Ecuația diofantină

O ecuație diofantină , în matematică , este o ecuație polinomială cu una sau mai multe necunoscute ale căror soluții sunt căutate între numere întregi , posibil raționale , coeficienții fiind ei înșiși întregi. Ramura matematicii care este interesată să rezolve astfel de ecuații a fost numită mult timp analiză nedeterminată înainte de a se contopi cu aritmetica sau teoria numerelor .

Dacă exprimarea problemei ridicate este uneori simplă, metodele de rezolvare pot deveni complexe. Carl Friedrich Gauss , The XIX - lea  secol , a scris de teoria numerelor care „farmecul vine din simplitatea declarațiilor anexate la dificultatea probelor. "

Unele ecuații diofantine au necesitat pentru rezolvarea lor eforturile combinate ale multor matematicieni de-a lungul mai multor secole. Gauss s-a plâns „de eforturile excesive pe care l-a costat să determine un semn al unui radical în teoria numerelor; multe alte lucruri nu l-au reținut atât de multe zile cât l-a reținut această întrebare ani de zile. " Ultima teoremă a lui Fermat este un exemplu arhetipală; este conjecturat de Pierre de Fermat și demonstrat în 1994 de Andrew Wiles , după 357 de ani de eforturi din partea multor matematicieni.

Interesul de a rezolva întrebări de această natură rareori constă în stabilirea unei teoreme cheie pentru matematică, fizică sau aplicații industriale, chiar dacă există exemple contrare precum criptologia , care folosește foarte bine mica teoremă a lui Fermat . Analiza lor duce la dezvoltarea unor instrumente matematice puternice a căror utilizare depășește cadrul aritmeticii. Formele pătratice în acest sens sunt exemplare. Bogăția și frumusețea formală a tehnicilor rezultate din rezoluția ecuațiilor diofantine fac din aritmetică ramura „reginei matematicii” pentru David Hilbert .

Acest tip de ecuație este numit Diofant , matematician grec din secolul  al III- lea , autor al Aritmeticii , care se ocupă de probleme de această natură.

Aritmetica elementară

Dacă întrebările diofantine devin rapid dificile, există anumite excepții care pot fi rezolvate cu un minim de instrumente teoretice și o demonstrație scurtă și simplă.

Identitatea lui Bézout

Unele tehnici elementare permit rezolvarea unei prime familii de ecuații diofantine. Un exemplu este dat de ecuația liniară a primului grad cu doi nedeterminați x, y și trei parametri întregi a, b, c :

laX+by=vs..{\ displaystyle ax + by = c.}

Această ecuație poartă numele de identitate al lui Bézout , de la numele matematicianului care a generalizat acest rezultat la polinoame . Rezoluția sa folosește doar diviziunea euclidiană și algoritmul euclidian . Această identitate are un dublu statut. Corespunde unei ecuații diofantine și reprezintă unul dintre pilonii care susțin edificiul aritmeticii elementare. Lema lui Euclid este dovedit folosind această identitate și teorema fundamentală a aritmeticii folosind Lema lui Euclid. Teorema fundamentală face posibilă determinarea proprietăților operatorului cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun, precum și cele ale numerelor prime dintre ele .

Teorema lui Wilson

Un exemplu de ecuație diofantină care utilizează aceste instrumente pentru soluția sa este teorema lui Wilson. Corespunde soluției următoarei ecuații, semnului! denotând funcția factorială  :

(X-1)!+1=yX.{\ displaystyle (x-1)! + 1 = yx.}

Singurele numere întregi x > 1 care îndeplinesc această ecuație sunt numerele prime .

Triplet pitagoric

Lema lui Euclid ne permite să depășim căutarea triplelor pitagoreice, adică triple ( x , y , z ) de numere întregi care satisfac ecuația:

X2+y2=z2.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}.}

Aceleași tehnici fac posibil să se arate că următoarea ecuație, care corespunde ultimei teoreme a lui Fermat pentru n = 4 , nu are alte soluții decât cele care verifică xyz = 0. Această ecuație diofantină corespunde:

X4+y4=z4.{\ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {4}.}

Teorema mică a lui Fermat

Pierre de Fermat dedică o mare parte din cercetările sale matematice rezolvării întrebărilor diofantine. Descoperă mica teoremă a lui Fermat, pe care o exprimă după cum urmează: „Orice număr prim măsoară infailibil una dintre puterile –1 ale oricărei progresii, iar exponentul puterii menționate este un sub-multiplu al numărului prim dat - 1” . În termeni diofantini, oferă un răspuns parțial la următoarea ecuație, unde a denotă un număr întreg și p un număr prim:

laX-1=yp.{\ displaystyle a ^ {x} -1 = yp.}

Micuța teoremă a lui Fermat indică faptul că p - 1 este o valoare posibilă pentru x . Acest rezultat are multe aplicații. Permite construirea numerelor prime mari, precum cele ale lui Mersenne , corespunzătoare următoarei ecuații în care se caută y printre numerele prime:

2X-1=y.{\ displaystyle 2 ^ {x} -1 = y.}

Putem arăta că x este atunci și un număr prim. Această întrebare diofantină face posibilă găsirea celor mai mari numere prime cunoscute în 2013. Fermat este interesat de o ecuație analogă, permițând construirea altor numere prime care îi poartă acum numele . Aici există încă căutat în numerele prime:

22X+1=y.{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {x}} + 1 = y.}

Cu această ocazie, Fermat îi face cunoscută singura falsă presupunere. El își imaginează că orice număr Fermat este prim: „Dacă pot să susțin o dată motivul fundamental că 3, 5, 17 etc. sunt numere prime, mi se pare că voi găsi lucruri foarte frumoase în această chestiune, pentru că am găsit deja lucruri minunate pe care le voi împărtăși cu voi ” . A trecut aproape un secol înainte ca Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ) să prezinte un divizor al celui de-al cincilea număr Fermat. El nu a dezvăluit construcția dovezii sale decât cincisprezece ani mai târziu. Corespunde exact lucrării lui Fermat, făcând posibilă demonstrarea în 1640 a non-primalității a două numere Mersenne.

Interesul teoremei mici a lui Fermat nu se limitează la studiul primalității numerelor întregi. De asemenea, permite rezolvarea unor ecuații, următorul este un exemplu în care p denotă un număr prim:

X2-py+1=0.{\ displaystyle x ^ {2} -py + 1 = 0.}

Corespunde unui pas în rezolvarea următoarei ecuații:

X2+y2=p.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = p.}

Dacă această ecuație este rezolvată pentru p prim, devine relativ ușor să o rezolvi pentru p orice număr întreg pozitiv. Soluția acestei ecuații se bazează pe un rezultat numit teorema cu două pătrate a lui Fermat , a cărei primă dovadă cunoscută este opera lui Euler. Acest matematician generalizează teorema mică oferind un răspuns de aceeași natură cu cel al lui Fermat la următoarea ecuație, aici a și b denotând doi numere întregi prime între ele:

laX-1=yb.{\ displaystyle a ^ {x} -1 = yb.}

Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema lui Euler .

Alte tehnici

Joseph-Louis Lagrange caută să generalizeze ecuațiile diofantine deja tratate în cazuri particulare. Ecuația teoremei celor două pătrate devine, dacă n reprezintă un număr întreg fără factor pătrat și p un număr prim:

(1)X2+nuy2=p.{\ displaystyle (1) \ quad x ^ {2} + ny ^ {2} = p.}

Pentru aceasta, el studiază formele pătratice cu două variabile, adică funcțiile φ, în funcție de trei parametri întregi a , b , c , care la o pereche ( x , y ) asociază:

φ(X,y)=laX2+bXy+vs.y2.{\ displaystyle \ varphi (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}.}

El caută să știe ce formă pătratică este „echivalentă” cu care alta. „Echivalent” înseamnă, în termeni moderni, că o schimbare de bază în ℤ 2 (ℤ denotă setul de numere întregi) permite trecerea de la o formă la alta. Această abordare îi permite să rezolve ecuația (1) în cazul în care n este egal cu 1, 2, 3 sau 5. Cazul general rămâne în afara sferei de aplicare.

O altă generalizare a acestei ecuații este rezolvată folosind această metodă, constă în găsirea celui mai mic număr de pătrate necesare pentru a găsi cel puțin o soluție pentru orice număr întreg pozitiv. Răspunsul este 4, corespunde următoarei ecuații:

X2+y2+z2+t2=nucunu∈NU.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + t ^ {2} = n \ quad {\ text {cu}} \ quad n \ in \ mathbb {N}.}

Teorema celor patru pătrate ale Lagrange spune că , pentru toate valorile lui n , această ecuație are o soluție. Edward Waring ( 1736 - 1798 ) generalizează întrebarea sub numele de problema lui Waring, care este exprimată după cum urmează. Câți termeni sunt necesari într-o sumă de puteri k- mii pentru a obține toate numerele întregi pozitive?

Ecuația (1), pentru o valoare dată de n , necesită rezolvarea pentru aceeași valoare a parametrului n și pentru p orice număr prim, ecuația:

(2)X2-py+nu=0.{\ displaystyle (2) \ quad x ^ {2} -py + n = 0.}

Pentru fiecare valoare a lui n , este adesea relativ simplu să se găsească lista numerelor prime care admit o soluție pentru ecuația (2). Expresia soluției generale este conjecturată de Euler, dar demonstrația sa scapă aritmeticienilor din secolul  al XVIII- lea .

Lagrange este interesat de o altă întrebare, deja ridicată de Fermat cu 150 de ani mai devreme și de Diofant în Antichitate. Corespunde ecuației Pell-Fermat . Dacă n este un număr întreg fără factor pătrat, se scrie:

(3)X2-nuy2=m.{\ displaystyle (3) \ quad x ^ {2} -ny ^ {2} = m.}

Această întrebare face obiectul studiului matematicienilor indieni dacă m este egal cu 1. Metoda chakravalei face posibilă găsirea de soluții cu o eficiență mare. Bhāskara II ( 1114 - 1185 ) o folosește pentru n egal cu 61 și găsește soluția x = 1 766 319 049 și y = 226 153 980. Fermat redescoperă această metodă și o demonstrează conform criteriilor riguroase ale timpului. Lagrange găsește o altă metodă, bazată pe fracții continue . De asemenea, face posibilă găsirea unei infinități de soluții pentru toate valorile lui n  ; faptul că toate soluțiile sunt într-adevăr atinse pentru m = ± 1 este demonstrat în cele din urmă; cazul general rămâne, totuși, la îndemână.

Aritmetica modulară

Dacă unele cazuri speciale sunt tratate cu metode elementare, pe de altă parte, soluțiile generale rămân inaccesibile. Niciunul dintre cele trei cazuri de ecuații diofantine pătratice cu două nedeterminate nu este tratat în cazul general. Ele corespund fie unei elipse cu ecuația (1) din paragraful anterior, fie unei parabole cu ecuația (2), fie unei hiperbole cu ecuația (3). Metodele aritmeticii elementare nu sunt suficient de puternice.

În 1801 , Gauss a propus utilizarea unei noi abordări numită acum aritmetică modulară . Constă, în termeni moderni, în utilizarea unei abordări structurale. Seturile sunt prevăzute cu operații, o adunare și uneori o multiplicare. Structurile, adică întregul și operațiile sale sunt studiate într-un cadru general, permițând obținerea teoremelor cu un domeniu larg de aplicare. Această abordare face posibilă simplificarea soluțiilor ecuațiilor diofantine deja cunoscute, rezolvarea unor cazuri particulare noi și chiar stabilirea unor soluții generale, de exemplu pentru ecuația (2).

Grup abelian finit

Este posibil să se ia în considerare coeficientul de ℤ inel cu n ℤ  ; elementul generic al acestei structuri este clasa tuturor numerelor întregi având același rest prin împărțirea euclidiană cu n . Elementele acestei structuri se adună și se înmulțesc. Studiul coeficientului oferă o formulare mai simplă a anumitor ecuații diofantine. Teorema mică a lui Fermat este scrisă, dacă p este un număr prim și are un număr întreg diferit de zero:

lap-1≡1modp.{\ displaystyle a ^ {p-1} \ equiv 1 \ mod p.}

Dacă n este un număr prim, atunci mulțimea de elemente nenule formează un grup abelian nu numai finit, ci și ciclic . Egalitatea precedentă devine o consecință directă a teoremei lui Lagrange asupra grupurilor . Dacă n nu este prim, mulțimea (ℤ / n ℤ) * a elementelor inversabile ale lui ℤ / n ℤ formează din nou un grup abelian finit, oferind astfel o simplă dovadă a generalizării lui Euler a teoremei lui Fermat. Structura generală a unui grup Abelian finit, elucidată de teorema lui Kronecker , nu a fost demonstrată decât mult mai târziu, în 1870 . Acest formalism simplifică, de asemenea, dovada teoremei lui Wilson.

Rezolvarea ecuației (2) se reduce la următoarea problemă, cu excepția semnului:

X2≡numodp.{\ displaystyle x ^ {2} \ equiv n \ mod p.}

Această ecuație admite o soluție diferită de zero dacă și numai dacă n este un element al subgrupului de pătrate ale lui (ℤ / p ℤ) *. Studiul morfismele acestui grup în cea a rădăcinilor unității de numere complexe permite Gauss rezolvarea ecuației (2) , în toată generalitatea sa. Acest rezultat este cunoscut sub numele de legea reciprocității pătratice . Este prima familie de ecuații pătratice complet rezolvate, corespunde cazului parabolic.

Inel euclidian

O altă structură, care permite rezolvarea ecuațiilor diofantine, se află în centrul aritmeticii modulare: cea a inelului euclidian. Un inel este un set prevăzut cu o adunare și o multiplicare compatibile între ele. Uneori este posibil să se definească o diviziune euclidiană. Un astfel de inel are toate teoremele aritmeticii elementare: identitatea lui Bézout, lema lui Euclid și teorema fundamentală a aritmeticii se aplică încă.

