Frumusețea matematică

Frumusețea matematică este un sentiment de frumusete pe care unii oameni se simt despre matematica . Unii matematicieni caută plăcerea estetică în munca lor sau în matematică în general . Ei exprimă această plăcere descriind părți „frumoase” ale matematicii. Se pot gândi la matematică ca pe o artă sau ca pe o activitate creativă. Se fac adesea comparații cu muzică și poezie .

Pentru Bertrand Russell , frumusețea matematică este „rece și austeră, ca cea a unei sculpturi fără referire la o parte a naturii noastre fragile, fără iluziile magnifice ale picturii sau ale muzicii, și totuși pură și sublimă, capabilă de o perfecțiune strictă care numai cele mai mari arte pot arăta. "

Paul Erdős a vorbit despre natura inefabilă a frumuseții matematicii, spunând „de ce sunt frumoase numerele?” Este ca și cum ați întreba de ce a noua simfonie a lui Beethoven este frumoasă. Dacă nu vedeți de ce, nimeni nu vă va putea explica. Știu că numerele sunt frumoase. Dacă nu sunt frumoși, nimic nu este. "

În formule

O formulă este considerată „frumoasă” dacă aduce un rezultat esențial și surprinzător prin simplitatea sa în comparație cu complexitatea aparentă (prin urmare, în special o egalitate a cărei unul dintre membri este foarte simplu, în timp ce celălalt membru este foarte complicat).

Un exemplu de formulă frumoasă este cel al lui Leonhard Euler , despre care Euler însuși a spus că arată prezența mâinii lui Dumnezeu .

În romanul Enigma de Robert Harris , matematicianul fictiv Tom Jericho numește „cristalină” frumusețea formulei Leibniz

În metode

Matematicienii pot califica o metodă într-o dovadă ca fiind „elegantă” atunci când:

În căutarea unei dovezi elegante, matematicienii caută adesea diferite modalități independente de stabilire a teoremei; prima demonstrație găsită poate să nu fie cea mai bună. Teorema pentru care s-a găsit cel mai mare număr de dovezi diferite este probabil teorema lui Pitagora din moment ce s-au publicat sute de dovezi. O altă teoremă care a fost demonstrat în multe feluri este pătratic teorema de reciprocitate a lui Carl Friedrich Gauss , inclusiv au fost publicate mai multe demonstrații diferite.

În schimb, metodele care sunt logic corecte, dar care implică calcule laborioase, metode prea nuanțate, abordări foarte convenționale, sau care se bazează pe un număr mare de axiome deosebit de puternice sau pe rezultate anterioare în sine considerate de obicei inelegante., Pot fi caracterizate ca urâte. sau incomod . Acest lucru este legat de principiul aparatului de ras al lui Occam .

Exemplu foarte simplu

Luați în considerare un tren care se deplasează din punctul A în punctul B cu o viteză de 10  km / h . Distanța dintre A și B este de 10  km . Luați în considerare o muscă care începe de la B și merge înainte și înapoi între punctul B și tren. Această muscă merge la viteza constantă de 60  km / h (este o muscă foarte rapidă). Merge constant între tren și punctul B și se oprește de îndată ce trenul a sosit. Trebuie să calculăm cât de departe călătorește musca.

O primă metodă neelegantă ar consta în calcularea diferitelor puncte în care trenul și musca se întâlnesc, punând această distanță sub forma unei secvențe, apoi făcând o sumă infinită a termenilor acestei secvențe (când trenul urmează să se apropie La sosire, musca va reveni foarte repede, punctele de întâlnire vor tinde spre infinit) și după calcule foarte lungi se obține răspunsul.

O altă așa-numită metodă elegantă ar fi să observăm că musca se va opri în același timp cu trenul, adică după o oră, astfel încât va fi parcurs exact 60  km .

Această problemă este pusă în mod convențional în singurul scop de a testa capacitatea unui student de a alege cea mai simplă metodă.

În teoreme

Matematicienii văd frumusețea în teoremele matematice care fac posibilă legătura dintre două domenii ale matematicii care la prima vedere par total independente. Aceste rezultate sunt adesea considerate „profunde”.

Unele exemple sunt adesea citate în literatura științifică. Acesta este cazul, de exemplu, al identității lui Euler ( vezi mai sus ). Exemplele moderne includ teorema Taniyama-Shimura care stabilește o legătură importantă între curbele eliptice și formele modulare (lucrare pentru care autorii săi Andrew Wiles și Robert Langlands au primit premiul Wolf ) și „  Monstrous Moonshine Conjecture  ” care stabilește o legătură între monstru funcții de grup și modulare prin teoria corzilor pentru care Richard Borcherds a primit Medalia Fields .

Dimpotrivă, o teoremă banală poate fi o propoziție care este evident și imediat dedusă din alte teoreme cunoscute sau care se aplică doar unui set specific de obiecte particulare. Cu toate acestea, uneori o teoremă este suficient de originală pentru a fi considerată profundă, deși dovada sa este destul de evidentă. Deci frumusețea unei demonstrații poate sta în decalajul dintre simplitatea ei și dificultatea aparentă a problemei, oricât de banală ar fi.

„Este, de asemenea, adevărat că ambiția cea mai consumatoare este neputincioasă să descopere sau să demonstreze cea mai mică afirmație matematică - la fel cum este neputincios (de exemplu) să„ te îngreunezi ”(în sensul corect al termenului). Fie că ești femeie sau bărbat, ceea ce „devine greu” nu este ambiția, dorința de a străluci, de a manifesta o putere, sexuală în acest caz - dimpotrivă! Dar percepția acută a ceva puternic, foarte real și foarte delicat în același timp. O poți numi „frumusețe” și asta este una dintre miile de fețe ale acelui lucru. "

( Alexandre Grothendieck în Recolte și însămânțare )

Frumusețe în experiență

O anumită plăcere în manipularea numerelor și simbolurilor este probabil necesară pentru a se angaja în matematică. Având în vedere utilitatea matematicii în știință și tehnologie , este posibil ca orice societate tehnologică să își cultive activ nevoile estetice .

Bertrand Russell (citat în introducere) a vorbit despre frumusețea austeră a matematicii.

Frumusețea, câștigul unei lupte grele

„Farmecele feerice ale acestei sublime științe sunt dezvăluite în toată frumusețea lor numai celor care au curajul să o exploreze mai departe. " ( Carl Friedrich Gauss , despre matematică.)

Într-un alt registru mai faimos, îl putem cita pe Claude Chevalley  : „Matematica are particularitatea de a nu fi înțeleasă de nematematici. "

Designul se schimbă în timp

În prefața sa a cărții lui Hermann Weyl dedicată simetriei , Georges-Théodule Guilbaud relatează o frumoasă metaforă a lui N. Bourbaki  :

„Sub această claritate nemiloasă (cea a algebrei), geometria clasică se estompează brusc și își pierde strălucirea. "

Cu toate acestea, este necesar să-i calificăm observațiile, întrucât Jean Dieudonné însuși a explicat că metodele geometrice au fost difuzate în mod paradoxal în toate părțile matematicii actuale cu o mare eficacitate. Astfel, putem spune că, la fel cum matematica este vie, concepția ei în termeni de frumusețe în special, evoluează, chiar dacă trebuie să fim atenți să nu vorbim prea puține nuanțe.

Însuși Hermann Weyl explică acest lucru, p. 14:

„Plecăm de la un principiu general, dar vag (simetrie); atunci ne confruntăm cu un caz particular important ( simetria bilaterală ) care permite acestei noțiuni să i se dea un sens concret și precis și, în cele din urmă, din acest caz, ne ridicăm treptat la general, ghidați de construcția matematică și de abstractizare mai bine decât de mirajele filozofiei. Deci, cu puțin noroc, ajungem la o idee care nu este mai puțin universală decât cea cu care am început. Poate, pe parcurs, și-ar fi pierdut atracția emoțională, dar și-ar fi păstrat sau chiar și-a mărit puterea unificatoare în domeniul gândirii. În cele din urmă, va fi exact și nu va mai fi vag. "

Frumusețe și filozofie

Unii matematicieni sunt de acord că a face matematică este mai aproape de descoperire decât de invenție. Ei cred că teoremele detaliate și precise ale matematicii pot fi considerate rezonabile ca fiind adevărate, indiferent de universul în care trăim. De exemplu, unii susțin că teoria numerelor naturale întregi este fundamental valabilă, într-un mod care nu necesită niciun context specific. Matematicienii au extrapolat acest punct de vedere considerând frumusețea matematică ca un adevăr, abordând în unele cazuri misticismul . Pitagora și întreaga sa școală filozofică credeau în realitatea literală a numerelor (vezi articolul Școala pitagorică ). Descoperirea existenței unor numere iraționale a provocat o mare confuzie în cadrul școlii; au considerat existența acestor numere neexprimabile ca fiind raportul a două numere întregi naturale , precum praful din univers. Dintr-o perspectivă modernă, viziunea mistică a lui Pitagora asupra numerelor ar fi cea a unui numerolog, mai degrabă decât cea a unui matematician.

În filozofia lui Platon există două lumi, lumea fizică în care trăim și o lume abstractă diferită care conține adevăr invariabil, inclusiv cel al matematicii (vezi articolul Platonismul matematic ). El credea că lumea fizică era o reflectare degradată a unei lumi abstracte perfecte. După Platon, Aristotel definește frumusețea matematică: „[...] este greșit să reproșăm științelor matematice că neglijează absolut frumosul și binele. Departe de asta, ei se ocupă mult de el; și ei sunt cei care le demonstrează cel mai bine. Dacă nu le numesc în mod expres, își constată efectele și relațiile; și nu se poate spune că nu vorbesc despre asta. Cele mai izbitoare forme de frumusețe sunt ordinea, simetria, precizia; și științele matematice se ocupă eminamente ”.

Galileo a afirmat că „Matematica este alfabetul în care Dumnezeu a scris universul” și „cartea naturii este scrisă în limbaj matematic”.

Matematicianul maghiar Paul Erdős , deși ateu, a vorbit despre o carte ideală și imaginară, în care Dumnezeu a notat toate cele mai frumoase demonstrații matematice. Când Erdős a dorit să-și exprime satisfacția deosebită cu o demonstrație, el a exclamat: „Acesta este din carte! ". Această viziune exprimă ideea că matematica, fiind baza inerent adevărată pe care sunt stabilite legile universului nostru, este un candidat natural pentru ceea ce a fost personificat sub numele de Dumnezeu de diverși mistici religioși.

Filosoful francez Alain Badiou din secolul al XX-lea afirmă că ontologia este matematică. Badiou crede, de asemenea, în legăturile profunde dintre matematică, poezie și filosofie.

În unele cazuri, filosofii și oamenii de știință care au folosit matematica pe scară largă au făcut legături între frumusețe și adevărul fizic în moduri care s-au dovedit a fi greșite. De exemplu, într-o etapă a vieții sale, Johannes Kepler credea că proporțiile orbitelor planetelor cunoscute până atunci în sistemul solar au fost aranjate de Dumnezeu pentru a corespunde unui aranjament concentric al celor cinci solide platonice , fiecare solid fiind inscripționat în orbul unei planete și circumscris orbului planetei imediat dedesubt. Deoarece există exact cinci solide platonice, teoria lui Kepler s-ar putea aplica numai la șase orbite planetare și a fost ulterior infirmată de descoperirea lui Uranus . James Watson a făcut o greșeală similară atunci când a postulat că fiecare dintre cele patru baze azotate din ADN este legată de o bază de același tip pe partea opusă ( timina legată de timină etc.) bazată pe convingerea că „Ce este frumos trebuie fii adevărat ".

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau total din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „  Mathematical beauty  ” ( vezi lista autorilor ) .
  1. Alex Bellos ( trad.  Din engleză), Alex și magia numerelor: o nouă călătorie în matematică , Paris, Robert Laffont,2015, 365  p. ( ISBN  978-2-221-14517-3 ) , p.  212.
    Vezi (ro) B. Russell, Misticism și logică și alte eseuri , Londra, Longmans, Green,1918, cap.  4 („  Studiul matematicii  ”).
  2. Paul Hoffman , Erdős, omul care iubea doar numerele  (en) , Éditions Belin, 2000 ( ISBN  2-7011-2539-1 ) , tradus din: (en) The Man Who Loved Only Numbers , Hyperion, 1992.
  3. Euler (1707-1783) , ed. Kangourou , [ prezentare online ] .
  4. 365 demonstrații sunt (în) Elisei Scott Loomis  (în) , pitagoreana Proposition , Consiliul Național al profesorilor de matematică, 2 - lea ed. 1968 ( ISBN  978-0-87353036-1 ) ( 1 st ed. 1940).
  5. (în) Franz Lemmermeyer , Dovezi ale legii reciprocității quadratice reunește citate din literatură pentru 196 de demonstrații diferite.
  6. „  Modelele matematicianului, precum ale pictorului sau ale poetului, trebuie să fie frumoase; ideile, precum culorile sau cuvintele, trebuie să se potrivească într-un mod armonios. Frumusețea este primul test: nu există un loc permanent în lume pentru matematica urâtă.  „ Hardy, scuze ale unui matematician .
  7. (în) Gian-Carlo Rota , "  Fenomenologia frumuseții matematice  " , Sinteza , Vol.  111, n o  21977, p.  171–182 ( DOI  10.1023 / A: 1004930722234 ).
  8. În exemple foarte simple, Martin Gardner a ilustrat acest lucru în cartea sa „Haha” sau fulgerul înțelegerii matematice .
  9. Weyl, Hermann, 1885-1955. ( tradus  din engleză), Simetrie și matematică modernă , Paris, Flammarion, 1996, © 1964 ( ISBN  2-08-081366-8 , OCLC  36104865 , citit online )
  10. De exemplu: Nu există niciun descoperitor științific, niciun poet, nici un pictor, nici un muzician, care să nu vă spună că a găsit gata făcută descoperirea sau poezia sau tabloul - că i-a venit din exterior și că nu a făcut-o în mod conștient. creați-l din interior. , extras din (ro) William Kingdon Clifford , Unele dintre condițiile dezvoltării mentale .
  11. Cf de exemplu Nicole Delongchamp, Oglinda numerelor: numerologie practică , Fernand Lanore, 1990 ( ISBN  978-2-85157099-4 ) , p. 13 .
  12. Aristotel, Metafizică , Cartea M, cap. 3.
  13. Citat în (en) Margaret L. Lial, Charles David Miller și (en) E. John Hornsby, Beginning Algebra , 1992, p.  2 .
  14. Mai exact: „Filosofia este scrisă în această carte imensă care este întotdeauna deschisă în fața ochilor noștri, mă refer la Univers, dar nu o putem înțelege dacă nu ne aplicăm mai întâi la înțelegerea limbajului său și la cunoașterea personajelor cu care este este scris. Este scris în limba matematicii, iar caracterele sale sunt triunghiuri, cercuri și alte figuri geometrice, fără mijloacele cărora este uman imposibil să înțelegem un cuvânt din ea. Fără ele, este o rătăcire inutilă într-un labirint întunecat. » ( Analizatorul lui Galileo , Christiane Chauviré, p. 141 ).
  15. Martin Aigner și Günter M. Ziegler , Raționamente divine , Springer-Verlag, 2006 ( ISBN  978-2-287-33845-8 ) .
  16. (în) John Francis, Philosophy Of Mathematics , Global Vision Publishing Ho, 2008 ( ISBN  978-8-18220267-2 ) , p. 51 .
  17. A se vedea, de exemplu, Fabien Tarby, La Philosophie d'Alain Badiou , L'Harmattan, 2005 ( ISBN  978-2-74759638-1 ) , p. 25 .
  18. J. Kepler, Mysterium Cosmographicum  (en) .
  19. Hegel , Estetica , 1 st parte.

Bibliografie

tradus (in) Psychology of Invention in the Mathematical Field , Princeton University Press , 1945, repr. Dover, 1954, 1990, 2003 ( ISBN  978-0-486-20107-8 ) tradus (în) A Mathematician's Apology , Cambridge University Press , 1940, repr. 1967 (prefață de CP Snow ), repr. 2012, [ citește online ] . tradus (în) Proporția divină: un studiu în frumusețea matematică , New York, Dover, 1970 ( ISBN  978-0-48622254-7 )

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe