Matricea unei hărți liniare

În algebra liniară , matricea unei hărți liniare este o matrice de scalari care face posibilă reprezentarea unei hărți liniare între două spații vectoriale de dimensiuni finite , având în vedere alegerea unei baze pentru fiecare dintre ele.

Definiție

Sunteți:

• E și F două spații vectoriale pe un câmp comutativ K , cu dimensiunile respective n și m  ;
• B = ( e 1 , ..., e n ) o bază a lui E , C o bază a lui F  ;
• cp o punere în aplicare a E în F .

Asa de :

• harta φ este liniară dacă și numai dacă există o matrice A de M m, n ( K ) astfel încât
  pentru orice vector x de E , coloana de coordonate din C de φ ( x ) este produsul din stânga de A din coloana de coordonate a lui x în B  ;
• o astfel de matrice A este atunci unică: n coloanele sale sunt coordonatele din C ale n vectori φ ( e 1 ), ..., φ ( e n ).

Această matrice A se numește matricea lui φ în perechea de baze ( B , C ) și se notează mat B , C ( φ ) sau uneori M C B ( φ ).

Mai formal, mat B , C ( φ ) se caracterizează prin:

∀X∈EcatargVS⁡(φ(X))=catargB,VS⁡(φ)×catargB⁡(X){\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad \ operatorname {mat} _ {C} (\ varphi (x)) = \ operatorname {mat} _ {B, C} (\ varphi) \ times \ operatorname {mat} _ {B} (x)}.

Exemplu

În vectorul plan euclidian ℝ 2 , raportul de similaritate direct √ 2 și unghiul 45 ° (vezi figura) sunt liniare.

Matricea sa în baza canonică (sau în orice bază ortonormală directă ) este . (1-111){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}}

Este : (X′y′)=(1-111)(Xy){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}

Proprietăți

• Matricea mat B , C ( φ ) furnizează, coloană cu coloană, coordonatele în C din n vectori cp ( e 1 ), ..., φ ( e n ) din F , care generează imaginea φ . În ceea ce privește nucleul lui φ , este subspaiul vectorial al lui E format din vectorii ale căror coordonate în B sunt soluțiile X ale sistemului liniar omogen mat B , C ( φ ) X = 0.
• Aplicarea lui L ( E , F ) în M m, n ( K ) care cu fiecare φ își asociază matricea în ( B , C ) este un izomorfism al spațiilor vectoriale .
• Dacă ψ este a doua hartă liniară a lui F într-un al treilea spațiu vectorial G cu baza D atunci, relativ la bazele B , C , D , matricea compozitului ψ ∘ φ este egală cu produsul matricilor lui ψ și φ . Mai precis : catargB,D⁡(ψ∘φ)=catargVS,D⁡(ψ)×catargB,VS⁡(φ){\ displaystyle \ operatorname {mat} _ {B, D} (\ psi \ circ \ varphi) = \ operatorname {mat} _ {C, D} (\ psi) \ times \ operatorname {mat} _ {B, C } (\ varphi)}.
• Pentru orice matrice M a M m, n ( K ), harta X ↦ MX , din spațiul K -vector M n , 1 ( K ) în spațiul K -vector M m , 1 ( K ), este liniară și matricea sa în a bazelor canonice este M . În consecință, se întâmplă adesea ca matricea M să fie identificată cu această hartă liniară. Vom vorbi apoi despre nucleul matricei, despre spațiile eigens ale matricei, despre imaginea matricei etc.

Note

1. Această definiție este generalizată luând K un inel (nu neapărat comutativ ) și E și F ale modulelor K la dreapta liber finit .
2. O dovadă poate fi găsită în capitolul „Matricea unei aplicații liniare” de pe Wikiversitate ( vezi mai jos ).
3. Jean Dieudonné , Algebră liniară și geometrie elementară , Hermann ,1964, „Introducere”.
4. În cazul modulelor pe un inel necomutativ, această liniaritate există doar pentru că am considerat modulele din dreapta .

Vezi și tu

Matricea de trecere