Gauss studiază mulțimea numerelor formei a + i b unde a și b denotă două numere întregi și i este una dintre cele două rădăcini pătrate complexe ale lui –1 . Întregul formează un inel euclidian al cărui elemente poartă numele complet al lui Gauss . Lucrul la acest inel simplifică soluția unor ecuații diofantine precum cea a celor două pătrate. Există și alte inele euclidiene de această natură. Gotthold Eisenstein studiază cele de forma a + j b unde a și b denotă încă două numere întregi și j rădăcina cubică a unității a cărei componentă imaginară este strict pozitivă. Un astfel de număr se numește întreg Eisenstein . Acest inel este cadrul unei soluții de ecuație (1) pentru n egal cu trei.

De asemenea, face posibilă rezolvarea ultimei teoreme a lui Fermat pentru n egal cu trei. Această rezoluție ia schema generală a unei încercări a lui Euler de a rezolva această întrebare. În schimb, matematicianul a folosit inelul numerelor de forma a + i √ 3 b . El a presupus că inelul considerat este euclidian, ceea ce nu este cazul și și-a invalidat demonstrația. Într-adevăr, numărul patru are două descompuneri în factori ireductibili, ceea ce este imposibil într-un inel euclidian:

4=2×2=(1+eu3)×(1-eu3).{\ displaystyle 4 = 2 \ times 2 = (1 + {\ rm {i}} {\ sqrt {3}}) \ times (1 - {\ rm {i}} {\ sqrt {3}}).}

Inelul de numere întregi de ℚ ( √ 5 ) este de asemenea euclidiană. Poate fi folosit pentru a demonstra marea teoremă a lui Fermat pentru n egal cu 5.

Teorema progresiei aritmetice

O ecuație diofantină pune o întrebare al cărei răspuns este deja conjecturat de Gauss și Legendre. Dacă a și b sunt două numere întregi prime între ele, ia una dintre următoarele două forme, ambele echivalente:

X=lay+bsauX≡bmodla.{\ displaystyle x = ay + b \ quad {\ text {or}} \ quad x \ equiv b \ mod a.}

Soluțiile căutate sunt cele în care x este un număr prim. Conjectura afirmă că există infinit de multe valori ale lui x care satisfac ecuația.

Dirichlet a reușit să demonstreze acest rezultat în 1837 . Dovada utilizează aritmetica modulară prin studiul morfismelor grupului multiplicativ de ℤ / a ℤ în ℂ. Generalizează analiza armonică pe un grup abelian finit început de Gauss cu sumele și perioadele Gauss care au tratat doar cazul în care a este un număr prim. Dirichlet este inspirat de descoperirile lui Joseph Fourier ( 1768 - 1830 ) din seria sa . Charles Gustave Jacob Jacobi ( 1804 - 1851 ) a spus despre el: „Prin aplicarea seriei Fourier la teoria numerelor, Dirichlet a găsit recent rezultate care atingeau culmile inteligenței umane” .

Demonstrația sa este remarcabilă în sensul că nu se limitează la simpla utilizare a tehnicilor algebrice. Reia lucrarea lui Euler asupra unui produs infinit , găsit în urma studiului problemei Mengoli și care stabilește următorul rezultat, dacă P denotă mulțimea numerelor prime:

∏p ∈P11-p-2 = ∑nu=1+∞1nu2=π26.{\ displaystyle \ prod _ {p \ \ in P} {\ frac {1} {1-p ^ {- 2}}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}

Dovada deschide ușa către o nouă aritmetică, folosind, de asemenea, analiza și numită acum teoria analitică a numerelor .

Teoria numerelor algebrice

Paisprezece ani mai târziu, succesul lui Dirichlet este urmat de o încercare reușită a lui Gabriel Lamé ( 1795 - 1870 ) de a rezolva cazul n egal cu 7 din ultima teoremă a lui Fermat. Încă o dată tehnicile modulare funcționează, structura cheie este din nou un inel euclidian. Dar complexitatea probei arată că abordarea nu poate fi generalizată.

Astfel, aritmetica modulară permite progrese reale, dar rezoluția generală a unei familii de ecuații rămâne în general foarte departe de acoperire. Această remarcă este valabilă pentru ultima teoremă a lui Fermat, precum și pentru ecuațiile pătratice. Într-adevăr, dacă este posibil să se găsească un număr infinit de soluții la ecuația (3), nimeni nu poate demonstra dacă setul de soluții este exhaustiv sau nu. În cele din urmă, ecuația (1) rămâne inabordabilă în cazul general. O familie de inele reprezintă candidați buni pentru a merge mai departe; sunt alcătuite din numere întregi algebrice .

Număr întreg algebric

Mai multe exemple de inele de numere întregi algebrice au fost deja observate în acest articol: numerele întregi ale lui Gauss, Eisenstein sau cel al numerelor întregi ale lui ℚ ( √ 5 ). O abordare mai generală constă în studierea unui câmp pătratic , adică cel mai mic sub-câmp al câmpului ℂ al numerelor complexe care conțin rădăcinile unui polinom de grad 2. Un număr întreg pătratic este un element al acestui câmp care este rădăcina unui polinom unitar (monomiul de gradul 2 are coeficientul 1) și cu coeficienți în ℤ. Întregii pătratici formează un inel inclus în câmpul pătratic.

În unele privințe, exemplele utilizate sunt excepționale. În cazul general, două obstacole necesită adaptarea rezultatelor aritmeticii modulare pentru a permite rezolvarea ecuațiilor diofantine. Odată ce structura acestor obstrucții este înțeleasă, ecuațiile de tip (1) și (3) pot fi procesate.

Primul este actualizat de Dirichlet. Pentru numere întregi pătratice, se referă doar la cazurile în care elementele sunt toate incluse în mulțimea numerelor reale , vorbim despre un câmp pătratic total real . Grupul de unități este multimea elementelor inversabile ale inelului. Devine infinit pe un câmp pătratic total real. Ecuația (3) echivalează cu găsirea tuturor elementelor grupului de unități ale inelului. Teorema unităților Dirichlet dă structura unui astfel de grup, fără a se limita la extensii asociate cu polinoame de gradul 2. În cazul unui corp pătratic complet reali, este izomorfă la gruparea ℤ aditiv / 2ℤ × ℤ. Grafic, ilustrația din stânga arată că elementele se află pe patru ramuri ale hiperbolilor. Orice soluție a ecuației Pell-Fermat corespunde unei perechi de rădăcini inverse între ele. Fracțiile continuate fac posibilă determinarea unei rădăcini primitive a grupului de unități, adică această rădăcină generează toate celelalte. Înțelegerea structurii acestei obstrucții arată că metoda Lagrange permite în mod eficient găsirea tuturor soluțiilor ecuației (3) și închide întrebarea.

A doua obstrucție se referă la factorizarea primă a unui număr întreg algebric. Este unic în cazul inelelor euclidiene, principale sau factoriale . Această proprietate, exprimată prin teorema fundamentală a aritmeticii, este una dintre bazele aritmeticii elementare sau modulare. Nu se mai verifică în cazul unui inel de numere întregi algebrice. Ernst Kummer interpretează această realitate ca o lipsă de numere prime, deoarece lipsește unicitatea descompunerii. El are ideea de a îmbogăți inelul cu numere ideale pentru a înlocui numerele prime lipsă. Richard Dedekind oferă acestei teorii formalismul său modern. El arată în 1876 că numerele ideale ale lui Kummer sunt formalizate pur și simplu folosind conceptul de ideal , un subgrup al inelului stabil prin multiplicare cu orice element. Cu această ocazie, el folosește vocabularul lui Kummer, modificând în același timp formalismul. Numere prime Ideal de fapt corespund non principale idealuri prime . Datorită noțiunii de ideal fracționat , el găsește un echivalent al teoremei fundamentale: fiecare ideal se descompune într-un mod unic într-un produs al idealurilor prime. Apoi rămâne să se determine structura idealurilor prime prime și nu a celor principale. Având în vedere coeficientul monoidic comutativ al idealurilor de către idealurile principale, el demonstrează teorema cheii, și anume că acest coeficient este un grup finit , numit grupul de clase de ideal . În cazuri simple, ca cel al inelelor de numere întregi pătratice, acest rezultat face posibilă determinarea idealurilor prime non-principale și în același timp rezolvarea ecuației (3) în cazul general.

Corpul ciclotomic

Dacă formalismul modern , învingându - al doilea obstrucția este lucrarea lui Dedekind și data la sfârșitul XIX - lea  secol, o parte semnificativă a activității matematice vine de la locul de muncă Kummer de la mijlocul secolului. Preocuparea sa este generalizarea legii reciprocității pătratice, precum și a ultimei teoreme a lui Fermat.

Dovada cazului lui Lamé n = 7 se bazează încă pe inelul numerelor algebrice ale unui câmp pătratic. Imposibilitatea unui răspuns general bazat pe studiul întregilor pătratici îi determină pe Lamé și Kummer să studieze alte câmpuri numerice , adică cel mai mic subcâmp al lui ℂ care conține toate rădăcinile unui polinom. Amândoi aleg polinoamele ciclotomice , adică polinoamele unitare de grad minim având pentru rădăcină o rădăcină a unității . Câmpul numeric asociat se numește „corp ciclotomic”. Astfel de corpuri au multiple „proprietăți bune”. Polinomul ciclotomic are coeficienți în ℤ deci o rădăcină a unității este întotdeauna un număr întreg algebric. Un câmp ciclotomic rămâne principal mai mult timp și, dacă da, inelul de numere întregi îndeplinește teorema fundamentală a aritmeticii. Astfel, inelele numerelor întregi algebrice ale câmpurilor ciclotomice cu indice 5, 7, 11, 13, 17 și 19 sunt principale. Această observație îl determină pe Lamé să prezinte o soluție pe care el o consideră generală pentru marea teoremă a lui Fermat în 1847 . Kummer este mai atent; el a demonstrat deja cu trei ani mai devreme că pentru indexul 23, inelul nu este principal.

Formalismul folosit în acest articol este cel în vigoare astăzi și diferă de cel al lui Kummer, totuși conținutul matematic este același. Dificultatea care trebuie rezolvată este de a înțelege cum se potrivesc idealurile prime non-principale. Această problemă, deși rezolvată mai devreme, este în cele din urmă mai complexă decât cea a inelelor întregi pătratice. Polinomul la originea câmpului numeric este de orice grad și nu mai este egal cu 2. Teoria lui Galois este de mare ajutor. În cazul unui câmp ciclotomic K , se spune că extensia este Galois , adică există la fel de multe automatisme ale lui K pe cât setul are dimensiuni dacă este considerat ca un spațiu vectorial ℚ . Aceste automorfisme formează un grup finit G , numit grupul Galois . Imaginea unui ideal prim printr-un automorfism este, de asemenea, un ideal prim. Această remarcă ajută la înțelegerea structurii idealurilor prime folosind ramificarea . Fiecare ideal prim conține un număr prim unic p . Tehnica constă atunci în descompunerea principalului pK ideal în idealuri prime. Grupul G acționează tranzitiv asupra idealurilor prime care descompun pK , ceea ce face posibilă determinarea descompunerii idealurilor prime în extensiile Galois .

Mai mult, K este o extensie abeliană și chiar ciclică, adică gruparea Galois este ciclică. O consecință este că grupul de clase este, de asemenea, ciclic. Grupul de clase devine relativ ușor de determinat și, dacă p este un număr prim regulat , atunci nu împarte ordinea grupului de clase. Această proprietate face posibilă obținerea unei demonstrații relativ ușoare a acestui caz particular al ultimei teoreme a lui Fermat. Singurele excepții mai mici de 100 sunt 37, 59 și 67.

Geometrie algebrică

Abordarea bazată pe analiza fină a unui corp de numere are limite. Pentru o ecuație polinomială diofantină neomogenă, adică dacă gradul diferitelor monomii nu este același, instrumentele impun acrobații care limitează foarte mult sfera metodei. Chiar și în cele mai simple cazuri, cum ar fi cea a extensiei ciclotomice, structura idealurilor prime este uneori complexă, așa este cazul idealurilor asociate cu numere prime neregulate.

Pe de altă parte, instrumentele dezvoltate în acest context sunt generalizate la alte ramuri ale matematicii. Teoria inelelor și în special a inelelor Dedekind cu idealurile sale primare sau fracționare se aplică și geometriei algebrice. O varietate algebrică este definită ca ansamblul rădăcinilor comune ale unui ideal de polinoame. Teoria lui Galois este operațională și în acest domeniu. În cele din urmă, sunt disponibile alte instrumente, un polinom este derivat în timp ce un întreg nu, o suprafață are multe proprietăți topologice, cum ar fi genul , sursă de noi teoreme.

O ecuație polinomială diofantină poate fi, de asemenea, interpretată ca intersecția unui distribuitor algebric și a unei rețele egale cu ℤ n . Această abordare permite metode de soluții simple de ecuații diofantine, cum ar fi căutarea triplelor pitagoreice. Aceste motive diferite de ce matematicieni ai XX - lea  secol pentru a studia ecuații Diofantine cu această axă.

A zecea problemă Hilbert

Aceste probleme tradiționale au fost puse și adesea nerezolvate de secole. Matematicieni, în plus, vin treptat să le înțeleagă în adâncime (în unele cazuri), mai degraba decat sa le trateze ca puzzle - uri . În 1900, Hilbert a propus rezolvabilitatea tuturor problemelor diofantine ca a zecea dintre celebrele sale probleme . În 1970, un nou rezultat în logica matematică cunoscut sub numele de teorema lui Matiyasevich a rezolvat-o negativ: în general problemele diofantine nu sunt solubile, în sensul că se pot construi în mod explicit astfel de probleme pentru care existența unei soluții este indecidabilă (în sistemul axiomatic din pe care ni l-am plasat; construim un polinom precis pornind de la lista axiomelor). Ca rezultat, viziunea geometriei diofantine , care este o aplicație a tehnicilor geometriei algebrice în acest domeniu, a continuat să se dezvolte; întrucât tratarea ecuațiilor arbitrare duce la un punct mort, atenția se îndreaptă către ecuațiile care au și un sens geometric.

