Reprezentare adjunctă

În matematică , există două noțiuni de reprezentări asociative  :

• reprezentarea adjunctă a unui grup Lie pe algebra Lie ,
• reprezentarea adjunctă a unei algebre Lie asupra sa.

În timp ce prima este o reprezentare de grup , a doua este o reprezentare algebrică .

Definiție

Sunteți:

• G{\ displaystyle G}, un grup Lie  ;
• e∈G{\ displaystyle e \ în G}, elementul de identitate al  ;G{\ displaystyle G}
• g: =TeG{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}: = T_ {e} G}, algebra Lie a  ;G{\ displaystyle G}
• ι:G→LAtut(G);g↦ιg{\ displaystyle \ iota: G \ to \ mathrm {Aut} (G); g \ mapsto \ iota _ {g}}automorphism interior de la sine, dat de  ;G{\ displaystyle G}ιg1(g2)=g1g2g1-1{\ displaystyle \ iota _ {g_ {1}} (g_ {2}) = g_ {1} g_ {2} g_ {1} ^ {- 1}}

Definiție: Reprezentarea adjunctă a grupului Lie pe algebra Lie este: G{\ displaystyle G}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

LAd:G→LAtut(g);g↦LAdg: =((ιg)∗|e:g→g){\ displaystyle \ mathrm {Ad}: G \ to \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}}); g \ mapsto \ mathrm {Ad} _ {g}: = \ left ((\ iota _ {g }) _ {*} | _ {e}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} \ right)}

Note:

• Reprezentarea anexată este un morfism al grupurilor  :LAd:G→LAtut(g){\ displaystyle \ mathrm {Ad}: G \ to \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}})}

LAdg1g2=LAdg1∘LAdg2,∀g1,g2∈G{\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {g_ {1} g_ {2}} = \ mathrm {Ad} _ {g_ {1}} \ circ \ mathrm {Ad} _ {g_ {2}}, \ qquad \ forall g_ {1}, g_ {2} \ în G}

• Pentru toți , reprezentarea adiacentă a este un izomorfism al algebrelor:g∈G{\ displaystyle g \ în G}g{\ displaystyle g}

[LAdg(ξ1),LAdg(ξ2)]=LAdg[ξ1,ξ2],∀ξ1,ξ2∈g{\ displaystyle [\ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi _ {1}), \ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi _ {2})] = \ mathrm {Ad} _ {g} [\ xi _ {1}, \ xi _ {2}], \ qquad \ forall \ xi _ {1}, \ xi _ {2} \ in {\ mathfrak {g}}}

Definiție: Reprezentarea adjunctă a algebrei Lie pe sine este: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

lad:g→Enud(g);ξ↦ladξ: =LAd∗|e(ξ){\ displaystyle \ mathrm {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to \ mathrm {End} ({\ mathfrak {g}}); \ xi \ mapsto \ mathrm {ad} _ {\ xi}: = \ mathrm {Ad} _ {*} | _ {e} (\ xi)}

Note:

• Structura algebră pe spațiul tangent poate fi definită din reprezentarea adiacentă prin:[⋅,⋅]:g×g→g{\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}} g=TeG{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {e} G}lad{\ displaystyle \ mathrm {ad}}

[ξ1,ξ2]: =ladξ1(ξ2),∀ξ1,ξ2∈g{\ displaystyle [\ xi _ {1}, \ xi _ {2}]: = \ mathrm {ad} _ {\ xi _ {1}} (\ xi _ {2}), \ qquad \ forall \ xi _ {1}, \ xi _ {2} \ în {\ mathfrak {g}}}

• Deoarece parantezul Lie satisface identitatea Jacobi , reprezentarea adiacentă este un morfism al algebrelor  :[⋅,⋅]{\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]}lad:g→Enud(g){\ displaystyle \ mathrm {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to \ mathrm {End} ({\ mathfrak {g}})}

lad[ξ1,ξ2]=[ladξ1,ladξ2],∀ξ1,ξ2∈g{\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {[\ xi _ {1}, \ xi _ {2}]} = [\ mathrm {ad} _ {\ xi _ {1}}, \ mathrm {ad} _ { \ xi _ {2}}], \ qquad \ forall \ xi _ {1}, \ xi _ {2} \ in {\ mathfrak {g}}}

