La cel de-al doilea congres internațional al matematicienilor , desfășurat la Paris în august 1900 , David Hilbert intenționa să concureze cu maestrul matematicii franceze, Henri Poincaré , și să demonstreze că era din aceleași lucruri. El a prezentat o listă de probleme care până atunci îi țineau sub control pe matematicieni. Aceste probleme au fost, in functie de Hilbert, marca cursul matematicii XX - lea secol , și putem spune astăzi că a fost în mare parte cazul. Lansată după ce a avut loc conferința, lista finală consta din 23 de probleme, numite acum probleme Hilbert .
Următoarele secțiuni prezintă pe scurt fiecare număr.
nr | Afirmarea problemei | Starea rezolvării problemei | Data rezoluției |
---|---|---|---|
1 st | Orice subset infinit de numere reale poate fi pus în bijecție cu setul de numere naturale sau cu setul de numere reale în sine. | Aceasta este ipoteza continuumului , dovedită indecidabilă (nici adevărul său, nici falsitatea sa nu pot fi dovedite) în teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel , chiar și cu axioma alegerii . Cu toate acestea, acesta este încă subiectul cercetării în cadrul extinderilor teoriei ZFC prin adăugarea de noi axiome, cum ar fi axiomele marilor cardinali . | 1963 |
A 2 -a | Putem demonstra consistența aritmeticii ? Cu alte cuvinte, se poate arăta că axiomele aritmeticii nu sunt contradictorii? | Nu există consens că rezultatele lui Gödel și Gentzen oferă o soluție la problema formulată de Hilbert. Teorema lui Gödel incompletitudine , sa dovedit în 1931, arată nici o dovadă de consecvență se poate face cu ajutorul instrumentelor de aritmetică. Cu toate acestea, Gentzen a dat un răspuns afirmativ în 1936 prin recurența transfinită. | 1936? |
3 rd | Având în vedere două poliedre de volum egal , putem împărți primul poliedru în poliedre și le putem pune împreună pentru a forma al doilea poliedru? | S-a rezolvat în negativ. Cele două poliedre trebuie să aibă aceleași invarianți Dehn. | 1900 |
Al patrulea | Definiți toate geometriile a căror geodezie sunt liniile . | Prea vag pentru a fi stabilit rezolvat sau nu. | |
A 5- a | Arătați că grupurile Lie sunt în mod necesar diferențiate. | Rezolvat de Andrew Gleason , cu o anumită interpretare dată formulării. Dacă, totuși, poate fi interpretată ca presupunere Hilbert-Smith (în) , tot nu este rezolvată. | 1953? |
A 6- a | Axiomatizarea, bazată pe modelul matematic, al fizicii . | Nerezolvat. | |
A 7- a | Dovediți transcendența numerelor a b , cu un algebric diferit de 0 și 1 și b algebric irațional . | S-a rezolvat. Rezultat: demonstrat, de teorema Gelfond-Schneider . | 1935 |
A 8- a | Arată trei presupuneri:
- ipoteza Riemann ; - conjectura Goldbach ; - conjectura numerelor prime gemene . |
Nerezolvat. | |
Al 9- lea | Stabiliți o lege a reciprocității în câmpurile numerice . | Parțial rezolvat. Se rezolvă în cazul abelian , prin dezvoltarea teoriei câmpurilor de clasă . Dacă interpretăm problema ca suficient de largă pentru a include cazuri care nu sunt Abelian (în) , atunci rămâne nerezolvată. | |
A 10- a | Găsiți un algoritm care determină dacă o ecuație diofantină are soluții. | S-a rezolvat în negativ. Teorema Matiyasevich implică faptul că nu există nici un astfel de algoritm. | 1970 |
11 - lea | Clasificați formele pătratice cu coeficienți în câmpuri numerice . | Parțial rezolvat de principiul local-global al lui Helmut Hasse și Carl Siegel . | (a) 1923 (b) 1930 |
Al 12- lea | Extindeți teorema Kronecker-Weber la toate câmpurile numerice . | Nerezolvat. | |
Al 13- lea | Arătați imposibilitatea rezolvării ecuațiilor de gradul șapte folosind funcții continue de doar două variabile . | S-a rezolvat. Refutat de Vladimir Arnold , bazat pe opera lui Andrei Kolmogorov . | 1957 |
14 - lea | Dovediți finitudinea anumitor sisteme complete de funcții. | S-a rezolvat în negativ. Contraexemplu construit de Masayoshi Nagata . | 1959 |
Al 15- lea | Pentru a stabili bazele calculului enumerativ al lui Schubert . | Rezolvat de Bartel Leendert van der Waerden | 1930 |
16 - lea | Descrieți pozițiile relative ale ramurilor curbelor algebrice reale și ciclurile limită ale unui câmp vectorial bidimensional. | Nerezolvat. | |
17 - lea | Arătați că o funcție rațională pozitivă poate fi scrisă ca suma pătratelor funcțiilor raționale. | Rezolvat de Emil Artin . Rezultat: da. | 1927 |
Al 18- lea | (a) Există un poliedru care acceptă doar o faianță tridimensională neizodrică? (b) Care este cea mai densă stivă compactă de sfere? |
(a) Rezolvat de Karl Reinhardt (de) . Rezultat: da. (b) Rezolvat de Thomas Hales . Rezultat: stivuire cubică și hexagonală, care au o densitate de aproximativ 74%. |
(a) 1928 (b) 1998 |
19 - lea | Dovediți că calculul variațiilor este întotdeauna neapărat analitic. | S-a rezolvat. Rezultat: da, rezolvat de Bernstein (1904), dovedit de Ennio De Giorgi și, independent și prin alte metode, de John Forbes Nash | 1957 |
20 - lea | Toate problemele legate de calcularea variațiilor cu condiții limită adecvate au soluții? | S-a rezolvat. Un subiect de cercetare importanta pe tot parcursul XX - lea secol, inclusiv soluții pentru cazurile neliniare. | XX - lea secol |
21 - lea | Demonstrați că orice reprezentare complexă de mărime finită poate fi obținută prin acțiune monodromie pe o ecuație diferențială a lui Fuchs . | Rezolvat de Helmut Rörl pentru cea mai comună formulare. Rezolvat negativ de Dmitri Anosov și Andreï Bolobroukh. | (a) 1957 (b) 1989 |
22 nd | Standardizați curbele analitice utilizând funcții automorfe (ro) . | Rezolvat de Paul Koebe și Henri Poincaré . | 1907 |
23 rd | Elaborați o metodă generală de rezoluție în calculul variațiilor . | Nerezolvat. |
Orice subset infinit de numere reale poate fi pus în bijecție cu setul de numere naturale sau cu setul de numere reale în sine.
Aceasta este ipoteza continuum a lui Cantor denotată HC. Acest rezultat ar fi avut consecința că cardinalul infinit care urmează imediat contabilul este cel al continuului .
Kurt Gödel a arătat în 1938 că nu se poate dovedi negarea HC în teoria seturilor ZFC - mai exact: dacă ZF este coerent, atunci și ZFC + HC - și Paul Cohen , în 1963, că nu se poate dovedi nici HC (în acest aceeași teorie): spunem că această conjectură este indecidabilă în teoria ZFC (sau independentă de ea). Ceea ce duce la stabilirea de teorii cu sau fără această ipoteză.
Deoarece se consideră că teoria ZFC permite în mare măsură să formalizeze dezvoltarea matematicii până astăzi, întrebarea poate părea soluționată. Cu toate acestea, existența unor axiome „naturale” suplimentare care s-ar adăuga la teoria ZFC și ar putea decide ipoteza continuumului rămâne un domeniu de cercetare.
În prima sa problemă, Hilbert a reamintit supoziția unui alt Cantor pe care spera - de două ori în mod greșit - să aibă o soluție eficientă și să ajute la rezolvarea celei anterioare:
Există o ordine bună pe setul de reale.
Într-adevăr, această afirmație este indecidabilă în ZF, dar - conform teoremei lui Zermelo - demonstrabilă în ZFC.
Putem demonstra consistența aritmeticii ? Cu alte cuvinte, se poate arăta că axiomele aritmeticii nu sunt contradictorii?
Gödel a arătat în 1931 , prin teorema incompletitudinii sale , că acest lucru nu putea fi demonstrat fără a părăsi aritmetica. Gentzen a arătat în 1936 că consistența aritmeticii derivă din faptul că numărul transfinit ε₀ (en) este definit de o recidivă bine fundamentată .
Având în vedere două poliedre de volum egal , putem împărți primul poliedru în poliedre și le putem pune împreună pentru a forma al doilea poliedru?
Max Dehn , elev al lui Hilbert, a arătat că nu a fost, în 1902, demonstrând că este imposibil să împărțim un cub și un tetraedru regulat de același volum într-un număr finit de poliedre identice două la două. În ciuda tuturor, paradoxul Banach-Tarski constituie un rezultat pozitiv pentru această întrebare dacă nu avem nevoie ca piesele intermediare să fie poliedre și mai ales dacă ne asumăm axioma de alegere .
Definiți toate geometriile a căror distanță cea mai mică între două puncte este un segment de linie .
Geometria diferențială a permis un răspuns parțial la această problemă, deși nu se poate vorbi strict un răspuns ferm.
Arătați că grupurile Lie sunt în mod necesar diferențiate.
Teoria Gleason - Montgomery (de) - Zippin (en) din 1953 răspunde afirmativ.
Axiomatizarea, bazată pe modelul matematic, al fizicii .
Datorită apariției teoriei relativității și a mecanicii cuantice , problema a fost rapid depășită. În ciuda tuturor, fizica teoretică și matematica continuă să se apropie. Prin teoria probabilității axiomatizante , Kolmogorov a rezolvat parțial această problemă.
Dovediți transcendența numerelor a b , cu un algebric diferit de 0 și 1 și b algebric irațional .
Lucrarea lui Gelfond și Schneider a făcut posibilă rezolvarea acestei probleme (vezi teorema Gelfond-Schneider ), generalizând astfel rezultatul că constanta Gelfond-Schneider , 2 √ 2 , este transcendentă. Această teoremă a fost generalizată de Baker (vezi Teorema lui Baker ).
Acestea sunt de fapt patru probleme ale teoriei numerelor, dintre care cele mai faimoase trei sunt:
Dovediți ipoteza Riemann ;
dovediți conjectura Goldbach ;
demonstrați conjectura numerelor prime gemene .
În ciuda progresului realizat în special de Deligne (ipoteza lui Riemann) care a demonstrat conjecturile lui Weil și a primit pentru aceasta Medalia Fields în 1978 , de Ramaré (conjectura lui Goldbach), care a stabilit în 1995 că fiecare număr întreg este suma a șapte numere prime cel mult , și de Chen Jingrun (primii gemeni), care a demonstrat existența unei infinități de numere prime p astfel încât p + 2 este produsul a cel mult doi factori primi, suntem încă departe de a fi rezolvat aceste probleme care apar ca cele ale XXI - lea secol .
Stabiliți o lege a reciprocității în câmpurile numerice .
Un răspuns la această problemă este oferit de legea reciprocității lui Artin , demonstrată de Emil Artin în 1927 . Această teoremă îmbogățește cunoașterea teoriei câmpurilor de clasă , a cărei dezvoltare a fost facilitată de introducerea idels (en) de către Chevalley în 1936 .
Găsiți un algoritm care determină dacă o ecuație diofantină are soluții.
Abia în activitatea lui Church și Turing din 1930 a fost definită riguros noțiunea de algoritm. În 1970 , Yuri Matijasevic , stabilind o echivalență între seturi recursiv enumerabile și seturi diofantine , a stabilit că un astfel de algoritm nu putea exista.
Clasificați formele pătratice cu coeficienți în câmpurile numerice sau în inelele lor de numere întregi .
