În algebra liniară , urma unei matrice pătrate A este definită ca suma coeficienților săi diagonali și adesea notată Tr ( A ). Urma poate fi văzută ca o formă liniară pe spațiul vectorial al matricelor. Verifică identitatea: Tr ( AB ) = Tr ( BA ) și, prin urmare, este invariant prin similitudine .
În mod similar, dacă u este un endomorfism al unui spațiu vectorial dimensional finit pe un câmp comutativ K , putem defini urmele operatorului u , de exemplu ca urma matricei sale în orice bază .
Mai general, pe o algebră A , o urmă este o formă liniară λ astfel încât λ ( ab ) = λ ( ba ) . Această definiție se găsește în special în studiul algebrelor von Neumann, care sunt algebre ale operatorilor de pe spațiile Hilbert .
Dat fiind o matrice pătrată
cu coeficienți într-un câmp comutativ K (sau numai într-un inel comutativ ), urmele sale, notate Tr ( A ) , sunt suma scalară a coeficienților diagonalei sale principale :
.Pentru toate matricile pătrate A și B (de același ordin) și pentru orice α∊ K scalar , se verifică următoarele proprietăți:
unde A T desemnează transpusa lui A .
Cu alte cuvinte, urma este o formă liniară pe spațiul vectorial ℳ n ( K ) al matricelor pătrate de ordinul n , invariante prin transpunere .
Harta Tr fiind o formă liniară, nucleul său este un hiperplan de ℳ n ( K ).
Dacă acum A și B sunt ( n , m ) și ( m , n ) matrici (nu neapărat pătrate, dar care furnizează matrici pătrate prin multiplicare), avem identitatea:
Egalitatea precedentă are ca rezultat următoarea identitate, valabilă pentru orice matrice pătrată A și pentru orice matrice inversabilă P de același ordin:
Cu alte cuvinte, urma este un „ invariant de similaritate” pentru matricele pătrate dintr-un ordin dat, adică două matrice similare au aceeași urmă, ceea ce nu este surprinzător dacă știm legătura dintre urmă și polinomul caracteristic ( vezi mai jos ) și invarianța similarității celor din urmă .
Putem arăta printr-o dovadă destul de scurtă, care implică unitățile matricei (en) ( adică matricile bazei canonice a lui ℳ n ( K ), care sunt matricile a căror coeficient unic este egal cu 1 și toate celelalte 0) că o formă liniară pe spațiul ℳ n ( K ) invariantă prin similaritate este în mod necesar proporțională cu urmele.
În specialDacă urmele unei matrice pătrate pot fi definite fără o tehnicitate specială pe orice inel comutativ, nu este același lucru pentru urmele unui endomorfism . Folosind o reprezentare matricială , acest lucru este fezabil ieftin pentru un endomorfism al spațiului vectorial ; o construcție mai abstractă, folosind algebra tensorială , permite ca conceptul să fie extins la unele endomorfisme de modul - dar nu la toate.
În spațiul vectorialDacă E este un spațiu vectorial de finit dimensiune n , urmele unui endomorphism , notat , este definită ca Trasarea matricei u într - o bază fixă în prealabil la E . Această definiție nu depinde de alegerea arbitrară a, deoarece dacă este o altă bază, „ formula schimbării bazei ” arată că matricile lui u, respectiv în și sunt similare, prin urmare (cf. supra ) au aceeași urmă.
Următoarele proprietăți sunt valabile pentru toate endomorfismele , orice scalar și orice w ∈ GL ( E ) (adică w este un automorfism al lui E )
Cu alte cuvinte: urma este o formă liniară pe spațiul vectorial , invariantă prin conjugare .
Mai mult decât atât ,, unde denotă harta transpusă a lui u .
Într-un modulUtilizând contracția tensorială , este posibil să se extindă conceptul de urmă la endomorfisme de moduli proiectivi de tip finit .
Fie ( E , g ) un spațiu euclidian . Definim o bijecție (detaliată în secțiunea asociată Formă bilineară simetrică (respectiv forma hermitiană) a articolului Operator auto-adăugat ) între formele pătratice q pe E și operatorii simetrici A pe ( E , g ) prin:
.Urma lui A se numește urma formei pătratice q față de g .
Fie E un K - spațiu vectorial de dimensiune finită n .
În spațiile euclidiene:
Pentru matrici:
Fie A o matrice pătrată de ordinul n cu coeficienți într-un inel comutativ.
Notăm prin p A ( X ) polinomul său caracteristic și c i coeficientul lui X i în p A ( X ) . Cu alte cuvinte ne pozăm
,unde I n denotă matricea identității ordinii n . Asa de,
.Dovedim egalitatea de mai sus și, dacă
(unde λ i aparține unui inel comutativ care conține coeficienții lui A ), următoarea egalitate:
. DemonstrațieCaz special de coeficienți într-un inel integral
Mai întâi presupunem că inelul coeficienților este integral . Putem considera apoi A ca o matrice cu coeficienți într-un câmp comutativ K , și anume câmpul fracțiilor acestui inel.
Ne plasăm apoi într-un câmp L care conține K și unde p A este divizat (de exemplu închiderea algebrică sau câmpul de descompunere al lui p A ) și observăm:
X i sunt valorile proprii ale A , numărate cu multiplicitatea. Prin teoria trigonalizării , știm cum să găsim o matrice pătrată triunghiulară T , cu coeficienți în L și similară cu A , a cărei diagonală principală este formată din λ i . Folosind invarianța urmelor prin similaritate, concluzionăm:
.Mai mult, dacă dezvoltăm scrierea lui p A în factori de gradul I, suma lui λ i apare ca opusul coeficientului lui X n - 1 în acest polinom. Prin urmare, concluzionăm că, dacă notăm cu c n - 1 acest coeficient:
.Caz general
Nu mai presupunem că A are coeficienți într-un inel integral; totuși se pot obține rezultate similare pe o altă cale.
În dezvoltarea determinantului care definește polinomul caracteristic prin formula folosind permutări , vedem că un monomiu în X n - 1 apare doar într-unul din n ! termenii sumei, ceea ce este produsul termenilor diagonali ai lui XI n - A , adică:
Urma lui A apare apoi ca coeficient al lui X n - 1 . Am demonstrat formula în mod diferit:
.Acum presupunem în continuare polinomul caracteristic al A split și observăm:
o descompunere a acestui polinom în factori de gradul I.
Prin dezvoltarea acestui produs, obținem o nouă expresie a c n - 1 ; aducând acest lucru împreună cu formula anterioară, obținem:
.Fie q un polinom (cu coeficienți într-un inel comutativ care conține λ i de mai sus și coeficienții lui A ). Asa de :
. DemonstrațieDacă inelul este intact, se pot utiliza tehnicile și notațiile utilizate mai sus. Matricea q ( A ) este similară cu q ( T ) , în timp ce diagonala principală a lui T este formată de q ( λ i ) . Deducem formula.
Această formulă rămâne valabilă fără asumarea integrității, dovada Bazându-se pe tratamentul preliminar al cazului inelelor intacte .
Specializând formula precedentă la monomial q = X k , obținem:
.În caracteristică nulă, polinoamele simetrice elementare pot fi reconstituite polinomial pornind de la sumele lui Newton, prin identitățile lui Newton . Prin urmare, există formule polinomiale universale care permit exprimarea coeficienților polinomului caracteristic al unei matrice ( n , n ) în funcție de urmele puterilor sale (și chiar ale puterilor cu exponent mai mic sau egal cu n ). Pentru a da un exemplu:
Iată o aplicație: dacă A este o matrice ( n , n ) cu coeficienți într-un câmp cu caracteristica zero și satisface:, atunci A este nilpotent .
Dat fiind un spațiu vectorial real E de dimensiune finită, determinantul definește o hartă det din spațiul operatorilor de la E la R , care este omogenă de gradul n . DET numărul ( u ) este exprimat ca o funcție polinomială în coeficienții matricei reprezentând u într - o bază de orice E . Funcția det este deci diferențiată . Diferențialul său de identitate este urmele . Cu alte cuvinte, pentru orice operator u pe E ,
unde o ( u ) înseamnă că restul este neglijabil în comparație cu u pe măsură ce u se apropie de zero. În consecință, pentru orice operator u pe E ,
.În special, exponențialul lui u este determinant 1 dacă și numai dacă u este un operator de urmărire zero. Acest rezultat poate fi interpretat în teoria grupurilor Lie astfel. Aplicația det este un morfism continuă a grupurilor, a grupului liniar GL ( S ) la R . Nucleul său, setul de operatori cu determinantul 1, este deci un subgrup de GL ( E ), notat SL ( E ). Este un grup Lie clasic , adică un subgrup închis de GL ( E ). Geometric, un operator aparține SL ( E ) , dacă și numai în cazul în care păstrează volumul Lebesgue de E . Algebra sa Lie este exact ansamblul operatorilor u cu urmă zero, notat .
Pe un U deschis al lui E , un câmp vector X este o aplicație . Dacă această hartă este Lipschitziană, teorema Cauchy-Lipschitz afirmă existența soluțiilor maxime ale ecuației diferențiale obișnuite
(1).Fluxul lui X este familia de difeomorfisme f t care trimit x pe c (t), unde c este soluția lui (1) cu condiția inițială c (0) = x . Debitul este definit local. Introducem divergența lui X
unde dX (x) este diferențiala X în x , care este un operator pe E . Debitul f t păstrează volumul Lebesgue dacă divergența este zero. Mai exact, pentru orice deschidere a cărei aderență este inclusă în U ,
.(Această egalitate face posibilă extinderea definiției divergenței, de exemplu pe varietăți orientate în prezența formelor de volum.)
Dacă este o algebră Lie peste un câmp K , reprezentarea adjunctă a , notată ad , este dată de
.Forma Killing pe este forma bilineară simetrică
.Automorfismele algebrei Lie păstrează forma Killing. În special, reprezentarea adjoint păstrează B . Forma Killing a fost introdusă de Élie Cartan pentru a caracteriza semi-simplitatea algebrelor Lie . Când K = R , oferă și informații despre grupul Lie asociat. Vezi criteriul lui Cartan (en) .
Fie G un grup Lie (de exemplu, un subgrup închis de GL ( E )). Prin definiție, algebra Lie este spațiul câmpurilor vectoriale invariante la stânga de pe G , prevăzut cu paranteze Lie [,] (comutator de câmp vector). Forma Killing asociată B definește o metrică pseudo riemannian bi-invariante pe G . Dacă forma Killing B este pozitivă definită, atunci metrica asociată este o metrică riemanniană cu curbură pozitivă. Teorema lui Meyers implică faptul că G este compact. Există și alte linkuri.
Fie și să fie două matrice în . Observăm că
Avem astfel o scriere plăcută a produsului scalar canonic asupra spațiului .
Dacă H este un euclidiană sau Hermitian , operatorul Adjoint unui operator U pe H este un operator pe H . Apoi definim următorul produs scalar pe spațiul operatorului pe H :
.Cu această definiție, se pare clar că operatorii auto-asociați și operatorii anti-auto-asociați formează două sub spații ortogonale ale . Adunarea este simetria ortogonală în raport cu spațiul operatorilor auto-asociați.
Fie U un set deschis de spațiu vectorial real care conține 0 și să fie din clasa C 2 . Hessian H a f la 0 este o formă biliniară simetrică pe E , satisfacand
.Prin definiție, laplacianul lui f la 0 este urma lui Hessian:
Funcțiile clasei C 2 ale Laplacianului nul se numesc armonici . Necesar analitice , aceste funcții intervin în special în analiza complexă și în analiza funcțională . În special, funcțiile Laplacianului nul sunt soluțiile problemei Dirichlet, care este căutarea extremelor energiei lui Dirichlet.
Mai mult, definiția Laplacianului este generalizată în geometria diferențială pentru funcții pe varietăți Riemanniene ( operator Laplace-Beltrami ), dar și pentru obiecte mai generale, cum ar fi formele diferențiale . Inclusiv în acest cadru mai general , definiția poate fi dată de urmele formelor biliniare. Formele Laplaciene nule se numesc armonici, iar teoria lui Hodge arată importanța lor.
Având în vedere o suprafață netedă orientată S a spațiului euclidian , curbura medie a lui S în x este media celor două curburi principale ale lui S în x . În mod formal, aceste curburi sunt valorile proprii ale unei forme pătratice pe planul tangent T x S , numită a doua formă fundamentală a lui S la x , notată II x . Curbura medie a lui S în x este
.Definiția curburii medii se extinde la submanifoldurile netede N ale varietăților Riemanniene. Valoarea sa în x nu mai este un scalar, ci un vector ortogonal la T x N , care este încă definit prin intermediul urmelor. Submanifoldurile cu curbură medie zero sunt numite minime și sunt extremele volumului Riemannian.
Fie H un spațiu Hilbert , cu o bază Hilbert ( e i ) i ∈ I (nu neapărat numărabilă ). Se spune că un operator mărginit A ∈ ℒ ( H ) are o urmă dacă
(Această sumă nu depinde de alegerea bazei Hilbert.) În acest caz, stabilim
Operatorii de urmărire sunt compacți . Ele formează un ideal de ℒ ( H ) notat ℒ 1 ( H ), care este complet pentru norma ‖ ‖ 1 definită mai jos. Urma Tr este o formă liniară continuă pozitivă definită pe ℒ 1 ( H ).
În dimensiunea finită, urmele unui operator sunt suma coeficienților diagonali ai unei reprezentări matriciale. Următorul exemplu este o generalizare. Să μ o măsură Borel pe un spațiu compact K . Fie f : K 2 → ℝ o hartă continuă. Pe spațiul Hilbert L 2 ( K , ℝ) al funcțiilor de la K în ℝ cu un pătrat însumabil , operatorul nucleului
este cu urmă, iar urmele sale sunt egale cu: