Operator de urmărire

Un operator de urmărire este un operator matematic implementat în studii privind existența și unicitatea soluțiilor la probleme cu condiții limită . Operatorul de urmărire permite, de asemenea, prin intermediul unei formulări într-un spațiu Sobolev, să extindă la limita unui domeniu noțiunea de restricție a unei funcții .

Origine

Ω este un deschis delimitat Euclidian spațiu ℝ n cu frontiera de clasa C 1 ∂Ω. Dacă u este o funcție C 1 (sau pur și simplu continuă ) pentru aderența Ω a Ω, restricția sa este bine definită și continuă pe ∂Ω. Dacă în plus u este soluția unei ecuații diferențiale parțiale date, este în general o formulare slabă , care aparține, așadar, unui anumit spațiu Sobolev . Funcțiile unui astfel de spațiu nu sunt, în general, continue și sunt definite doar peste Ω (și chiar aproape aproape egale aproape peste tot ), astfel încât restricția lor la ∂Ω nu are sens. Se pare că simpla restricție a unei funcții nu poate fi utilizată pentru a defini în mod clar o soluție generală a unei ecuații diferențiale parțiale cu condiții limită date de Ω.

Putem ocoli această dificultate considerând că orice element u al unui spațiu Sobolev poate fi prost definit ca o funcție, dar poate fi totuși aproximat printr-o secvență ( u n ) a funcțiilor clasei C 1 definite pe aderența lui Ω. Apoi, restricția u | ∂Ω a u pe ∂Ω este definită ca limita secvenței de restricții u n | ∂Ω .

Construcția operatorului de urmărire

Pentru a defini riguros noțiunea de restricție a unei funcții într - un spațiu Sobolev, să o reală p ≥ 1. Se consideră operatorul liniar

{\ displaystyle T: C ^ {1} ({\ bar {\ Omega}}) la {\ rm {L ^ {p}}} (\ partial \ Omega)}

definit pe setul de funcții de clasă C 1 pe Ω cu valori în spațiul $L p (\partialΩ)$ , verificând

{\ displaystyle Tu = u_ {| \ partial \ Omega}.}

Domeniul lui T este un subset al spațiului Sobolev W 1, p (Ω).

Există o constantă C , care depinde doar de Ω și p , astfel încât

{\ displaystyle \ forall u \ in C ^ {1} ({\ bar {\ Omega}}) \ quad \ | Tu \ | _ {{\ rm {L ^ {p}}} (\ partial \ Omega)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ Omega)}.}

Apoi, deoarece funcțiile C 1 pe Ω sunt dense în W 1, p (Ω), operatorul T admite o prelungire continuă unică (prin urmare, el și liniar )

{\ displaystyle T: W ^ {1, p} (\ Omega) \ to {\ rm {L ^ {p}}} (\ partial \ Omega)}

definit pe întreg spațiul W 1, p (Ω). T se numește operator de urmărire . Restricția (sau urmele ) u | ∂Ω a unei funcții u a lui W 1, p (Ω) este apoi dată de Tu .

Deoarece această continuare T este secvențial continuă , pentru orice secvență ( u n ) a funcțiilor de clasă C 1 pe Ω care converge în W 1, p (Ω) către u , secvența ( u n | ∂Ω ) converge în $L p (\partial Ω)$ la Tu .

Cerere

Luați în considerare rezolvarea ecuației Poisson cu condițiile la limita Dirichlet :

{\ displaystyle {\ begin {cases} - \ Delta u = f {\ text {sur}} \ Omega \\ u_ {| \ partial \ Omega} = 0. \ end {cases}}}

Iată o funcție continuă dată pe Ω . $f$

Datorită conceptului de urmă, definim, în spațiul Sobolev H 1 (Ω): = W 1,2 (Ω), subspaiul H1
0(Ω) funcții de urmărire zero. Apoi ecuația admite următoarea formulare slabă :

Găsiți astfel încât

u \ in H ^ 1_0 (\ Omega)

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \! \ nabla u (x) \ cdot \ nabla v (x) \, dx = \ int _ {\ Omega} \! f (x) v (x) \, dx }

pentru tot ce este în H

v

1
0(Ω).

Prin teorema Lax-Milgram , putem arăta că această problemă admite o soluție unică și, prin urmare, că ecuația Poisson are o soluție slabă unică.

Rationamente similare pot fi folosite pentru a dovedi existența și unicitatea soluțiilor în cazul altor ecuații diferențiale parțiale cu condiții limită diferite, cum ar fi condițiile Neumann sau Robin , noțiunea de urmă fiind importantă în aceste cazuri.

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Trace operator ” (a se vedea lista autorilor ) .
Haïm Brezis , Analiza funcțională: teorie și aplicații [ detaliile edițiilor ]
(ro) Lawrence C. Evans (de) , Ecuații diferențiale parțiale , Providence, RI, AMS ,2010, A 2 -a ed. ( 1 st ed. 1998), 749 p. ( ISBN 978-0-8218-4974-3 , citit online ) , p. 174