Sumă combinată

În matematică , suma amalgamată este o operație între două seturi care constituie spațiile de sosire a două aplicații definite pe același al treilea set. Rezultatul satisface o proprietate universală de factorizare a diagramelor , duală cu cea a produsului din fibră și care poate fi valabilă în alte categorii decât cea a seturilor , cum ar fi cea a grupurilor . În categoria spațiilor topologice , suma amalgamată intervine astfel în descrierea anumitor spații, al căror grup fundamental este apoi calculat folosind teorema lui van Kampen .

Prin analogie cu traducerea în engleză a "produsului de fibră" ( pullback ), suma amalgamată este uneori desemnată prin traducerea sa în pushout ("împinsă înainte").

Definiție ensemblistă

Având în vedere două aplicații definite pe același set:

{\ begin {array} {l} Z {\ stackrel {g} {\ longrightarrow}} Y \\\! {\ scriptstyle f} \! \! \ downarrow \\ X \ end {array}}

suma amalgamat de $X$ și $Y$ împreună $Z$ este definit ca fiind câtul a uniunii disjunctă a $X$ și $Y$ prin relația de echivalență generată de:

f (z) \ sim g (z)

pentru toți $z$ în $Z$ . Este notat:

X \ underset {Z} {\ sqcup} Y.

Suma amalgamată fiind un coeficient al uniunii disjuncte, injecțiile canonice induc aplicații care fac posibilă completarea pătratului comutativ:

{\ begin {array} {crc} Z & \ longrightarrow \! \! \! \! & Y \\\ downarrow && \ downarrow \! \! {\ scriptstyle i_ {Y}} \! \! \! \! \! \! \\ X & {\ stackrel {i_ {X}} {\ to}} & X {\ underset {Z} {\ sqcup}} Y \ end {array}}

În categorii stabilite, cum ar fi cele ale spațiilor topologice sau ale spațiilor vectoriale, suma amalgamată constituie ea însăși un obiect al categoriei.

Proprietate universală

Cu notațiile părții anterioare, dacă $Q$ este setul final de două hărți definite respectiv pe $X$ și $Y$ și care permit construirea unui pătrat comutativ:

{\ begin {array} {crc} Z & \ longrightarrow & Y \\\ downarrow && \ downarrow \! \! {\ scriptstyle j_ {Y}} \! \! \! \! \! \! \\ X & {\ stackrel {j_ {X}} {\ longrightarrow}} și Q \ end {array}}

atunci există o hartă unică $u$ a sumei amalgamate la setul $Q$ care factorizează diagrama:

j_X = u \ circ i_X \ qquad j_Y = u \ circ i_Y.

Cu alte cuvinte, suma amalgamată este colimitul diagramei formate folosind cele două $hărți$ inițiale $f$ și $g$ . De asemenea , este posibil să - l văd ca suma (categoriile definite) într - o clasă de morfisme pornind de la $Z$ .

Mai general, suma amalgamată în orice categorie este colimitul unei astfel de diagrame, atunci când există, ceea ce este cazul în categoriile abeliene .

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

Claude Godbillon , Elemente de topologie algebrică [ detaliul ediției ]
André Gramain , Topologia suprafețelor , PUF , 1971