Teoria analitică a numerelor

În matematică , teoria analitică a numerelor este o ramură a teoriei numerelor care folosește metode de analiză matematică pentru a rezolva probleme care implică numere întregi . Se consideră adesea că a început în 1837, odată cu introducerea de către Peter Gustav Lejeune Dirichlet a funcțiilor sale L pentru a da prima dovadă a teoremei sale de progresie aritmetică . Este cunoscută pentru rezultatele sale cu privire la numerele prime (care implică teorema numerelor prime și funcția zeta a lui Riemann ) și teoria numerelor aditive (cum ar fi conjectura Goldbach și problema Waring ).

Ramuri ale teoriei numerice analitice

Teoria analitică a numerelor poate fi împărțită în două ramuri principale, mai mult după tipul de probleme pe care încearcă să le rezolve decât diferențele fundamentale în tehnicile lor.

De multiplicativi teoria numerelor se ocupă cu distribuția de numere prime , sau numărul estimat de numere într - un prim interval, și include numărul prim teorema și teorema lui Dirichlet pe progresii aritmetice .
Teoria aditivă a numerelor este interesat în numerele întregi structura aditiv, de exemplu, conjectura lui Goldbach că fiecare număr întreg mai mare chiar decât 3 este suma a două numere prime. Unul dintre principalele rezultate ale teoriei aditivilor este soluția problemei Waring .

Istorie

Precursori

O mare parte din teoria analitică a numerelor a fost inspirată de teorema numărului prim . Să $π ( x ) să fie$ funcția principală numărul de numărul care dă numărul de numere prime mai mic sau egal cu $x$ , pentru orice număr real $x$ . De exemplu, $π (10) = 4$ deoarece există patru numere prime (2, 3, 5 și 7) mai mici sau egale cu 10. Teorema numerelor prime indică atunci că $x / ln ( x )$ este o bună aproximare a $π ( x )$ , în sensul că limita coeficientului celor două funcții $π ( x )$ și $x / ln ( x ) pe$ măsură ce $x se apropie de$ infinit este 1:

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {\ pi (x)} {x / \ ln (x)}} = 1.}

Adrien-Marie Legendre conjecturase în 1797 că $π ( a )$ este aproximat de funcția $a / (A ln ( a ) + B )$ , unde A și B sunt constante nespecificate. În cea de-a doua ediție a cărții sale despre teoria numerelor (1808), el a făcut apoi o presupunere mai precisă , cu A = 1 și B = –1.08366. Carl Friedrich Gauss luase deja în considerare această întrebare: în 1792 sau 1793, conform propriei amintiri, aproape șaizeci de ani mai târziu, într-o scrisoare către Encke (1849), el a scris pe tabelul său de logaritm (avea atunci 15 sau 16 ani) scurtul nota " Primzahlen unter ". Dar Gauss nu a publicat niciodată această conjectură. În 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet a propus propria sa funcție de aproximare, logaritmul integral $li ($ $x$ $)$ . Ambele formule ale lui Legendre și ale lui Dirichlet implică aceeași echivalență asimptotică conjecturată a lui $π ($ $x$ $)$ și $x$ $/ ln ($ $x$ $)$ menționate mai sus, deși aproximarea lui Dirichlet este considerabil mai bună atunci când se iau în considerare diferențele, mai degrabă decât coeficienții. ${\ displaystyle a (= \ infty) {\ frac {a} {\ ln a}}}$

Dirichlet

În general lui Dirichlet i se atribuie crearea teoriei analitice a numerelor, domeniu în care a demonstrat mai multe rezultate profunde și a introdus instrumente fundamentale, multe dintre ele fiind numite ulterior după el. În 1837 a publicat Teorema progresiei aritmetice , folosind concepte de analiză matematică pentru a aborda o problemă de algebră și astfel a crea ramura teoriei analitice a numerelor. Dovedind această teoremă, el introduce caracterele și funcțiile L ale acesteia . În 1841, aceasta teorema generalizează pe progresii aritmetice la inelul de numere întregi gaussiene . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}]}$

Chebyshev

În două lucrări din 1848 și 1850, matematicianul rus Pafnouti Chebyshev a încercat să demonstreze teorema numărului prim. Opera sa se remarcă prin utilizarea funcției zeta $ζ ( s )$ (pentru $s$ reale, precum opera lui Leonhard Euler , din 1737) care precede faimosul memoriu al lui Riemann din 1859 și reușește să dovedească o formă ușor mai slabă a teoremei, Și anume că, dacă limita lui $π ( x ) / ( x / ln ( x ))$ ca $x$ tinde spre infinit, atunci este neapărat egală cu $1$ și oferă în plus o încadrare asimptotică a acestui coeficient între două constante foarte apropiate de $1$ . Deși lucrarea lui Chebyshev nu dovedește teorema numărului prim, estimările sale despre $π ( x )$ au fost suficient de puternice pentru a demonstra postulatul lui Bertrand , că există un număr prim între $n$ și $2 n$ pentru orice număr întreg $n \geq 2$ .

Riemann

„ … Es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre Allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. "

„… Este foarte probabil ca toate rădăcinile să fie reale. Ar fi de dorit, fără îndoială, să avem o demonstrație riguroasă a acestei propuneri; cu toate acestea, am lăsat această cercetare deoparte pentru moment, după câteva încercări rapide nereușite, deoarece pare superfluă pentru scopul imediat al studiului meu. "

Bernhard Riemann a adus contribuții celebre la teoria analitică a numerelor. În singura lucrare pe care a publicat-o pe tema teoriei numerelor, Despre numărul de numere prime mai mici decât o dimensiune dată , el studiază funcția zeta Riemann și stabilește importanța acesteia pentru înțelegerea distribuției numerelor prime. El a făcut o serie de presupuneri asupra proprietăților funcției zeta, dintre care una este ipoteza Riemann .

Hadamard și Vallée-Poussin

Prin extinderea ideilor lui Riemann, două dovezi ale teoremei numerelor prime au fost obținute independent de Jacques Hadamard și Charles Jean de la Vallée-Poussin și au apărut în același an (1896). Ambele dovezi au folosit metode de analiză complexă , stabilind ca lemă principală că funcția zeta Riemann ζ ( s ) este diferită de toate valorile complexe ale părții $1$ reale și părții imaginare strict pozitive.

Evoluțiile recente

Cea mai importantă dezvoltare tehnică după 1950 a fost dezvoltarea teoriei sitelor , în special în problemele multiplicative. Acestea sunt de natură combinatorie și destul de variate. Ramura teoriei combinatorii a fost puternic influențată de teoria numerelor analitice la limitele superioare și inferioare. O altă dezvoltare recentă este teoria probabilistică a numerelor , care folosește metode din teoria probabilității pentru a estima distribuția funcțiilor teoretice ale numerelor, cum ar fi numărul divizorilor unui număr.

Evoluțiile teoriei numerice analitice sunt adesea rafinamente ale tehnicilor anterioare, care reduc termenii de eroare și își extind domeniul de aplicabilitate. De exemplu, metoda cercului Hardy și Littlewood a fost concepută pentru a se aplica seriilor de putere din apropierea cercului unității în planul complex ; acum este gândit în termeni de sume exponențiale finite. Câmpurile de aproximare diofantină și teoria corpului au crescut într-o asemenea măsură încât tehnicile lor sunt aplicabile conjecturii lui Mordell .

Probleme și rezultate

Teoremele și rezultatele teoriei analitice a numerelor tind să nu fie rezultate structurale exacte asupra numerelor întregi. În schimb, ele dau limite și estimări pentru diferite funcții, așa cum ilustrează exemplele următoare.

Teoria numerelor multiplicative

Euclid a arătat că există o infinitate de numere prime. O întrebare importantă este determinarea distribuției acestora; adică o descriere aproximativă a numărului de numere prime care sunt mai mici decât un număr dat. Gauss , printre altele, după calcularea unei liste mari de numere prime, a conjecturat că numărul primilor mai mic sau egal cu un număr mare $N a$ fost aproape de valoarea integralei

{\ displaystyle \ int _ {2} ^ {N} {\ frac {1} {\ ln t}} \, \ mathrm {d} t}

În 1859, Bernhard Riemann a folosit analize complexe și o funcție cunoscută sub numele de funcția zeta Riemann , pentru a obține o expresie analitică pentru numărul de numere prime mai mici sau egale cu un număr real $x$ . Termenul principal din formula lui Riemann era exact integralul de mai sus, dând greutate conjecturii lui Gauss. Riemann a descoperit că termenii de eroare din această expresie și, prin urmare, modul în care sunt distribuite numerele prime, sunt strâns legate de zerourile complexe ale funcției zeta. Folosind ideile lui Riemann, Jacques Hadamard și Charles Jean de la Vallée-Poussin au demonstrat conjectura lui Gauss. În special, au demonstrat teorema numărului prim . Acesta este un rezultat central în teoria numerelor analitice. Cu alte cuvinte, luând în considerare un număr mare $N$ , numărul numerelor prime mai mici sau egale cu $N$ este aproximativ $N / ln ( N )$ . Mai general, se poate pune aceeași întrebare despre numărul de numere prime din orice secvență aritmetică $an + b$ pentru orice număr întreg $n$ . Într-una din primele aplicații ale tehnicilor teoriei analitice a numerelor, Dirichlet a dovedit că orice secvență aritmetică cu $a$ și $b$ prime conține o infinitate de numere prime. Teorema numărului prim poate fi generalizată la această problemă;

