) in sunt; $\ mathcal C$ $\ mathcal D$
complet dacă orice morfism F ( X ) → F ( Y ) este egal cu un F ( f );
deplin credincios dacă este și credincios și plin.

Exemple

Un morfism al monoizilor (cf. ultimul exemplu de mai sus ) este fidel dacă și numai dacă este injectiv și plin dacă și numai dacă este surjectiv .
Functorii de uitare ai lui Ab în Grp și ai lui Grp în Mon sunt pe deplin fideli.
Functorul de uitare al lui Grp în Set este fidel (dar nu este plin); mai general, dacă F este includerea unei subcategorii într-o categorie , atunci este fidelă. $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Funcții conservatoare

În mod trivial , orice functor F : → păstrează izomorfisme , adică dacă f este un izomorfism în atunci F ( f ) este un izomorfism în . $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Se spune că funcționorul F este conservator dacă invers , un morfism f in este un izomorfism de îndată ce F ( f ) este unul în . $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Exemple

Un morfism F al monoizilor (cf. sfârșitul § „Exemplele” de mai sus) este conservator dacă și numai dacă orice antecedent de F al unui element inversabil este inversabil.
Orice functor complet fidel este conservator.
Functorul de uitare din Grp în Set este conservator.

Oficiali asistenți

Fie și două categorii, F un functor de în și G de în , astfel încât pentru orice obiect și să avem o bijecție , naturală în X și Y , $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ ${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle Y \ in {\ mathcal {D}}}$

{{\ rm {Hom}}} _ {D} \ left (F \ left (X \ right), Y \ right) \ simeq {{\ rm {Hom}}} _ {C} \ left (X, G \ left (Y \ right) \ right).

Apoi F se spune adjunct din stânga al G și G adjunct la dreapta F .

Echivalare categorie

Un functor F : → se numește o echivalență a categoriilor dacă există un functor G : → și un izomorfism natural al functorilor între G ∘ F (resp. F ∘ G ) și identitatea pe (resp. ). Echivalența categoriilor este o noțiune mai generală decât cea a izomorfismului categoriilor . $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Observații

Funcționarii sunt uneori numiți morfisme pentru categoria Cat a categoriilor mici.

Note și referințe

(în) Steve Awodey, Teoria categoriilor - Ediția a doua , Oxford Logic Guides, p. 8, Def. 1.2
(în) OF Rydeheard și RM Burstall, Computational Category Theory , Prentice Hall,1988, p. Capitolul 3, secțiunea 3.5, definiție 3
(ro) Horst Schubert (ro) , Categorii , Springer ,1972( citiți online ) , p. 241.

Vezi și tu