Rețea (geometrie)

În matematică , o rețea de spațiu (vector) euclidian este un subgrup spațiu discret de rang finit n . De exemplu, vectorii lui R n cu coordonate întregi într-o bază formează o rețea de R n . Această noțiune face posibilă descrierea matematică a ochiurilor, precum cea corespunzătoare figurii 1.

Fixând un punct de origine, îl putem asocia cu o rețea de puncte de R n (mai multe rețele fiind capabile să definească aceeași rețea de puncte). Această rețea de puncte umple spațiul în sensul că există o rază R astfel încât orice bilă de rază R conține cel puțin un punct al rețelei. Este discret în sensul că există un număr strict pozitiv r astfel încât orice bilă de rază r să conțină cel mult un punct al rețelei. El este regulat.

Studiul rețelelor se află la intersecția dintre diferite ramuri ale matematicii, teoria grupurilor , algebra liniară , teoria grupurilor Lie geometria numerelor , geometria convexă , dar , de asemenea , alte domenii , cum ar fi algoritmică sau cristalografie ( Bravais zăbrele ) și a instrumentele de analiză sunt în esență geometrice . Întrebările specifice analizei unei rețele se referă la diferitele simetrii care lasă rețeaua invariantă, rezolvarea problemelor de stivuire a sferelor sau convexe .

Algebră liniară și spațiu metric

În acest articol scrisorile ℂ, ℝ, ℚ și ℤ respectiv reprezintă corpul de imaginarii , de asemenea , numite complexe, numere reale , raționale numere și inelul de numere întregi și n un număr întreg strict pozitiv. Spațiul vectorial ℝ n denotă mulțimea de n -cupluri compuse din n numere reale într-o ordine dată. Geometric, le imaginăm ca pe coordonatele unui punct dintr-un spațiu prevăzut cu un sistem de coordonate ortonormale . În dimensiunea 2 sau 3, obținem o reprezentare a lumii fizice, cu condiția ca aceasta să fie aproximată printr-o geometrie euclidiană .

Definiție

Definiție  -  O Λ rețea ℝ n este un subgrup discret de ℝ n pentru adunare, cum ar fi subspaiul cuprins de Λ este egal cu ℝ n .

O astfel de definiție merită unele explicații. Alegerea lui ℝ n în locul unui spațiu vectorial real de dimensiune n are o importanță redusă. Orice spațiu vectorial real al dimensiunii n este o copie a lui ℝ n și rezultatele adevărate în ℝ n sunt adevărate într-un spațiu real al dimensiunii n . Vorbim de izomorfism . Faptul că punctele formează un grup implică regularitatea rețelei. Un poligon de vârfuri ale punctelor rețelei, tradus printr-o deplasare dintr-un punct al rețelei în altul, are întotdeauna puncte ale rețelei ca vârfuri. Exemplul din Figura 2 ilustrează acest lucru. Punctele rețelei corespund intersecției rețelei, hexagonul în mov, tradus are întotdeauna vârfurile elementelor rețelei. În contextul specific al unei părți din ℝ n , putem explica semnificația cuvântului discret prin următoarea afirmație:

Propoziție  -  O parte închisă a lui ℝ n este discretă dacă și numai dacă pentru orice număr real , conține doar un număr finit de puncte la o distanță mai mică sau egală cu originea.

ℚ grupul n , format din puncte raționale coordonate este un exemplu de subgrup nu discret.

A treia proprietate înseamnă că nu există un subspatiu vectorial strict care să conțină rețeaua. Dacă dimensiunea este egală cu 3, atunci niciun plan nu conține rețeaua. Dacă un întreg plan este acoperit și dacă există un singur punct al rețelei în afara unui plan, stabilitatea adunării și scăderii arată că întregul spațiu este acoperit. A spune că spațiul este acoperit înseamnă că există o rază ρ astfel încât orice bilă cu o rază mai mare de ρ să conțină cel puțin un punct al rețelei, și aceasta indiferent de centrul său.

Orice spațiu vectorial E al dimensiunii n peste numere complexe este, de asemenea, un spațiu vectorial real al dimensiunii 2 n . Astfel, dacă Λ este un grup discret care generează E , ca spațiu vectorial real, este o rețea de dimensiunea 2 n . Așa cum ℤ n este o rețea de ℝ n , G n este o rețea de ℂ n . Litera G desemnează aici numerele întregi gaussiene , adică numerele formei a + i b unde a și b sunt elemente ale lui ℤ.

Bazat

Existența unei baze  -  Fie Λ o rețea de ℝ n , există o familie ( b i ) de n elemente ale rețelei, astfel încât fiecare element este exprimat într-un mod unic ca o combinație liniară a acestei familii, cu coeficienți în numerele întregi. O astfel de familie poartă numele de bază .

.

Există mai multe moduri de a citi și de a demonstra această teoremă. În ceea ce privește teoria grupurilor , o rețea este un grup abelian de tip finit fără torsiune , cu alte cuvinte un grup abelian liber de rang finit .

O altă modalitate de a o privi este de a folosi algebra liniară . Considerăm rețeaua ca un spațiu cvasi vectorial, cu diferența că scalarele nu sunt toate inversabile. Scalarele de aici sunt egale cu numerele întregi. O astfel de structură se numește modul . Dacă există o familie generatoare finită, dacă modulul forms formează un grup aditiv fără torsiune, teorema factorului invariant este o modalitate de a arăta rezultatul.

Aceste demonstrații nu sunt foarte geometrice și utilizează cu greu instrumentele asociate cu rețelele. Ne putem imagina o demonstrație directă, ghidată de intuiția geometrică pe care o aduce o astfel de structură. Principiul este ilustrat în dimensiunea 2 din FIG. 3. Considerăm doi vectori liberi ai rețelei, aleși cu cea mai mică normă posibilă. Standardul este termenul matematic tehnic pentru lungimea unui vector. Acești vectori se numesc α și β. Acestea definesc un paralelogram , în galben în figura 3. Minimitatea normelor lui α și β face posibil să se demonstreze că acest paralelogram nu conține niciun punct al rețelei în afară de vârfurile sale.

Considerăm orice punct λ al rețelei, pe care îl putem exprima întotdeauna ca o combinație liniară de α și β dacă structura considerată este spațiul vectorial ℝ n . Prin scăderea din λ vectorul coordonatelor părți întregi ale celor ale lui λ, obținem un mic vector al rețelei, în interiorul paralelogramului galben. Acest principiu este oarecum analog unei diviziuni euclidiene . Micul vector ar fi, cu această analogie, restul. Faptul că se află în paralelogram și în rețea, arată că este zero. Vectorul λ este, prin urmare, exprimat ca o combinație liniară de α și β cu coeficienți întregi.

Această dovadă, precum și generalizarea acesteia în orice dimensiune este mai simplă decât cele două menționate anterior. Utilizarea geometriei simplifică abordarea. Pe de altă parte, metoda propusă aici nu este eficientă, spre deosebire de cea a factorilor invarianți, de exemplu. Eficient înseamnă că putem, cu această metodă, să construim de fapt o bază. În cazul general, este dificil să se găsească vectorul non-zero al celei mai mici norme.


Detalii despre dovada din dimensiunea 2 și generalizarea la orice dimensiune

Rețeaua nu este limitată la vectorul zero, deoarece generează spațiul vectorial ℝ n , există cel puțin un vector de normă diferită de zero, adică b această normă. Discul cu centrul vectorului zero și raza b intersectează rețeaua într-un punct diferit de origine și conține un număr finit al punctelor rețelei. Acest lucru arată că există cel puțin un vector α non-zero de normă mai mică în rețea. Acum considerăm rețeaua redusă cu multiplii lui α. Setul nu este gol pentru că altfel rețeaua nu ar genera spațiul vectorial ℝ n , același raționament ca și cel anterior arată existența unui vector β de lungime minimă, în rețea, cu posibila excepție să fie câțiva multipli ai lui , care corespunde benzii albastre din Figura 3. Punctul mare albastru este originea. Vectorul α este într-adevăr un vector diferit de zero cu cea mai mică normă a rețelei și apoi vine β, a cărui normă este redusă doar cu cea a lui α, inversul său și vectorul zero.

Există cel mult o modalitate de a scrie un vector de rețea ca o combinație liniară de α și β. Într-adevăr, această proprietate este o consecință a faptului că acești doi vectori sunt liberi în spațiul vectorial ℝ n . Există o singură modalitate de a scrie orice vector de ℝ n ca o combinație liniară de α și β, ceea ce este valabil mai ales pentru vectorii de rețea.

Să arătăm acum că orice vector al rețelei este o combinație liniară de α și β, cu coeficienți întregi. Luați în considerare discul roșu, cu centrul α și raza normei β, un astfel de disc poate conține ca punct al rețelei, în afara frontierei sale, doar câțiva multipli de α în zona albastră din figura 3, conform definiției norma β. Discul verde are centrul β și raza este norma α. Același raționament arată că interiorul acestui disc nu poate conține niciun punct al rețelei. Segmentul [0, α] își poate conține capetele doar ca punct al rețelei, este același pentru segmentul [0, β]. Este la fel și pentru [α, β] și [β, α + β] pentru că altfel, prin scăderea lui α sau β, am avea o contradicție. În rezumat, paralelogramul, în galben, al vârfurilor 0, α, β și α + β nu conține alt punct al rețelei decât vârfurile sale. Rețineți că acest paralelogram este alcătuit din vectori de ℝ n având doi coeficienți între 0 și 1 în bază (α, β).

Luați în considerare orice element λ al rețelei. Este neapărat o combinație liniară a bazei (α, β) a lui ℝ n și λ = a α + b β cu a și b reale. Obiectivul este de a arăta că a și b sunt numere întregi. Să p o (resp. P b ) să fie partea întreagă a unui (resp. B ) și r a (resp. R b ) partea fracționată. Deoarece α și β sunt elemente ale rețelei și p a și p b sunt întregi, p a α + p b β este un punct al rețelei la fel ca λ. Diferența lor, egală cu r a α + r b β, se află deci în rețea. Este, de asemenea, un punct al paralelogramului galben, deoarece cele două coordonate ale sale sunt cuprinse între 0 și 1. Există patru puncte ale rețelei posibile, deoarece o parte fracționată este întotdeauna strict mai mică decât 1, singura valoare posibilă este 0, ceea ce arată că o este egal cu p a și b cu p b . Cu alte cuvinte, coordonatele lui λ în bază sunt întregi, ceea ce pune capăt dovezii.

Să dovedim acest rezultat prin inducție pe n . Pentru dimensiunile 1 și 2, este prezentată deja o demonstrație. Să presupunem că proprietatea demonstrată la ordinea n - 1 și să o demonstreze la ordinea n . Rețeaua formează o familie generatoare de ℝ n , din orice familie generatoare, este posibil să se extragă o bază, deci există o subfamilie a rețelei de cardinal n care generează întregul spațiu. Fie ( f i ), pentru i variind de la 1 la n , să fie o astfel de bază. Nu este a priori cel căutat, deoarece nimic nu indică faptul că elementele rețelei sunt exprimate ca o combinație liniară cu coeficienți întregi în această bază. Fie S spațiul vectorial generat de ( f i ), pentru i variind de la 1 la n - 1. Intersecția rețelei și a lui S este un grup discret care generează S , există o bază ( b i ), pentru i variabilă de la 1 la n - 1 a intersecției rețelei și a S , prin ipoteză de inducție. Hiperplanul S este reprezentat în figura 5, culoare crem, vectorul zero este punctul albastru. Familia ( b i ) este un candidat bun pentru baza căutată, dar încă lipsește un vector.

Fie φ o formă liniară zero pe S astfel încât imaginea rețelei cu φ să nu fie redusă la 0. O astfel de formă există, altfel rețeaua ar genera doar spațiul S și nu întregul spațiu. Obiectivul este de a arăta că imaginea de către φ a rețelei este un subgrup discret de ℝ, adică există un real strict pozitiv ε astfel încât, dacă u este un element al rețelei, l Imaginea rețelei de către φ conține doar valoarea φ ( u ) între φ ( u ) - ε și φ ( u ) + ε. Observăm că putem presupune u zero; într-adevăr, dacă imaginea de la φ a rețelei nu este discretă, indiferent de ε, există doi vectori u și v de imagini distincte de φ și a căror diferență este, în valoare absolută, mai mică decât ε, ceea ce arată că imaginea de la φ lui u - v este, în valoare absolută, mai mic decât ε.

Pentru a arăta acest rezultat, vom arăta că există doar un număr finit de valori atinse de φ pe intervalul [−1, 1]. Toate punctele rețelei având o imagine cu φ în acest interval se află între hiperplanele afine ale ecuației φ ( x ) = - 1 și φ ( x ) = 1, reprezentate în albastru în figura 5. Fie V volumul lui ℝ n compus din vectorii incluși între cele două hiperplanuri și ale căror coordonate, în baza ( b i ), a proiecției ortogonale de p pe S , sunt toate între 0 și 1. Volumul V este reprezentat în verde în figura 5. Rețineți că V este bine delimitat deoarece reprezintă mulțimea vectorilor lui ℝ n având coordonate între 0 și 1 în bază ( b i ,, π). Aici π denotă vectorul ortogonal la S și cu o imagine egală cu 1 prin forma φ. Dacă δ este un număr real între -1 și 1, și imaginea rețelei de φ, δ are un antecedent în V . Într-adevăr, există un vector u al rețelei inclus între cele două hiperplane și astfel încât φ ( u ) = δ. Vectorul p ( u ) este în S și se descompune pe baza ( b i ); fie ( u i ) coordonatele lui p ( u ) din această bază. Dacă q i reprezintă partea întreagă a lui u i și r i partea fracțională:

.

Rețineți că q este un element al rețelei deoarece o combinație liniară a familiei ( b i ) cu coeficienți în ℤ. Imaginea lui de φ este zero , deoarece este parte S . Punctul u - q este alcătuit din diferența dintre două elemente ale rețelei și face parte din rețea. Imaginea lui q cu φ este zero și φ este liniară. Proiecția ortogonală a u - q pe hiperplanul generat de S este egal cu r , ceea ce arată că u - q este un element V . Volumul V este delimitat, conține doar un număr finit de puncte ale rețelei, deoarece rețeaua este discretă. Nu poate exista decât un număr finit de valori luate de imaginea rețelei prin funcția φ între -1 și 1, ceea ce arată că valoarea 0 este într-adevăr izolată în această imagine.

Fie Δ o linie vectorială a lui ℝ n care nu este conținută în S și care conține un punct diferit de zero al rețelei. Imaginea de la φ a lui Δ este un grup discret conform demonstrației anterioare, există un punct b n al lui Δ și al rețelei celei mai mici imagini un strict pozitiv cu φ; acest punct este reprezentat în roșu în figura 5. Fie în cele din urmă un element arbitrar λ al rețelei, elementul λ este exprimat ca o combinație liniară a ( b i ), deoarece această familie este o bază a lui ℝ n . Apoi trebuie să arătăm că diferiții coeficienți sunt numere întregi:

.

Imaginea cu φ a lui λ este egală cu λ n a , care este un element al lui aR , imaginea lui Δ cu φ. Deducem că λ n este întreg. Vectorul λ - λ n b n este un element al rețelei și al lui S , care arată că coordonatele λ i sunt toate întregi. Familia ( b i ), pentru i variind de la 1 la n din gener n generează rețeaua. Faptul că este de cardinal n pune capăt demonstrației.

Domeniul fundamental

A fost utilizată o anumită zonă, în demonstrația anterioară, aceasta corespunde zonei ilustrate în galben în figura 3 pentru dimensiunea 2. Corespunde următoarei definiții:

Definiție  -  Domeniul fundamental față de o bază B , dacă B este o bază ( b i ) a rețelei este setul de puncte P  :

Zona roșie din Figura 6 este un exemplu de domeniu fundamental. Definiția unui domeniu fundamental se obține dintr-o bază. Pentru rețele, ca și pentru spațiile vectoriale, există mai multe baze și, în consecință, mai multe domenii fundamentale. Cu excepția dimensiunii 1, unde există doar două, având aceeași geometrie, există în toate celelalte cazuri o infinitate. Pentru a realiza acest lucru, este suficient să înlocuiți al doilea vector al bazei cu suma de k ori primul vector și al doilea. Dacă k denotă un număr întreg, avem aici o modalitate de a construi o infinitate de baze cu geometrii diferite. În Figura 6, zona verde este o altă zonă fundamentală.

Există un invariant asociat cu rețeaua. Covolume unei rețele este volumul domeniului fundamental. În FIG. 6, volumele definite de paralelipipedele verzi și roșii sunt egale.

Invarianța Covolume  -  Covolumul este independent de baza care definește domeniul fundamental.

Într - adevăr, covolume de Λ este prin definiție valoarea absolută a determinant , în baza canonică a ℝ n , a unei baze de Λ, iar matricea de trecere de la o bază de Λ la altul aparține grupului GL n (ℤ ) matrici cu coeficienți întregi de determinant ± 1.

Există un mod intrinsec de definire a domeniului fundamental, care necesită concepte mai avansate. Grupul Lie ℝ n / Λ are o măsură canonică. Pentru orice punct p al lui / n / Λ, există un set deschis de p astfel încât proiecția canonică a lui ℝ n în ℝ n / Λ să fie un difeomorfism . Aceste difeomorfisme fac posibilă definirea unei măsuri. Grupul Lie este compact; măsurarea sa totală poate fi aleasă egală cu covolumul rețelei.

Un mod simplu de a-l privi este să vă limitați la dimensiunea 2. Punctele primei coordonate egale cu un număr întreg sunt identificate cu punctele primei coordonate egale cu 0. Acest lucru înseamnă echilibrarea spațiului pentru a obține un cilindru în care toate punctele primei coordonate complete sunt suprapuse. Apoi identificăm punctele celei de-a doua coordonate egale cu un număr întreg cu punctele celei de-a doua coordonate egale cu 0. Aceasta echivalează cu înfășurarea cilindrului pentru a obține un tor , ilustrat în figura 7.

Reprezentarea este, din punct de vedere al măsurării, imperfectă. Cercurile orizontale ale torului corespund punctelor de a doua coordonată constantă. Toate aceste cercuri au o circumferință egală cu 1. În reprezentare, în funcție de faptul dacă cercul este mai mult sau mai puțin ales în interiorul torului, circumferința variază. În afară de acest detaliu, reprezentarea printr-o formă care se apropie de o geamandură este un bun suport pentru intuiția geometriei domeniului fundamental al unei rețele.

Grup ortogonal

Grupul ortogonal al unui spațiu euclidian este ansamblul de hărți liniare care transformă spațiul în sine, menținând în același timp distanța și unghiurile. Aceste aplicații se numesc izometrie . Grupul ortogonal conține un subgrup , numit grup ortogonal special , alcătuit din transformări ale determinanților pozitivi, neapărat egali cu 1. În dimensiunea 2, grupul ortogonal special este alcătuit din rotații . Celelalte izometrii sunt reflexele corespunzătoare imaginii date de plan printr-o oglindă, care trece prin punctul de origine. Echipat cu legea compoziției hărților, grupul ortogonal este un grup , ceea ce înseamnă că elementul neutru, care lasă elementele identice, este o izometrie. Dacă o aplicație este o izometrie, reciprocă , numită și inversă, este totuși o izometrie. În cele din urmă, compoziția izometriilor este asociativă .

Definiție  -  Grupul ortogonal al unei rețele Λ de ℝ n este grupul de hărți liniare ale rețelei astfel încât norma imaginii unui punct λ al rețelei este cea a punctului λ.

Termenul normă desemnează norma restricționării produsului scalar euclidian la rețeaua Λ.

În cazul unei rețele, grupul ortogonal este un grup finit . Pentru a realiza acest lucru, este suficient să luăm în considerare imaginea unui vector de bază printr-o izometrie, este un vector cu aceeași normă și există doar un număr finit. Pentru a determina grupul ortogonal al unei rețele, avem trei teorii diferite.

Algebra liniară clasică oferă alte instrumente, un element al grupului ortogonal al unei rețele poate fi într-adevăr extins într-o izometrie de ℝ n , care readuce studiul într-o situație cunoscută. În cele din urmă, o izometrie respectă distanțele și unghiurile, geometria euclidiană oferă teoreme utilizabile.

O modalitate de a vizualiza acest grup ortogonal este studierea unei plăci regulate a spațiului. A spune că plăcuța este regulată echivalează cu a spune, în exemplul ilustrat în FIG. 8, că punctele din centrul fiecărei stele formează o rețea. Dacă ne uităm la un bloc format din stele care se află la aceeași distanță cu o stea dată, găsim un hexagon . Cu excepția culorii, rotirea centrului, cea a unei stele și o șesime de rând, lasă modelul ilustrat în figură și, prin urmare, rețeaua asociată invariantă. Rotația unei șase rânduri de rotație face parte din grupul ortogonal al rețelei. Analiza geometrică propusă aici nu ia în considerare culoarea.

Cristalografie

Grupul ortogonal al unei rețele are aplicații în științele naturii. În stare solidă , este obișnuit ca materia să se organizeze în jurul structurii unei rețele. Dacă nu este cazul, atunci vorbim de material amorf sau de sticlă, studiul devine mai complex și nu face obiectul acestui articol.

Materia solidă este alcătuită din blocuri de construcție , care pot fi atomi , ioni sau molecule. Aceste cărămizi elementare au puncte de fixare în anumite locuri foarte precise. Aceste cărămizi elementare sunt în general aceleași, dacă materialul este privit la scara corectă. Ei tind să se potrivească în mod regulat, la fel ca o construcție Lego dintr-o singură piesă. Această stare este modelată de o rețea și un model. Modelul corespunde geometriei cărămizii elementare, rețeaua indică punctele în care sunt poziționate aceste cărămizi diferite. O geometrie de această natură este ilustrată în figura 9. O moleculă, compusă din doi atomi formează cărămida elementară, reprezentată, în partea dreaptă sus, printr-o asociere a unei bile albastre și a unei verzi. Aceleași molecule se asamblează conform unei geometrii ilustrate în partea stângă sus. Punctele de atașament formează un unghi ortogonal, obținem o rețea pe care cristalografii o numesc cubic centrat pe față .

Grupul ortogonal este sursa multor proprietăți ale acestei stări a materiei. Este responsabil, de exemplu, pentru forma atât de caracteristică a unui fulg de zăpadă (figura 10). Regularitatea rețelei se află la originea existenței planurilor de simetrie privilegiate, care favorizează dimensiuni particulare pentru o piatră prețioasă. Această geometrie determină și ei refracție index și parțial culoarea. Proprietățile electrice ale unui cristal sunt explicate în mare măsură folosind această geometrie.

Cristalografii folosesc un vocabular diferit de cel al matematicienilor. Se explică atât prin motive istorice, cât și printr-un mod de a vedea care nu este întotdeauna același. Un matematician vorbește despre structura grupului pentru a descrie proprietățile de regularitate ale rețelei. Pentru el, stabilitatea adunării și scăderii este chiar motivul acestei regularități. Cristalograful vede repetarea unui model la intervale regulate. Pentru a descrie aceeași proprietate, el folosește termenul de periodicitate . Termenul de rețea devine rețea Bravais , grup ortogonal: grup de puncte de simetrie , rețea primitivă de domeniu fundamental . Numele diferitelor grupuri sunt, de asemenea, modificate, termenul grup Klein devine: grup punct ortorombic și grup ciclic de ordinul 2: grup punct monoclinic .

Dimensiunea 2

Cazul dimensiunii 2 este încă simplu, nu este necesar un instrument sofisticat pentru a-l analiza. Există doar patru grupuri ortogonale:

Clasificarea rețelelor bidimensionale  -  Grupul ortogonal al unui rețea bidimensională este izomorf la unul dintre următoarele patru grupe: o grupă diedrică D 12 , D 8 , D 4 sau D 2 = C 2 .

Cel mai mare se numește grup diedric de ordinul 12 și este notat D 12 , pe care cristalografii îl numesc grup de punct hexagonal. Este compus din 6 rotații ale unui unghi de formă k π / 3 unde k denotă un număr întreg și 6 reflexii de axă care trec prin origine și, fie un vector diferit de zero al rețelei normei minime, fie mijlocul a două vectori de această natură. Există o singură geometrie pentru o rețea corespunzătoare acestui grup ortogonal. Aceasta înseamnă că, dacă două rețele au acest grup ortogonal, este posibil să se treacă de la una la alta folosind o rotație și o homotezie . O rețea de această natură este ilustrată în FIG. 11. Aceasta corespunde setului de combinații liniare cu coeficienți întregi de doi vectori, notați α și β în ilustrație, de același standard și formând un unghi de π / 3.

O configurație analogă prezintă un grup ortogonal diedru de ordinul 8, notat D 8 , pe care cristalografii îl numesc un grup de puncte tetragonale sau un grup de puncte pătratice. Grupul ortogonal conține 4 rotații ale unui unghi de forma k π / 4 unde k denotă un număr întreg și 4 reflexii de axă care trec prin origine și, fie un vector diferit de zero al rețelei normei minime, fie mijlocul a două vectori de această natură. O rețea de această natură este ilustrată în FIG. 12. Ca anterior, este generată de combinațiile liniare cu coeficienți întregi de doi vectori, notați α și β în ilustrație, ai aceleiași norme și formând un unghi de π / 4.

Aceste două grupuri ortogonale sunt singurele care nu sunt comutative. Cel mai mare dintre grupurile comutative conține patru elemente. Dacă acest grup poate fi văzut ca un grup diedru de ordinul 4, este mai des numit grup Klein . Corespunde grupului de 4 elemente, fiecare dintre ele fiind propriul său invers și suma a două elemente diferite de zero este întotdeauna egală cu al treilea, astfel tabelul este ușor de construit.

De data aceasta, nu există una, ci două configurații posibile de rețea, ilustrate în figurile 13 și 14. Acea din figura 13 este obținută de doi vectori, întotdeauna indicați α și β, care sunt neapărat de standarde diferite și care formează un unghi de π / 2. Cealaltă soluție, ilustrată în FIG. 14 corespunde a doi vectori nealiniți, de același standard, dar formând un unghi neapărat diferit de π / 2. Cristalografii observă că mergem de la configurația stângă la cea dreaptă adăugând un punct în centrul dreptunghiului cu laturile α și β. Ele numesc aceste rețele ortorombice primitive și ortorombice centrate. Grupul ortogonal este format din cele două reflexii ale centrului de origine și axă paralele cu una dintre laturile dreptunghiului, ultimele două elemente sunt identitatea, care face parte din rețea, și rotația lui π.

Ultimul grup este cel obținut dacă nu este prezentă niciuna dintre configurațiile anterioare. Grupul conține două simetrii , identitatea și rotația lui π. Rotația lui π transformă un punct în opusul său, lasă rețeaua stabilă și face întotdeauna parte din grupul ortogonal. Acest grup este numit ciclic de ordinul 2 de către matematicieni și monoclinic de către cristalografi.

Găsirea grupurilor ortogonale ale unei rețele bidimensionale

Nu este necesar un instrument sofisticat pentru a elucida diferitele configurații. Ne putem lipi de tehnicile elementare de algebră liniară și geometrie. Astfel a procedat Auguste Bravais stabilirea diferitelor structuri în dimensiune 2 și 3, mijlocul XIX - lea  secol, cu mult înainte de apariția definiției formale a unei structuri de grup.

Grupul ortogonal conține un subgrup comutativ compus din rotații: Pentru a realiza acest lucru, este suficient să observăm că compoziția a două rotații este încă o rotație și că în dimensiunea 2, rotațiile fac naveta. Grupul ortogonal conține întotdeauna două rotații, identitatea unghiului 0 și harta care unui vector îi asociază opusul, corespunzător rotației unei jumătăți de rotație. Aceasta arată că setul de rotații nu este niciodată gol. În cele din urmă, dacă o rotație lasă rețeaua stabilă, rotația inversă lasă în mod necesar rețeaua stabilă.

Inițial, se urmărește doar stabilirea acestui subgrup numit și grup ortogonal special . De fapt, nu există multe rotații de candidați care să fie într-un astfel de subgrup:

Dacă o rotație Θ se află într-un grup ortogonal al unei rețele de dimensiunea 2, unghiul său este de forma k.π / 3 sau k.π / 2 , aici k denotă un număr întreg: Pentru a demonstra acest lucru, să începem prin a observa că dacă Θ este o rotație în rețea, atunci transformă o bază a rețelei într-o bază formată din vectori de aceeași lungime și formând același unghi orientat. Acest lucru este suficient pentru a arăta că Θ poate fi văzut și ca o rotație a planului ℝ n . Se scrie matricea de rotație Θ într-o bază ortonormală directă, adică compusă din doi vectori de norma 1 și de realizare, un unghi orientat de π / 4. Într-o astfel de bază, matricea M a Θ ia următoarea formă, dacă θ denotă unghiul de rotație: Folosim un truc, urmele unei aplicații liniare, adică suma celor doi coeficienți diagonali în cazul nostru, nu se modifică dacă se modifică baza în care este exprimată aplicația liniară. Dacă alegem o bază în rețea, matricea are coeficienți întregi, urmarea este deci un număr întreg, ceea ce arată că 2cos ( θ ) este un număr întreg, sau că cos ( θ ) este egal cu - 1, −1/2, 0, 1/2 sau 1. Găsim valorile anunțate pentru unghiul de rotație.

Intuitiv, putem realiza acest lucru observând că este posibil să pavăm spațiul cu triunghiuri echilaterale, pătrate sau hexagone , pe care le vedem grafic în exemplul unei rețele ilustrat în paragraful Definiție . Un mic desen arată că acest lucru este imposibil în cazul pentagoanelor și, pentru poligoanele obișnuite, de îndată ce ajungem sau depășim 7 vârfuri, suntem atunci prea aproape de cerc pentru a putea spera să pavăm spațiul.

Dacă există o rotație în grupul ortogonal al unghiului π / 3 , 2π / 3 , 4π / 3 sau 5π / 3, atunci grupul ortogonal conține exact cele șase rotații ale unghiului k π / 3 , cu k variind de la 0 la 5: Să arătăm mai întâi că rotația, notată aici Θ, a unghiului π / 3 este în grup. Fie λ orice element al rețelei, trebuie să arătăm că imaginea sa de Θ este într-adevăr în rețea. Figura hexagonului corespunzătoare acestui caz ne va ajuta. Dacă rotația prezentă în grup este de unghiul π / 3, nu este nimic de demonstrat. Dacă este cel al unghiului 2π / 3, este suficient să se aplice rotația Θ de două ori la λ. Opusul acestui rezultat este egal cu Θ (λ), ceea ce arată că această valoare este într-adevăr în rețea și, prin urmare, că Θ se află în grupul ortogonal. Dacă rotația care lasă rețeaua stabilă este cea a unghiului 4π / 3, este suficient să o aplicați de patru ori la λ și să observați că opusul său este egal cu Θ (λ). În cele din urmă, dacă este rotația unghiului 5π / 3, este suficient să se aplice de cinci ori la λ pentru a obține rezultatul dorit. Deoarece rotația Θ lasă rețeaua stabilă, aplicarea de două ori a acestei rotații, adică rotația unghiului 2π / 3 este, de asemenea, în grupul ortogonal. Aplicând acest raționament de cinci ori, constatăm că cele șase rotații ale enunțului lasă rețeaua stabilă. Rămâne de arătat că nu există altul. Dintr-un rezultat anterior, aceasta ar putea fi doar o rotație cu un sfert de tură. Cu toate acestea, o rotație de un sfert de tura, apoi o rotație a șasea parte a unei ture este o rotație, fie a douăsprezecea parte a turei, fie a cincisprezecea parte a turei. Niciuna dintre aceste două rotații nu poate face parte din grupul ortogonal, o rotație de un sfert de rotație, în acest context, prin urmare, nu poate face parte din grupul ortogonal. Propunerea este bine demonstrată.

Acum cunoaștem toate rotațiile grupului ortogonal. Pentru a merge mai departe, avem nevoie de vectorul α al ilustrațiilor, adică un vector al rețelei, non-zero și de normă mai mică. De asemenea, folosim β, imaginea sa prin rotația unei șase rânduri. Este timpul să arătăm că configurația rețelei este într-adevăr cea din prima figură a paragrafului.

Orice punct din rețea este o combinație liniară de α și β cu coeficienți întregi: Cunoaștem deja configurația rețelei pe discul de rază, norma α și centrul vectorului zero. Corespunde exact cu cel al figurii. În interiorul discului, descoperim că vectorul zero, deoarece nu există o altă rețea vectorială standard strict mai mică decât α. Pe marginea discului, găsim cele șase imagini ale lui α după cele șase rotații, precum ilustrația. Pentru a elucida situația din afara discului, folosim același truc ca cel folosit pentru a demonstra existența unei baze în dimensiunea 2. Rețineți că perechea (α, β - α) este o bază a lui ℝ n , un vector λ este exprimat în această bază. Rămâne doar să arătăm că cele două coordonate a și b ale lui λ în această bază sunt întregi. Descompunem a = q a + r a și b = q b + r b . Vectorul q a α + q b (β - α) este o combinație liniară cu coeficienți întregi a două puncte ale rețelei, este un punct al rețelei. Diferența dintre λ și acest vector este, de asemenea, un punct al rețelei, egal cu r a α + r b (β - α). Deoarece coordonatele sale sunt strict mai mici decât 1, această diferență se găsește în paralelogramul vârfurilor 0, α, β - α și β. Observăm că acest paralelogram este în interiorul discului de rază norma lui α și de centru vectorul zero. Ca r a și r b sunt strict mai mic decât 1, singurul punct al rețelei în acest domeniu este vectorul zero. Acest lucru arată că r a și r b sunt zero și că λ este într - adevăr o combinație liniară α și β - α cu coeficienți întregi. Această proprietate este echivalentă cu cea a propoziției care trebuie demonstrată.

Determinarea este aproape terminată. Rotațiile, precum și punctele rețelei sunt cunoscute, rămâne doar să se determine elementele grupului ortogonal care nu sunt rotații. Într-un plan, o izometrie vectorială care nu este o rotație este o reflecție, această primă remarcă ne va ajuta. Un al doilea este util: compozitul a două reflexii este o rotație, iar compozitul unei rotații și o reflecție este o reflecție. Ultima remarcă este că compoziția unei reflecții cu ea însăși este aplicația identică, vorbim despre o aplicație involutivă  :

Grupul ortogonal conține exact 12 elemente și este o copie a grupului diedru D 12  : Să începem prin construirea unei reflexii, Harta liniară Γ, care lasă α stabilă și care transformă β în α - β este o reflecție, deoarece păstrează distanțele și unghiurile unei baze și are o linie invariantă și nu este identitate . Dacă luăm în considerare cele șase hărți compuse din Γ cu Θ k pentru k variind de la 0 la 5, obținem șase reflexii. Simbolul Θ k denotă aplicația Θ aplicată k ori sau rotația unghiului k π / 3. Reflecțiile sunt toate diferite; pentru a-l realiza, este suficient să aplicăm aceste reflecții apoi reflexia Γ: se obțin șase hărți diferite, ceea ce ar fi imposibil dacă două dintre hărțile de tipul Γ.Θ k ar fi egale. Rămâne doar să arătăm că o reflecție Γ este întotdeauna una dintre cele 6 găsite. Mai întâi aplicăm Γ 1 apoi de două ori Γ; găsim Γ 1 deoarece aplicarea de două ori Γ înseamnă a nu face nimic. Observăm că Γ.Γ 1 este o rotație; există deci o valoare k astfel încât Γ.Γ 1 să fie egală cu Θ k . Aplicăm din nou Γ pentru a obține din nou Γ 1 și constatăm că Γ 1 este egal cu Γ.Θ k , unul dintre cele 6 deja numărate. Observăm că Γ și Θ nu fac naveta; Γ.Θ este reflectarea axei direcționate de 2α - β în timp ce Θ.Γ este reflexia axei direcționate de α + β. Grupul ortogonal conține 12 elemente, dintre care unul este de ordinul 6 și este necomutativ. Doar copiile grupului diedric D 12 verifică toate aceste proprietăți.

Este suficient să se aplice exact același raționament ca și pentru D 4 . Constatăm că, dacă există o rotație de un sfert de tură, grupul ortogonal este compus din patru rotații și patru reflexii și că rețeaua este generată de doi vectori cu norme mai mici α și β, pe care le au același standard și că formează un unghi de un sfert de tură.

În restul demonstrațiilor se presupune că configurația nu este una dintre cele deja tratate. Singurele rotații ale grupului ortogonal sunt identitatea, care nu mișcă niciun vector și rotirea în U, care unui vector își asociază opusul. Devine util să studiezi reflecțiile puțin mai precis:

Nu pot exista mai mult de două reflecții diferite: Să presupunem că există două reflecții distincte Γ 1 și Γ 2 . Rotația Γ 1 .Γ 2 este egală fie cu identitatea, fie cu opusul acesteia, deoarece acestea sunt singurele rotații ale grupului ortogonal. Dacă Γ 1 .Γ 2 este egal cu identitatea, aplicând din nou Γ 1 , am descoperi că Γ 1 și Γ 2 sunt egale, ceea ce este contrar ipotezei. Deducem că Γ 1 .Γ 2 este egal cu opusul identității și, aplicând apoi Γ 1 , descoperim că Γ 2 este egal cu −Γ 1 . Nu poate exista o treime, ar fi, de asemenea, egală cu −Γ 1 , deci cu Γ 2 . Există o singură structură posibilă pentru un grup ortogonal de mai mult de două elemente, grupul Klein: Grupul conține doar două rotații. Celelalte elemente sunt reflexii și pot exista doar două, unul notat Γ și opusul său - Γ . Grupul ortogonal este alcătuit apoi din patru elemente, fiecare fiind involutiv , adică elementul, compus cu el însuși, este egal cu identitatea. Există o singură structură de grup formată din 4 elemente fiecare fiind propriul său invers: grupul Klein.

Încă o dată, α denotă un vector al rețelei non-zero a unei norme mai mici.