este

{\ displaystyle \ pi (x, b, a) = ({\ text {număr de numere prime}} p \ leq x {\ text {cum ar fi}} p {\ text {cifră în progresie aritmetică}} an + b , n \ in \ mathbb {Z})}

atunci, dacă $a$ și $b$ sunt coprimi,

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {\ pi (x, b, a)} {x / \ log x}} = {\ frac {1} {\ varphi (a)}} }

unde denotă indicatorul Euler . $\ varphi$

Există, de asemenea, o mulțime de conjecturi ale teoriei numerelor ale căror dovezi par prea dificile pentru tehnicile actuale, cum ar fi conjectura numărului primelor gemene care conjecturează o infinitate de numere prime p astfel încât p + 2 este, de asemenea, prim. Presupunând că presupunerea Elliott-Halberstam este adevărată, s-a arătat recent că există o infinitate de numere prime p astfel încât p + k este prim pentru cel puțin un k ≤ 12.

Teoria numerelor aditive

Una dintre cele mai importante probleme în teoria numerelor aditive este problema lui Waring , care constă în a determina dacă este posibil, pentru orice k ≥ 2, să se scrie orice număr întreg pozitiv ca suma d 'un număr limitat de puteri k ,

{\ displaystyle n = x_ {1} ^ {k} + \ cdots + x _ {\ ell} ^ {k}}

Cazul pătratelor ( k = 2) a fost tratat de Lagrange în 1770, care a dovedit că orice număr întreg pozitiv este suma a cel mult patru pătrate. Cazul general a fost dovedit de Hilbert în 1909. O descoperire majoră a fost aplicarea instrumentelor analitice asupra problemei de către Hardy și Littlewood . Aceste tehnici sunt cunoscute ca metoda cercului și oferă creșteri explicite ale funcției $G ( k )$ , cel mai mic număr de puteri k necesare, cum ar fi

{\ displaystyle G (k) \ leq k (3 \ ln k + 11)}

Probleme diofantine

În ecuațiile Diofantine privesc ansamblul soluțiilor ecuatiilor polinomiale: putem studia distribuția de soluții, adică, numărul soluțiilor în funcție de o anumită măsură de „dimensiune“.

Un exemplu important este problema cercului Gaussian, care cere puncte de coordonate întregi ( x , y ) care satisfac

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ leq r ^ {2}}

În termeni geometrici, având în vedere un disc cu raza r centrat pe originea în plan, problema este cât de multe puncte sunt în disc sau pe marginea acestuia. Nu este dificil să se demonstreze că răspunsul este $π r 2 + E ( r )$ , pentru unele funcții $E$ astfel încât . Din nou, dificultatea problemei constă în obținerea unor limite mai fine ale erorii $E$ $($ $r$ $)$ . ${\ displaystyle \ lim _ {r \ to + \ infty} {\ frac {E (r)} {r ^ {2}}} = 0}$

Gauss a arătat că $E ( r ) = O ( r )$ . Sierpiński arată, în 1906, că $E ( r ) = O ( r 2/3 )$ . În 1915, Hardy și Landau au arătat fiecare că nu avem $E ( r ) = O ( r 1/2 )$ . În 2000, Martin Huxley (ro) a arătat că $E ( r ) = O ( r 131/208 )$ , care este cel mai bun rezultat publicat astăzi.

Metode de teorie a numerelor analitice

Seria Dirichlet

Unul dintre cele mai utile instrumente în teoria numărului multiplicativ sunt seriile Dirichlet , care sunt funcții variabile complexe definite de o serie de forme

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} n ^ {- s}}

În funcție de alegerea coeficienților , această serie poate converge peste tot, nicăieri sau pe jumătate de plan. În multe cazuri, chiar și atunci când seria nu converge peste tot, funcția holomorfă pe care o definește poate fi extinsă analitic într-o funcție meromorfă pe întregul plan complex. Utilitatea unor astfel de funcții în problemele multiplicative poate fi văzută în identitatea formală $an$

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} n ^ {- s} \ right) \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ { n} n ^ {- s} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {k \ ell = n} a_ {k} b _ {\ ell} \ right ) n ^ {- s}}

;

coeficienții produsului a două serii Dirichlet sunt deci convoluțiile coeficienților originali. În plus, tehnici precum sumarea părților și teoremele tauberiene pot fi folosite pentru a obține informații despre coeficienți din informații analitice despre seria Dirichlet. Astfel, o metodă obișnuită de estimare a unei funcții multiplicative este să o exprimăm ca o serie Dirichlet (sau un produs al seriei Dirichlet mai simple folosind identități convoluționale) și să examinăm această serie ca o funcție complexă.