Cercetări moderne

Una dintre abordările generale este prin principiul Hasse . Coborâre infinită este metoda tradițională, și a fost luată foarte departe.

Profunzimea studiului ecuațiilor generale diofantine este demonstrată de caracterizarea mulțimilor diofantine ca fiind recursiv enumerabile .

Domeniul aproximării diofantine are legătură cu cazurile de inegalități diofantine  : variabilele sunt întotdeauna presupuse a fi numere întregi, dar unii coeficienți pot fi numere iraționale, iar semnul egalității este înlocuit cu limite superioare și inferioare.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „  Ecuație diofantină  ” ( vezi lista autorilor ) .

1. C. Goldstein , „  Fermat și teorema sa  ”, Orsay Info 57 , 1999.
2. David Hilbert , „Teoria câmpurilor numerice algebrice: Prefață“, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse , 3 rd  serii, T. 3, 1911, p. VI citit
3. „  Elementar  ” este luat aici în sensul că sofisticarea instrumentelor este limitată. Există o a doua definiție a "dovezii elementare" în aritmetică, ceea ce înseamnă că dovada nu folosește nici număr, nici tehnică transcendentă. Conform acestei a doua definiții, dovada lui Wiles a teoremei lui Fermat este „elementară”, totuși este dificilă și folosește multe instrumente dificile și tehnice.
4. Rezoluția acestei ecuații este mai timpurie, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac prezintă o soluție în cartea sa Probleme plăcute și delicioase care sunt făcute prin numere , publicată în 1624.
5. Extras dintr-o scrisoare adresată lui Bernard Frénicle de Bessy și datată 18 octombrie 1640.
6. Cel mai mare număr prim cunoscut din 2013 este 2 57 885 161 - 1: (ro) "  Marea căutare pe Internet  " .
7. Articolul Fermat's Number oferă un exemplu de utilizare a teoremei lui Fermat pentru a stabili non-primalitatea unui număr întreg.
8. Pierre de Fermat, Corespondență , Marin de Mersenne, scrisoarea XLV, 25 decembrie 1640.
9. (La) Leonhard Euler, "Observations of theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus", Comentariu. acad. scient. Petropol. , zbor. 6, 1738, p. 102-103, 1732.
10. (La) Leonhard Euler, "Theoremata circa divisors numerorum", comentariu Novi. acad. scient. Petropol. , zbor. 1, 1750, p. 20-48, 1747/48.
11. (în) N. Lippi, „Biografii ale matematicienilor-Marin Mersenne” (versiunea din 9 mai 2008 pe Internet Archive ) , de la Universitatea St Andrews .
12. O rezoluție elementară a acestei întrebări este prezentată în dovada lui Euler a teoremei cu două pătrate a lui Fermat .
13. Găsim o urmă a acestuia în corespondența sa cu Christian Goldbach  : corespondența lui Euler cu Goldbach .
14. Joseph-Louis Lagrange, „  Cercetare în aritmetică , a doua parte”, Noi memorii ale Academiei Regale de Științe și Belles Letters din Berlin , 1775 - Lucrări , vol. III, p.  759-795 . Teorema este dovedită sub numele de Lema VII , p.  782-783 .
15. Dovada sa pentru cazul n = 1 este prezentată în articolul despre teorema cu două pătrate a lui Fermat .
16. (La) Leonhard Euler, "  Observationses circa divisionem quadratorum per numeros primos  ", Opuscula analytica , vol. 1, 1783, p. 64-84.
17. Adrien-Marie Legendre prezintă dovezi. Cu toate acestea, presupune rezolvarea unei alte ecuații diofantine, tratată de teorema progresiei aritmetice , mai dificilă decât această ecuație: Eseu despre teoria numerelor , Duprat, Paris, 1798.
18. (în) TS Bhanu Murthy, A Modern Introduction to Ancient Indian Mathematics , New Age International, New Delhi, 1992, p.  108-121 , previzualizare pe Google Cărți .
19. (în) John J. O'Connor și Edmund F. Robertson , „ecuația lui Pell” în arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St Andrews ( citește online ).
20. Carl Friedrich Gauss , Cercetări aritmetice , trad. française des Disquisitiones arithmeticae de A.-C.-M. Poullet-Delisle, 1801 citit
21. Această notație este explicată în articolul Congruence on integers .
22. (De) Leopold Kronecker , "  Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen  " , Monatsber. K. Preuss. Akad. Wiss , Berlin,1870, p.  881–889
23. O dovadă este prezentă în articolul Analiza armonică pe un grup abelian finit cazul particular pentru n = –1 sau 2 este tratat în articolul Legea reciprocității pătratice , o dovadă pentru n = 3 este prezentă în dovada cazului n = 3 din teorema celor două pătrate ale lui Fermat .
24. Gauss este autorul primei demonstrații din 1796 . Mai târziu, el își califică demonstrația ca fiind laborioasă  : Gauss, Eisenstein și a treia dovadă a teoremei reciprocității quadratice
25. Articolul Teorema celor două pătrate a lui Fermat oferă o dovadă a lui Dedekind folosind acest inel.
26. O rezoluție de această natură este propusă în articolul Teorema cu două pătrate a lui Fermat
27. O dovadă este dată în articolul Demonstrații ale ultimei teoreme a lui Fermat .
28. (în) HM Edwards , Ultima teoremă a lui Fermat: o introducere genetică în teoria numerelor algebrice , Springer, ediția a III- a 2000 ( ISBN  0387950028 )
29. (de) Dirichlet , „  Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression  ” , Ber. K. Preuss. Akad. Wiss. ,1837, p.  108-110, p. 307-312
30. (De) W. Ahrens  (de) , "Briefwechsel zwischen CGJ Jacobi und MH Jacobi", The Mathematical Gazette , vol. 4, nr.71, 1908, p. 269-270
31. Leonhard Euler, „Demonstrarea sumei acestei secvențe 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + etc”, Jurnal lit. din Germania, Elveția și Nord , vol. 2, 1743, p. 115-127
32. O descriere a dovezii poate fi găsită pe ultimul site web al teoremei Fermat
33. O dovadă este dată în articolul Întregul pătratic .
34. Ernst Kummer, „Despre teoria numerelor complexe”, CRAS , 1847 .
35. Richard Dedekind, Tratat despre teoria numerelor , trad. C. Duverney, Tricorne, Geneva, 2006 ( ISBN  2829302893 ) .
36. (De) Richard Dedekind, "Zur Theorie der Ideale", Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen , 1894.
37. Articolul Quadratic Integer arată cum se poate rezolva cazul general al ecuației (3) prin exemplul n = 5 .
38. Această proprietate este demonstrată în articolul Polinom ciclotomic
39. Gabriel Lamé , „Dovada generală a teoremei lui Fermat, asupra imposibilității, în număr întreg, a ecuației x n + y n = z n  ”, CRAS , vol. 24, 1847, p. 310-315 Citiți pe Gallica
40. (în) HM Edwards, "Fundalul dovezii lui Kummer a ultimei teoreme a lui Fermat pentru primele obișnuite", Arch. Istorie Exact Sci. , zbor. 14, 1975
41. (de) Ernst Kummer, „Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von x λ + y λ = z λ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ”, Monatsber. Akad. Wiss. Berlin , 1847, p. 132-139, 140-141 și 305-319

