Inelul Dedekind

În matematică , un inel Dedekind este un inel comutativ cu proprietăți particulare (vezi și inelul Dedekind necomutativ ). Formalizarea sa inițială vizează descrierea unui set de numere întregi algebrice , acest concept este utilizat și în geometria algebrică .

Un inel Dedekind își datorează originea teoriei numerelor algebrice . Pentru a rezolva ecuații precum cea a ultimei teoreme a lui Fermat, chiar și pentru exponenții mici , inelul numerelor întregi relative este incomod. Uneori este mai ușor să se ia în considerare alte inele, cum ar fi numerele întregi Gauss , Eisenstein sau inelul de numere întregi de ℚ ( √ 5 ) . Teorema a două pătrate Fermat sau ecuația Pell ilustrează utilitatea unei asemenea structuri a. Studiile lor se bazează pe cazul particular al numărurilor întregi pătratice , care este mai simplu decât cazul general.

Această formulare este lucrarea lui Richard Dedekind și data la sfârșitul XIX - lea secol.

Definiții

Sunt necesare patru definiții pentru abordarea articolului.

Fie K un câmp comutativ și A un subinel K unitar . Un membru K spune întreg A , dacă acesta este anulat de către un polinom monic cu coeficienți în A .
Subinel de K format din părți întregi ale A se numește închiderea integrală a A în K .
Fie A un inel integral (comutativ) . Se cufundă în corpul său de fracțiuni . (Metoda este analogă celei pentru construirea domeniul numerelor raționale din inelul de întregi.) Inelul A este menționată complet închis dacă închiderea sa integrală în domeniul său de fracțiuni se reduce la A .
Se spune că un inel comutativ unitar este noetherian dacă orice secvență crescândă de idealuri este staționară, adică constantă dintr-un anumit rang.

Definiție - Se spune că un inel este Dedekind dacă îndeplinește următoarele proprietăți:

este comutativ, unitar, integral;
el este noetherian ;
este complet închis ;
și toate idealurile sale non-zero sunt maxime .

(Condiția 4 traduce proprietatea că dimensiunea Krull a inelului este mai mică sau egală cu 1 - deci egală cu 1 dacă excludem „cazul banal” în care acest inel este un câmp.)

Proprietăți

Ideal fracționat

O proprietate esențială a unui inel Dedekind constă în faptul că orice ideal diferit de zero se descompune într-un mod unic într-un produs al idealurilor prime . Acest rezultat este un substitut pentru teorema fundamentală a aritmeticii , care se aplică doar într-un inel factorial . Mai precis, prin acordul că un I ideal al lui A este „ inversabil ” atunci când este ca un ideal fracționat , adică atunci când există un ideal I ' de A astfel încât II', adică un ideal principal diferit de zero :

Teorema - Fie A un inel comutativ unitar, următoarele proprietăți sunt echivalente:

A este un inel Dedekind;
orice ideal prim diferit de zero al lui A este inversabil;
orice ideal diferit de zero al lui A este inversabil;
A este integral și orice ideal diferit de zero al lui A este un produs al idealurilor maxime;
A este onest și fiecare ideal al lui A este un produs al idealurilor prime.

Mai mult, dacă A este un inel Dedekind:

descompunerea oricărui ideal diferit de zero într-un produs al idealurilor prime este unică (până la ordinea factorilor);
pentru toate idealurile nenule I și J ale lui A , există un ideal nenul I 'de la A prim la J astfel încât II' este principal;
pentru orice ideal I non-zero al lui A și orice element nenul α al lui I , există în I un element β astfel încât I este generat de α și β.

