Sumă gaussiană

În matematică și mai precis în aritmetica modulară , o sumă Gauss este un număr complex a cărui definiție folosește instrumentele de analiză armonică pe un grup abelian finit pe câmpul finit ℤ / p ℤ unde p denotă un număr prim impar și ℤ setul de numere întregi relative .

Au fost introduse de matematicianul Carl Friedrich Gauss în Disquisitiones arithmeticae , publicat în 1801 .

Acestea sunt utilizate în teoria polinoamelor ciclotomice și au multe aplicații. Putem cita de exemplu o dovadă a legii reciprocității pătratice .

Definiție

În acest articol, p denotă un număr impar prim, F p câmpului finit ℤ / p ℤ și F p * grupul multiplicativ elementelor sale nenule .

Fie ψ un caracter al grupului aditiv ( F p , +) și χ un caracter al grupului multiplicativ ( F p *, ∙), atunci suma Gauss asociată cu χ și ψ este numărul complex, notat aici G (χ , ψ) și definit de:

G (\ chi, \ psi) = \ sum _ {{x \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (x) \ psi (x).

În ceea ce privește transformata Fourier , putem considera harta care la χ asociază G (χ −1 , ψ) ca transformată Fourier a prelungirii lui χ la F p de egalitatea χ (0) = 0 și harta la care ψ asociază G (χ −1 , ψ) ca transformată Fourier a restricției de la ψ la F p *.

Proprietăți

Analiza armonică permite numeroase calcule asupra sumelor gaussiene; acest paragraf oferă câteva exemple.

Dacă m este un număr întreg prim la p , atunci $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$
Dacă cele două caractere χ și ψ nu sunt banale - adică nu sunt în mod constant egale cu 1 - atunci $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ chi (-1) p.$

Demonstrații

Dacă m este un număr întreg prim la p , atunci $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$ Într-adevăr, definiția unei sume Gauss implică: $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = \ sum _ {{k \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (k) \ psi (mk).$ Prin schimbarea variabilei u = mk , avem prin urmare: $G (\ chi, \ psi ^ {m}) = \ sum _ {{u \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (m) ^ {{- 1}} \ chi (u) \ psi (u) = {\ frac 1 {\ chi (m)}} G (\ chi, \ psi).$
Dacă cele două caractere χ și ψ nu sunt banale, atunci $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ chi (-1) p.$ Într-adevăr, definiția unei sume Gauss implică: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ sum _ {{k, l \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ chi (k) \ psi (k) \ chi (l) ^ {{- 1}} \ psi (l) = \ sum _ {{k, l \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*} }} \ chi (kl ^ {{- 1}}) \ psi (k + l).$ Prin schimbarea variabilei u = kl −1 , obținem: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ sum _ {{u \ in F_ {p} ^ {*}}} \ chi (u) \ left ( -1+ \ sum _ {{l \ in {\ mathbb F} _ {p}}} \ psi ((u + 1) l) \ right).$ Cu toate acestea, suma valorilor caracterului aditiv l ↦ ψ (( u + 1) l ) este zero, cu excepția cazului în care acest caracter este banal, adică când u = –1. Putem deduce: $G (\ chi, \ psi) G (\ chi ^ {{- 1}}, \ psi) = \ left (- \ sum _ {{u \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}} } \ chi (u) \ right) + \ chi (-1) p.$ La fel, suma valorilor caracterului multiplicativ non-banal $χ$ este zero, ceea ce pune capăt dovezii.

Această a doua proprietate are următorul corolar imediat:

Dacă μ ( a ) denotă simbolul Legendre ( a / p ) - egal cu 1 dacă a este un pătrat în F p * și la –1 în caz contrar - atunci, pentru orice caracter non-trivial ψ,

G (\ mu, \ psi) ^ {2} = \ left ({\ frac {-1} p} \ right) p.

Aplicații

Legea reciprocității quadratică

Legea este exprimată după cum urmează dacă q este, de asemenea, un număr prim impar, distinct de p :

\ left ({\ frac pq} \ right) \ left ({\ frac qp} \ right) = (- 1) ^ {{{\ frac {(p-1) (q-1)} 4}}}.

