Legea de reciprocitate quadratică

În matematică , în special în teoria numerelor , legea reciprocității pătratice stabilește legături între numerele prime ; mai precis, descrie posibilitatea exprimării unui număr prim ca un pătrat modulo un alt număr prim. Conjecturat de Euler și reformulat de Legendre , a fost corect demonstrat pentru prima dată de Gauss în 1801.

Rezolvă cele două probleme de bază ale teoriei reziduurilor pătratice :

dat un număr prim $p$ , determinați, dintre numerele întregi, care sunt pătrate modulo $p$ și care nu;
dat un număr întreg $n$ , determinați, dintre numerele prime, modulul care $n$ este pătrat și modulul care nu este.

Este considerat a fi una dintre cele mai importante teoreme din teoria numerelor și are multe generalizări.

Declarații

Afirmația completă a lui Gauss are trei afirmații: „teorema fundamentală” pentru două numere prime impare și două „legi complementare”.

Prima afirmație

Teorema fundamentală. Dat fiind două numere prime impare distincte

p

și

q

dacă $p$ sau $q$ este congruent cu 1 modulo 4, atunci $p$ este un modulo $q$ pătrat dacă și numai dacă $q$ este un modulo $p$ pătrat .

Mai explicit: ecuația (de $x$ necunoscut ) $x$ $2$ $\equiv$ $p$ $mod$ $q$ are o soluție dacă și numai dacă ecuația (de $y$ necunoscut ) $y$ $2$ $\equiv$ $q$ $mod$ $p$ are o soluție.

dacă $p$ și $q$ sunt congruente cu 3 modulo 4, atunci $p$ este un modulo $q$ pătrat dacă și numai dacă $q$ nu este un modulo $p$ pătrat .

Mai explicit: ecuația $x 2 \equiv p mod q$ are o soluție dacă și numai dacă ecuația $y 2 \equiv q mod p$ nu are nicio soluție.

Prima lege complementară. –1 este un pătrat modulo

p

dacă și numai dacă

p

este congruent cu 1 modul 4. A doua lege complementară. 2 este un pătrat modul

p

dacă și numai dacă

p

este congruent cu 1 sau –1 modul 8.

Simbolul Legendre

Folosind simbolul Legendre , aceste trei afirmații pot fi rezumate, respectiv, prin:

Teorema fundamentală.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}}}

, adică, cu excepția cazului în care

p

și

q

sunt ambele congruente cu

-1 mod 4

, caz în care .

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = \ left ({\ frac {q} {p}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = - \ left ({\ frac {q} {p}} \ right)}

Prima lege complementară.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {p-1} {2}}}

. A doua lege complementară.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {p ^ {2} -1} {8}}}

Exemple

Modulo q = 3, singurul pătrat diferit de zero este (± 1) 2 = 1. Legea pătratică a reciprocității (alăturată primei sale legi complementare) prevede, prin urmare, pentru orice număr prim $p$ altul decât 2 și 3, echivalența: ${\ displaystyle p \ equiv 1 \ operatorname {mod} 3 \ Longleftrightarrow -3 {\ text {is a modulo square}} p}$ .Această echivalență este demonstrată mai direct: întregul $p$ - 1 este multiplu de 3 dacă și numai dacă (ℤ / p ℤ) * conține un element de ordinul 3, adică o rădăcină a polinomului X 2 + X + 1 . Acest lucru este echivalent cu existența în ℤ / $p$ ℤ a unei rădăcini pătrate a discriminantului –3 al acestui polinom.
Modulo q = 5, pătratele diferite de zero sunt (± 1) 2 = 1 și (± 2) 2 ≡ –1. Prin urmare, legea reciprocității pătratice prevede, pentru orice număr prim $p$ altul decât 2 și 5, echivalența: ${\ displaystyle p \ equiv \ pm 1 \ operatorname {mod} 5 \ Longleftrightarrow 5 {\ text {este un pătrat modulo}} p.}$ Dar, încă din 1775, Lagrange , printre numeroasele sale cazuri particulare ale legii reciprocității - fructe ale studiului său asupra formelor binare pătratice - a demonstrat semnificația directă (⇒) și a extins reciprocul (⇐) la cazul în care $p$ nu este prim . Gauss, ca preambul la prima sa demonstrație a legii generale, a făcut același lucru.
Să stabilim dacă 219 este un pătrat modulo 383. Multiplicativitatea simbolului Legendre arată că: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {219} {383}} \ right) = \ left ({\ frac {3} {383}} \ right) \ left ({\ frac {73} {383}} \ dreapta)}$ .

Teorema fundamentală face posibilă simplificarea celor doi factori: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {383}} \ right) = (- 1) ^ {2 \ times 382/4} \ left ({\ frac {383} {3}} \ right) = - \ left ({\ frac {-1} {3}} \ right) \ quad {\ text {et}} \ quad \ left ({\ frac {73} {383}} \ right) = (- 1) ^ {72 \ times 382/4} \ left ({\ frac {383} {73}} \ right) = + \ left ({\ frac {18} {73}} \ right)}$ . Din nou prin multiplicativitatea simbolului Legendre, simplificăm și al doilea factor: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {18} {73}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {73}} \ right) \ left ({\ frac {3 ^ {2}} { 73}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {73}} \ right)}$ .Încheiem folosind cele două legi complementare: ca și , ${\ displaystyle 3 \ not \ equiv 1 \ operatorname {mod} 4}$ ${\ displaystyle 73 \ equiv 1 \ operatorname {mod} 8}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {219} {383}} \ right) = - left ({\ frac {-1} {3}} \ right) \ left ({\ frac {2} {73} } \ dreapta) = - (- 1) 1 = 1}$ . Prin urmare, 219 este un modulo 383 pătrat.

Să determinăm modulul care numere prime $p > 3$ întregul 3 este pătrat. Conform teoremei fundamentale,

${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {p}} \ right) = (- 1) ^ {(3-1) (p-1) / 4} \ left ({\ frac {p} {3 }} \ right) = (- 1) ^ {(p-1) / 2} \ left ({\ frac {p} {3}} \ right)}$ ,

sau depinde de $p$ $mod 3$ și depinde de $p$ $mod 4$ . Astfel constatăm că ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {3}} \ right)}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {(p-1) / 2}}$

{\ displaystyle 3 {\ text {este un pătrat modulo}} p \ Longleftrightarrow p \ equiv \ pm 1 \ operatorname {mod} 12.}

Dovezi ale legii reciprocității pătratice

Într-o carte publicată în 2000, Franz Lemmermeyer expune istoria matematică a legilor reciprocității prin acoperirea dezvoltărilor lor și colectează citate din literatură pentru 196 de dovezi diferite ale teoremei fundamentale.

Primele demonstrații ale acestuia din urmă considerate astăzi complete sunt publicate de Gauss în Disquisitiones arithmeticae în 1801. Gauss a avut dovezile încă din 1796 (la vârsta de 19 ani). Prima dintre aceste dovezi se bazează pe raționamentul recurent. În corespondența cu elevul său Gotthold Eisenstein , Gauss descrie această primă dovadă ca fiind laborioasă. A treia și a cincea dovadă a sa se bazează pe lema lui Gauss , pe care a demonstrat-o cu această ocazie.

O dovadă a teoremei fundamentale, care se bazează pe instrumentele analizei armonice pe un grup abelian finit și utilizează caracterele grupelor abeliene aditive și multiplicative ale câmpului finit $F p$ cu elemente $p$ , este dată în articolul „ Suma de Gauss ”. O versiune mai simplă este a șasea dovadă a acestei teoreme de Gauss. O altă dovadă poate fi găsită în linkurile externe ale articolului „ Lema lui Zolotarev ”. Datorim lui Frobenius o dovadă geometrică foarte simplă bazată pe lema lui Gauss .
O demonstrație a celor două legi complementare este propusă aici. Prima este o consecință imediată a criteriului simplu al lui Euler . Cele două dovezi alese pentru cea de-a doua sunt (printre multe altele, precum cea a lemei lui Gauss) cea a lui Thomas Joannes Stieltjes (prin numărare ) și cea a lui Euler (1772).

Dovada celor două legi complementare

Fie $p$ un număr prim altul decât 2. Obiectivul este de a determina starea pătratică a –1 și 2 în câmpul F p = ℤ / p ℤ . Ordinea de ei multiplicative grupa F p * este p - 1 (care este chiar).

Consecințele criteriului lui Euler :

produsul ab a două elemente ale lui F p * este pătratic dacă a și b sunt simultan pătratic sau dacă niciunul dintre ele nu este;
un element al F p * este non- pătratică dacă și numai dacă este rădăcina polinomului P ( X ) din F p [ X ] definit de:

{\ displaystyle P (X) = X ^ {\ frac {p-1} {2}} + 1}

;

există exact ( p - 1) / 2 reziduuri pătratice.

Prima lege complementară:

Rezultă din impariitatea lui

p

(care poate fi deci doar modulul 4 congruent cu ± 1) și din a doua consecință de mai sus: –1 este necadratic dacă și numai dacă , adică dacă

p

este congruent cu –1 modulo 4.

(-1) ^ {{(p-1) / 2}} = - 1

Pentru a aborda dovada celei de-a doua legi, considerați mulțimea B a reziduurilor necadratice diferită de –1. Observăm că, dacă b este un element al lui B , atunci și b -1 este diferit de b . Într-adevăr, singurele elemente egale cu inversele lor sunt 1 și –1 și niciun element din B nu este egal cu unul dintre acestea.