Structura grupului ortogonal este a lui Klein dacă există un vector β astfel încât α și β formează o bază a rețelei și fie β este de aceeași normă cu α , fie β este ortogonală cu α , dar nu și ambele: Știm deja că β nu poate fi ambele, grupul ortogonal ar fi apoi diedru de ordinul 8. Presupunem că grupul ortogonal este al lui Klein. Există patru izometrii involutive. Deoarece există doar două rotații involutive, identitatea și opusul acesteia, există și o reflecție în grupul ortogonal. Imaginea lui α prin această reflecție are aceeași normă ca și α. Dacă această imagine este −α sau α, denotăm prin reflection reflexia care trimite α pe α. Corespunde fie reflexiei luate în considerare, fie opusului său. Notăm cu β vectorul rețelei celei mai mici norme dintre cei care nu sunt coliniari cu α. Punctul γ desemnează un vector coliniar cu axa reflecției Γ. Vom arăta că β se află în axa de reflexie a lui Γ ceea ce înseamnă a spune că este perpendicular pe α. Cuplul (α, γ) este o bază a lui ℝ n  ; putem exprima vectorul β în această bază: β = a α + c γ; coordonata a este, în valoare absolută , strict mai mică decât 1/2. Într - adevăr, dacă ar fi fost mai mare, p vector - α ar fi de o normă mai mică decât cea a β și dacă o au fost mai mici decât -1/2, vectorul β + α ar fi de o normă mai mică decât cea a β. Vectorul Γ (β) este un element al rețelei, egal cu - a α + c γ, ceea ce arată că β - Γ (β), egal cu 2 a α, este un punct al rețelei și că 2 a este un număr întreg. Deoarece a este strict mai mic de 1/2 în valoare absolută și din moment ce 2 a este un număr întreg, a este zero și β este proporțional cu γ; este un element al axei de reflexie. Perechea (α, β) este formată dintr-un vector non-zero al rețelei celei mai mici norme și dintr-un vector al rețelei neelementale a axei direcționate de α și a celei mai mici norme. Conform dovezii existenței unei baze în dimensiunea 2, acești doi vectori formează o bază a rețelei. Am găsit într-adevăr doi vectori care satisfac ipotezele propoziției. Dacă imaginea β a lui α printr-o reflecție nu este nici α, nici −α, vectorul β are aceeași normă ca α și, prin urmare, cea mai mică normă din rețea, cu excepția vectorului zero. Punctul β nu poate fi egal cu α sau cu −α prin ipoteză, chiar dacă aceste puncte au aceeași normă. Prin urmare, ele nu pot fi proporționale. Am arătat existența a doi vectori de normă minimă, cu excepția vectorului zero, în rețea și nu coliniar. Ele formează o bază care satisface ipotezele afirmației.

Rămâne să dovedim conversația:

Structura grupului ortogonal este cea a lui Klein numai dacă există un vector β astfel încât α și β formează o bază a rețelei și fie β este de aceeași normă cu α , fie β este ortogonală cu α , dar nu și ambele: Presupunem că baza (α, β) există. Grupul ortogonal conține doar două rotații. Este suficient să arătăm că există o reflecție pentru a stabili propoziția. Dacă α și β sunt de aceeași normă, harta liniară Γ, care la α asociază β și la β asociază α, respectă pe bază (α, β), atât distanța, cât și unghiul, este o izometrie. Vectorul α + β este invariant cu Γ și Γ nu este harta identității, deoarece imaginea lui α nu este α. Aplicația Γ este deci o reflectare. Imaginile lui α și β prin această reflecție sunt elemente ale rețelei, prin urmare orice combinație liniară cu coeficienți întregi ai acestor doi vectori este încă un element al rețelei. Aceasta înseamnă a spune că Γ este o izometrie care lasă rețeaua stabilă, este definiția unui element al grupului ortogonal. Grupul ortogonal conține o reflecție, am văzut că acest lucru înseamnă că acest grup este al lui Klein. Dacă acum β este ortogonală la α, harta liniară Γ, care la α asociază −α și la β asociază β este o reflecție. Același raționament ca și cel anterior ne permite să concluzionăm.

Rămâne un singur caz de rezolvat:

Dacă niciuna dintre configurațiile deja studiate nu este prezentă, grupul ortogonal conține exact două rotații, identitatea și opusul său și nici o reflecție. Este un grup cu două elemente, care este în mod necesar grupul ciclic de ordinul 2, deoarece nu există alt grup cu doi elemente.

Dimensiunea 3

Dimensiunea 3 are o natură similară cu dimensiunea 2. De data aceasta găsim 7 grupuri și 14 rețele de diferite tipuri.

Clasificarea rețelelor tridimensionale  -  Grupul ortogonal al unui rețea tridimensională este izomorf la unul dintre următoarele șapte grupe: grupul cub, izomorf la S 4 × C 2 , grupul punct hexagonal D 12 × C 2 , trigonal D 12 , D 8 × C 2 tetragonal , K × C 2 ortorombic , K monoclinic și C 2 triclinic .

Aici, D 2 n denotă grupa diedrică de ordinul 2 n , S n denotă grupul simetric al indicelui n și ordinul n !, K grupul Klein (de ordinul 4) și C 2 grupul ciclic d 'ordinul 2. Găsim patru grupuri non-abeliene de ordine 48, 24, 16 și 12 apoi trei grupuri abeliene, de ordine 8, 4 și 2 și care conțin doar elemente involutive .

Trei geometrii de rețea diferite prezintă simetrie cubică, prezentată în Figura 15 de mai jos. Primul, corespunzător imaginii din dreapta, este izomorf pentru rețeaua ℤ 3 , adică există o rotație și o omoteză care trimite rețeaua la ℤ 3 . În cristalografie, vorbim despre o rețea cubică primitivă . Există un domeniu fundamental cubic, invariant global prin orice izometrie a grupului ortogonal. Al doilea caz este ilustrat în centrul figurii 15. Are ca figură caracteristică, în verde, un cub ale cărui fețe sunt ocupate de un punct. Vorbim despre o rețea cubică centrată pe față . Domeniul fundamental ilustrat nu mai este cubic. Al treilea caz este ilustrat în imaginea din stânga a figurii 15. O figură repetitivă care apare în rețea este cea a unui cub al cărui centru este, de asemenea, un element al rețelei, cristalografii vorbesc despre o rețea cubică centrată .

Două geometrii conțin rotații de o treime de tură. Figura 16 corespunde replicării rețelei hexagonale bidimensionale. Axa ortogonală la un plan care conține rețeaua hexagonală de dimensiunea 2 este o axă de simetrie care conține al treilea vector δ al unui domeniu fundamental. Izometriile găsite în cazul dimensiunii 2 extinse pe δ de identitate sunt toate în grupul ortogonal. Simetria care lasă planul hexagonului invariant și transformă δ în −δ este, de asemenea, o izometrie care lasă rețeaua invariantă. Grupul ortogonal este izomorf la D 12 × C 2 , produsul direct al izometriilor D 12 ale rețelei hexagonale bidimensionale de către grupul C 2 generat de simetria ortogonală transformând δ în −δ.

Figura 17 ilustrează o rețea care conține un grup ortogonal mai mic. Rețeaua se obține prin adăugarea a 6 puncte suplimentare din figura 16. Dacă δ reprezintă cel mai mic vector al rețelei ortogonale la planul hexagonului, 3 puncte sunt la o înălțime de / 3 și celelalte trei la 2δ / 3. Cele 3 puncte la o înălțime de δ / 3 formează un triunghi echilateral cu aceeași geometrie ca cele care constituie hexagonul. Centrul de greutate al acestui triunghi este vertical față de centrul unui hexagon și proiecția paralelă cu δ, a fiecărui punct al triunghiului corespunde centrului de greutate al unuia dintre triunghiurile hexagonului. Ultimele trei puncte formează un alt triunghi, obținut prin rotirea axei îndreptate cu δ și o jumătate de tură.

Există o modalitate unică de a extinde la întregul rețea o izometrie a grupului ortogonal al rețelei hexagonale de dimensiunea 2. Pentru jumătate din elementele grupului, pe δ această extensie este identitatea. Pentru cealaltă jumătate, această prelungire este dilatarea raportului -1. Grupul ortogonal este izomorf la D 12 . Cu rotațiile cubului, aceste două geometrii sunt singurele care conțin o rotație de o treime dintr-o rotație. Niciunul dintre aceste două grupuri nu este comutativ.

Rețelele tetragonale au multe analogii cu cazul anterior. Acesta corespunde trecerii la dimensiunea 3 a grupului pătratului. Pentru ca simetriile pătratului să poată fi extinse în dimensiunea 3, este necesar să plasați ultimul punct care definește rețeaua, pe o axă perpendiculară pe pătrat și care trece, fie printr-unul dintre punctele pătratului, fie prin punctul său mediu.

Fiecare simetrie a pătratului poate fi extinsă printr-o rotație în dimensiunea 3. Este apoi posibil să se compună izometria prin dilatarea raportului -1. Astfel, fiecărei izometrii a pătratului corespund două extensii în dimensiunea 3. Deoarece omotia raportului -1 comută cu toate izometriile, noul grup ortogonal este produsul direct al dimensiunii 2 cu C 2 care poate fi văzut ca identitatea și omotitatea raportului -1 în ℝ 3 . Acest grup este ultimul necomutativ.

O parte a convenției intră în definirea tipurilor de rețele Bravais. Astfel, se identifică, pentru grupurile de puncte tetragonale, rețelele centrate și cele cu fețe centrate. Dacă luăm în considerare o rețea centrată și alegem ca figura pătratului orizontal, cea formată din două diagonale, obținem o figură cu fața centrată. Această remarcă este valabilă și pentru rețelele cubice.

Celelalte grupuri ortogonale sunt toate comutative. Ele nu se caracterizează prin faptul că cuprind doar izometrii involutive , adică dacă le aplicăm de două ori, găsim identitatea. Cel mai mare dintre aceste grupuri conține 8 elemente. Acesta corespunde grupului notat uneori K 4 sau produsului grupului Klein și grupului ciclic de ordinul 2.

Există 4 tipuri diferite de rețele, deși toate arată la fel. Acestea sunt construite din 4 vectori ortogonali, dintre care niciunul nu are aceeași dimensiune. Rețeaua primitivă este un paralelipiped de această natură. Există apoi trei moduri de a centra puncte suplimentare, fie în mijlocul paralelipipedului, fie în centrul fiecărei fețe, fie în centrul a două fețe opuse (fig. 19).

Dacă există o axă ortogonală la un plan al rețelei, dar planul nu conține axe de simetrie, grupul nu mai are 8, ci 4 elemente. Găsim apoi o structură similară cu cea a dimensiunii 2, iar grupul de puncte este al lui Klein. Este compus din două reflecții opuse, identitatea și omotitatea raportului -1. Două tipuri distincte de rețele, ilustrate în figura 18, au acest grup ortogonal.

În cele din urmă, dacă nu apare nici una dintre configurațiile anterioare, atunci există doar două izometrii rămase în grup, identitatea și dilatarea raportului -1.

Reprezentări ale unui grup finit

Dacă situația din dimensiunea 3 este de aceeași natură cu cea din dimensiunea 2, demonstrațiile sunt oarecum complicate. Mai mulți factori care diferențiază dimensiunea 2 și 3 nu simplifică sarcina. Cel mai important este probabil faptul că grupul ortogonal special nu mai are niciun motiv să fie abelian , două rotații nu fac întotdeauna naveta. Apoi grupurile sunt mai mari, cel mai mare conține 48 de elemente în dimensiunea 3, față de 12 în dimensiunea 2. Este încă posibil să se utilizeze rudimentele de algebră liniară și geometrie. Metoda devine mai lungă și mai presus de toate mai periculoasă. Prima clasificare a lui Frankenheim  (în) , datând din 1842 , a fost neclară. Au fost necesari șase ani pentru ca greșelile să fie corectate de Bravais.

Este posibil să se îmbogățească parafernalia cu instrumente mai puternice. O teorie care se încadrează pe cea a grupurilor și algebrei liniare este deosebit de potrivită. Obiectivul său este studiul morfismelor unui grup G din grupul liniar al unui spațiu vectorial E de dimensiune finită, care este ales ca complex și dotat cu un produs hermitian astfel încât setul de sosire să conțină numai izometrii. Aici sunt utilizate patru rezultate. Orice reprezentare se descompune într-o sumă directă de reprezentări ireductibile, un rezultat cunoscut sub numele de teorema lui Maschke . Aceasta înseamnă că este posibil să se descompună E într-o sumă directă de subspatii reciproc ortogonale și stabile prin toate izometriile reprezentării. Restricționarea reprezentării la un subspatiu stabil nu conține niciun subspatiu stabil pentru fiecare izometrie a reprezentării, cu excepția subspatiilor banale. O reprezentare de această natură se spune că este ireductibilă . Caracterul χ φ al unei φ reprezentare este harta G în ℂ, care la un element h al G asociază curba φ ( h ). Dacă g denotă ordinea grupului G și φ, ψ două reprezentări, asociem cu caracterele următorul produs hermitian:

.

O reprezentare este ireductibilă dacă și numai dacă norma caracterului său este egală cu 1. Dacă două reprezentări ireductibile nu sunt izomorfe, atunci produsul hermitian al celor două caractere ale acestora este egal cu 0, cu alte cuvinte cele două caractere sunt ortogonale. Există exact la fel de multe reprezentări ireductibile ca numărul de clase de conjugare din grup. În cele din urmă, există o reprezentare specială numită reprezentare regulată . Pentru a-l construi, considerăm că familia ( h i ) a elementelor grupului este o bază ortonormală a unui spațiu vectorial. Cu h un element al grupului, asociem izometria care transformă baza ( h i ) în bază ( hh i ). O reprezentare regulată conține la fel de multe copii ale unei reprezentări ireductibile pe cât gradul acestei reprezentări ireductibile.

Ordinea unui grup special ortogonal

În această casetă derulantă, termenul grup ortogonal desemnează izometriile unei rețele tridimensionale, termenul grup special ortogonal desemnează subgrupul de izometrii cu determinant egal cu 1. Să începem cu o propoziție generală:

Fie φ un element al grupului ortogonal. Matricea sa M , la puterea ordinii grupului este egală cu identitatea, conform teoremei lui Lagrange . Aceasta arată că M este diagonalizabil . Endomorfismul φ admite și o matrice cu coeficienți întregi; deducem că există un număr complex ω astfel încât matricea M este similară cu M ω , cu: Urma lui M ω este un număr întreg; deducem că suma lui ω și conjugatul său este un număr întreg, care arată rezultatul.

Cauchy , o consecință directă a unei teoremă de Sylow, arată că , dacă n este un factor principal al numărului de ordine al grupului, astfel încât există un element al grupului de ordine n . Deducem că ordinea grupului ortogonal este de forma 2 p .3 q , unde p și q sunt numere întregi pozitive. În primul rând, încercăm să determinăm structura unui grup ortogonal special, adică izometriile rețelei cu un determinant egal cu 1. Ordinea sa are doar 2 sau 3 ca factor prim. Putem fi mai preciși:

Exponentul lui 3 din ordinea unui grup ortogonal special al unei rețele de R 3 nu poate fi strict mai mare decât 1: Aceasta este o consecință destul de directă a teoremelor lui Sylow . Aceste teoreme ne învață că orice grup de ordine 3 p . b , unde p și b denotă numere întregi pozitive și din moment ce b este un număr prim, conține un grup de ordin 3 p , numit maxim 3-subgrup. Un astfel de grup este un grup de 3 și are proprietăți foarte specifice. Centrul său , adică subgrupul elementelor care fac naveta cu toate elementele grupului 3, nu este banal. Luați în considerare un G din 3 grupuri cu mai mult de 3 elemente. Vom arăta că conține un subgrup abelian de 9 elemente. Fie centrul său conține strict mai mult de 3 elemente, fie există un element g , care nu se află în centru și grupul generat de centru și g este un grup abelian de mai mult de trei elemente. Putem oricând extrage din acest subgrup un nou subgrup de exact 9 elemente.Grupul ortogonal special nu poate conține un subgrup abelian cu 9 elemente. Un astfel de subgrup este fie izomorf pentru C 9 - grupul ciclic cu 9 membri - dar niciun element al grupului ortogonal special nu este de ordinul 9. Altfel conține o copie a grupului C 3 × C 3 . Cu toate acestea, teoria reprezentărilor grupurilor finite ne învață că nu există o reprezentare fidelă, adică injectivă, a unui astfel de grup în dimensiunea 3. Lema și faptul că grupul ortogonal special nu poate conține un astfel de subgrup arată propunere.

Acum să găsim grupul maxim 2 al unui grup special ortogonal.

Exponentul lui 2 din ordinea unui grup special ortogonal nu poate fi strict mai mare decât 3:Cazul grupurilor abeliene este relativ simplu. Fie G un 2-subgrup abelian, descompunerea sa în reprezentări ireductibile arată că dimensiunea necesară pentru a reprezenta C 2 este 1 și că este egală cu 2 pentru C n dacă n este strict mai mare de 2. Valoarea n nu poate depăși 4 în cazul nostru, deoarece niciun element al grupului special ortogonal nu are un ordin mai mare de 4. G poate fi izomorf la C 2 , C 2 × C 2 , C 4 × C 2 și C 2 × C 2 × C 2 n 'nu este posibil deoarece unele elemente ar fi determinante −1. Cel mai mare subgrup abelian este la ordinul maxim 8 și dacă acesta este ordinea sa, este izomorf la C 4 × C 2 .Pentru cazul non-abelian, să luăm în considerare caracterul său , singurele valori posibile ale imaginilor sunt: ​​fie 3, obținut pentru ω egal cu 1, fie 1 obținut pentru ω egal cu i sau - i . Valoarea 3 poate fi obținută o dată, valoarea 1 este în mod necesar 2 p - 1, dacă 2 p desemnează ordinea G . O astfel de reprezentare nu poate fi ireductibilă, pătratul normei caracterului este într-adevăr egal cu 1/2 p (9 + 2 p - 1) care nu poate fi egal cu 1 în timp ce este întotdeauna cazul unei reprezentări ireductibile. Această reprezentare este suma directă a două reprezentări ireductibile, una notată χ 1 de grad 1, cealaltă, χ 2 de grad 2. Dacă χ 2 nu ar fi ireductibilă, reprezentarea s-ar descompune în reprezentări ireductibile de gradul 1, care impune comutativitatea din grup, ceea ce nu este cazul studiat. Observăm că caracterele χ 1 și χ 2 sunt neapărat cu valori reale, deoarece suma lor este, într-adevăr: Dacă nu ar fi, am avea o combinație liniară nulă între 4 caractere ireductibile distincte, ceea ce nu se poate datora faptului că caracterele ireductibile formează o familie liberă (și chiar o bază a spațiului funcțiilor centrale ). Caracterul χ 2 are valori reale, dar endomorfismele asociate, acum pe un spațiu de dimensiune 2, nu sunt neapărat cu un determinant pozitiv. De data aceasta, valorile posibile sunt 2, −2 și 0. Urma 2 este neapărat cea a identității și −2 cea a dilatării raportului −1 deoarece valorile proprii ale unui endomorfism al grupului sunt neapărat de modul egal cu 1. Deducem că valorile 2 și −2 sunt atinse o singură dată. Pătratul normei caracterului este acum egal cu 1/2 p (2 2 + 2 2 ) = 1. Deducem că p este egal cu 3 și ordinea grupului la 8. Singurul grup necomutativ al ordinea 8 este grupa diedrică D 8 , al cărei caracter este recunoscut ca o reprezentare ireductibilă și fidelă. Termenul de credincios înseamnă că reprezentarea este injectivă.

S-a arătat că cele 2 grupuri mai mari sunt cele 2 grupuri C 4 × C 2 și D 8 , două grupuri de ordinul 8 susceptibile de a fi conținute într-un grup ortogonal special al unei rețele tridimensionale. 3 și nu există alt grup p , ceea ce dovedește propoziția.

Reprezentări ireductibile de gradul 3

Principiul abordării constă în studierea inițială a grupurilor ortogonale care admit o reprezentare ireductibilă, apoi a celor care au o reprezentare de gradul 2, în cele din urmă a celor care au doar reprezentări de gradul 1. Pentru simplitate, căutăm mai întâi doar grupul ortogonal special și limităm noi înșine către grupuri care nu au elemente de ordine 6. Această abordare evidențiază grupul cubului. S-ar putea folosi doar instrumentele algebrei liniare, dar, pentru atâta efort, s-ar găsi doar rezultate parțiale.

Grupul ortogonal are o reprezentare naturală. Un element al unui astfel de grup este o izometrie a unui rețea, care se extinde în mod natural într-o izometrie de ℝ 3 . O putem considera, de asemenea, ca o izometrie de ℂ 3 . Există două modalități de a face acest lucru. Fie că considerăm matricea sa în baza canonică, ea poate fi văzută și ca matricea unei izometrii de ℂ 3 exprimată în baza canonică. Fie studiem produsul tensorial al lui ℂ cu ℝ 3 , care este un spațiu vector-vectorial tridimensional peste care se extinde în mod natural izometria grupului ortogonal. Știm că o astfel de reprezentare este fidelă, adică este injectivă. Într-adevăr, unei matrici date într-o bază dată, corespunde doar o aplicație liniară.

Aici A 4 denotă grupul alternativ al indexului 4 la 12 elemente. Corespunde permutărilor unui set de 4 elemente având o semnătură pozitivă. Grupul A 4 nu este niciodată un grup ortogonal special, pe care îl vom arăta puțin mai târziu.

Dacă un subgrup al unui grup special ortogonal admite o reprezentare ireductibilă de gradul 3, ordinea acestuia este fie 12, fie 24: Sau G grupul de studiu, g ordine si φ o reprezentare ireductibilă a lui G . Singurele valori posibile ale urmelor imaginilor lui φ sunt 3, 1, 0 și −1. Într-adevăr, imaginile lui φ sunt rotații ale unui anumit unghi egal cu k π / 3 sau k π / 4 cu k întreg. Unghiul zero corespunde identității, element al grupei de urmări 3. Rotațiile unghiurilor π / 3 și 4π / 3 sunt imposibile deoarece grupul nu are element de ordine 6. Rotațiile unghiurilor 2π / 3 și 4π / 3 dau urmele 0. Cele de o jumătate de viraj −1 și cea de un sfert de viraj 1. Fie p 1 (resp. p 0 și p −1 ) numărul de izometrii ale grupului având o urmă egală cu 1 (resp. 0 și −1), există un singur endomorfism care are o urmă egală cu 3, identitatea. Căutăm o reprezentare ireductibilă φ; care impune ca constrângere că pătratul normei caracterului său its φ este egal cu 1, adică din nou: 9 + p 1 + p −1 = g , ordinea grupului căutat. Știm, de asemenea, că g = 1 + p 1 + p −1 + p 0 și că caracterul χ φ este ortogonal cu caracterul trivial χ t , care asociază 1 cu fiecare element și, prin urmare, 3 + p 1 - p −1 = 0 Deducem că p 0 este egal cu 8, p −1 cel puțin la 3. În cele din urmă, știm că g este divizor al lui 24.Aceste ecuații diferite au doar două soluții, fie p 1 este egal cu 6, p −1 la 9 și p 0 la 8, fie p 1 este egal cu 0, p −1 la 3 și p 0 la 8. Ceea ce dovedește propoziția Ei bine, într-adevăr în primul caz g = 1 + 9 + 8 + 6 = 24 și în al doilea g = 1 + 8 + 3 = 12.

De fapt, demonstrația ne oferă mai multe informații. Semnătura 3 impune un element de ordinul 1, grupul conține o singură unitate (ceea ce nu este surprinzător, această proprietate este adevărată pentru toate grupurile), 9 izometrii ale urmelor -1 impun existența a 9 elemente ale ordinii 2, urmele 0 indică 8 elemente de ordinul 3 și urmă 1, 6 elemente de ordine 4. Aceste rezultate se aplică grupului de 24 de elemente.

Acum ne concentrăm pe un grup G cu 24 de elemente; obiectivul este de a arăta că acest grup este neapărat cel al cubului:

Grupul G conține un subgrup distinct de ordinul 12: Reprezentarea regulată a lui G este de gradul 24; conține 3 exemplare ale reprezentării studiate, care ocupă 9 dimensiuni și reprezentarea banală, care ocupă una. Au rămas 14, care pot fi folosite prin reprezentări de gradul 1, 2 sau 3. Să analizăm cele de gradul 1; acestea sunt în mod necesar asociate cu subgrupuri ciclice, singurele valori posibile pentru lungimea ciclului sunt 2, 3 și 4. Valoarea 3 este imposibilă, într-adevăr, dacă 3 ar fi o valoare posibilă, ar exista un morfism al grupului G surjectiv în C 3 și G ar fi produsul semi-direct al unui subgrup de ordinul 8 și C 3 . Singurele morfisme ale lui C 3 din grupul de automorfisme ale unui grup de ordinul 8 sunt morfismele banale, produsul ar fi deci direct. Deoarece G nu este abelian - pentru că are o reprezentare ireductibilă de gradul 3 - singura valoare posibilă a grupului este D 8 , singurul grup necomutativ de ordinul 8 sau produsul direct al lui D 8 și C 3 conține un element de ordinul 12, pe care G nu-l conține . O analiză a dimensiunii arată că G nu conține reprezentări ale lui C 4 . Într-adevăr, dacă le-ar conține, aceste reprezentări ar ocupa, pe lângă reprezentarea banală, trei dimensiuni, ar rămâne apoi 11 dimensiuni care să fie umplute cu reprezentări de ordinul 2 care ocupă 4 dimensiuni fiecare și cele de ordinul 3 care. , ceea ce este imposibil. Tot ce rămâne ca alegere este utilizarea celei de-a doua reprezentări σ a lui C 2 , diferită de cea trivială. Reprezentările de ordinul 1: banalul și σ, ocupă două dimensiuni, una de gradul 2 aduce dimensiunile ocupate la 6 și două reprezentări de gradul 3 iau restul de 18.Deducem că există o reprezentare non-banală a dimensiunii 1, asociată cu grupul ciclic de ordinul 2. Reprezintă semnătura , nucleul acestei reprezentări este de ordinul 12 și se distinge.

Nu mai suntem foarte departe de a putea identifica G la S 4 . Putem identifica patru clase de conjugare a lui G , unitatea de clasă, cea a ordinii 2 elemente ale ordinii 3 și ordinii 4 sau 2. Există de fapt 5. Mai mult decât atât, cunoaștem 3 reprezentări ireductibile, trivialul t , semnătura σ și un ireductibil φ , ai căror determinanți sunt toți egali cu 1.

Există un singur grup de 24 de elemente care poate fi un grup special ortogonal, S 4 , al cărui tabel de caractere este după cum urmează:
Pentru că. ir. 1 (ab) (ABC) (ab) (cd) (abcd)
Număr de unități 1 6 8 3 6
χ t 1 1 1 1 1
χ σ 1 −1 1 1 −1
χ θ 2 0 −1 2 0
χ φ 3 1 0 −1 −1
χ φσ 3 -1 0 −1 1

Valorile tabelului nu sunt date pe elemente ci pe clasele de conjugare a căror cardinalitate este dată în a doua linie. Într-adevăr, un personaj este întotdeauna constant pe o clasă de conjugare. Reprezentarea φσ corespunde cu cea care, unui element h al grupului, asociază izometria (−1) σ (h) φ ( h ). Reprezentarea θ rămâne de stabilit.

Elementele lui G având o imagine egală cu 0 sau 3 cu χ φ sunt de ordin impar, respectiv 1 și 3, este suficient să-și înmulțească matricile singure pentru a realiza acest lucru. Reprezentarea asociată cu σ este egală cu 1 pentru aceste valori. Valoarea 1 este încă atinsă de 3 ori și valoarea -1, de 12 ori pentru elementele lui G care au 1 și -1 ca imagine de χ φ . Știm că există 12 imagini cu valoarea 1 și 12 cu valoarea -1. Notăm cu p (resp. Q ) numărul de elemente ale grupului având pentru imagine cu χ φ 1 și cu χ σ 1 și (resp. −1). În mod similar, notăm cu r (resp. S ) numărul de elemente ale grupului care au pentru imagine cu χ φ −1 și cu χ σ 1 și (resp. −1). Obținem egalitățile: . Aceste patru ecuații sunt legate; suma primelor două este egală cu cea a ultimelor două, ceea ce nu permite o rezoluție directă. Cu toate acestea, analiza care conduce la existența unui subgrup de ordinul 12 arată că există 5 reprezentări ireductibile, deci 5 clase de conjugare . Cu toate acestea, imaginea reciprocă a lui -1 cu χ φ conține elemente de ordinul 2 și 4, conține, prin urmare, două clase. Deducem că fie p, fie q este zero și că cealaltă valoare este egală cu 6. Egalitatea p + r = 3 arată că singura soluție pozitivă a sistemului este p = 0, deducem q = 6, r = 3 și s = 6. Înmulțind χ φ cu χ σ , obținem un nou caracter ireductibil, adică acum 4 din cele cinci căutate. Combinația liniară a caracterelor ireductibile cu dimensiunea lor ca coeficienți dă caracterul reprezentării regulate, ceea ce face posibilă găsirea ultimului caracter, menționat aici χ θ .Este timpul să încheiem. Grupul căutat G are ca tabel de caractere cel al lui S 4 , care arată că cele două grupuri sunt izomorfe.

Izometriile grupului G corespund reprezentării φ, deoarece reprezentarea φσ are izometrii ale determinanților negativi. Știm astfel exact elementele grupului ortogonal special. Acest grup poate fi într - adevăr un subgrup, pentru că știm deja că pot exista grup ortogonale de ordine strict mai mare decât cea a G .

Să analizăm acum al doilea caz, cel în care grupul G conține 12 elemente.

Singurul subgrup al unui grup special ortogonal, de ordinul 12 și care admite o reprezentare ireductibilă de gradul 3 , este izomorf la A 4  :

Are, ca tabel de caractere:

Pentru că. ir. 1 (ab) (cd) (abc) 1 (abc) 2
Număr de unități 1 3 4 4
χ t 1 1 1 1
χ j 1 1 j j
χ j 1 1 j j
χ ψ 3 −1 0 0
Grupul G este acum de ordinul 12, iar caracterul reprezentării asociate grupului ortogonal special ψ ia de 1 dată valoarea de 3, de 8 ori valoarea 0 și de 3 ori valoarea −1. În plus față de trivială caracterul χ t , există doar două dimensiuni pentru a găsi pentru a înțelege reprezentarea regulată a G . Aceste două dimensiuni pot corespunde doar reprezentărilor dimensiunii 1, deoarece o reprezentare a dimensiunii 2 ia deja 4 dimensiuni. Singurul subgrup ciclic care oferă două dimensiuni suplimentare este C 3  ; cele două caractere lipsă iau deci valorile j și conjugatul său. Acum cunoaștem o partiție a grupului în 3 subseturi, avem nevoie de 4 pentru a cunoaște toate clasele de conjugare. Singura soluție pentru a păstra ortogonalitatea caracterelor este împărțirea în două părți egale a imaginii reciproce de 0 cu χ φ . Obținem tabelul de caractere așteptat, corespunzător grupului alternativ de index 4. Știm acum că un grup special ortogonal având o reprezentare ireductibilă a dimensiunii 3 fără element de ordinul 6 este fie grupul S 4, fie grupul A 4 .

Mai sunt încă 3 pași de făcut pentru a finaliza studiul grupurilor ortogonale de această natură. Arătați că nici grupurile care conțin elemente de ordinul 6 și nici A 4 nu sunt probabil grupuri ortogonale speciale, determină grupul ortogonal al unei rețele cu grupul special ortogonal S 4 și caracterizează geometriile unei rețele având acest grup pentru set de izometrii. Vom proceda în ordine inversă. În primul rând, determinați geometria unei rețele care conține ca izometrii directe (de determinant 1) un grup izomorf la S 4 și găsiți trei soluții care au toate S 4 × C 2 ca grup ortogonal, cu excepția unui izomorfism. Va fi apoi timpul să abordăm cazul existenței unui element de ordine 6.

Această propunere ucide două păsări cu o singură piatră. Odată clarificate cele trei geometrii, va fi foarte simplu să arătăm că grupul ortogonal este întotdeauna cel al izometriilor cubului, de ordinul 48. Există o singură reprezentare fidelă a dimensiunii 3 a grupului A 4  ; concluzionăm că știm, într-o izometrie, exact aceste elemente ale grupului ortogonal. Chiar dacă înseamnă aplicarea unei rotații, este întotdeauna posibilă alegerea ca axe principale de simetrie a celor direcționate de i , j și k , baza canonică a lui ℝ 3 . Grupul este generat de izometrii formate din permutări ale celor trei elemente ale bazei, fără a lăsa invariante, de izometrii care schimbă semnul coordonatelor. Singurele izometrii prezente în grupul A 4 sunt cele ale determinantului 1. Ele pot fi construite folosind generatoarele propuse în articolul Reprezentări ale grupului simetric  ; izometriile corespund reprezentării notate φ 1 . Grupul alternativ este compus din izometriile acestei reprezentări având o semnătură pozitivă. Astfel avem reprezentarea matricială în baza canonică.

O rețea având un grup ortogonal care conține un subgrup izomorf la A 4 este imaginea compusă dintr-o rotație și o omoteză a unui subrețea de ℤ 3  :Fiecare axă principală conține elemente ale rețelei. Să-l arătăm pentru axa îndreptată de i  ; dovada ar fi aceeași pentru j și k . Rețineți mai întâi că rotația, cu o axă direcționată de i și o jumătate de tură, este un element al lui A 4 . Pentru a fi convins de acest lucru, este posibil să se calculeze matricea reprezentării permutării (ab) (cd) . Fie α un element diferit de zero al rețelei având coordonate în baza canonică ( x , y , z ), punctul ( x , - y , - z ) este un element al rețelei deoarece imaginea lui α prin rotație de o jumătate de tură. Suma acestor două puncte este un alt element al rețelei, având o componentă zero pe j și k .Este timpul să găsiți rețeaua care conține λ. Fie a cea mai mică valoare strict pozitivă afectată de forma liniară definită de produsul scalar asociat cu i . Existența unei astfel de valori se stabilește în dovada existenței unei baze în cazul general. Este suficient să observăm că există o subrețea de dimensiunea 2 în planul direcționat de j și k . Rotațiile imaginii lui A 4 asigură că coeficienții definiți în același mod pentru axele j și k sunt egali cu a . Pentru a realiza acest lucru, este suficient să construim matricea asociată cu compozitul permutațiilor (ab) și (bc) . Cu excepția semnului, se transformă ai în aj apoi în ak . Luați în considerare rețeaua de puncte a lui ℝ 3 cu coordonatele multiplilor lui a , cu coeficienți în ℤ, în baza canonică. Această rețea conține în mod necesar λ și, până la o omotitudine a raportului a −1 , este egală cu ℤ 3 .Observăm că ℤ 3 este stabil prin rotațiile unei treimi de tură și ale axelor, cele direcționate de ± i ± j ± k . Deoarece imaginea lui A 4 prin reprezentare este generată de aceste opt rotații, rețeaua este destul de stabilă prin acțiunea reprezentării grupului A 4 . Ceea ce pune capăt demonstrației.

Acum avem cel puțin o rețea având un subgrup izomorf la A 4 în grupul ortogonal. Există încă ceva de făcut pentru a-i găsi pe ceilalți, asigurați-vă că lista este exhaustivă și arătați că grupul ortogonal este întotdeauna egal cu cel al cubului.

Demonstrația anterioară ne simplifică viața. Devine necesar doar studierea subrețelelor din ℤ 3 . Cu un izomorfism aproape, acestea sunt singurele care conțin o reprezentare ireductibilă a dimensiunii 3, în detaliu lângă grupurile ortogonale care conțin un element de ordinul 6, care încă nu este tratat. Următorul pas constă în stabilirea listei de subrețele stabile de către subgrupul izomorf la A 4 în ℤ 3 . Pentru a face acest lucru, considerăm un punct diferit de zero al rețelei și îl denotăm ( a , b , c ), știind că coordonatele sunt întregi. Subgrupul izomorf la A 4 este făcut să acționeze asupra acestui element, adică diferite izometrii ale subgrupului sunt aplicate acestui element. Folosind stabilitatea adunării și scăderii grupului, se obține, cu o omotitate aproape, trei familii de rețea.

Dacă am merge puțin mai departe, am arăta că rețeaua generată de (1,1,0) este izomorfă cu cea generată de (1,1,1). Prin urmare, separarea acestor două rețele este un pic convențională. Există pentru că are sens în cristalografie.

Orice subrețea de ℤ 3 și de grup ortogonal care conține un subgrup izomorf la A 4 , este omotetică pentru una dintre cele trei rețele, generată fie de (1,0,0), fie de (1,1,0), fie de ( 1,1,1): Am văzut că schimbarea semnului unei coordonate nu modifică calitatea de membru al rețelei unui punct. Prin urmare, trebuie să presupunem că a , b și c sunt pozitive. Dacă toate sunt egale, subrețeaua este generată de a . (1,1,1) și propoziția este dovedită. Este la fel dacă două coordonate sunt egale și a treia este zero sau dacă două coordonate sunt zero. Presupunem că suntem în ultimul caz, cele trei coordonate sunt distincte două câte două și diferite de 0. Pentru a fixa ideile, presupunem că a este cea mai mare și c cea mai mică. Calculele paragrafului anterior arată că punctul (0, 0, 2 c ), apoi (2 c , 0, 0) apoi în cele din urmă (| a - 2 c |, b , c ) sunt încă puncte ale subrețelei . Am putea reduce strict cea mai mare coordonată. Acest algoritm poate fi reiterat până când prima coordonată este egală cu ultima sau este zero.Putem astfel să presupunem că punctul este scris ( c , b , c ) sau ( 0 , b , c ), dacă nu este imaginea de o omotitate a unuia dintre cele trei puncte menționate în enunț. Reiterăm același algoritm, de data aceasta pe b și c . Obținem un punct de forma c (1, 1, 1) sau c (0, 1, 1) sau chiar c (0, 0, 1). Apoi este posibil să schimbați poziția 1 unică (resp. 0) sau în prima (resp. Ultima) poziție pentru ultimele două cazuri. Există într-adevăr 3 rețele, cu o omotitate a raportului c −1 aproape.

