Teoria numerelor algebrice

În matematică , teoria numerelor algebrice este ramura teoriei numerelor folosind instrumente derivate din algebră . Originea sa este studiul numerelor întregi și în special al ecuațiilor diofantine . Pentru a rezolva unele dintre ele, este util să se ia în considerare alte numere întregi, numite algebrice . Un exemplu este dat de teorema celor două pătrate a lui Fermat folosind numere întregi Gauss .

Aceste seturi sunt echipate cu două legi - o adunare și o înmulțire - care verifică aceleași proprietăți elementare ca și numerele întregi relative: vorbim de inele . În special, unele dintre ele au o diviziune euclidiană . Rezultatele clasice ale aritmetica a numerelor întregi naturale și aplică: Lema lui Euclid , identitatea lui Bézout sau chiar teorema fundamentală a aritmeticii . Se folosește în mod special o structură, cea a inelului coeficient ℤ / n ℤ compus din congruențe pe numere întregi . Se află la originea unei ramuri a teoriei numerelor algebrice: aritmetica modulară .

Nu toate seturile de această natură admit o diviziune euclidiană. Există uneori mai multe descompuneri în factori primi. Această specificitate conduce la un studiu general al proprietăților acestor structuri. Dacă mulțimea aleasă nu este prea mare, adică există un număr întreg n astfel încât fiecare element al mulțimii să fie rădăcina unui polinom al cărui grad nu depășește n , există o familie de proprietăți care sunt întotdeauna verificate. Astfel de structuri se numesc inele Dedekind . Studiul acestor structuri se numește „teoria clasică a numerelor algebrice”.

O altă structură este utilă, corespunde celui mai mic set care conține cea a numerelor întregi algebrice considerate astfel încât toate elementele nenule admit un invers pentru multiplicare. Structura poartă denumirea de câmp comutativ , este obținută printr-o abordare de aceeași natură cu cea care face posibilă construirea numerelor raționale , vorbim despre câmpul fracțiunilor . Aceste mulțimi ale căror elemente se numesc numere algebrice fac obiectul unei teorii numite Galois .

Teoriile matematice avansate - cum ar fi cohomologia Galois , teoria câmpului de clasă , teoria reprezentării grupurilor finite și funcțiile L - ne permit să studiem proprietățile fine ale acestor clase de numere. Multe întrebări din teoria numerelor sunt studiate modulul p pentru toate numerele prime p (a se vedea câmpurile finite ). Acest proces se numește localizare și duce la construirea de numere p -adic ; studiul câmpurilor locale utilizează aceleași tehnici ca cele descrise mai sus pentru câmpurile numerice . Este chiar de fapt mult mai simplu, iar rezultatele câmpurilor numerice sunt adesea deduse din cele din câmpurile locale: acesta este principiul local-global .

Aritmetica elementară

Rezolvarea ecuațiilor diofantine , adică a ecuațiilor cu coeficienți întregi și ale căror soluții dorite sunt întregi, este o întrebare care a fascinat omenirea încă din Antichitate. Astfel Elementele lui Euclid explică cum să construim pătrate perfecte a căror sumă este încă un pătrat perfect.

Proprietățile și teoremele utilizate pentru rezolvarea unor astfel de ecuații sunt în primul rând relativ simple. Toate derivă mai mult sau mai puțin direct din diviziunea euclidiană în inelul ℤ al numerelor întregi relative . Primele rezultate sunt lema lui Euclid , identitatea lui Bézout și teorema fundamentală a aritmeticii care afirmă că orice număr întreg pozitiv se descompune în mod unic într-un produs al numerelor prime.

Aceste teoreme ne permit să demonstreze o serie de rezultate, cum ar fi ultima teorema a lui Fermat pentru n egal cu 2 sau 4, sau teorema lui Fermat mica sau a lui Wilson . Pentru a merge mai departe, devine necesar să înțelegem mai precis relația dintre înmulțirea a două numere și restul produsului printr-o diviziune euclidiană. De exemplu, rezolvarea teoremei celor două pătrate a lui Fermat necesită determinarea listei numerelor prime p astfel încât să existe un număr natural n unde n 2 + 1 este multiplu al lui p . Teorema mică a lui Fermat este un rezultat care oferă informații de această natură, este utilizată pentru a rezolva elementar problema celor două pătrate sau pentru a studia primalitatea unui număr întreg (adică pentru a face posibil să se știe dacă un număr este sau nu prim Găsim un exemplu pentru studiul numerelor Fermat .

