Produs eulerian

În matematică și mai precis în teoria numerelor analitice , un produs eulerian este o expansiune într- un produs infinit , indexat de numerele prime .

Face posibilă măsurarea distribuției numerelor prime și este intim legată de funcția zeta Riemann .

Este numit în cinstea matematicianului elvețian Leonhard Euler .

Munca lui Euler

Calculul lui Euler

Euler caută să evalueze distribuția numerelor prime p 1 = 2, p 2 = 3,…. Pentru aceasta, el definește, pentru orice s > 1 real :

ζ(s): =∑nu=1∞1nus,{\ displaystyle \ zeta (s): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}},}

pe care o numește funcția zeta , și el stabilește următoarea formulă:

ζ(s)=∏eu=1∞11-peu-s.{\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p_ {i} ^ {- s}}}.}

Definiția și formula sa sunt de fapt valabile pe tot semiplanul numerelor complexe ale părții reale strict mai mari de 1.

Dovadă elementară datorată lui Euler

Diagrama acestei demonstrații face apel doar la cunoștințele obișnuite predate în licee, ceea ce justifică calificarea demonstrației „elementare”.
Așa a descoperit Euler această formulă. Folosește proprietățile sitei lui Eratostene văzute mai sus:

Luați în considerare următoarea egalitate care definește funcția zeta Riemann:

ζ(s)=1+12s+13s+14s+15s+...{\ displaystyle \ zeta (s) = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + \ ldots}

Împărțiți toți termenii egalității la , obținem egalitatea: 2s{\ displaystyle {2 ^ {s}}}

12sζ(s)=12s+14s+16s+18s+110s+...{\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ zeta (s) = {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s} }} + {\ frac {1} {6 ^ {s}}} + {\ frac {1} {8 ^ {s}}} + {\ frac {1} {10 ^ {s}}} + \ ldots }

Scăzând 2 la egal cu 1 st , elimina toate numărătorii „colegii“ de (adică  ;  ;  ; ,  etc. ) de membru cu drepturi de egalitate. 12s{\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {s}}}}14s{\ displaystyle {\ frac {1} {4 ^ {s}}}}16s{\ displaystyle {\ frac {1} {6 ^ {s}}}}18s{\ displaystyle {\ frac {1} {8 ^ {s}}}}

Prin factorizarea în termenul stâng, obținem: ζ(s){\ displaystyle \ zeta (s)}

(1-12s)ζ(s)=1+13s+15s+17s+19s+111s+113s+...{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s) = 1 + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {1} {7 ^ {s}}} + {\ frac {1} {9 ^ {s}}} + {\ frac {1} { 11 ^ {s}}} + {\ frac {1} {13 ^ {s}}} + \ ldots}

Repetăm ​​același proces folosind următorul număr prim, adică împărțim egalitatea anterioară la și obținem: 3s{\ displaystyle {3 ^ {s}}}

13s(1-12s)ζ(s)=13s+19s+115s+121s+127s+133s+...{\ displaystyle {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s) = {\ frac {1 } {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {9 ^ {s}}} + {\ frac {1} {15 ^ {s}}} + {\ frac {1} {21 ^ { s}}} + {\ frac {1} {27 ^ {s}}} + {\ frac {1} {33 ^ {s}}} + \ ldots}

Prin efectuarea unei noi scăderi a celor două linii precedente și prin factorizarea termenului din stânga, se obține: (1-12s)ζ(s){\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s)}

(1-13s)(1-12s)ζ(s)=1+15s+17s+111s+113s+117s+...{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta ( s) = 1 + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {1} {7 ^ {s}}} + {\ frac {1} {11 ^ {s}}} + {\ frac {1} {13 ^ {s}}} + {\ frac {1} {17 ^ {s}}} + \ ldots}

unde toți termenii cu un numitor scris dintr-un multiplu de 2, 3 (sau ambii) au fost eliminați.

Aceasta este legătura cu sita lui Eratostene, deoarece, continuând același proces, eliminăm din partea dreaptă termenii scrise din următoarele numere prime 5, 7, 11, 13 până la infinit și obținem:

...(1-111s)(1-17s)(1-15s)(1-13s)(1-12s)ζ(s)=1{\ displaystyle \ ldots \ left (1 - {\ frac {1} {11 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {7 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ zeta (s) = 1}

Prin împărțirea pe ambele părți la tot cu excepția ζ ( s ), obținem:

ζ(s)=1(1-12s)(1-13s)(1-15s)(1-17s)(1-111s)...{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} { 3 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {7 ^ {s}} } \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {11 ^ {s}}} \ right) \ ldots}}}

Pentru a termina această dovadă, este suficient să observăm că , suma corectă, din care se face „dispari” progresiv termenii din cauza screening-ului, converge către 1, care rezultă imediat din convergența seriei Dirichlet pentru ζ ( z ). Re⁡(s)>1{\ displaystyle \ operatorname {Re} (s)> 1}

Demonstrație modernă

Seria Riemann care definește este absolut convergentă , astfel încât (prin asociativitatea familiilor însumabile ) cu ζ(s){\ displaystyle \ zeta (s)}ζ(s)=limk→∞Sk{\ displaystyle \ zeta (s) = \ lim _ {k \ to \ infty} S_ {k}}

Sk: =∑j1∈NU...∑jk∈NU1(p1j1...pkjk)s=∏eu=1k∑j=0∞peu-js=∏eu=1k11-peu-s{\ displaystyle S_ {k}: = \ sum _ {j_ {1} \ in \ mathbb {N}} \ dots \ sum _ {j_ {k} \ in \ mathbb {N}} {\ frac {1} { \ left (p_ {1} ^ {j_ {1}} \ dots p_ {k} ^ {j_ {k}} \ right) ^ {s}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} p_ {i} ^ {- js} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {1} {1-p_ {i} ^ {- s}}}}

(unde sumele seriilor geometrice întâlnite au fost transformate prin formula obișnuită ).

Încheiem trecând la limită când tinde spre infinit. k{\ displaystyle k}

De asemenea, Euler reușește să rezolve problema lui Mengoli , care constă în determinarea valorii . Se anunță rezoluția 1735 (ζ (2) = π 2 /6) și publicate în 1743. ∑nu=1∞1nu2{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

Ținând cont de expresia de mai sus a lui ζ sub forma unui produs infinit, el obține astfel:

π26=∏eu=1∞11-peu-2.{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p_ {i} ^ {- 2} }}.}

Seria inverselor numerelor prime

Euler determină o primă lege a frecvenței numerelor prime, demonstrând (vezi articolul detaliat) divergența seriei de inverse a numerelor prime:

∑eu=1∞1peu=+∞{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {p}} _ {i} = + \ infty}

și chiar afirmă că este „ca logaritmul al seriei armonice  “ și că „există infinit mai multe numere prime decât pătrate în secvența tuturor numerelor“ .

Numărul prim teoremă va specifica un echivalent  : p n ~ n ln n .

Alte produse eulerian

Personaj Dirichlet

Dirichlet dorește să arate că numerele prime dintr-o clasă m de Z / nZ sunt infinite, dacă m și n sunt prime între ele . Acesta folosește caracterele care își poartă acum numele și, în timpul unui calcul explicat în paragraful Produsul eulerian al articolului despre aceste caractere, rezultă următorul produs:

∏p∈P(1-χ(p)ps)-1.{\ displaystyle \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ left (1 - {\ frac {\ chi (p)} {p ^ {s}}} \ right) ^ {- 1}. }

Aici χ desemnează un caracter Dirichlet, se notează setul de caractere și s reprezintă un număr real strict mai mare decât unul. Dirichlet stabilește apoi o familie de produse euleriană: U^{\ displaystyle \ scriptstyle {\ widehat {U}}}

∀s∈]1,+∞[∀χ∈U^L(s,χ)=∑k=1∞χ(k)ks = ∏p∈P(1-χ(p)ps)-1.{\ displaystyle \ forall s \ in] 1, + \ infty [\ quad \ forall \ chi \ in {\ widehat {U}} \ quad L (s, \ chi) = \ sum _ {k = 1} ^ { \ infty} {\ frac {\ chi (k)} {k ^ {s}}} \ = \ \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ left (1 - {\ frac {\ chi (p)} {p ^ {s}}} \ right) ^ {- 1}.}

Într-adevăr, funcția χ fiind complet multiplicativă , calculul lui Euler se aplică în același mod.

• Funcția L ( s , χ) se numește seria Dirichlet L a caracterului χ.

Convergența este absolută dacă s este un număr complex cu o parte reală> 1. Prin continuare analitică , această funcție poate fi extinsă la o funcție meromorfă pe întregul plan complex .

Seriile Dirichlet L sunt generalizări directe ale funcției zeta Riemann și par a fi preeminente în ipoteza Riemann generalizată .

Generalizare

În general, o serie Dirichlet a formularului

∑nula(nu)nu-s{\ displaystyle \ sum _ {n} a (n) n ^ {- s} \,}

unde este o funcție multiplicativă a lui n poate fi scrisă sub formă la(nu){\ displaystyle a (n) \,}

∏pP(p,s){\ displaystyle \ prod _ {p} P (p, s) \,}

unde este sumaP(p,s){\ displaystyle P (p, s) \,}

1+la(p)p-s+la(p2)p-2s+...{\ displaystyle 1 + a (p) p ^ {- s} + a (p ^ {2}) p ^ {- 2s} + \ ldots} .

De fapt, dacă luăm în considerare faptul că, ca funcții generatoare formale, existența unei astfel de dezvoltări formale în produsul eulerian este o condiție suficientă și necesară pentru ca acesta să fie multiplicativ: aceasta spune exact că acesta este produsul , unde p k sunt primare factori de n . la(nu){\ displaystyle a (n)}la(nu){\ displaystyle a (n)}la(pk){\ displaystyle a (p ^ {k})}

În practică, toate cazurile importante sunt astfel încât seria infinită și expansiunea într-un produs infinit sunt absolut convergente într-o anumită regiune Re ( s )> C , adică într-un anumit semiplan drept al complexului numerelor. Acest lucru ne oferă deja câteva informații, deoarece produsul infinit, pentru a converge, trebuie să dea o altă valoare decât zero; prin urmare funcția dată de seria infinită nu este zero într-un astfel de semiplan.

Un caz special important este acela în care P ( p, s ) este o serie geometrică , deoarece este complet multiplicativă. Deci vom avea la(nu){\ displaystyle a (n)}

P(p,s)=11-la(p)p-s,{\ displaystyle P (p, s) = {\ frac {1} {1-a (p) p ^ {- s}}},}

cum este cazul pentru funcția zeta a lui Riemann (cu ) și, mai general, pentru caracterele Dirichlet. În teoria formelor modulare este tipic să existe produse eulerian cu polinoame pătratice în numitor. Programul general Langlands include o explicație comparativă a conexiunii polinoamelor de grad m și a teoriei reprezentării pentru GL m . la(nu)=1{\ displaystyle a (n) = 1}

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul din Wikipedia engleză intitulat „  Dovada formulei produsului Euler pentru funcția Riemann zeta  ” (a se vedea lista autorilor ) .

1. Cu toate acestea, găsim și expresia produsului eulerian pentru extinderi într- un produs infinit , cum ar fi cel (descoperit de Euler) al păcatului ( x ) / x și pe care acum îl numim produsul Weierstrass
2. (La) "  Variae observationes circa series infinitas  " (E 072), th. 19.
3. Euler „dedus” dintr-o altă teoremă a lui E 072 (th. 7, cor. 3), și nu din aceasta așa cum face Michèle Audin printre altele , „  Jacques Hadamard și teorema numerelor prime  ” , pe Imagini ale matematicii ,17 octombrie 2013( „Ceea ce arată, de exemplu, că numerele prime sunt mai„  dense  ”decât pătratele numerelor întregi” ) sau (de) Alexander Schmidt , Einführung in die algebraische Zahlentheorie , Springer ,2007( citiți online ) , p.  5( „Într-un sens foarte specific, există mai multe numere prime decât pătrate perfecte” ). Despre această „deducție” informală, dar vezi (în) Julian Havil , Gamma: Exploring Euler’s Constant , Princeton University Press ,2010( citiți online ) , p.  38-39și „  Legendre Conjecture  ”.

Vezi și tu

Bibliografie

• Jean-Benoît Bost , Pierre Colmez și Philippe Biane , La fonction Zêta , Paris, Éditions de l'École polytechnique,2002, 193  p. ( ISBN  978-2-7302-1011-9 , citit online )
• (ro) Harold Davenport , The Multiplicative Number Theory , Springer,2000, 3 e  ed. , 182  p. ( ISBN  978-0-387-95097-6 )
• (ro) Anatoliĭ A. Karat͡suba , Teoria analitică de bază a numerelor , Springer,1993( ISBN  978-0-387-53345-2 )
• (en) SJ Patterson  (de) , An Introduction to Theory of the Riemann Zeta-Function , Cambridge University Press , col.  „Cambridge Studies in Advanced Mathematics” ( nr .  14),1995, 172  p. ( ISBN  978-0-521-49905-7 , citit online )

linkuri externe

• Leonhard Euler pe site-ul lui Boris Gourévitch „universul lui π”
• ( fr ) Andrew Granville , „  Infinit multe prime; analiza complexă  ” , la Universitatea de Montréal ,2007
• (ro) Eric W. Weisstein , „  Prime Products  ” , pe MathWorld

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">