Demonstrație

Fie ψ un caracter aditiv non-trivial al lui F p . Se notează cu τ = G (μ, ψ) și ω = ψ (1). ℤ inel [ω] conține τ; să calculăm apoi în două moduri clasa lui τ q –1 în inelul coeficientului ℤ [ω] / q ℤ [ω]. Teorema binom a lui Newton și divizorii de coeficienți binom arată că modulo q ,

{\ displaystyle \ tau ^ {q} \ equiv \ sum _ {x \ in \ mathbb {F} _ {p} ^ {*}} \ mu (x) ^ {q} \ psi (x) ^ {q} = \ sum _ {x \ in \ mathbb {F} _ {p} ^ {*}} \ mu (x) \ psi ^ {q} (x) = G (\ mu, \ psi ^ {q}). }

Cu toate acestea, prima dintre cele două proprietăți ale sumelor Gauss arată că

{\ displaystyle G (\ mu, \ psi ^ {q}) = \ mu (q) ^ {- 1} \ tau = \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) \ tau}

iar corolarul celui de-al doilea, unit cu proprietățile simbolului Legendre, care

\ tau ^ {{q-1}} = \ left (\ tau ^ {2} \ right) ^ {{{\ frac {q-1} 2}}} = \ left ((- 1) ^ {{{ \ frac {p-1} 2}}} p \ right) ^ {{{\ frac {q-1} 2}}} = (- 1) ^ {{{frac {(p-1) (q- 1)} 4}}} p ^ {{{\ frac {q-1} 2}}} \ equiv (-1) ^ {{{\ frac {(p-1) (q-1)} 4}} } \ left ({\ frac pq} \ right) {\ pmod q}.

Deducem congruența:

{\ displaystyle (-1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}} \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ equiv \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) {\ pmod {q}}.}

Deoarece cei doi membri sunt egali cu 1 sau –1 și 2 este mod q inversabil , această congruență este o egalitate.

Suma pătratică gaussiană

Pentru orice P- lea rădăcină al unității ω alta decât 1, cu p prim

\ left (\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {-1 } p} \ dreapta) p.

Demonstrație

Fie ψ caracterul aditiv astfel încât ψ (1) = ω, H subgrupul grupului multiplicativ F p * compus din reziduurile pătratice ale lui F p *, P 1 suma valorilor lui ψ pe H și P 2 suma valorilor lui ψ pe complementul lui H în F p *. Harta lui F p * în H care oricărui element își asociază pătratul este o hartă surjectivă astfel încât orice imagine admite exact două antecedente ; Prin urmare :

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} = 1+ \ sum _ {{x \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} \ psi (x ^ {2}) = 1 + 2P_ {1}.

Acum ψ este un caracter non-trivial, prin urmare - ca și în demonstrația § „Proprietăți” - suma 1 + P 1 + P 2 a valorilor sale este zero, ceea ce ne permite să concluzionăm:

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} \ omega ^ {{k ^ {2}}} = 1 + 2P_ {1} = - P_ {2} + P_ {1} = G (\ mu, \ psi).

Corolarul § „Proprietăți” încheie demonstrația.

Mai general, Gauss a demonstrat în 1801 următoarele egalități la cel mai apropiat semn pentru orice număr întreg n > 0:

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi {{\ rm {i}}} k ^ {2}} n} \ right) = {\ begin {cases} (1 + {{\ rm {i}}}) {\ sqrt n} și {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 0 \ mod 4 \\ {\ sqrt n} & {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 1 \ mod 4 \\ 0 & {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 2 \ mod 4 \\ {{\ rm {i}}} {\ sqrt n} și {{\ rm {si}}} \ n \ equiv 3 \ mod 4, \ end {cases}}

conjecturând că chiar și semnele erau corecte pentru această alegere specială ω = $exp (2πi / n )$ și abia după patru ani de eforturi neîncetate a reușit să rezolve această conjectură.

Note și referințe

(în) Harold Edwards , Ultima teoremă a lui Fermat: o introducere genetică în teoria numerelor algebrice , Springer al. „ GTM ” ( nr . 50)2000, 3 e ed. , 407 p. ( ISBN 978-0-387-95002-0 , citit online ) , p. 360.
(în) Henry John Stephen Smith , "Report on the theory of numbers, Part I", 1859, repr. în 1984 în The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith , Art. 20 .
(în) Kenneth Ireland și Michael Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , Springer al. „GTM” ( nr . 84);1990( Repr. 1998), ed. A 2- a . , 389 p. ( ISBN 978-0-387-97329-6 , citit online ) , p. 73.

Vezi și tu

Bibliografie

Michel Demazure , Cursul algebrei: primalitate, divizibilitate, coduri [ detaliu ediții ]
Jean-Pierre Serre , curs de aritmetică ,1970[ detaliu ediții ]
André Warusfel , Structuri algebrice finite , Hachette, 1971
Gabriel Peyré, Algebra discretă a transformatei Fourier , Éditions Ellipses , 2004 ( ISBN 978-2-72981867-8 )

Articole similare

linkuri externe

Lemă asupra sumei Gaussiene de C. Banderier de la Universitatea din Paris-XIII , 1998
Analiza armonică asupra grupurilor finite comutative de A. Bechata
Bas Edixhoven și Laurent Moret-Bailly , teoria numerelor algebrice, curs de masterat în matematică , Universitatea din Rennes 1 ,2004( citește online )