Aritmetica modulară

Dacă ecuația devine mai dificilă, cum ar fi găsirea soluțiilor întregi ale ecuației x 2 + 2 y 2 = p cu p un număr prim, tehnicile anterioare necesită calcule din ce în ce mai inteligente și complexe. În unele cazuri, la fel ca legea reciprocității pătratice , nicio soluție nu este găsită în secolul al XVIII- lea de marii aritmetici care abordează întrebarea: Leonhard Euler , Joseph-Louis Lagrange și Adrien-Marie Legendre .

Tehnica care ajunge în sfârșit la sfârșit constă în studierea noilor numere și mai ales a proprietăților structurale pe care le posedă seturile lor prevăzute cu adunare și multiplicare. Una dintre aceste mulțimi este compusă din resturile (numere întregi de la 0 la p ) ale diviziunii euclidiene a unui număr întreg cu p , dacă p este un număr prim. Pentru multiplicare (cf. articolul „ Inel ℤ / nℤ ”), numerele întregi de la 1 la p - 1 formează un grup ciclic . Studiul acestui grup face posibilă depășirea legii reciprocității pătratice.

Teoria numerelor algebrice clasice

Număr întreg algebric

O altă familie de mulțimi este utilă, cele de forma a + ξ b sau a și b sunt numere întregi și ξ o soluție a unei ecuații pătratice. Pentru anumite valori ale lui ξ ca $i$ unitatea imaginară , $j$ o rădăcină cubică primitivă a unității în numere complexe sau (1 + √ 5 ) / 2 , este posibil să se definească o divizie euclidiană, c ' , care este , sunt inele euclidiene . Studiul acestor numere face posibilă rezolvarea unor întrebări precum ultima teoremă a lui Fermat pentru n egal cu 3 sau 5.

Pentru a defini în general aceste mulțimi, este util să se ia în considerare cea mai mică mulțime K care conține numerele raționale, toate rădăcinile unui polinom cu coeficienți raționali și stabile pentru adunare și multiplicare. O astfel de structură se numește corpul de descompunere al polinomului. Inelul considerat, deseori notat cu O K, este cel al elementelor lui K care sunt și rădăcini ale unui polinom cu coeficienți întregi și al căror monom de cel mai înalt grad are un coeficient egal cu 1. Aceste numere se numesc „numere întregi algebrice”. Aceste două structuri sunt oarecum analoge cu raționalele și întregi relative. A doua mulțime O K are elemente care nu au invers pentru multiplicare, cu unele excepții precum 1 și –1 pentru numere întregi relative. Aceste excepții formează o structură multiplicativă numită grupul de unități . Câmpul K poate fi văzut ca fiind compus din fracțiuni de numere întregi algebrice și orice element diferit de zero are un invers pentru multiplicare. Un câmp pătratic corespunde celei mai simple întruchipări a acestei situații, polinomul este de gradul 2. Închiderea sa algebrică nu seamănă întotdeauna cu ℤ. Două obstacole îndepărtează noua structură de configurația originală.

Setul de elemente inversabile ale lui O K poate deveni vast. Un exemplu este dat de studiul numerelor întregi ale lui ℚ ( √ 5 ) al căror grup de unități este infinit. Pentru toate aceste elemente, instrumente precum lema lui Euclid, identitatea lui Bézout sau factorizarea primară se dovedesc a fi ineficiente. Dirichlet reușește să elucideze structura acestui grup prin teorema cunoscută sub numele de unități ale lui Dirichlet . Pentru câmpurile pătratice, această dificultate se traduce prin ecuația Pell-Fermat .

A doua obstrucție apare din faptul că nu mai există suficiente numere prime pentru a asigura o descompunere unică. De exemplu, în inelul ℤ [ $i$ √ 5 ] al întregilor lui ℚ ( $i$ √ 5 ) , numărul 6 admite două factorizări diferite:

6 = 2 \ times 3 = (1 + {{\ rm {i}}} {\ sqrt 5}) (1 - {{\ rm {i}}} {\ sqrt 5}).

Cu toate acestea, niciunul dintre cei patru numere întregi algebrice utilizate nu conține divizori decât ei înșiși și 1 (cu excepția unui factor al grupului de unități). O soluție este imaginată de Ernst Kummer , el propune să adauge „ numere ideale (în) ” pentru a obține din nou o factorizare unică. Mai târziu, Richard Dedekind formalizează noțiunea de ideal generalizând această idee la toate inelele. Închiderile algebrice au un set de proprietăți formalizate de axiomele care definesc noțiunea de inel Dedekind . Pentru o astfel de structură, fiecărui număr îi este asociat idealul, calificat drept principal și există idealuri care nu sunt asociate cu niciun număr. Idealurile au un adaos și mai ales o multiplicare. La fel cum numerele întregi se generalizează în numere raționale, definiția unui ideal se extinde la cea a unui ideal fracțional care are un invers dacă nu este zero. Această generalizare conferă setului o structură de grup multiplicativ. Grupul de idealuri fracționare are un grup specific, principalele idealurile fracționare, care corespunde reale numere de K . Coeficientul grupului de către acest subgrup, o operațiune similară celei utilizate în aritmetica modulară face posibilă măsurarea volumului de lipsă numerele prime. Teorema de a ocoli a doua obstrucție descrie o proprietate a acestui grup de coeficiente, numit grupul de clase ideale . Are un număr finit de elemente.

