Soi algebric

O galerie algebrică este, informal, setul de comune rădăcini ale unui număr finit de polinoame în mai multe cele nedeterminate . Este obiectul de studiu al geometriei algebrice . Cele Diagramele sunt generalizări ale soiurilor algebrice.

Există două puncte de vedere (în esență echivalente) asupra varietăților algebrice: ele pot fi definite ca scheme de tip finit pe un câmp (limbaj Grothendieck ), sau ca restricție a unei astfel de scheme la subsetul de puncte închise. Folosim aici al doilea punct de vedere, mai clasic.

Definiție

O varietate algebrică este, aproximativ, o uniune finită a varietăților afine . Poate fi văzut ca un spațiu topologic prevăzut cu hărți locale care sunt varietăți afine și ale căror hărți de tranziție sunt hărți polinomiale.

Spațiul topologic subiacent al unei varietăți algebrice este local un set algebric afin atunci când câmpul de bază este închis algebric.

Soiuri algebrice

Fixăm un câmp k . Un spațiu inelat local în k -algebrele constă dintr - un spațiu topologic și un fascicol de k -algebrele pe astfel încât germenii de la punctele de sunt inele locale . $(X, O_X)$ $X$ $BOU$ $X$ $O_ {X, x}$ $X$ $X$

Un colector algebric peste k este un spațiu inelat local în k- algebre care admite o acoperire finită prin deschideri afine (adică spațiul este un colector afin ). Deși structura unui soi algebric depinde de snopul structural , în special pentru soiurile nereduse, în general denotăm un soi algebric pur și simplu prin exterior . $(X, O_X)$ $X_ {i}$ $(X_ {i}, O_ {X} | _ {{X_ {i}}})$ $(X, O_X)$ $BOU$ $X$ $BOU$

În cazul în care este o parte deschisă , elementele inelului sunt numite funcții regulate pe . În situații favorabile, funcțiile regulate sunt identificate cu hărți de în k . $U$ $X$ $O_X (U)$ $U$ $U$

Exemple

Cele Soiurile afine sunt , prin definiție , de soiuri algebrice.

Cele soiurile proiective sunt soiuri algebrice. O varietate proiectivă este afină dacă și numai dacă este de dimensiunea 0, adică constă dintr-un număr finit de puncte.

Fie planul afinar , fie punctul corespunzător idealului maxim generat de . Apoi , complementul a este o parte deschisă. O funcție regulată activată trebuie să fie regulată pe partea deschisă , deci o fracție rațională a numitorului o putere de . Prin simetrie, are și pentru numitor o putere de . Concluzionăm că . Arătăm că nu este nici o varietate afină, nici o varietate proiectivă. Este totuși cvasi-afin , adică deschis la o varietate afină. $X$ ${\ mathrm {Spm}} \, k [T, S]$ $x_ {0} = (0,0)$ $X$ $k [T, S]$ $T, S$ $U$ $x_ {0}$ $f$ $U$ $D (T) \ subset U$ $f$ $T$ $S$ $f \ in k [T, S]$ $U$

Funcții regulate văzute ca funcții

Fie o varietate algebrică peste un câmp închis algebric k . Stabilim o funcție deschisă și regulată . Vrem să ne identificăm cu o hartă a în k . $X$ $U$ $f \ în O_ {X} (U)$ $f$ $U$

Pentru corpul rămas în egalilor k . Într - adevăr, dacă luăm un afin cartier deschis al . Atunci corespunde un ideal maxim . Prin teorema zero a lui Hilbert , avem . Apropo, corpul rezidual al este exact . Notăm imaginea canonică a în k prin . Așa că primim o aplicație care se asociază . $x \ în X$ $k (x)$ $X$ ${{\ mathrm {Spm}}} A$ $X$ $X$ $M \ subseteq A$ $A / M = k$ $(X, O_X)$ $A / M$ $f (x)$ $f$ $O_ {X} (U) \ to O _ {{X, x}} \ to k (x) = k$ $U \ to k$ $X$ $f (x)$

Mai mult, presupunem că este o varietate redusă , adică este un inel redus pentru orice deschidere (aceasta înseamnă a spune că este un renion finit de deschideri afine , cu cele reduse). Apoi, folosind teorema lui Hilbert a zerourilor , arătăm cu ușurință că harta este identică zero dacă și numai dacă este zero. Astfel, inelul funcțiilor regulate este identificat cu un subinel al setului de funcții . Când U este un set algebric afin în , atunci o funcție regulată este pur și simplu restricția la U a unei hărți polinomiale . $X$ $O_X (U)$ $U$ $X$ ${{\ mathrm {Spm}}} A_ {i}$ $Avea}$ $x \ mapsto f (x)$ $f \ în O_ {X} (U)$ $U$ $U \ to k$ $Z (P_ {1}, \ dots, P_ {r})$ $k ^ n$ $k ^ {n} \ to k$

Morfisme

Un morfism al varietăților algebrice peste k este un morfism al spațiilor recocite local peste k . Prin urmare, constă dintr-o hartă continuă și un morfism de mănunchiuri de k -algebre . $f: X \ to Y$ $f: X \ to Y$ $f ^ {{\ #}}: O_ {Y} \ to f _ {*} (O_ {X})$

Putem explica morfismul după cum urmează. Dacă este un set deschis de și , atunci este un morfism al k- algebrelor, plus compatibilitatea cu structurile inelului local. Când putem identifica funcții obișnuite ca funcții , atunci trimiteți o funcție obișnuită către funcție . $f ^ {{\ #}}$ $V$ $Da$ $U = f ^ {{- 1}} (V)$ $f ^ {{\ #}} (V): O_ {Y} (V) \ to O_ {X} (U)$ $g \ în O_ {Y} (V)$ $V$ $f ^ {{\ #}} (V)$ $g: V \ to k$ $g \ circ f: U \ to k$

În general, omiteți în notația morfismului . $f ^ {{\ #}}$ $(f, f ^ {{\ #}})$

Având în vedere două morfisme ale varietăților algebrice , pe același câmp, le putem compune și obține un morfism . $f: X \ to Y$ $g: Y \ to Z$ $g \ circ f: X \ to Z$

Morfismul identității de pe este alcătuit din harta identității , iar morfismul identitar de pe . $X$ $X \ to X$ $O_ {X} \ to O_ {X}$

Un izomorfism este un morfism care admite un invers. Acest lucru înseamnă a spune că harta este un homemorfism și că este un izomorfism. Se spune că două soiuri algebrice sunt izomorfe dacă există între ele un izomorfism al soiurilor algebrice. $f: X \ to Y$ $f$ $f ^ {{\ #}}: O_ {Y} \ to f _ {*} (O_ {X})$

Clasa varietăților algebrice peste k formează o categorie .

Morfisme către o varietate algebrică afină

Fie o varietate algebrică afină asociată cu o k- algebră . Pentru orice morfism al varietăților algebrice , morfismul snopului asigură, luând secțiunile , un morfism de -algebre . $Da$ $LA$ $f: X \ to Y$ $O_ {Y} \ to f _ {*} O_ {X}$ $Da$ $k$ $A \ to O (X)$

Propunere Aplicația Mor Hom este bijectivă și funcțională în și în . $_ {k} (X, {{\ mathrm {Spm}}} (A)) \ to$ $_ {{k-alg}} (A, O (X))$ $X$ $LA$

Limitată la soiurile afine , această propoziție spune că categoria de soiuri algebrice afine pe este echivalentă cu categoria (opusă) de algebre de tip finit pe . $X$ $k$ $k$

Imersiuni și sub-soiuri

O subvenție deschisă a unei varietăți algebrice este o parte deschisă a înzestrată cu pachetul de -algebre . O subvenție deschisă a unui soi algebric este un soi algebric. O parte deschisă a este întotdeauna implicit înzestrată cu această structură deschisă de subvenție. $X$ $U$ $X$ $k$ $O_X | _U$ $X$

Spunem că un morfism al varietăților algebrice este o imersiune deschisă dacă este o imersiune topologică deschisă și dacă induce un izomorfism al varietăților algebrice între și subvarietatea deschisă a . $f: X \ to Y$ $f$ $X$ $f (X)$ $Da$

Orice varietate afină este o subventie deschisă a unei varietăți proiective.

Spunem că un morfism al varietăților algebrice este o imersiune închisă dacă este o imersiune topologică închisă și dacă morfismul snopului este surjectiv. $f: X \ to Y$ $f$ $O_ {Y} \ to f _ {*} O_ {X}$

Un subvarietatea închis de o parte închisă a prevăzut cu o structură de colector algebrică , astfel încât includerea canonică este aplicația de bază la o imersie închisă varietăților algebrice . $X$ $Z$ $X$ $Z \ to X$ $Z \ to X$

Orice parte închisă poate fi prevăzută cu o structură de subvarietate închisă (unică dacă este necesară reducerea subvenției). $X$

Arătăm că fiecare subvarietate închisă a unei varietăți algebrice afine este afină și că fiecare subvarietate închisă a unei varietăți proiective este proiectivă.

O scufundare algebrică este o compoziție (în orice sens) a unei scufundări deschise și a unei scufundări închise. O sub-varietate este o sub-varietate deschisă a unei sub-varietăți închise (și, de asemenea, o sub-varietate închisă a unei sub-varietăți deschise).

Un soi cvasi-afin este o subvarietate a unui soi afin. O cvasi - proiectivă colector este o subvarietatea a unui colector proiective. Astfel cvasi-afin implică cvasiproiectiv.

Puncte raționale

Hilbert Nullstellensatz descrie o corespondență între punctele din spațiul afin și atunci când este algebric închis. Pe orice domeniu (în special din motive aritmetice), este necesar să se studieze punctele care rămân în această corespondență, acestea sunt punctele raționale. ${\ mathrm {Spm}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]$ $k ^ n$ $k$

Fie o varietate algebrică peste un câmp . Un punct al se numește punct rațional (pornit ) dacă câmpul rezidual din , care conține întotdeauna , este egal cu . Se notează ansamblul punctelor raționale ale . Un punct al unei sub-variații este rațional dacă și numai dacă este rațional văzut ca un punct din varietatea ambientală. $X$ $k$ $X$ $X$ $k$ $O _ {{X, x}} / m_ {x}$ $X$ $k$ $k$ $X$ $X (k)$

Dacă este un morfism, atunci trimiteți punctele raționale ale la punctele raționale ale . Dar, în general, deasupra unui punct rațional al , nu există neapărat un punct rațional al (luăm în considerare și , unde este o extensie finită non-trivială a ). $f: X \ to Y$ $f$ $X$ $Da$ $Da$ $X$ $Y = {\ mathrm {Spm}} k$ $X = {\ mathrm {Spm}} K$ $K$ $k$

Un punct al unei varietăți algebrice afine asociate este rațional dacă și numai dacă idealul maxim de corespondent este generat de clasele de pentru un punct de (care va fi în mod necesar un zero comun al elementelor lui ). În special, punctele raționale ale spațiului afin corespund bijectiv . Aceasta leagă soluțiile unui sistem de ecuații polinomiale cu setul de puncte raționale ale unei varietăți algebrice afine. $A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I$ $LA$ $T_ {1} -a_ {1}, \ ldots, T_ {n} -a_ {n}$ $(a_ {1}, \ ldots, a_ {n})$ $k ^ n$ $Eu$ ${\ mathrm {Spm}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]$ $k ^ n$

Dacă este un punct al spațiului proiectiv obișnuit , idealul omogen generat de , este un prim ideal omogen aparținând lui Proj . Arătăm că această asociere stabilește o bijecție între și setul de puncte raționale ale spațiului proiectiv . Obținem apoi o corespondență unu-la-unu între soluțiile omogene ale unui sistem de ecuații polinomiale omogene cu setul de puncte raționale ale unei varietăți proiective. $(a_ {0}: a_ {1}: \ ldots: a_ {n})$ $k ^ {{n + 1}} \ setminus \ {0 \} / k ^ {*}$ $k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]$ $a_ {i} T_ {j} -a_ {j} T_ {i}$ $0 \ leq i, j \ leq n$ $k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]$ $k ^ {{n + 1}} \ setminus \ {0 \} / k ^ {*}$ $P ^ n$

Să fie un morfism către spațiul afin . Am văzut mai sus că corespunde unui homomorfism al -algebrelor . Rețineți imaginea . Pentru orice punct rațional de , denotați imaginea din câmpul rezidual . Asa de: $f: X \ to A ^ {n}$ $X$ $A ^ {n} = {\ mathrm {Spm}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]$ $k$ $k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] \ to O (X)$ $f_ {i}$ $T_ {i}$ $X$ $X$ $f_ {i} (x)$ $f_ {i} \ în O (X)$ $k (x) = k$