Funcția zeta Riemann

Euler a arătat că teorema fundamentală a aritmeticii implică produsul eulerian

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = \ prod _ {p} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1 -p ^ {- s}}} {\ text {for}} s> 1 \, \, \ (p {\ text {first)}}}

Dovada lui Euler a infinității numerelor prime utilizează divergența termenului la stânga pentru s = 1 ( seria armonică ), un rezultat pur analitic. Euler a fost, de asemenea, primul care a folosit argumente analitice pentru a studia proprietățile numerelor întregi, în special prin construirea de serii generatoare . Acesta a fost începutul teoriei analitice a numerelor. Mai târziu, Riemann a considerat această funcție pentru valori complexe ale lui s și a arătat că această funcție poate fi extinsă pe întregul plan complex cu un pol la s = 1. Această funcție este acum cunoscută sub numele de funcția zeta Riemann ζ ( s ). În articolul său din 1859, Riemann a conjecturat că toate zerourile „non-banale” din ζ se află pe linie, dar nu au furnizat niciodată dovezi pentru această afirmație. Această presupunere, numită ipoteza Riemann , are multe implicații profunde în teoria numerelor; s-au dovedit multe teoreme importante presupunând că este adevărat. De exemplu, sub ipoteza Riemann, termenul de eroare din teorema numărului prim este . ${\ displaystyle \ Re (s) = 1/2}$ ${\ displaystyle O (x ^ {1/2 + \ varepsilon})}$

La începutul XX - lea secol, GH Hardy și Littlewood au dovedit multe rezultate cu privire la funcția zeta , în scopul de a dovedi ipoteza Riemann. În 1914, Hardy a demonstrat că există un număr infinit de zerouri ale funcției zeta pe banda critică . Acest lucru a condus la mai multe teoreme care descriu densitatea zerourilor pe banda critică. ${\ displaystyle \ Re (z) = 1/2}$

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Analitical number theory ” ( vezi lista autorilor ) .

(ro) Tom M. Apostol , Introducere în teoria numerelor analitice , Springer ,1976( citiți online ) , p. 7.
Harold Davenport , Teoria numărului multiplicativ , Springer, col. „ GTM ” ( nr . 74)2000, 3 e ed. , p. 1.
(în) Timothy Gowers , June Barrow-Green și Imre Leader , The Princeton Companion to Mathematics , Princeton, Princeton University Press ,2008, 1034 p. ( ISBN 978-0-691-11880-2 , citit online ) , p. 764-765.
Shigeru Kanemitsu și Chaohua Jia, Metode teoretice ale numerelor: tendințe viitoare , Springer,2002, 439 p. ( ISBN 978-1-4020-1080-4 ) , p. 271-274.
(în) Jürgen Elstrodt , „Viața și opera lui Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)” , în Teoria analitică a numerelor: un tribut lui Gauss și Dirichlet , al. „Procedee de matematică din argilă” ( nr . 7),2007( citește online ).
(în) N. Costa Pereira, „ O scurtă dovadă a teoremei lui Chebyshev ” , Amer. Matematica. Lună. , vol. 92, nr . 7,1985, p. 494-495 ( JSTOR 2322510 ).
(în) Nair, „ Inegalități de tipul lui Chebyshev pentru prime ” , Amer. Matematica. Lună. , vol. 89, n o 21982, p. 126-129 ( DOI 10.2307 / 2320934 , JSTOR 2320934 ).
(în) AE Ingham , Distribuția numerelor prime , Cambridge, Cambridge University Press ,1990, 114 p. ( ISBN 0-521-39789-8 ) , p. 2-5.
(în) Gérald Tenenbaum , Introducere în teoria analitică și probabilistică a numerelor , Cambridge University Press , col. „Cambridge Studies in Advanced Mathematics” ( nr . 46),1995( ISBN 0-521-41261-7 ) , p. 56.
Tenenbaum 1995 , p. 267.
(în) MN Huxley, „Sume exponențiale întregi și funcția zeta Riemann”, Teoria numerelor pentru mileniu , vol. II, Urbana, IL, 2000, p. 275-290 , AK Peters, Natick, MA, 2002, link Recenzii matematice .
(ro) Henryk Iwaniec și Emmanuel Kowalski, Teoria analitică a numărului , col. „AMS Colloquium Pub. »(Vol. 53), 2004.

Articol asociat

Lista subiectelor din teoria numerelor