Teoria clasică Galois

Alte întrebări, care nu se referă la numerele întregi, impun o generalizare a noțiunii de număr. Diagonala unui pătrat de lungime laterală nu este exprimată ca o fracțiune. Aceasta conduce la studiul unui nou număr, perceput inițial ca o lungime și egal cu rădăcina pătrată a două . Mai general, studiul ecuațiilor polinomiale introduce numere precum unitatea imaginară sau rădăcinile n- ale raționalelor, numite radicali. Anumite metode precum cele ale lui Cardan sau Ferrari permit rezolvarea prin radical a oricărei ecuații de grad strict mai mici de cinci.

Un număr algebric este definit ca o rădăcină a unui polinom . Evariste Galois studiază proprietățile de simetrie ale acestor rădăcini și evidențiază existența unui grup finit, a spus Galois . În termeni moderni, cadrul studiului este acela al unui prelungire finit L a unui câmp K , adică a unui câmp L care conține un câmp K și de dimensiune finită , dacă este considerat ca un vector de spațiu de K . Grupul Galois este grupul de automorfisme ale lui L lăsând K invariant. Un exemplu este dat de cel mai mic câmp care conține toate rădăcinile unui polinom, precum și coeficienții acestuia. Grupul Galois permite o expresie generală a teoremei lui Abel, oferind o condiție necesară și suficientă pentru ca o ecuație să poată fi rezolvată de radicali.

Teoria clasică a lui Galois se bazează pe două teoreme, cea a elementului primitiv și cea menționată fundamental . Prima presupune o proprietate asupra polinomul minimal al unui element este de L . Polinomul minimal al unei este polinoamelor cu coeficienți în K de cel mai mic grad, unitar și având o rădăcină. Teoria arată că într-o extensie finită, un astfel de polinom există întotdeauna. O configurație frecventă indică faptul că un polinom minim nu admite niciodată o rădăcină multiplă. Dacă acesta este cazul, extensia se spune că poate fi separată . Teorema elementului primitiv indică faptul că o extensie finită separabilă conține întotdeauna un element p , numit primitiv astfel încât L este cel mai mic câmp care conține K și p . Dacă extensia este separabilă și dacă grupul Galois conține la fel de multe elemente ca dimensiunea lui L ca un spațiu vectorial, se spune că extensia este Galois . Într-o astfel de extensie, subcâmpurile L conținând K sunt în bijecție cu subgrupurile grupului Galois. Analiza proprietăților acestei bijecții este conținutul teoremei fundamentale a acestei teorii.

Această abordare structurală, adesea considerată originea algebrei moderne, depășește studiul rezolvării ecuațiilor polinomiale. Înainte de lucrarea lui Galois, Carl Friedrich Gauss înțelesese anumite elemente ale teoriei, ceea ce îi permitea să găsească un nou poligon regulabil construibil cu o riglă și o busolă . Conține șaptesprezece vârfuri (cf. articolul „ Teorema Gauss-Wantzel ”). Teoria clasică a numărului întreg algebric folosește frecvent instrumentele acestei teorii. Calculul mărimii ca normă a unui număr întreg sau discriminant al unui inel poate fi exprimat folosind grupul Galois. Această proprietate este la originea multor dovezi, cum ar fi cea a teoremei unității lui Dirichlet .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Teoria numerelor algebrice ” ( vezi lista autorilor ) .

Euclide ( trad. Bernard Vitrac), Elementele [ detaliul edițiilor ], zbor. 3, Cartea X, p. 171-176 .

Vezi și tu

Bibliografie

Pierre Samuel , Teoria numerelor algebrice [ detaliul ediției ]
(ro) Jürgen Neukirch , Teoria numerelor algebrice [ detaliile edițiilor ]

Articole similare

Link extern

(fr) David J. Wright, „MATH 6723: Algebraic Number Theory” ( Internet Archive version 7 august 2007 ) , la Oklahoma State University : note de curs, exerciții rezolvate, sugestii pentru studii suplimentare, bibliografie