Parabolă

Parabolei este o curbă plană , simetric față de o axă, în formă de U aproximativ.

Poate fi definit matematic în mai multe moduri echivalente. Cel mai adesea, parabola este definită ca o curbă plană a cărei puncte sunt situate la o distanță egală de un punct fix, focalizarea și de o linie fixă, directrixul . Dar îl putem defini și ca intersecția unui plan cu un con de revoluție atunci când planul este paralel cu un alt plan tangent la suprafața conului.

Numele său, parabolă (juxtapunere, asemănare), i-a fost dat de Apollonius din Perge , observând, în construcția sa, o egalitate de suprafață între un dreptunghi și un pătrat.

Este un tip de curbe algebrice ale căror multe proprietăți geometrice au interesați matematicieni , deoarece antichitate și au primit diverse aplicații tehnice în optică , telecomunicații , etc.

Secțiune conică

Parabolele aparțin familiei conicelor , adică curbelor obținute prin intersecția unui con de revoluție cu un plan; în acest caz, parabola se obține atunci când planul este paralel cu una dintre generatoarele conului și perpendicular pe celălalt plan care conține aceeași generatoare și axa conului.

Director, concentrare și excentricitate

Să $D$ o linie dreaptă și $F$ un punct care nu aparțin $D$ , și este planul prin linia dreaptă $D$ și punctul $F$ . Numim o parabolă cu o linie directoare $D$ și punct focal $F$ setul de puncte de pe plan la o distanță egală de punctul focal $F$ și de linia $D$ , adică verificând: $P$ $M$ $P$

d (M, F) = d (M, D)

care se măsoară distanța de la punctul $M$ la punctul $F$ și se măsoară distanța de la punctul $M$ la dreapta $D$ . Parabola este o formă conică a cărei excentricitate este 1. $d (M, F)$ $d (M, D)$ $e$

Setare

În Conics , Apollonius din Perge prezintă un parametru care face posibilă caracterizarea punctelor parabolei folosind egalitatea unui pătrat și a unui dreptunghi cu înălțime fixă corespunzătoare dublului a ceea ce se numește în prezent parametrul p al conicii. Dacă S este vârful parabolei cu axa (S, x), M un punct al parabolei, N este proiectat pe axa parabolei, atunci aria pătratului cu latura MN este egală cu aria dreptunghiul cu dimensiunile SN și 2p. Observând că, în cazul hiperbolei, aria pătratului este mai mare decât cea a dreptunghiului și că, în cazul elipsei, această zonă este mai mică, el este cel care dă numele acestor trei curbe: parabola (juxtapunere, asemănare) în cazul egalității, hiperbolă (aplicată cu exces) în cazul în care pătratul este mai mare decât dreptunghiul și elipsa (aplicată cu implicit) în cazul în care pătratul este mai mic decât dreptunghiul

Ecuații

Din casă și regizor

Dacă parabola este dată de focalizarea sa $F$ și directrizele sale , numim $K$ proiecția ortogonală a lui $F$ pe , numim $p$ (parametrul parabolei) distanța $FK$ și numim $S$ punctul mediu al lui $[$ $FK$ $]$ . Apoi, în sistemul de coordonate ortonormale unde are aceeași direcție și sens ca și ecuația parabolei $\ mathcal D$ $\ mathcal D$ $(S, {\ vec i}, {\ vec j})$ ${\ vec j}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {KF}}}$

y = {\ frac {x ^ {2}} {2p}}

Din funcția pătratică

Curba reprezentativă a unei funcții polinomiale pătratice a ecuației

y = ax ^ {2} + bx + c

unde $a$ , $b$ și $c$ sunt constante reale $a$ nenule), este o parabolă. În cazul $a = 1$ , $b = c = 0$ , obținem o expresie simplă pentru o parabolă

y = x ^ {2}

În sistemul de coordonate , vârful $S$ al unei parabole este punctul de coordonate . Axa sa de simetrie este axa . $(O, {\ vec i}, {\ vec j})$ ${\ displaystyle \ left (- {\ tfrac {b} {2a}}, - {\ tfrac {b ^ {2} -4ac} {4a}} \ right)}$ $(S {\ vec j})$

În cadru , ecuația sa este $(S, {\ vec i}, {\ vec j})$ $Y = aX ^ {2},$ Focusul său este punctul, iar direcția sa este linia de ecuație . ${\ displaystyle F \ left (0; {\ tfrac {1} {4a}} \ right)}$ $\ mathcal D$ ${\ displaystyle Y = - {\ frac {1} {4a}}}$

Prin urmare , în sistemul de coordonate , accentul este pus pe coordonate și directiva pentru ecuație unde . $(O, {\ vec i}, {\ vec j})$ ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}}, {\ frac {1- \ Delta} {4a}} \ right)}$ $y = - {\ frac {1+ \ Delta} {4a}}$ $\ Delta = b ^ {2} -4ac$

Demonstrație

În cadru , luăm în considerare $(S, {\ vec i}, {\ vec j})$

{\ displaystyle F \ left (0; {\ tfrac {1} {4a}} \ right)}

{\ displaystyle {\ mathcal {D}}: Y = - {\ frac {1} {4a}}}

Fie $M ( X , Y )$ , calculăm direct distanța $d de$ la punctul $M$ la dreapta : $\ mathcal D$

{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ left | Y + {\ frac {1} {4a}} \ right |}

Calculăm apoi distanța $d '= FM$ :

{\ displaystyle \ mathrm {d} '= {\ sqrt {\ left (Y - {\ frac {1} {4a}} \ right) ^ {2} + X ^ {2}}}}

Interpretăm, prin echivalență, condiția $d = d '$

{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ mathrm {d} '\ Longleftrightarrow \ mathrm {d} ^ {2} = \ mathrm {d}' ^ {2} \ Longleftrightarrow \ left (Y + {\ frac {1} {4a}} \ right) ^ {2} = \ left (Y - {\ frac {1} {4a}} \ right) ^ {2} + X ^ {2}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ mathrm {d} '\ Longleftrightarrow {\ dfrac {Y} {a}} = X ^ {2} \ Longleftrightarrow Y = aX ^ {2}}

prin urmare

{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ mathrm {d} '\ Longleftrightarrow M \ în {\ mathcal {P}}: Y = aX ^ {2}}

Din ecuația generală

Fie ecuația $Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0$ , într-un sistem de coordonate ortonormale. Dacă $B 2 - AC = 0$ atunci această ecuație este cea a unei parabole sau a două linii paralele.

În schimb, dacă (C) este o parabolă, atunci are, în orice sistem de coordonate ortonormale, o ecuație a formei precedente.

Fie ecuația $Ax 2 + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0$ , într-un sistem de coordonate ortonormale. Dacă $AC = 0$ cu $AE$ sau $DC$ nu zero, atunci această ecuație este cea a unei parabole a cărei axă este paralelă cu una dintre axele de referință.

Ecuația polară

Dacă luăm ca pol punctul focal $F$ al parabolei și ca axă polară axa focală îndreptată spre directoare, prin proiecție pe axă, vine $r + r cos ( θ ) = p$ .

Deducem că ecuația polară a parabolei este că recunoaștem ca un caz special de conică de excentricitate e = 1. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} = {\ overrightarrow {FP}} = {\ frac {p} {1+ \ cos (\ theta)}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}$

Parametrizare

În sistemul de coordonate carteziene unde $S$ este punctul situat în mijlocul segmentului alcătuit din focarul $F$ și proiecția sa $K$ pe directrice și unde este un vector unitate orientat de la $S$ la $F$ , putem lua în considerare mai multe parametrizări ale parabolei : ${\ displaystyle (S, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}$ ${\ vec j}$

O parametrizare carteziană prin abscisă :, pentru toți ${\ displaystyle {\ overrightarrow {SP}} (x) = x {\ vec {i}} + {\ frac {x ^ {2}} {2p}} {\ vec {j}}}$ $x \ in \ mathbb {R}$
O parametrizare carteziană prin ordonată :, pentru toți ${\ displaystyle {\ overrightarrow {SP}} (y) = (\ pm {\ sqrt {2py}}) {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}$ $y \ in \ mathbb {R} ^ {+}$
Parametrizări carteziene fiecare în funcție de o constantă arbitrară a > 0 :, pentru toate ${\ displaystyle {\ overrightarrow {SP}} (t) = 2pat {\ vec {i}} + 2pa ^ {2} t ^ {2} {\ vec {j}} = 2pa (t {\ vec {i} } + la ^ {2} {\ vec {j}})}$ $t \ in \ mathbb {R}$

(Pentru a = 1 / (2 p ), găsim parametrizarea de abscisă.) Aceste parametrizarile sunt regulate ( de exemplu vectorul derivat nu dispare). Vectorul $(1, 2 at )$ direcționează apoi tangenta către punctul cu parametrul $t$ .

Unele proprietăți geometrice ale parabolei

Corzi paralele

Toate corzile parabolei paralele cu aceeași linie $D '$ au punctul lor mediu situat pe aceeași linie $D$ paralelă cu axa: este un diametru relativ la direcția $D'$ . Cele doua tangente la parabolei la capetele astfel intersecteaza cordon la $D$ . Tangenta la parabola paralelă în $D '$ are punctul de contact de pe $D$ .

Tangent și bisectoare

Dacă $A$ este un punct al unei parabole definit de un focar $F$ și o directoare (d), atunci tangenta parabolei la $A$ este bisectoarea interioară a unghiului format de $F$ , $A$ și proiecția ortogonală a lui $A$ (d) .

Această proprietate explică principiul oglinzilor parabolice: unghiul format de linii (AF) și (b) este egal cu unghiul format de linii (AH) și (b), prin urmare liniile (AH) și (AF) sunt simetrice în comparație cu tangenta, precum si in comparatie cu normalul la tangenta. În optică, acest lucru înseamnă că o rază provenită de la F și lovind A suferă o reflecție speculară direcțională (AH), deoarece, conform legii Snell-Descartes , unghiul de incidență este egal cu unghiul de reflexie. Deci, toate razele provenite de la F sunt reflectate în aceeași direcție, perpendicular pe (d).

Proprietăți legate de ortoptică

Fie $M$ și $M '$ punctele de intersecție ale oricărei drepte care trec prin focarul parabolei cu parabola. Cele două tangente ale parabolei care trec prin $M$ și $M 'se$ intersectează pe directoare, formând un unghi drept între ele. Mai mult, dacă numim $H$ și $H '$ proiecțiile respective ale lui $M$ și $M'$ pe directoare și $O$ punctul de intersecție a celor două tangente și directrice, atunci $O$ este punctul mediu al lui $[ HH ' ]$ .

Când se deplasează de-a lungul directorii sale, parabola este întotdeauna văzută în unghi drept.

Demonstrație

Notăm cu $O$ punctul de intersecție al celor două tangente. Pentru notații mai simple ale unghiurilor, denotăm

\ alpha = \ widehat {FMO}

și .

\ beta = \ widehat {FM'O}

Conform corelației prezentate mai sus între tangentă și bisectoare, avem:

\ widehat {FMH} = 2 \ alfa

\ widehat {FM'H '} = 2 \ beta

Deoarece liniile (HM) și (H'M ') sunt paralele, cele două unghiuri anterioare, tăiate cu (MM') pe aceste linii, sunt suplimentare. Deci avem :

2 \ beta +2 \ alpha = \ pi \ Leftrightarrow \ beta + \ alpha = {\ frac {\ pi} {2}}

Deducem direct din suma unghiurilor unui triunghi:

\ widehat {MOM '} = \ pi - \ left (\ alpha + \ beta \ right) = {\ frac {\ pi} {2}}

Numim $P$ punctul de intersecție al perpendicularei la $( MM ' )$ care trece prin $F$ cu directrixul. Triunghiurile FMP și HMP sunt egale deoarece $FM = HM$ prin urmare punctul $P$ este pe bisectoarea unghiului FMH, este deci pe tangenta care trece prin $M$ ; în mod similar, punctul $P$ este pe tangenta care trece prin $M '$ . Punctul $P$ este, de asemenea, punctul $O$ de intersecție a celor două tangente, care este astfel bine pe directoare.

Prin urmare, cele două tangente se intersectează în unghi drept pe directoare.

În cele din urmă, egalitățile

FP = HP

și

FP = H'P

demonstrează că

P,

prin urmare,

O

este punctul de mijloc al

[ HH ' ]

Luând două tangente perpendiculare pentru axe, ecuația ia forma remarcabilă: ${\ displaystyle {\ sqrt {{x} \ over {a}}} + {\ sqrt {y \ over b}} - 1 = 0}$

unde $( a , 0)$ și $(0, b )$ sunt noile coordonate ale punctelor de contact.