Hasse-Minkowski Teorema rezolvă problema pe ℚ și Siegel rezolvat pe niște inele de numere întregi.
Extindeți teorema Kronecker-Weber la extensiile abeliene ale oricărui câmp numeric .
Arătați imposibilitatea rezolvării ecuațiilor de gradul șapte folosind funcții continue de doar două variabile .
Vladimir Arnold a infirmat această conjectură în 1957, conform lucrării lui Kolmogorov , arătând, mai general, că orice funcție continuă a unui număr finit de variabile este exprimată prin compoziție din funcții continue a două variabile.
Pe de altă parte, problema solubilității ecuației gradului al șaptelea prin funcții analitice a două variabile este încă deschisă.
Pentru a dovedi finitudinea anumitor sisteme complete de funcții.
Problema este următoarea: considerăm un câmp k și un subcâmp K al lui k ( X 1 , ..., X n ); stabilim R = k [ X 1 , ..., X n ]; Este inelul K ∩ R un tip finit k -algebră? Răspunsul este pozitiv pentru n = 1 sau 2, așa cum a arătat Oscar Zariski în 1954 (care a dat următoarea interpretare geometrică: există o varietate proiectivă X cu câmpuri de funcții K și un divizor eficient D pe X astfel încât K ∩ R este set de funcții ale lui K având poli numai pe R ). Căutarea unor condiții suficiente pentru validitatea rezultatului lui Hilbert a fost o sursă de idei foarte fructuoase în geometrie.
Nagata, în 1959, a dat un contraexemplu care a respins conjectura.
Pentru a stabili bazele calculului enumerativ al lui Schubert .
Este vorba de efectuarea unor calcule riguroase asupra obiectelor „în poziție generală ” în teoria intersecției (în) , și în special „principiului conservării numerelor”. Această problemă a dat naștere teoriilor multiplicității lui Samuel și Grothendieck .
Rezolvat de van der Waerden în 1930 .
Această problemă are două părți. Primul se referă la numărul de ramuri reale (ovale) ale unei curbe algebrice și dispunerea lor; multe rezultate moderne ( Petrovskii , Thom , Arnold ) oferă informații despre ele.
A doua parte a problemei pune problema numărului maxim și a poziției reciproce a ciclurilor limită Poincaré (orbite periodice izolate) pentru o ecuație diferențială polinomială plană cu un anumit grad; această întrebare este încă deschisă.
Arătați că o funcție rațională pozitivă poate fi scrisă ca suma pătratelor funcțiilor raționale.
Rezolvat de Emil Artin în 1927 . O dovadă prin teoria modelelor a fost găsită de logicianul Abraham Robinson .
Construiți un spațiu euclidian cu poliedre congruente .
Problema are trei părți:
Dovediți că calculul variațiilor este întotdeauna neapărat analitic.
Rezolvat de Bernstein , Ennio De Giorgi și John Forbes Nash .
Studiați soluția generală a problemelor la graniță pentru ecuațiile diferențiale parțiale.
Demonstrați că orice reprezentare complexă de mărime finită poate fi obținută prin acțiune monodromie pe o ecuație diferențială a lui Fuchs .
Rezolvat de Helmut Rörl în 1957 .
Standardizați curbele analitice utilizând funcții automorfe (ro) .
Rezolvat de Paul Koebe și Henri Poincaré în 1907 .
Elaborați o metodă generală de rezoluție în calculul variațiilor .
În 2000, istoricul matematicii Thiele Rüdiger a descoperit în notele lui David Hilbert că Hilbert plănuise inițial să adauge o altă problemă, a douăzeci și a patra, pe care, în cele din urmă, a scăpat-o din listă. A fost vorba de determinarea criteriilor privind simplitatea - sau demonstrarea simplității maxime - a anumitor demonstrații. Matematicianul a căutat să dezvolte o teorie generală asupra metodelor de demonstrație în matematică. Paradoxal, câțiva ani mai târziu, el însuși a fondat o teorie a dovezii .