Când este un grup matricialG{\ displaystyle G}

Să presupunem că acesta este un grup Lie de matrice, de exemplu, sau , astfel încât algebra Lie este de asemenea matricea, de exemplu, sau . Apoi, cele două reprezentări alăturate sunt explicit: G{\ displaystyle G}GL(nu;R){\ displaystyle \ mathrm {GL} (n; \ mathbb {R})}GL(nu;VS){\ displaystyle \ mathrm {GL} (n; \ mathbb {C})}Mlat(nu;R){\ displaystyle \ mathrm {Mat} (n; \ mathbb {R})}Mlat(nu;VS){\ displaystyle \ mathrm {Mat} (n; \ mathbb {C})}

LAdg(ξ)=gξg-1,∀g∈G,∀ξ∈g{\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi) = g \ xi g ^ {- 1}, \ qquad \ forall g \ in G, \; \ forall \ xi \ in {\ mathfrak {g} }} ladξ1(ξ2)=[ξ1,ξ2],∀ξ1,ξ2∈g{\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {\ xi _ {1}} (\ xi _ {2}) = [\ xi _ {1}, \ xi _ {2}], \ qquad \ forall \ xi _ { 1}, \ xi _ {2} \ în {\ mathfrak {g}}}

unde aici este comutatorul de matrice. [⋅,⋅]{\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]}

Relația cu formularul Killing

Forma Killing este definită de:

K:g×g→R;(ξ1,ξ2)↦K(ξ1,ξ2): =Tr(ladξ1∘ladξ2){\ displaystyle K: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to \ mathbb {R}; (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}) \ mapsto K (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}): = \ mathrm {Tr} (\ mathrm {ad} _ {\ xi _ {1}} \ circ \ mathrm {ad} _ {\ xi _ {2}} )}}

Forma Killing este -invariantă: LAd{\ displaystyle \ mathrm {Ad}}

K(LAdg(ξ1),LAdg(ξ2))=K(ξ1,ξ2),∀g∈G,∀ξ1,ξ2∈g{\ displaystyle K (\ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi _ {1}), \ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi _ {2})) = K (\ xi _ {1} , \ xi _ {2}), \ qquad \ forall g \ in G, \; \ forall \ xi _ {1}, \ xi _ {2} \ in {\ mathfrak {g}}}

Astfel, verifică și:

K([ξ1,ξ2],ξ3)=K(ξ1,[ξ2,ξ3]),∀ξ1,ξ2,ξ3∈g{\ displaystyle K ([\ xi _ {1}, \ xi _ {2}], \ xi _ {3}) = K (\ xi _ {1}, [\ xi _ {2}, \ xi _ { 3}]), \ qquad \ forall \ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ xi _ {3} \ in {\ mathfrak {g}}}

Regularitatea reprezentării deputaților

Dacă este un grup Lie de clasă , harta adiacentă este diferențiată. Într-adevăr, este suficient să demonstreze că cererea de evaluare este diferențiată. Dar, prin definiție , este diferențial în a doua variabilă în elementul neutru al . În general, există o pierdere de regularitate pentru reprezentarea asistentului. G{\ displaystyle G} VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}LAd{\ displaystyle \ mathrm {Ad}}G×g→g:(g,ξ)↦LAdg(ξ){\ displaystyle G \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} :( g, \ xi) \ mapsto \ mathrm {Ad} _ {g} (\ xi)}LAd{\ displaystyle \ mathrm {Ad}}G×G→G;(g1,g2)↦g1g2g1-1{\ displaystyle G \ times G \ to G; (g_ {1}, g_ {2}) \ mapsto g_ {1} g_ {2} g_ {1} ^ {- 1}}

Cărți

• 1963, S. Kobayashi, K. Nomizu, Fundamente ale geometriei diferențiale.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">