Am trecut de la studierea tuturor rețelelor al căror grup ortogonal conține un subgrup izomorf la A 4 , la cele de ℤ 3 și apoi la trei cazuri speciale. Este suficient să se determine grupul ortogonal al acestor trei rețele pentru a concluziona cazul în care nu există elemente de ordinul 6 în grup.

Orice rețea de grup ortogonal care conține un subgrup izomorf la A 4 are un grup ortogonal izomorf la grupul S 4 × C 2  : Cel mai simplu caz este cel care conține i = (1, 0, 0); există în grupul izomorf la A 4 o izometrie a cărei imagine a lui i este - k și imaginea lui - k este j ceea ce arată că rețeaua este egală cu ℤ 3 , este simplu să verificăm că această rețea este stabilă de cele trei generatoare ale grupului corespunzătoare rotațiilor imaginii de (abcd) , (adbc) și (acdb) . Rețeaua este stabilă de trei izometrii care generează întregul grup S 4 , grupul ortogonal conține, prin urmare, S 4 . Raționăm exact la fel pentru celelalte trei cazuri pentru a găsi un rezultat similar. Acest grup este nucleul morfismului grupurilor care asociază determinantul său cu un element. Există cel puțin un element al grupului determinant egal cu -1, opusul identității. Morfismul împarte grupul în două clase, nucleul și altul conținând opusul identității. Două clase de această natură au în mod necesar aceeași cardinalitate, grupul ortogonal este de ordinul 48. Să considerăm acum morfismul lui S 4 × C 2 care cu ( h , ε) asociază ε.φ ( h ). Valoarea ε este egală cu ± 1 și φ reprezintă reprezentarea lui S 4 cu valori din grupul ortogonal special. Această aplicație este clar injectivă: un element al nucleului este compus dintr-un membru h al grupului având o imagine egală cu mai mult sau mai puțin identitatea sau caracterul reprezentării arată că există un singur element de această natură, identitatea. Morfismul considerat a fi injectiv și între două grupuri având aceeași cardinalitate, este neapărat bijectiv, care pune capăt demonstrației.

Rămâne un singur caz de rezolvat:

Nici un grup ortogonal care conține un element de ordinul 6 nu are o reprezentare ireductibilă de gradul 3: Aici folosim o tehnică geometrică. Noi căutăm un plan Δ ca izometrii posibile invariante ale grupului ortogonale G . Fie Θ o rotație de ordinul 6, adică un unghi de π / 3. Există o astfel de rotație, există un element de comandă 6 sau acest element, opusul său este rotit și ambele sunt izometrică în G . Rotația Θ lasă un plan invariant unic, prin urmare presupunem că Δ este acesta. Fie α un punct diferit de zero al rețelei în planul Δ și al normei minime. Aceeași tehnică a fost utilizată pentru a arăta că orice plan invariant de grupul ortogonal conține o subrețea de dimensiunea 2, permite să se arate că planul Δ conține o subrețea de dimensiunea 2 și că α există. Imaginile lui α prin iterațiile lui Θ formează un hexagon, ca în figura 20. Notăm β imaginea lui α cu Θ. Scopul este de a arăta că Δ este stabilă toate elementele G . Pentru aceasta considerăm rotation o rotație care nu lasă planul invariant. Fie imaginea lui α cu Σ, fie imaginea lui β nu se află în Δ. Chiar dacă înseamnă modificarea notațiilor cu o șesime de rând, putem presupune întotdeauna că punctul γ, egal cu Σ (α), nu se află în plan.Dacă punctul γ este ortogonal cu Δ, atunci Σ nu se află în grupul ortogonal. Figura 20 explică totul. Rotația Σ are o axă ortogonală la α și γ. Este o rotație cu un sfert de tură. Luați în considerare coordonatele punctului Σ (β). Dacă Σ ar fi în grupul ortogonal, tripletul (α, β, γ) ar forma o bază a rețelei, deoarece acestea sunt standarde minime și formează o familie liberă. Punctul Σ (β) ar fi element al rețelei și ar avea deci coordonate întregi în baza anterioară. Cu toate acestea, coordonata sa pe vectorul γ este egală cu 1/2, care nu este un număr întreg.Dacă punctul γ este nu este ortogonal cu Δ, atunci Σ nu se află în grupul ortogonal. De data aceasta, figura 21 explică totul. Punctul γ nu se află în Δ, proiecția sa ortogonală pe acest plan este de normă strict mai mică decât cea a lui α. Acum ia în considerare diferența δ dintre γ și Θ (γ). Această diferență δ, de normă egală cu proiecția ortogonală a lui γ pe Δ este strict mai mică decât cea a lui α, nu poate aparține rețelei. Într-adevăr, pe Δ nu există alt vector decât vectorul zero, în același timp element al rețelei și cu o normă strict mai mică decât cea a lui α. Acum, dacă Σ ar fi în grupul ortogonal, δ ar fi un punct al rețelei și al lui Δ.În rezumat, toate rotațiile grupului ortogonal lasă Δ global invariante. Toate izometriile lasă acest plan invariant, deoarece dacă o izometrie nu este o rotație, opusul său este și dacă opusul său nu lasă planul invariant, nici izometria nu este. Teorema lui MASCHKE arată că aceasta impune reprezentarea nu este ireductibilă.

Acum putem afirma teorema acestei casete de dialog.

Performanțele unui grup finit au fost foarte utile. Arătarea existenței unei rețele având un grup ortogonal izomorf cu cel al cubului devine mai rapidă și mai simplă, ceea ce poate fi verificat cu referința care continuă altfel. Dar nu aici se află adevărata dificultate. Se datorează exhaustivității analizei. Căutăm toate grupurile ortogonale. Faptul că știm că celelalte grupuri nu au o reprezentare ireductibilă de gradul 3 și, prin urmare, că există un plan invariant de toate izometriile grupului ortogonal, readuce în esență restul studiului la cel al grupurilor ortogonale. rețele de dimensiune 2. Cu toate acestea, acest studiu a fost deja realizat.

Alte reprezentări

Acum presupunem că grupul ortogonal G admite o reprezentare ireductibilă a dimensiunii 2, dar nu și a dimensiunii 3, cazul fiind deja tratat. Grupul nu este abelian deoarece singurele reprezentări ireductibile ale unui grup abelian sunt de dimensiunea 1. Reprezentările sunt, de fapt, luate în considerare pe complexe. Grupul G este o reprezentare a sa, această reprezentare admite în mod necesar un spațiu stabil de dimensiunea 2, care este poate complex. Ortogonalul său este, de asemenea, un sub spațiu stabil pentru toate elementele lui G , de data aceasta de dimensiunea 1. Caracterul, corespunzător raportului omotezei care este restricția unei izometrii a lui G pe acest spațiu de dimensiune 1, este încă real. Această proprietate este demonstrată în studiul privind ordinea grupului. Subspatiul 1-dimensional este, prin urmare, real și, prin urmare, și cel al 2-dimensional. Acum știm că există un plan de ℝ Δ 3 stabil de-a lungul izometrice G și ortogonale său este la fel de stabil și este compus din vectori proprii pentru orice element al G . Singura valoare proprie pentru o izometrie reală este ± 1. Deoarece orice izometrie a lui G are și opusul său în G , deducem că 1 este valoarea proprie pe ortogonala lui Δ pentru jumătate din elementele lui G și -1 pentru cealaltă. O altă remarcă simplifică demonstrațiile:

Intersecția dintre Δ și rețea este o subrețea bidimensională : Fie Σ o izometrie a lui G cu valoarea proprie 1 pe ortogonalul lui Δ și λ un element al rețelei astfel încât Σ (λ) să fie diferit de λ. Proiecțiile ortogonale ale lui Σ (λ) și ale lui λ pe ortogonalul lui Δ sunt egale; deducem că Σ (λ) - λ este un element al lui Δ. Un element al Δ poate fi eigenvector pentru toate izometrică G , în cazul în care spațiul vectorial generat de acest element și ortogonale Δ ar fi două spații stabile ℝ 3 prin orice element al G . Ortogonalul acestor două spații ar fi al treilea și toate izometriile lui G ar fi diagonalizabile în aceeași bază, ceea ce implică comutativitatea grupului G , contrar ipotezelor. Imaginea lui Σ (λ) - λ printr-o izometrie a lui G care nu are acest vector ca vector propriu oferă un al doilea vector necoliniar cu Σ (λ) - λ și, de asemenea, în Δ. Acești doi vectori generează o subrețea bidimensională în interiorul Δ.

Structura rețelelor cu un grup ortogonal necomutativ începe să prindă contur. Rețeaua conține o subrețea bidimensională Δ astfel încât grupul ortogonal al acestei subrețele să nu fie comutativ. Pe ortogonalul lui Δ, jumătate din grup se comportă ca identitate și cealaltă jumătate ca opus. O ultimă remarcă este utilă: un grup care cuprinde doar elemente de ordinul 2 (cu excepția elementului neutru) este comutativ.

Acum putem enumera diferitele grupuri ortogonale necomutative. Ele pot fi împărțite în două părți, cele care conțin un element de ordinul 3 și cele care conțin un element de ordinul 4.

Să începem cu ordinea 3.

Cu excepția grupului de cuburi, există exact două grupuri ortogonale care conțin un element de ordinul 3: D 12 × C 2 și D 12  : Luați în considerare o rotație de ordinul 3; axa sa este neapărat ortogonală a lui Δ deoarece această rotație nu are altă dreaptă adecvată. Fie α un element diferit de zero al lui Δ și al normei mai mici; studiul rețelei hexagonale din dimensiunea 2 arată că imaginile lui α prin toate rotațiile unui unghi k π / 3 sunt în Δ. Ca și anterior, denotăm prin β imaginea lui α prin rotația unghiului π / 3. Rămâne doar pentru a determina γ, un nenulă punct al rețelei, un standard minim și A afară, să știe exact structura rețelei și a grupului său ortogonale G . Deoarece γ este de normă minimă, proiecția sa ortogonală pe Δ se află în interiorul hexagonului de raza jumătate din norma lui α. În caz contrar, scăzând fie ± α, fie ± β, am obține un element al rețelei în afara lui Δ și a unei norme strict mai mici decât cea a lui γ. Odată ce geometria rețelei a fost stabilită, este timpul să analizăm grupul său ortogonal. Fiecare element al grupului ortogonal al rețelei planului Δ poate fi extins în două moduri diferite într-o izometrie a lui ℝ 3  : cel care transformă δ în δ și celălalt a cărui imagine a lui δ este −δ. Este necesar să verificați dacă există extensii care lasă rețeaua invariantă. Această lucrare este necesară numai pentru generatorii grupului ortogonal al planului, se iau în considerare două dintre ele, Θ și Σ reflectarea lăsând invariant α. Proiecția ortogonală a lui γ pe Δ are pentru imaginea Θ punctul Θ (σ), din nou egal cu −Θ 4 (σ), adică proiecția ortogonală a lui β - γ. Există o extensie unică a lui Θ într-o izometrie care lasă rețeaua tridimensională invariantă: cea care asociază β - γ cu γ. Imaginea cu Σ a proiecției ortogonale a lui γ pe Δ este egală cu Θ −1 (σ) sau din nou cu −Θ 2 (σ), adică cu proiecția ortogonală a lui α - γ. Există o continuare unică a lui Σ într-o izometrie lăsând invariant rețeaua dimensiunii 3. Grupul ortogonal conține cel puțin la fel de multe elemente ca echivalentul său al rețelei dimensiunii 2. Dimpotrivă, restricția unei izometrii a lui G la plan Δ este un membru al grupului ortogonal de rețea 2-dimensional, deoarece Δ este stabil toate isometrics de G . Deci , există cel puțin cât mai multe elemente din grupa ortogonală de dimensiunea 2 de rețea în G . Aplicarea lui G în grupul ortogonal al rețelei lui Δ este un izomorfism de grup. Prin urmare, știm că G este izomorf la D 12 . Cu excepția grupului de cuburi, există un singur grup ortogonal care conține un element de ordinul 4: D 8 × C 2  : Analiza începe ca cea precedentă; Δ este planul ortogonal față de axa lui Θ, o rotație de ordinul 4. Punctul nenul α al zăbrelei și al lui Δ are o normă minimă și β este egal cu Θ (α). În cele din urmă, γ este un vector al rețelei din afara lui Δ și a unei norme mai mici. Ca și anterior, în cazul în care γ este ortogonal Δ, gruparea G este izomorf produsul grupării ortogonală a laticea Δ și C 2 . Rezultatele anterioare arată că acest grup este izomorf la D 8 × C 2 . Acum presupunem că γ nu se află în ortogonalul lui Δ și descoperim că proiecția sa σ este egală cu (α + β) / 2, astfel încât rotația Θ lasă rețeaua stabilă. Dacă δ reprezintă vectorul non-zero al rețelei, ortogonală la Δ, de normă minimă și în aceeași direcție ca γ, vom constata că γ = (α + β + δ) / 2. De data aceasta, reflexia lui γ pe planul Δ este egală cu (α + β - δ) / 2 sau din nou cu α + β - γ. Reflectarea face parte din grupul ortogonale G . Chiar și în această configurație, există două moduri de extindere a unei izometrii lăsând intersecția rețelei și Δ invariante. Grupul G este încă izomorf până la D 8 × C 2 .

Cazul grupurilor ortogonale abeliene rămâne încă de tratat. Este deosebit de ușor, știind că grupurile care nu au fost încă tratate conțin doar izometrii involutive. Deoarece un grup care conține doar izometriile implicate este în mod necesar abelian, structura sa este stabilită imediat.

Grupul ortogonală este izomorfă cu C 2 × C 2 × C 2 , dacă și numai dacă, există trei drepturi comune specifice toate elementele G . Un astfel de grup se obține dacă există o bază ortogonală a rețelei. Celelalte geometrii sunt obținute prin generalizarea analizei efectuate în dimensiunea 2 pe grupul Klein.

Grupul ortogonal este izomorf pentru C 2 × C 2 dacă și numai dacă rețeaua nu corespunde niciunei geometrii precedente și există o linie adecvată comună tuturor elementelor grupului ortogonal. Se obține, de exemplu, dacă există o bază a căreia unul dintre vectori este ortogonal față de celelalte două. Celelalte geometrii sunt obținute utilizând o abordare similară celei anterioare.

Dacă niciuna dintre geometriile anterioare nu se potrivește cu cea a rețelei, grupul său ortogonal conține doar identitatea și opusul său, atunci este izomorf pentru C 2 .

Dimensiuni superioare

Cu cât dimensiunea crește, cu atât întrebarea devine mai delicată. Putem trata în continuare cazul dimensiunii 4 cu aceleași instrumente ca și cele ale dimensiunii 3. Apoi, dacă metodele sunt derivate în esență din teoria reprezentărilor unui grup finit, alte teoreme apar din ce în ce mai mult, nu mai sunt necesare.

Aceste grupuri ortogonale sunt studiate deoarece, pentru alte ramuri ale cunoașterii, nu le lipsește atracțiile. Acestea fac posibilă reprezentarea anumitor grupuri finite și oferă multe metode de studiu. Acesta este modul în care JH Conway găsește 3 printre ultimele grupuri lipsă pentru o clasificare completă a grupurilor finite. Rețeaua utilizată este de dimensiunea 24 și poartă numele de Leech . Un alt caz celebru este cel al grupului Monster , cel mai mare dintre cele 26 de grupuri sporadice . Existența sa fusese anunțată de zece ani înainte de construirea sa. Trebuia să rezulte dintr-o reprezentare de gradul 196883, conjecturată și explicată fără ajutorul unui computer. Ar trebui să închidă clasificarea grupurilor simple finite. Se folosește o rețea.

Alte ramuri ale matematicii folosesc o rețea. Studiul curbelor eliptice , dezvoltat în XIX - lea  dimensiunea cererii secol de analiză de rețea 2. Acest studiu generalizează la dimensiuni mai mari de teoria functiilor abeliene .

Utilizări

Covolume

O ilustrare a interesului conceptului vine din teoria numerelor algebrice , și mai precis din geometria aritmetică . Dacă K este o extensie finită a gradului n al câmpului ℚ, este posibil să se identifice inelul întregilor lui algebrici cu un modul ℤ- liber de dimensiune n . O extensie finită a lui ℚ este un spațiu vectorial dimensional- dimensional finit și poate fi văzută ca un subcâmp al lui ℂ. Un număr întreg algebric este un număr care este rădăcina unui polinom unitar cu coeficienți în ℤ. Un exemplu simplu este domeniul de raționamente gauss , adică, numere de forma unui + i b , unde a și b sunt elemente ale ℚ și i se unitatea imaginară . Numerele algebrice ale acestui câmp, numite numere întregi gaussiene , sunt numerele formei a + i b unde, de data aceasta, a și b sunt elemente ale lui of. Punctele rețelei sunt reprezentate în figura 23 de intersecțiile rețelei albastru închis.

Această viziune face posibilă interpretarea geometrică a multor situații aritmetice. Putem interpreta, de exemplu, faptul că coeficientul inelului A de o subrețea M de aceeași dimensiune (ca un ideal diferit de zero), este finit și egal cu valoarea absolută a determinantului unei baze de M într-o bază a . Această proprietate, valabilă pentru orice inel de numere întregi algebrice ale unui câmp pătratic sau mai general al unui câmp numeric , este demonstrată printr-un calcul elementar. Interpretarea sa geometrică constă în a spune că numărul de puncte ale rețelei care aparțin unui domeniu fundamental al subrețelei este egal cu volumul acestui domeniu fundamental, atunci când se consideră o bază a lui A ca ortonormală .

Figura 23 ilustrează această interpretare atunci când M este idealul principal generat de întregul algebric α = 2 + i în numerele întregi Gauss, adică punctele subrețelei sunt produsele lui α de către orice număr întreg Gauss. O bază a rețelei A fiind B = (1, i ), o bază a subrețelei M = α A este α B = (α, α i ) = (2 + i , –1 + 2 i ). Această subrețea este reprezentată de punctele verzi din figură. O clasă de echivalență a inelului coeficient este reprezentată geometric de un decalaj al rețelei verzi și care conține un punct al grilei, de exemplu o clasă este ilustrată de punctele albastre. Fiecare clasă conține un reprezentant în zona roșie a vectorilor de coordonate incluse în intervalul [0, 1 [în bază (2 + i , –1 + 2 i ). Numărul de întregi gaussiene (rețeaua reprezentată de grila de culoare albastru închis) , situată în acest domeniu cheie este egală cu valoarea absolută a determinantul bazei aB a M în baza B a A . Acest determinant (întotdeauna pozitiv în exemplul numărului întreg Gauss, dar uneori negativ în alte inele de numere întregi algebrice) se numește norma aritmetică a lui α. Un calcul rapid arată că norma aritmetică a unui întreg Gaussian a + i b este egală cu a 2 + b 2 . În exemplul ales, numărul de numere întregi gaussiene care se află în domeniul fundamental este într-adevăr egal cu 5, norma 2 + i .

Figura 24 ilustrează un exemplu similar în dimensiunea 3. Inelul (ale cărui puncte sunt reprezentate de bile mici) este aici ℤ [ 3 √ 2 ], baza B = (1, 3 √ 2 , 3 √ 4 ) considerată ortonormală și idealul principal M (ale cărui puncte sunt în roșu) este generat de α = 2. Domeniul fundamental al subrețelei M este cubul roșu, alcătuit din punctele ale căror coordonate în baza 2 B ale lui M aparțin [0, 1 [(adică ale cărei coordonate în B aparțin lui [0, 2 [). Volumul său, egal cu norma lui α, adică 2 3 = 8 (determinant al dilatației raportului 2 în dimensiunea 3), este într-adevăr egal cu numărul de puncte ale rețelei aparținând cubului roșu. Fiecare clasă a coeficientului A / M = A / (2 A ) este reprezentată de unul dintre aceste 8 puncte: dacă β este orice punct al lui A , este congruent, modulul 2 A , până la punctul ale cărui coordonate sunt resturile (0 sau 1) diviziuni euclidiene cu 2 dintre cele ale β .

Acest rezultat trebuie comparat cu teorema lui Pick care indică, în dimensiunea 2, relația dintre numărul de puncte ale rețelei conținute într-un politop P ale cărui vârfuri sunt elemente ale rețelei și suprafața politopului. Generalizarea în dimensiunea n se obține folosind polinomul Ehrhart  (en) .

Set convex

Teorema lui Minkowski afirmă că un convex simetric în raport cu originea și cu un volum mai mare de 2 n V de ℝ n întâlnește neapărat un punct diferit de covolumul V de rețea . FIG. 26 reprezintă, pentru n = 3, un convex simetric în raport cu originea, volumul său este deci mai mic de 8 ori covolumul, deoarece întâlnește rețeaua doar la punctul de origine.

Articolul detaliat oferă mai multe dovezi, dintre care una poate fi interpretată în termeni de reprezentare a domeniului fundamental sub forma unui tor. C convex pentru n = 2, prezentat în verde în FIG. 25, are un volum mai mare de 4 V ; imaginea acestui convex cu o omotitate a raportului 1/2 are un volum mai mare decât cel al torului. Această configurație este ilustrată în figura 25. Restricția morfismului canonic de la ℝ n la ℝ n / Λ nu poate fi injectivă, deoarece altfel ℝ n / Λ ar conține un volum a cărui măsură ar fi strict mai mare decât a sa. Prin urmare, există două puncte X și Y având aceeași imagine prin morfism, sau chiar X - Y este un element al lui Λ. Sau X și - Y sunt elemente de (1/2) C și ( X - Y ) / 2 este , de asemenea, prin urmare , X - Y este un element al C . Zona în care morfismul nu este bijectiv este indicată în gri în figura 25. Imaginea sa prin morfism este zona gri a torului ilustrată în paragraful (a se vedea mai sus ) pe domeniul fundamental.

Această teoremă este utilizată de exemplu pentru a stabili teorema unităților lui Dirichlet , elucidând structura grupului de unități ale unui inel de numere întregi algebrice.

Probleme algoritmice în rețele

O rețea care formează un set discret, există în orice rețea un vector non-zero mai scurt. Acest vector depinde în mod evident de norma cu care este prevăzut spațiul. Această problemă (adesea numită SVP, din English Shortest Vector Problem ) este cunoscută ca fiind NP-dificilă în cazul normei euclidiene . Pentru alte standarde comune, nu se știe nimic, dar se presupune că problema este cel puțin la fel de dificil de rezolvat.

Problema neomogenă asociată constă, dat fiind un vector și o rețea, în găsirea vectorului cel mai apropiat de vectorul dat. Se numește adesea CVP (din engleză Closest Vector Problem ) și este, de asemenea, NP-difficile pentru standardul euclidian.

Unele baze sunt mai potrivite decât altele pentru lucrul într-o rețea, deoarece sunt formate din vectori scurți și, prin urmare, permit mersul local în jurul unui punct dat din rețea. Acestea se numesc baze reduse și aceste metode, tăieri de rețea  (în) . Există mai multe noțiuni diferite de reduceri, dar reducerea LLL inventată de Lenstra, Lenstra și Lovász are avantajul de a fi calculabilă în timp polinomial de algoritmul LLL . Acest algoritm, care oferă o bază de vectori destul de scurți , are mai multe aplicații, în special în criptografia cu cheie publică .

Referințe

  1. Această definiție este foarte generală. Cf de exemplu C. Lamy-Bergot, teza de doctorat [PDF] a ENST (2000), cap. 1: „Rețelele de puncte” .
  2. Pentru mai multe detalii, a se vedea de exemplu începutul capitolului „Geometria numerelor” de pe Wikiversitate .
  3. O explicație detaliată poate fi găsită în „Rețele de cristal în spațiul real și reciproc” [PDF] , un curs de fizică în stare solidă la EPFL .
  4. S. Norvez și F. Tournilhac, „Fenomene de culoare în minerale și pietre prețioase” , ESPCI , vezi p.  2 teoria câmpului de cristal.
  5. J. Huheey, E. Keiter și R. Keiter, Chimie anorganică , De Boeck, 1996 ( ISBN  2804121127 ) , p.  266 .
  6. (în) domnul Aroyo, U. Müller și H. Wondratschek, Introducere istorică , tabele internaționale pentru cristalografie, vol. A1, Springer, 2006, p.  2-5
  7. Cele 7 grupuri și 14 rețele sunt ilustrate pe site: (en) S. Rosen și J. Adler, The fourteen Bravais lattices , Technion , 2003.
  8. G. Delafosse, Curs nou de mineralogie , Roret, 1860.
  9. Următorul document propune o analiză limitată la grupul cubului: C. Squarcini, „Grupul de izometrii ale cubului” , document de pregătire pentru agregarea internă .
  10. Se poate verifica, de exemplu, în notele de curs de R. Bédard, „  Reprezentări ale grupurilor, cap. 4  ” , pe UQAM , p.  29.
  11. (în) JH Conway , "  Un grup perfect de ordine 8.315.553.613.086.720.000 și simpla grupuri sporadice  " PNAS , n o  61, 1968 p.  398-400 .
  12. [PDF] „Reprezentări ale grupurilor finite, teoria caracterelor” , predarea politicii tehnice École, p.  5 .

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe

Bibliografie