Subnormală constantă

Dintr-un punct $M$ al curbei, se conduce normalul care intersectează axa $Δ$ în $N$ , adică $H$ proiecția ortogonală a lui $M$ pe $Δ$ . Valoarea HN se numește subnormală. Arătăm că admite ca valoare constantă $p$ , parametrul parabolei.

Demonstrație

Panta ființei tangente , triunghiul dreptunghiular dă $MHN$ . ${\ displaystyle y '= \ tan \ theta}$ ${\ displaystyle {\ overline {HN}} = PH \ times \ tan \ theta = yy '}$

Totuși, dacă derivăm cu privire la $x$ ecuația parabolei $y 2 - 2 px = 0$ , obținem exact $yy '= p$ .

Aplicații

Balistică

Parabolei este traiectoria descrisă de un obiect care este lansat, dacă putem neglija curbura Pământului , frecarea aerului (vânt, încetinind obiectului prin tragere aerodinamic) și variația gravității cu înălțime.

Torricelli a demonstrat în 1640 că anvelopa acestor traiectorii este ea însăși o parabolă: parabola siguranței .

În practică, însă, traiectoria unui obiect aruncat în aer (minge sportivă, glonț de pușcă, coajă) este foarte diferită de o parabolă, datorită tragerii atmosferice, care complică foarte mult calculele balisticienilor. Un caz special este curba descrisă de un jet de apă (imaginea opusă), deoarece, dacă acest jet de apă este destul de regulat, doar forțele de frecare atmosferice încetinesc pereții jetului (nu există rezistență la presiune): rezistența la frecare este de ordinea de mărime mult mai mică decât rezistența la presiune (această rezistență la presiune fiind, pe de altă parte, foarte puternică pe proiectile cum ar fi mingile sportive).

Undele hertziene, acustice și luminoase

Prin metonimie , o parabolă desemnează o antenă parabolică . Este mai exact o aplicare a proprietăților suprafeței numită paraboloid de revoluție .

Paraboloizii permit concentrarea undelor sau razelor într-un punct, punctul central al parabolei. Această proprietate este utilizată de antenele parabolice pentru a concentra o undă electromagnetică , de reflectorul parabolic asociat cu un microfon pentru a concentra undele acustice sau chiar de anumite cuptoare solare pentru a concentra lumina soarelui .

În schimb, ele pot difuza, de asemenea, sub forma unui fascicul cilindric, lumina produsă de o lampă în centrul parabolei. Această proprietate este operată de reflector și de far .

O porțiune a unui cilindru cu secțiune parabolică face posibilă concentrarea luminii pe o linie dreaptă, de exemplu în concentratoare solare.

Referințe

Vitrac , Caseta 5: Conics conform lui Apollonius .
Árpád Szabó, The Dawn of Greek Mathematics , Vrin,2000( citiți online ) , p. 223.
Ilustrație animată cu GeoGebra .
Această condiție este ușor de respectat, deoarece câmpul gravitațional variază foarte puțin cu altitudinea de pe planeta noastră (sateliții înșiși orbitează într-un câmp gravitațional nu foarte diferit de cel existent pe suprafața Pământului).

Vezi și tu

Articole similare

Conic
- Hiperbolă
- Elipsă
Parabolă semicubică (în)

linkuri externe

Xavier Hubaut, Teoremele „belgiene” - Conics și teorema lui Dandelin
Xavier Hubaut, Lansarea greutății - Parabolă de siguranță
Bernard Vitrac, „ Geometrii antichității 8- Apollonius de Perge și tradiția conicelor ” , pe cultureMATH (Resurse pentru profesori de matematică, site-ul expert al Școlilor Normale Superioare și Ministerul Educației Naționale )
Parabola , pe site-ul MathCurve.

Bibliografie

Jean-Denis Eiden, Geometrie analitică clasică , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 ) .
Jean Fresnel, Metode moderne în geometrie .
Bruno Ingrao, Affine, Euclidean and Projective Conics , C&M ( ISBN 978-2-916352-12-1 ) .