Exemplu : în inel , nu există caracterul unic al descompunerii unui element într-un produs de elemente ireductibile. Asa de : ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$

{\ displaystyle 2 \ times 3 = (1 + {\ sqrt {-5}}) \ times (1 - {\ sqrt {-5}})}

Dar, dacă luăm în considerare descompunerea într-un produs al idealurilor prime, atunci, notând ( a ) idealul principal generat de un element a și ( a , b ) idealul generat de două elemente a și b , avem:

idealuri , și sunt idealuri prime. ${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-5}}, 1 - {\ sqrt {-5}})}$ ${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-5}}, 3)}$ ${\ displaystyle (1 - {\ sqrt {-5}}, 3)}$
descompunerea produsului idealurilor prime ale idealurilor neprime (2), (3) ,, și (6) sunt: ${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-5}})}$ ${\ displaystyle (1 - {\ sqrt {-5}})}$

{\ displaystyle (2) = (1 + {\ sqrt {-5}}, 1 - {\ sqrt {-5}}) \ times (1 + {\ sqrt {-5}}, 1 - {\ sqrt { -5}})}

{\ displaystyle (3) = (1 + {\ sqrt {-5}}, 3) \ times (1 - {\ sqrt {-5}}, 3)}

{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-5}}) = (1 + {\ sqrt {-5}}, 1 - {\ sqrt {-5}}) \ times (1 + {\ sqrt {-5 }}, 3)}

{\ displaystyle (1 - {\ sqrt {-5}}) = (1 + {\ sqrt {-5}}, 1 - {\ sqrt {-5}}) \ times (1 - {\ sqrt {-5 }}, 3)}

{\ displaystyle (6) = (1 + {\ sqrt {-5}}, 1 - {\ sqrt {-5}}) \ times (1 + {\ sqrt {-5}}, 1 - {\ sqrt { -5}}) \ times (1 + {\ sqrt {-5}}, 3) \ times (1 - {\ sqrt {-5}}, 3)}

Evaluări

Existența și unicitatea descompunerii unui ideal în idealuri prime permite definirea (prezentată și în articolul detaliat) a unei familii de funcții numite evaluări . Evaluarea de către P , unde P denotă un ideal nenul prim, este o funcție pe care o nenul ideală J a A combină cel mai mic întreg n astfel încît P n conține J . Această funcție este adesea notat: v P . Se extinde peste idealurile fracționate ale lui A și apoi își ia valorile în setul de numere întregi relative. Dacă Π reprezintă ansamblul idealurilor prime non-zero și F un ideal fracțional non-zero:

{\ displaystyle F = \ prod _ {P \ in \ Pi} P ^ {v_ {P} (F)}}

Funcția pentru P asociați v P ( F ) (pentru F set) este zero aproape peste tot, adică că produsul anterior conține doar un număr finit de diferiți factori A . Această formulă definește un izomorfism între grupul idealurilor fracționate și grupul abelian liber generat de Π.

Din această funcție de evaluare pe idealuri, definim o evaluare pe K , câmpul fracțiilor inelului Dedekind A : pentru un element k , v P ( k ) este egal cu imaginea de v P a l ideal fracțional principal kA . In fiecare dintre aceste evaluări v P pe K este asociat cu un inel de evaluare , iar A este intersecția dintre toate aceste sub-inele K .

Locație

O structură utilă pentru analiza unui inel Dedekind este un inel special de fracții.

Dacă P este un ideal primar al unui inel comutativ unitar integrează A , localizarea lui A în P , notată A P , denotă mulțimea fracțiilor a / b astfel încât a este un element al lui A și b un element al lui A care n este nu în P . Acesta este un inel local : unic maximă ideală este PA P .

Dacă A este Dedekind, acest inel A P este, de asemenea, principal . Prin urmare, este fie un câmp dacă P este zero, fie un inel de evaluare discret altfel. La fel ca idealurile fracționate, structura localizată a lui A caracterizează inelele Dedekind, mai precis:

Fie A un inel comutativ integral noetherian. Următoarele proprietăți sunt echivalente:

A este din Dedekind;
pentru orice ideal ideal M , localizat de la A la M este un inel principal;
orice ideal prim diferit de M este maxim și pentru un astfel de M , spațiul vector A / M M / M 2 este de dimensiunea 1.

Demonstrație

Să excludem cazul evident în care A este un câmp.

1 ⇒ 2: Inelul integral A M este complet închis, așa cum se află într-un inel complet închis. Este Noetherian, așa cum este situat într-un inel Noetherian. Faptul că , în plus, doar idealurile prim ale localizate O M sunt 0 și idealul nenulă MA M arată că este un inel de evaluare discret.

2 ⇒ 3: Fie P să fie un prim ideal pentru non-zero și M un ideal maximal care conține P . Apoi A M este un inel de evaluare discret și PA M este un ideal prim diferit de A M , deci egal cu MA M , astfel încât P = M (deci P este maxim). În plus, spațiul vectorial A / M- M / M 2 este izomorf pentru MA M / M 2 . A M , prin urmare dimensiunea sa este 1 (deoarece MA M este un ideal principal non-zero al lui A M ).

3 ⇒ 1: Idealurile maxime M sunt non-zero și A M sunt inele de evaluare (discrete) conform ipotezei, prin urmare , complet închise, astfel încât intersecția lor A prea.

Exemple

Număr întreg algebric

Primul exemplu este dat de „inelul de numere întregi” (algebric) al unui câmp numeric (adică al unei extensii finite a câmpului rațional). Un prim tip de inel de această natură este cel al numerelor întregi ale unui câmp pătratic . Două cazuri speciale simple sunt numerele întregi ale lui Gauss și cele ale lui Eisenstein . Aceste două inele sunt euclidiene și grupul lor de unități este ciclic finit . Inelul de numere întregi al lui ℚ ( √ 5 ) evidențiază o obstrucție: grupul său de unități este infinit. Inelele numerelor întregi pătratice permit analiza celor două obstacole și înțelegerea naturii acestora folosind un studiu mai simplu decât cel al cazului general.

Un exemplu foarte studiat este cel al inelului de numere întregi ale unei extensii ciclotomice , adică al unei extensii care conține toate rădăcinile unui polinom ciclotomic . O astfel de extensie nu este doar Galois , ci chiar Abeliană .

Într-un caz puțin mai general:

Orice câmp numeric este câmpul fracțiilor inelului întregilor săi, iar acest inel este de la Dedekind.

Demonstrație

Notați cu K câmpul numeric și O K inelul (comutativ, unitar și integral) al întregilor săi algebrici.

Câmpul fracțiilor lui O K este K și O K este complet închis:

Aceste proprietăți sunt demonstrate într-un cadru general în articolul „ Întregul element ”.

Inelul O K este noetherian:

O demonstrație într-un cadru mai general este propusă în articolul „ Noetherian ring ”. Folosește forma de urmărire .

Orice coeficient de O K al unui ideal diferit de zero este finit:

O dovadă este dată în articolul „ Normă (teoria câmpurilor) # Teoria numerelor algebrice ”.

Orice ideal P diferit de zero al lui O K este maxim:

Coeficientul lui O K de către P este un inel integral dacă P este prim. Orice inel integral finit este un câmp , care arată că P este maxim.

Extensie finalizată

O metodă de construire a unui domeniu Dedekind este de a considera închiderea integrală a unui inel Dedekind A într - o extensie finită a domeniului său de fracțiuni K . Aceasta este o generalizare a cazului A = Z de mai sus.

Să L fie o extensie finită separabil de K și B închiderea integrală a A în L , atunci B este un domeniu Dedekind, iar domeniul său de fracțiuni este L .

Demonstrație

Faptul că B este un inel comutativ, unitar, integral, noetherian, închis integral și că câmpul său de fracții este L este demonstrat exact ca în primul exemplu, văzut mai sus în subsecțiunea număr întreg algebric (prin înlocuirea cursului Z cu A și Q cu K ).

Pentru a concluziona că B este de Dedekind, rămâne să se demonstreze că orice ideal prim diferit de zero P al lui B este maxim, adică că inelul coeficient corespunzător B / P este un câmp.

Să x un membru B care clasa de x in B / P nu este zero, arată că această clasă are un invers în B / P . Este suficient să arătăm că în acest coeficient, subringul de imagine al lui A [ x ] este un câmp.

Sau această imagine subinel nu este altul decât C [ x ], ceea ce denotă prin C imagine A / ( P ∩ A ) din A . Deoarece x este un număr întreg peste C , este suficient, pentru a arăta că C [ x ] este un câmp, pentru a se asigura că C este unul, adică pentru a verifica dacă idealul P ∩ A al lui A este maxim sau (care în A este același) prim și nu zero. Știm deja că P ∩ A este prim, ca imagine reciprocă a unui ideal prim . Prin urmare, rămâne să arătăm că P ∩ A este diferit de zero.

Să Q ∈ A [ X ] o unitate de polinom minim grad care este zero la x și are termenul constant (non-zero) de Q . Deci , a deținut , nu numai A , ci și idealul generat de x , deci P . Astfel, P ∩ A este diferit de zero, ceea ce concluzionează.

Separabilitatea lui L este utilizată, în articolul „ Inel noetherian ”, pentru a arăta că B este finit pe A ( forma urmei inelului B nu este degenerată, ceea ce face posibilă arătarea simplă a caracterului finit al lui B , c ' adică de tip finit ca modul pe A ). Această afirmație rămâne adevărată pentru orice extensie finită L a lui K (nu neapărat separabilă), totuși B nu va mai fi neapărat de tip finit ca modul A.

Studiul Dedekind inele de o prelungire a acestei oferte natura instrumente pentru analiza structurii L corpului . Descompunerea idealelor prime de K în L ne permite să definim ramificare . Acest concept este utilizat, de exemplu, pentru a stabili teorema Kronecker-Weber . Teoria clasei câmpurilor generalizează utilizarea acestuia.

Geometrie algebrică

Dacă extensiile finite ale numerelor raționale conțin închideri integrale care se bucură de proprietățile unui inel Dedekind, este același lucru pentru extensiile finite ale lui F ( X ). Aici F denotă un câmp finit și F ( X ) câmpul fracțiilor raționale . Acest set este domeniul fracțiuni de polinoame formale cu coeficienți în F .

O extensie finită a lui F ( X ) se numește un corp de funcții . Este posibil să studiați închiderile complete acolo. Dacă analogiile sunt numeroase, aritmetica pe un câmp de funcții este adesea mai ușoară decât pe un câmp de numere. Există mai multe motive pentru simplificare. Valorile absolute pe câmpurile de funcții sunt ultrametrice , pe de altă parte, există una arhimedeană pe numerele raționale. Corpurile funcționale au un instrument foarte util, derivarea , care nu există pentru câmpurile numerice. În cele din urmă, este posibil să se ia în considerare produsul tensor F ( X ) ⊗ F ( X ), care nu are un echivalent interesant pe câmpurile numerice.

Istorie

Primele teste

Istoria inițială a studiului inelelor Dedekind fuzionează cu cea a numerelor întregi algebrice . În 1753 , Leonhard Euler i-a scris lui Goldbach că a găsit o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat pentru n = 3 . Ea se bazează pe utilizarea inelului numerelor de forma a + b $i$ √ 3 unde a și b sunt întregi relative și $i este$ unitatea imaginară . Dovada se dovedește a fi falsă, deoarece, contrar a ceea ce își imaginează matematicianul, un astfel de inel nu este factorial, adică nu există o singură descompunere în factori ireductibili ; un contra exemplu este dat de următoarele două descompuneri:

{\ displaystyle 2 \ cdot 2 = (1 + {\ rm {i}} {\ sqrt {3}}) (1 - {\ rm {i}} {\ sqrt {3}}).}

Dacă aplicația este încă aproximativă, utilizarea seturilor de numere de această natură se dovedește a avea succes. Carl Friedrich Gauss studiază numerele formei a + $i$ b permițând, de exemplu, să furnizeze dovezi elegante ale teoremei cu două pătrate a lui Fermat ; acum se numesc numere întregi gaussiene . Gotthold Eisenstein analizează inelul de numere întregi care îi poartă numele și care oferă cadrul unei dovezi riguroase a „ultimei teoreme a lui Fermat” pentru n egal cu 3, analog cu cel al lui Euler.

Grup de unitate

Rezoluția generală a ultimei teoreme a lui Fermat duce la studiul altor inele de numere întregi.

Inelul numerelor întregi de ℚ ( √ 5 ) este cea a numerelor de forma a + b (1 + √ 5 ) / 2 , cu o și b întregi relative. Dacă inelul este într-adevăr euclidian, ansamblul elementelor inversabile, numit și grupul de unități, devine infinit. Cu toate acestea, aceste elemente intervin în afirmațiile clasice ale teoriei inelelor, cum ar fi descompunerea în factori primi .

Analiza grupului de unități în cazul numărurilor întregi pătratice echivalează cu studiul structurii soluțiilor ecuației Pell-Fermat . O elucidare generală a structurii de grup a unităților inelului de numere întregi ale unui corp de numere este dată în cele din urmă de Dirichlet și poartă acum numele teoremei unității lui Dirichlet .

Înțelegerea structurii grupului de unități nu ne permite însă să depășim ultima teoremă a lui Fermat. Gabriel Lamé dovedește, la paisprezece ani după Dirichlet, absența unei soluții pentru n egală cu 7 folosind un inel întreg pătratic care cuprinde un grup infinit de unități. Cu toate acestea, dovada este complexă și nu poate fi generalizată.

A doua obstrucție

Lamé crede să găsească o soluție generală utilizând inelul de numere întregi (pe ℤ ) al unui câmp ciclotomic . Un câmp ciclotomic cu index n este cel mai mic câmp care conține n - rădăcinile unității câmpului complexelor. Greșeala sa este de a presupune, în termeni moderni, că inelul este factorial, adică teorema fundamentală a aritmeticii se aplică unei structuri de această natură.

Această proprietate, despre care știm că este falsă în cazul general pentru inele de numere întregi pătratice, nu este verificată nici pentru numere întregi ciclotomice. În 1844, cu trei ani mai devreme, Ernst Kummer stabilise această lipsă de proprietate în cazul general arătând un contraexemplu, numărul întreg ciclotomic al rădăcinilor 23 ale unității.

Lipsa factorialității acestui tip de inel este, după Kummer, considerată a doua obstrucție pentru inelele de această natură. O modalitate de a interpreta această dificultate este de a considera că numerele „lipsesc” pentru a asigura existența factorizării prime . Kummer definește numerele ideale (prin) compensând deficiențele și permițând exprimarea unei noi forme a teoremei fundamentale a aritmeticii. Îi permite să demonstreze ultima teoremă a lui Fermat pentru orice valoare de la n până la 100, care este un număr prim regulat , adică cu excepția 37, 59 și 67 (dintre numerele prime <100).

Formalismul Dedekind

La fel ca Leopold Kronecker , scopul lui Dedekind este de a generaliza rezultatele lui Kummer la inelul întreg al oricărui câmp numeric și nu doar la câmpurile ciclotomice. Filozofiile lor sunt totuși opuse, obiectivul lui Dedekind rupe cu tradiția de calcul a lui Gauss și Kummer. El caută să demonstreze proprietățile acestor inele folosind caracteristicile lor fundamentale și nu rezultatul unor calcule complexe.

Cu această ocazie, el formalizează noțiunea de ideal și ideal principal. Înmulțirea idealurilor principale corespunde cu cele ale generatoarelor lor și se generalizează la toate idealurile. Obiectivul este apoi de a arăta că orice ideal se descompune într-un mod unic într-un produs al idealurilor primare. Numerele ideale ale lui Kummer duc la idealuri prime non-principale. Un instrument esențial este noțiunea de fracționare ideală, care Dedekind formalizate în 1876. El arată că idealurile fracțională inelul de numere întregi ale unui câmp număr formează un grup abelian și prevede o teorema fundamentală: câtul de sub - -în de principal idealuri fracționare este terminat. Acest grup coeficient se numește grupul claselor ideale . El demonstrează acest rezultat în toată generalitatea sa de la sfârșitul sec.

XX - lea secol

Spre deosebire de inelele principale, cazurile de inele Dedekind sunt în cele din urmă comune. În plus, acestea nu se limitează la închiderile de extensii ale întregului corp. Un vast subiect folosește pe larg această structură: geometria algebrică . Numerele relative relative sunt înlocuite de un inel de polinoame peste un câmp finit și câmpul numerelor de un câmp de funcții . Un astfel de inel Este încă din Dedekind.

Sunt dezvoltate noi instrumente, cum ar fi noțiunea de evaluare, iar inelele de evaluare discrete fac posibilă studierea noilor structuri, cum ar fi numerele p -adice .

Note și referințe

(de) R. Dedekind, " Zur Theorie der Ideale ", Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen , 1894.
Echivalențele sunt demonstrate în articolul detaliat, precum și unicitatea descompunerii.
(ro) Robert B. Ash , „ Un curs în teoria numerelor algebrice ” ,2003, cap. 3 („Domenii Dedekind”) , propunerea 3.4.2.
Ash 2003 , corolar 3.4.4.
N. Bourbaki , Elements of matematic , Algebra comutativă, VII.2.2.
Această demonstrație este preluată de la Pierre Samuel , teoria algebrică a numerelor [ detaliu al ediției ].
Cf. Bourbaki AC VII.2.5 sau (en) Samuel și Zariski , Algebra comutativă , vol. 1, pagina 281.
Cf. (de) Friedrich Karl Schmidt , " Über die Erhaltung der Kettensätze der Idealtheorie bei beliebigen endlichen Körpererweiterungen " , Mathematische Zeitschrift , vol. 41, nr . 1,1984, p. 443-445 ( DOI 10.1007 / BF01180433 ). Exemplul este detaliat în (en) Siegfried Bosch, Ulrich Güntzer și Reinhold Remmert , Non-Archimedean Analysis , Springer, 1984 ( ISBN 978-3-54012546-4 ) , p. 50-52 .
Această comparație vine de la p. I-6 de Loïc Merel, Numere algebrice și numere p-adice , curs pregătitor pentru studii doctorale, 2003-04.
(în) Harold Edwards , Ultima teoremă a lui Fermat: o introducere genetică în teoria numerelor algebrice , Springer, ediția a III- a 2000 ( ISBN 978-0-387-95002-0 ) .
CF Gauss, Arithmetic Research , trad. în franceză din Disquisitiones arithmeticae de A.-C.-M. Poullet-Delisle, 1801.
(de) JPG Lejeune Dirichlet și R. Dedekind (ed.), Vorlesungen über Zahlentheorie (en) , Brunswick, Vieweg und Sohn,1871( 1 st ed. 1863) ( citit on - line ), trad. Tratat de teoria numerelor , C. Duverney, Tricorne, Geneva, 2006 ( ISBN 2829302893 ) .
O descriere a dovezii poate fi găsită în ultimul blog al teoremei lui Fermat .
G. Lamé , „ Dovada generală a teoremei lui Fermat, asupra imposibilității, în număr întreg, a ecuației x n + y n = z n ”, CRAS , vol. 24,1847, p. 310-315 ( citește online ).
(în) Harold Edwards , „ Fundalul dovezii lui Kummer a ultimei teoreme a lui Fermat pentru primele obișnuite ” , Arch. Istorie Exact Sci. , vol. 14,1975.
Această expresie este de exemplu utilizată în Bas Edixhoven și Laurent Moret-Bailly , teoria numerelor algebrice, curs de masterat în matematică , Universitatea din Rennes I ,2004( citiți online ) , p. 41.
(de) E. Kummer , „ Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von x λ + y λ = z λ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ ” , Monatsber. Akad. d. Wiss. Berlin ,1847, p. 132-139, 140-141 și 305-319.
R. Dedekind, Despre teoria numerelor întregi algebrice , 1876.
Definiția este dată în comentariile sale de Lejeune Dirichlet și Dedekind 1871 .
Acest paragraf provine din (în) J. Avigad, lansarea lui Dedekind în 1871 a teoriei idealurilor în 2004.

Vezi și tu

Articol asociat

Inel Dedekind necomutativ

Bibliografie

GH Hardy și EM Wright ( trad. François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Introducere în teoria numerelor , Paris, Vuibert-Springer,2007( ISBN 978-2-7117-7168-4 , notificare BnF n o FRBNF41003218 )
(ro) Kenneth Ireland și Michael Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , Springer, col. „ GTM ” ( nr . 84);1990( Repr. 1998), ed. A 2- a . , 389 p. ( ISBN 978-0-387-97329-6 , prezentare online )
Jean-Pierre Serre , curs de aritmetică ,1970[ detaliu ediții ]