Există două cazuri în funcție de rezultatul prevăzut de prima lege.

A doua lege complementară (Stieltjes) dacă $p$ este congruent cu 1 modul 4:

În acest caz, –1 este un reziduu pătratic și B este setul de ( p - 1) / 2 reziduuri necadratice. Fie C mulțimea egală cu B - 1, adică mulțimea elementelor lui B din care scădem 1. Următoarea egalitate arată că jumătate din elementele lui C sunt reziduuri pătratice și cealaltă nu:

\ forall b \ in B \ quad b (b ^ {{- 1}} - 1) = b ~ b ^ {{- 1}} - b = -1 (b-1).

Într-adevăr, dacă b - 1 este un reziduu pătratic, așa cum b nu este și că -1 este, nici b -1 - 1 nu este. Acest lucru arată că putem împărți C într-un set de perechi din care un element este un reziduu pătratic și celălalt nu. Deoarece ( p - 1) / 2 este egal, calculul lui P (1) arată că:

2 = 1 ^ {{{\ frac {p-1} 2}}} + 1 = P (1) = \ prod _ {{b \ in B}} (1-b) = \ prod _ {{b \ în B}} (b-1) = \ prod _ {{c \ în C}} c.

În consecință, 2 este un reziduu pătratic dacă și numai dacă numărul reziduurilor necadratice ale lui C , care este ( p - 1) / 4, este egal, adică dacă p este congruent cu 1 nu numai modulul 4, ci modulul 8.

A doua lege complementară (Stieltjes) dacă p este congruent cu –1 modulul 4:

În acest caz, –1 nu este un reziduu pătratic și B conține doar ( p - 3) / 2 elemente. Luați în considerare setul C ' egal cu B + 1. Următoarea egalitate și raționamentul anterior arată că jumătate din elementele ( p - 3) / 2 ale lui C' sunt reziduuri pătratice, iar cealaltă nu:

\ forall b \ in B \ quad b (b ^ {{- 1}} + 1) = b ~ b ^ {{- 1}} + b = b + 1.

Se notează cu Q ( X ) polinomul definit prin:

Q (X) = \ prod _ {{b \ in B}} (Xb) = {\ frac {P (X)} {X + 1}} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{{ \ frac {p-3} 2}}} (- 1) ^ {i} X ^ {i}.

Calculând Q (–1) în două moduri și reutilizând că ( p - 3) / 2 este egal, obținem:

\ prod _ {{c \ in C '}} c = (p-1) / 2.

Elementul p - 1 nu este un reziduu pătratic în acest caz, iar inversul lui 2 este un reziduu pătratic dacă și numai dacă 2 este. În consecință, 2 este un reziduu pătratic dacă și numai dacă numărul reziduurilor necadratice ale lui C ' , care este ( p - 3) / 4, este impar, adică dacă p este congruent cu –1 nu numai modulul 4, ci modulul 8.

A doua lege complementară (Euler).
- Dacă p = 8 n + 1 atunci 2 este un mod pătrat p deoarece x 8 n - 1 = ( x 4 n - 1) (( x 2 n + 1) 2 - 2 ( x n ) 2 ).
- Dacă p ≡ –1 mod 8 atunci –2 nu este un mod pătrat p ( altfel, p ar avea forma a 2 + 2 b 2 , ceea ce este banal imposibil) de aceea (conform primei legi complementare) 2 este unul dintre lor.
- Dacă p ≡ ± 3 mod 8 atunci 2 nu este un mod pătrat p ( altfel, p ar avea forma ± ( a 2 - 2 b 2 ) , ceea ce este banal imposibil).

Generalizări

Există legi privind reciprocitatea cubică , biquadratică (ro) (adică gradul 4) și așa mai departe. Cu toate acestea, generalizarea reală a tuturor acestor legi - generalizarea monumentală - este teoria corpurilor de clasă . A se vedea „A noua problemă Hilbert ”.

Note și referințe

Note

El crede că a demonstrat-o (A.-M. Legendre, „ Cercetări ale analizei nedeterminate ”, Istoria Academiei Regale de Științe din Paris , 1785, p. 465-559 : demonstrație p. 516-520 , reluare în Eseu despre teoria numerelor , 1798), dar Gauss ( tradus din latină de A.-C.-M. Poullet-Delisle), Cercetări aritmetice [„ Disquisitiones arithmeticae ”],1807( 1 st ed. 1801) ( citit la Wikisource ), § 296-297, analizează defectele. Primul este că Legendre admite în mod repetat teorema progresiei aritmetice , o întrebare care se dovedește a fi chiar mai dificilă decât cea a reciprocității pătratice și nu va fi demonstrată până în 1837. Legendre a perceput această primă dificultate ( p. 552 ), dar a crezut în 1808 să o fi rezolvat . Un alt defect a fost „o încurcare a raționamentului circular. [...] În timpul 3 - a ediție (1830) a lui studiu , nu a existat o dovadă suficientă critică a Legendre a adăugat 3 e arată Gauss de reciprocitate, precum și menționat de către Jacobi (menținând în același timp că prima sa dovada a fost valabilă). » ( (Ro) David A. Cox , Primes of the Form $x 2 + ny 2$ , Wiley,2011( 1 st ed. 1989) ( citit on - line ) , p. 39).
A se vedea, de exemplu , exercițiul corectat 4-11 al lecției „Introducere în teoria numerelor” de pe Wikiversitate .
Reciproca (⇐), utile în determinarea numerelor prime Eisenstein , de asemenea , poate fi dedus din factoriality de ℤ [ $j$ ] .
De exemplu, pentru că (ℤ / $p$ ℤ) * este ciclic de ordinul $p$ - 1 , sau din nou în conformitate cu lema lui Cauchy . Pentru alte argumente, a se vedea exercițiul 4-11 de mai sus.
Pentru o dovadă directă a acestei echivalențe, în același spirit ca și precedentul, vezi de exemplu exercițiul corectat 4-12 al lecției „Introducere în teoria numerelor” de pe Wikiversitate .
Această conversație, utilă în determinarea ireductibilelor lui ℤ [φ] , poate fi dedusă și din factorialitatea acestui inel .
Pentru o dovadă similară a celei de-a doua legi suplimentare, a se vedea de exemplu (în) Kenneth Ireland și Michael Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , al. „ GTM ” ( nr . 84) ( citiți online ) , p. 69-70, sau exercițiul corectat 4-8 al lecției „Introducere în teoria numerelor” de pe Wikiversitate .
A se vedea, de asemenea, „ Teorema cu două pătrate a lui Fermat ”.

Referințe

(La) " Observationses about divisionem quadratorum per numeros primos (E552) " ,1783 (scris în 1772).
Gauss 1801 , § 125-151 și 262.
(în) Tom M. Apostol , Introducere în teoria analitică a numerelor , Springer ,1976( citiți online ) , p. 178.
J.-L. Lagrange, „ Cercetări în aritmetică (continuare) ”, Memoriile Academiei din Berlin ,1775, p. 323-356reeditat Joseph-Alfred Serret , Lucrările lui Lagrange , vol. III, Gauthier-Villars ,1869( citiți online ) , p. 759-795.
J.-L. Lagrange, „ Cercetări în aritmetică ”, Memoriile Academiei din Berlin ,1773, p. 265-312( Œuvres , III , p. 695-758, [ citește online ] ), stabilește mai precis că „divizorii impari ai numerelor formei t 2 - 5 u 2 sau 5 u 2 - t 2 sunt în același timp de fiecare dintre aceste două forme y 2 - 5 z 2 , 5 z 2 - y 2 . "
Gauss 1801 , § 123 și 121.
Apostol 1976 , p. 186-187, Exemplul 1 .
Apostol 1976 , p. 187, Exemplul 2 .
(ro) F. Lemmermeyer, „ Dovezi ale legii quadratică a reciprocității ” .
(în) Reinhard Laubenbacher și David Pengelley, „ Gauss, Eisenstein și„ a treia ”dovadă a teoremei de reciprocitate quadratică: Ein kleines Schauspiel ” .
(La) Gauss, " Theorematis fandamentalis in doctrina de reziduuri quadraticis demonstrații și ampliații noi ", 1818.
André Weil , " La cyclotomy past and past " , Séminaire Bourbaki , vol. 16, n o 452, 1973-1974, p. 318-338 ( citește online ), § 6.
Pentru detalii despre această dovadă, consultați, de exemplu, linkul de mai jos către „Legea reciprocității pătratice” de pe Wikiversitate .
(De) G. Frobenius, „ Über das quadratische Reziprozitätsgesetz II ” , Sitzungsberichte Berliner Akad. ,1914, p. 484-488 : vezi exercițiul corectat 4-13 al lecției „Introducere în teoria numerelor” pe Wikiversitate .
TJ Stieltjes, " Despre caracterul pătratic al numărului 2 ", Annales de La Faculté des Sciences de Toulouse , 1 st seria, vol. 11, n o 1,1897, p. 5-8 ( citiți online ).
(în) Andre Weil , Teoria numerelor: o abordare prin istorie de la Hammurabi la Legendre [ ediții cu amănuntul ], p. 212 și 85. Gauss 1801 , § 116, este, prin urmare, greșit atunci când afirmă că Euler nu avea încă o dovadă a acestuia „când a scris disertația conținută în T. 1 din analiza Opuscula. , p. 259 ” , adică E449 , p. 108.

Vezi și tu

Simbolul Jacobi