Algebra lui Jordan

În algebră generală , o algebră Jordan este o algebră peste un câmp comutativ, în care operația de multiplicare internă are două proprietăți: $(x, y) \ rightarrow (x \ cdot y)$

este comutativ , adică asta $x \ cdot y = y \ cdot x,$
îndeplinește următoarele identitate, numită identitate Jordan : . $(x \ cdot y) \ cdot (x \ cdot x) = x \ cdot (y \ cdot (x \ cdot x))$

Prin urmare, o algebră Jordan nu este asociativă în general; Cu toate acestea, verifică o proprietate de asociativitate slabă, deoarece are puteri asociative și satisface automat o generalizare a identității lui Jordan: prin simpla notare a produsului m termeni , avem, pentru toți numerele întregi pozitive m și n , $x ^ {m}$ $x \ cdot x \ cdot \ cdots \ cdot x$

{\ displaystyle (x ^ {m} \ cdot y) \ cdot x ^ {n} = x ^ {m} \ cdot (y \ cdot x ^ {n})}

Acest tip de structură a fost introdus într-un caz particular de Pascual Jordan în 1933, pentru a descrie mai bine proprietățile algebrice utile în mecanica cuantică . Iordania sa referit la această structură pur și simplu ca „sistem de numere r”. Denumirea de „algebră Jordan” a fost propusă în 1946 de Adrian Albert , care a inițiat studiul sistematic al algebrelor generale Jordan.

Algebre Iordania și generalizări lor acum implicate în multe domenii ale matematicii: grupuri si algebra Lie , geometrie diferentiala , geometrie proiectivă , fizica matematică , genetica matematică , optimizare , etc.

Un exemplu cheie

Spațiul vectorial al n × n matricelor cu coeficienți în câmpul ℝ al numerelor reale devine cu produsul obișnuit al matricelor o algebră asociativă; dar această algebră nu este comutativă în general. Pe de altă parte, putem oferi acestui spațiu vectorial un alt produs intern, ceea ce îl face o algebră Jordan.

Pentru M și N două matrice, să denotăm pur și simplu produsul lor obișnuit MN . Apoi definim noul produs, notat și denumit adesea „produsul Jordan”, după cum urmează: $M \ cdot N$

{\ displaystyle M \ cdot N = {\ frac {MN + NM} {2}}.}

Cu alte cuvinte, este vorba de înlocuirea produsului obișnuit al matricelor cu o versiune simetrizată. Această lege nu este asociativă în general; pe de altă parte, verifică cele două proprietăți dorite pentru a obține o algebră Jordan. Comutativitatea produsului este imediată în definiția însăși. Identitatea lui Jordan este verificată printr-un calcul direct, utilizând asociativitatea produsului obișnuit; acest calcul este detaliat în caseta derulantă de mai jos. ${\ displaystyle M \ cdot N = N \ cdot M}$

Spațiul vectorial al matricilor n × n cu coeficienți în câmpul numerelor reale , dotat cu produsul Jordan, este deci o algebră Jordan. $\ mathbb {R}$

Dovada identității lui Jordan

Aceasta este pentru a verifica asta $(M \ cdot N) \ cdot M ^ {2} = M \ cdot (N \ cdot M ^ {2}).$

Mai întâi observăm că este bine definit corect, cu alte cuvinte că valoarea sa este aceeași indiferent dacă luăm în considerare produsul obișnuit MM sau produsul Iordaniei , deoarece $M ^ {2}$ $M \ cdot M$ $M \ cdot M = {\ frac {MM + MM} {2}} = MM.$

Prin înlocuirea produsului Jordan prin definiția sa, avem:

$(M \ cdot N) \ cdot M ^ {2} = ({\ frac {MN + NM} {2}}) \ cdot M ^ {2} = {\ frac {(MN + NM) M ^ {2} + M ^ {2} (MN + NM)} {4}},$

fie folosind distributivitatea înmulțirii cu privire la adunarea și asociativitatea produsului obișnuit:

$(M \ cdot N) \ cdot M ^ {2} = {\ frac {(MN) M ^ {2}) + (NM ^ {3}) + (M ^ {3} N) + M ^ {2} (NM)} {4}}$

$(M \ cdot N) \ cdot M ^ {2} = {\ frac {M (NM ^ {2}) + (NM ^ {2}) M + M (M ^ {2} N) + (M ^ { 2} N) M} {4}}$

și, prin urmare, prin grupare:

$(M \ cdot N) \ cdot M ^ {2} = M \ cdot {\ frac {NM ^ {2} + M ^ {2} N} {2}} = M \ cdot (N \ cdot M ^ {2 }).$

Originea algebrelor Iordaniei

Aceeași construcție este valabilă și pentru matricile hermitiene , punctul de plecare al operei lui Jordan în 1933.

Jordan nu era într-adevăr mulțumit de matematizarea mecanicii cuantice folosite atunci. El a vrut să formalizeze mai bine structura observabilelor în mecanica cuantică .

În mecanica cuantică a lui Heisenberg, la care participase Jordan, observabilele sunt reprezentate de matrici hermitiene (cu alte cuvinte, auto-anexate). Dar operațiile care par naturale din punct de vedere algebric nu sunt întotdeauna așa din punct de vedere fizic: pătratul x 2 al unui observabil, înmulțirea unui observabil cu un număr real, suma x + y a două observabile x și y sunt încă observabile; dar produsul xy nu este în general, deoarece produsul a două matrice hermitiene este hermitian numai dacă matricile fac naveta. Pe de altă parte, o expresie ca 1/2 ( xy + yx ) este încă observabilă, deoarece este egală cu o sumă de observabile 1/2 [( x + y ) 2 - x 2 - y 2 ].

Iordania a demonstrat că, definind un „cvasi-produs” xy de x și y cu xy = 1/2 ( xy + yx ) (vorbim acum de „produsul lui Jordan”), acest produs este o lege comutativă, care nu este nu este asociativ, dar verifică ceea ce Jordan descrie ca o formă slabă de asociativitate, identitatea lui Jordan. Această nouă structură i s-a părut capabilă să țină cont în mod direct de proprietățile algebrice ale situației fizice. Pentru Jordan, care a promovat pozitivismul radical, matematica ar trebui să ofere un cadru unificat pentru reprezentarea fenomenelor fizice, dar fără a pretinde că dezvăluie o bază ascunsă; asta spera să realizeze cu o structură matematică modelată pe observabile.

Un an mai târziu, împreună cu von Neumann și Wigner, Jordan studiază toate algebrele cu dimensiuni finite din domeniul realelor, cu produs comutativ și verificând identitatea ( xy ). x 2 = x . ( yx 2 ) și stabiliți o clasificare sub o ipoteză suplimentară (algebrele considerate sunt formal reale, o proprietate care li se pare importantă pentru aplicații fizice). Acest studiu li se pare ca un „punct de plecare pentru o generalizare a mecanicii cuantice”, o generalizare necesară pentru a spera „să aplice mecanica cuantică la întrebările fenomenelor relativiste și nucleare”. Acest proiect către o teorie unitară satisfăcătoare se opune chiar rezultatului clasificării, deoarece acesta din urmă arată că noile structuri sperate nu există. Diverse generalizări sunt apoi explorate în deceniile următoare; Algebrele lui Jordan (astfel botezate de la lucrarea importantă a lui Adrian Albert în 1946) și evoluțiile lor apar atunci în multe contexte matematice.

Algebre speciale și excepționale ale Iordaniei

Construcțiile explicate mai sus pentru algebre matrice se generalizează imediat în algebre asociative generale.

Dintr-o algebră asociativă A (peste un câmp care nu are caracteristica 2), putem construi o algebră Jordan A + care păstrează aceeași structură a spațiului vectorial subiacent. Trebuie remarcat în primul rând că o algebră asociativă poate fi ea însăși o algebră Jordan; acesta este cazul dacă și numai dacă este comutativ. Dacă A nu este comutativ, putem defini pe A o nouă multiplicare care este comutativă și verifică identitatea Iordaniei; spațiul vectorial A , prevăzut cu o (nouă) structură algebrică cu această multiplicare, este o algebră Jordan, A + . Noua înmulțire este dată de înmulțirea inițială de „produsul Jordan”: $x \ cdot y$

x \ cdot y = {xy + yx \ over 2}.

Algebrele Iordaniene obținute în acest mod, precum și subalgebrele lor, se numesc algebre speciale Iordaniene . Toate celelalte algebre ale Iordaniei sunt numite algebre ale Iordaniei excepționale .