Propunere . Pentru orice punct rațional al , imaginea este punctul rațional al cărui identifică cu in . $X$ $X$ $f (x)$ $A ^ {n}$ $(f_ {1} (x), \ ldots, f_ {n} (x))$ $k ^ n$

Corpuri particulare

În geometria algebrică reală, studiem punctele reale ale unei varietăți algebrice definite pe . $X ({{\ mathbb R}})$ $\ mathbb {R}$

În geometria algebrică complexă, studiem în principal punctele complexe ale unei varietăți algebrice definite pe . $X ({{\ mathbb C}})$ $\ mathbb {C}$

În geometria aritmetică , accentul se pune pe punctele raționale ale unei varietăți algebrice definite pe un câmp numeric sau un câmp finit . $X (K)$ $K$

Valorați punctele dintr-o extensie

Fie o varietate algebrică peste un câmp k . Fixăm o închidere algebrică a lui k . Într-un fel, punctele de pot fi văzute ca (clase de conjugare sub acțiunea grupului absolut Galois de ) puncte cu coordonate în . $X$ ${\ latra}}$ $X$ $\ Gamma _ {k}$ $k$ $X$ ${\ latra}}$

Într-adevăr, local este o varietate afină egală cu . Setul algebrică $X$ ${\ mathrm {Spm}} (k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I)$

X ({\ bar {k}}): = \ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ în {\ bar {k}} ^ {n} \ mid P (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = 0, \ \ forall P \ in I \}

are o aplicație canonică care asociază idealul maxim $X ({\ bar {k}} \ până la X$ $(a_ {1}, \ ldots, a_ {n})$

((T_ {1} -a_ {1}, \ ldots, T_ {n} -a_ {n}) {\ bar {k}} [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] \ cap k [ T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]) / I.

Această aplicație este surjectivă, deci orice punct al poate fi văzut ca un punct (non-unic) al . Grupul Galois funcționează pe componentă cu componentă, iar punctele lui sunt apoi identificate cu orbitele acestei acțiuni. $X$ $X ({\ bar {k}})$ $\ Gamma _ {k}$ $X ({\ bar {k}}) \ subseteq {\ bar {k}} ^ {n}$ $X$

Dacă este o subextensie a , un punct cu les se numește un punct de sau un punct de valoare în (rețineți, totuși, că acesta nu este într-adevăr un punct de ). Toate aceste puncte sunt menționate . Când , găsim noțiunea de puncte raționale. $K$ ${\ latra}}$ $(a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ în X ({\ bar {k}})$ $a_ {i} \ în K$ $K$ $X$ $X$ $K$ $X$ $X (K)$ $K = k$

Dacă este grupul Galois din Galois , atunci operați pe coordonate cu coordonate . Setul de orbite este identificat cu setul de puncte ale corpului rezidual . $K / k$ $G$ $G$ $X (K)$ $G \ X (K)$ $X$ $X$ $k (x) \ subseteq K$

Despre terminologie

Definiția termenului de varietate algebrică variază în funcție de autori. Cel prezentat este cât mai mare posibil. În mod tradițional, desemnează un colector algebric integral cvasi-proiecțional (adică scufundat într-un produs al spațiilor proiective) pe un câmp închis algebric. Mai târziu, André Weil a introdus, în cartea sa Fundații ale geometriei algebrice , soiuri algebrice abstracte (care nu sunt scufundate) cu scopul de a construi algebric jacobienii cu curbe algebrice . Apoi au fost admise soiurile algebrice reduse (adică inelele funcțiilor regulate), dar nu neapărat ireductibile. Observăm că un set la fel de simplu ca unirea a două linii distincte în planul afinar nu este ireductibil, dar este destul de demn de interes. Soiurile cu nilpotenți au apărut cu necesitatea de a lua în considerare numerele duale (în teoria deformării, de exemplu). În cele din urmă, în scopul teoriei numerelor, am admis câmpuri de bază care nu sunt neapărat închise algebric (de exemplu finite). Teoria a culminat în limbajul schemei lui Alexander Grothendieck , o varietate algebrică este apoi o schemă de tip finit pe un câmp. Cu toate acestea, diferitele utilizări ale termenului de varietate algebrică există încă.

Bibliografie

A. Grothendieck și J. Dieudonné , Elements of algebraic geometry , ediția 1971, capitolul I, apendice.