Vezi și tu

Articole similare

• Cvintuplul diofantin
• Teorema lui Legendre
• Teorema lui Meyer
• Algoritmul Cornacchia

linkuri externe

• (ro) Eric W. Weisstein , „  Ecuația diofantină  ” , pe MathWorld
• (ro) „  Ecuația diofantină  ” , pe PlanetMath

Bibliografie

• M. Guinot, Aritmetică pentru amatori. Zbor. 1. Pitagora, Euclid și întreaga clică Aléas Lyon, 1992 ( ISBN  2908016214 ) Această serie de cinci volume este destinată amatorilor luminați (adică după ce a făcut unul sau doi ani de studii matematice după bacalaureat) . Conține elementele de bază ale aritmeticii, precum și studiul triplelor pitagoreice .
• M. Guinot, Aritmetică pentru amatori. Zbor. 2. Les resveries de Fermat Aléas Lyon, 1993 ( ISBN  2908016273 ) A treia parte se referă la sumele a două pătrate.
• M. Guinot, Aritmetică pentru amatori. Zbor. 3. Acest diavol al omului de Euler Aléas Lyon, 1994 ( ISBN  2908016397 ) Această carte tratează teorema celor două pătrate cu instrumentele lui Lagrange și Jacobi, precum și ecuația diofantină în general.
• M. Guinot, Aritmetică pentru amatori. Zbor. 5. GAUSS „  princeps mathematicum  ” Aléas Lyon, 1997 ( ISBN  2843010446 ) Această carte tratează numărul întreg Gauss și clasificarea formelor pătratice.
• Pierre Samuel , Teoria numerelor algebrice [ detaliul ediției ]