Un caz interesant este cel al algebrelor Iordaniei hermitiene. Dacă algebra asociativă inițială A are o involuție *, subspațiul lui A format din elementele fixate de involuție este închis pentru produsul Jordan, cu alte cuvinte, produsul Jordan din două elemente fixate prin involuție este încă fixat prin involuție . Într-adevăr, dacă și , avem: $x = x ^ {{*}}$ $y = y ^ {{*}}$

$(x \ cdot y + y \ cdot x) ^ {{*}} = (x \ cdot y) ^ {{*}} + (y \ cdot x) ^ {{*}} = (y ^ {{* }} \ cdot x ^ {{*}}) + (x ^ {{*}} \ cdot y ^ {{*}}) = (y \ cdot x) + (x \ cdot y) = (x \ cdot y + y \ cdot x)$ .

Deci, acest subspatiu este o subalgebra Jordan a lui A + , este o algebra speciala Jordan, pe care o notam cu H ( A , *); litera H amintește de Hermitian . De exemplu, dacă A este o algebră a matricilor cu coeficienți reali sau complecși, operația care își asociază adjunctul cu o matrice este o involuție, iar elementele fixe sunt elementele hermitiene (sau chiar „auto-asociații”). Matricile hermitiene (cu produsul Iordaniei) formează, prin urmare, o algebră specială a Iordaniei. Se reamintește că, dimpotrivă, acest subspatiu al elementelor hermitiene nu este în general închis pentru produsul obișnuit.

Conform teoremei Shirshov-Cohn, orice algebră a Iordaniei cu două generatoare este specială. Teorema lui MacDonald spune că orice polinom cu 3 variabile, de gradul 1 față de una dintre variabile și care dispare pe orice algebră specială a Iordaniei, dispare pe orice algebră din Iordania.

Clasificarea algebrelor Iordaniei formal reale

Se spune că o algebră A peste câmpul numerelor reale este formală reală dacă o sumă de n pătrate ale elementelor lui A dispare dacă și numai dacă fiecare element / fiecare pătrat dispare, adică

a ^ {2} + b ^ {2} +

… Implică asta .

+ i ^ {2} = 0

{\ displaystyle a = 0, b = 0, \ dots, i = 0}

Când Pascual Jordan și-a introdus în 1932 sistemele sale de numere r (primele exemple de algebre ale lui Jordan) pentru axiomatiza mecanica cuantică, el le-a furnizat această proprietate. Algebrele Jordan Jordan formal și cu dimensiuni finite au fost clasificate încă din 1934 de Jordan, von Neumann și Wigner.

Setul de reale, complexe, sau quaternionic de auto adiacente matrici , prevăzute cu produsul Jordan, formează o adevărată specială în mod oficial Jordan algebră. Setul de matrici hermitiene de pe algebra octonionilor , furnizat cu produsul Iordaniei, este o algebră Iordaniană formală excepțională de dimensiunea 27 pe câmpul numerelor reale. Grupul său de automorfism este excepționalul grup Lie al F4 . $3 \ ori 3$

Un I ideal într-o algebră Iordaniană A este un sub spațiu al lui A astfel încât, pentru orice element a din A și orice element i din I , este în I (definiția este în concordanță cu cea a unui ideal într-un inel). Se spune că o algebră Jordan este simplă dacă singurele sale idealuri sunt {0} și algebra însăși. $a \ circ i$

Formal algebre reale și finit dimensionale Iordania pot fi descompuse într - o sumă directă de simplu (formal dimensionale reale și finite) algebre . În plus, aceste ultime sunt doar de 5 tipuri, patru familii infinite și un tip excepțional:

algebra Jordan a matricilor reale n × n autoadiacente (adică simetrice), dotate cu produsul Jordan;
algebra Jordan a matricilor complexe autoadjuncte (adică hermitiene) n × n , dotate cu produsul Jordan;
algebra Jordan a matricilor cuaternionice autoadjuncte n × n , dotate cu produsul Jordan;
Algebra lui Jordan generată de R n , produsul fiind definit de o formă bilineară simetrică , asociată cu o formă pătratică definită Q pozitivă . Adică . Se spune că aceste algebre Jordan sunt de tip Clifford; ${\ displaystyle \ langle ~, ~ \ rangle}$ $x \ circ y = \ langle x, y \ rangle$
algebra Jordan a 3 × 3 matrici octonionice auto-anexate, dotată cu produsul Jordan.

Primele patru tipuri sunt algebre speciale, adică provin (prin modificarea definiției produsului) din algebre asociative obișnuite, în acest caz algebrele matricilor reale, complexe, cuaternionice autoadiacente sau o algebră Clifford , asociat cu forma Q , respectiv. Ultimul tip este excepțional.

Generalizări

Dimensiune infinită

În 1979, Efim Zelmanov a reușit să clasifice algebrele simple ale Iordaniei de dimensiune infinită. Ele sunt fie de tip hermitian (provenind prin schimbarea produsului din algebre de involuție asociativă), fie de tip Clifford (provenind din algebre Clifford ), sau sunt algebre Albert (în) . În special, singurele algebre simple excepționale din Iordania sunt algebrele Albert cu 27 de dimensiuni.

Utilizare în optimizare

Algebra lui Jordan este utilizată pentru a oferi un cadru general pentru algoritmii punctelor interioare în optimizarea conică . De exemplu, în optimizarea SDP , sunt scrise condițiile de complementaritate , unde și sunt matrici simetrice semidefinite pozitive, este produsul lor matricial, iar produsul lui Jordan este utilizat pentru a simetriza aceste condiții de complementaritate. $xy = 0$ $X$ $y$ $X y$

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Jordan algebra ” ( vezi lista autorilor ) .

Note

Jacobson 1968 , p. 35-36, în special remarca înainte de (56) și teorema 8.
(de la) Pascual Jordan , „ Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik ” , Nachr.Ges. Wiss. Göttingen ,1933, p. 209-214.
(în) Abraham Adrian Albert , „ Despre algebrele Iordaniei de transformări liniare ” , Trans. AMS , voi. 59,1946, p. 524-555.
Unii autori, după Jordan, vorbesc despre „cvasi-multiplicare”, vezi McCrimmon 2004 , p. 4.
(de la) Pascual Jordan , „ Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik ” , Nachr.Ges. Wiss. Göttingen ,1933, p. 209-214Vezi și (în) Pascual Jordan , John von Neumann și Eugene Wigner , „ Despre generalizarea algebrică a formalismului mecanic cuantic ” , Annals of Mathematics , seria 2 E , vol. 36,1935, p. 29-64.
Jordan definește { x , y , z } ca ( xy ). z - x . ( yz ). Cvasi-produsul ar fi asociativ dacă { x , y , z } ar fi zero pentru toate x , y , z , în timp ce verifică doar identitatea lui Jordan, adică { x , y , x 2 } = 0, pentru toate x , y , a se vedea (de) Pascual Jordan , „ Über die Multiplikation quantenmechanischer Grössen ” , Zeitschrift für Physik , vol. 80,1933, p. 285-291, p. 288 .
McCrimmon 2004 , p. 39-50.
.
Jordan, von Neumann și Wigner 1935 , p. 30.
Unele dintre acestea sunt explicate în partea I, „Un studiu istoric al teoriei structurii Jordan”, din McCrimmon 2004 , p. 337-128, acoperind perioada 1933 până în anii 1980.
IG MacDonald , „ Algebre Jordan cu trei generatoare ” , Proc. LMS , seria a 3 -a , vol. 10,1960, p. 395-408.
(în) F. Alizadeh, „O introducere la algebrele formal Jordan reale și aplicațiile lor în optimizare”, și JB Lasserre Anjos MF (eds), Manual de optimizare semidefinită, conică și polinomială , Seria internațională în cercetarea operațiunilor și știința managementului , Springer, 2012.

Referințe

(en) Cho-Ho Chu , Jordan Structures in Geometry and Analysis , Cambridge, Cambridge University Press,2012, 261 p. ( ISBN 978-1-107-01617-0 )
(ro) Jacques Faraut și A. Korányi , Analiza conurilor simetrice , Oxford, Clarendon Press,1994.
(ro) Nathan Jacobson , Structura și reprezentările algebrelor din Iordania , Providence, RI, AMS , col. „Publicații colocviale AMS” ( n o XXXIX)1968.
(ro) M. Koecher , The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications , Berlin, Springer-Verlag, col. „Note de curs în matematică” ( nr . 1710),1999.
(ro) Kevin McCrimmon , A Taste for Jordan algebras , NewYork, Springer, col. „Universitext”,2004, 563 p. ( ISBN 978-0-387-95447-9 ).

Vezi și tu

Teorema lui Koecher-Vinberg