Corpul fracțiilor

În teoria inelelor , domeniul fracțiilor unui domeniu integral A este cel mai mic comutativ (până la izomorfism) conținând A .

Construcția sa este o generalizare la un inel al construcției corpului raționalelor din inelul numerelor întregi relative . Aplicat unui inel de polinoame , permite construirea câmpului său de fracții raționale .

Această construcție este generalizată în continuare cu procesul de localizare .

Constructie

Definim pe E = A × A \ {0} două legi interne și o relație de echivalență compatibilă cu aceste două legi:

o pseudo-adăugare: pentru toate (a, b) și (c, d) din E , (a, b) + (c, d) = (ad + cb, bd) ;
o pseudo-multiplicare: pentru toate (a, b) și (c, d) din E , (a, b). (c, d) = (ac, bd) ;
o relație: pentru toate (a, b) și (c, d) din E , (a, b) ~ (c, d) if ad = bc .

Existența celor două legi este puternic subordonată faptului că inelul este integral deoarece produsul bd trebuie să fie diferit de zero. În acest caz, cele două legi ale compoziției interne sunt bine definite, comutative (în funcție de comutativitatea produsului pe A ) și asociative.

Au un element neutru numai dacă inelul este unitar (în acest caz este (0, 1) pentru primul și (1, 1) pentru al doilea) și chiar în acest caz, dacă inelul nu este deja un corp, nu există elemente inverse pentru ambele legi construite e . În cele din urmă, nu există distribuție a celei de-a doua legi față de prima.

Relația ~ definită de (a, b) ~ (c, d) dacă ad = bc este într-adevăr simetrică, reflexivă și tranzitivă prin asumarea integrității. În plus, este compatibil cu cele două legi, adică clasa rezultatului pseudo-multiplicării (sau a pseudo-adăugării) depinde doar de clasele operanzilor. Cu alte cuvinte, legile compoziției pot fi aplicate claselor de echivalență fără a lua în considerare alegerea reprezentantului.

Clasa unei perechi (a, b) este de obicei notată și se numește fracție . ${\ frac {a} {b}}$

Setul de coeficient, notat cu K (A), este prevăzut cu legile compoziției induse (adunare și multiplicare).

Proprietăți

Corp

K (A) este apoi un câmp comutativ , adică are următoarele proprietăți (reparăm orice element diferit de zero x din A ):

simplificarea fracției : pentru toate c nenule ; $\ frac {ca} {cb} = \ frac {a} {b}$
comutativitatea și asociativitatea legilor induse;
existența unui neutru pentru prima lege $\ frac {0} {x}$

\ frac ab + \ frac 0x = \ frac {ax} {bx} = \ frac ab

existența unei unități neutre pentru a doua; $\ frac {x} {x}$

\ frac ab \ times \ frac xx = \ frac {ax} {bx} = \ frac ab

existența unui opus pentru orice element ; $\ frac {-a} {b}$ ${\ frac {a} {b}}$

\ frac {a} {b} + \ frac {-a} {b} = \ frac {0} {b}

existența unui invers pentru orice element diferit de zero ; $\ frac {b} {a}$ ${\ frac {a} {b}}$

\ frac {a} {b} \ times \ frac {b} {a} = \ frac {ab} {ab}

distributivitatea multiplicării față de adunare:

\ frac {a} {b} \ frac {e} {f} + \ frac {c} {d} \ frac {e} {f} = \ frac {aedf + cebf} {bfdf} = \ frac {(ad + cb) e} {bdf} = \ left (\ frac {a} {b} + \ frac {c} {d} \ right) \ frac {e} {f}

Plonjând

Dacă inelul A este unitar, harta i de la A la K (A) pe care, la elementul a , o asociază este un morfism injectiv care aruncă inelul A în corpul său de fracții. $\ frac {a} {1}$

Dacă inelul A nu este unitar, se alege un element e nenulă A . Harta i a A în K (A) care, la elementul de asociati, este un morfism injectiv care cufundă inelul A în câmpul său de fracții. Această hartă nu depinde de elementul nenul ales e . $\ frac {ae} {e}$

Proprietate universală

Pentru orice câmp L și orice morfism inelar injectiv de la A la L, există un morfism unic al corpului de la K (A) la L astfel încât $f \,$ ${\ tilde f}$ $f = {\ tilde f} \ circ i$

Singurul mod de a crea este definit de unde e este un element nenulă fix A . Apoi este suficient să se demonstreze că această construcție este independentă de reprezentantul ales și că este într-adevăr un morfism injectiv. ${\ tilde f}$ $\ tilde f \ left (\ frac {a} {b} \ right)$ $\ tilde f \ left (\ frac {ae} {e} \ right). \ left (\ tilde f \ left (\ frac {be} {e} \ right) \ right) ^ {- 1} = \ frac { f (a)} {f (b)}$ ${\ tilde f}$

Unicitate

Conform proprietății universale, K (A) este cel mai mic câmp care conține A , în sensul următor: dacă L este un alt câmp care conține A , există un morfism injectiv de la A în L, deci un morfism injectiv de la K (A) în L .

Exemple

Construcția numerelor raționale constă în definirea ℚ câmpul numerelor raționale ca domeniul proporŃiilor de ℤ inel de numere întregi relative .
Pentru orice câmp comutativ K , câmpul fracțiilor inelului polinomiilor K [ t ] este câmpul fracțiilor raționale K ( t ).
Câmpul fracțiilor subinelului K [ t 2 , t 3 ] conține t = t 3 / t 2 de aceea este și K ( t ).
Câmpul funcțiilor meromorfe este câmpul fracțiunilor inelului funcțiilor holomorfe peste ℂ, cu alte cuvinte, funcții întregi .

Generalizare

Dacă inelul este comutativ, dar nu este integral, nu mai are un câmp de fracții, ci un inel total de fracții . Acest inel de fracții este definit ca S -1 A localizat al lui A în subsetul S al elementelor care sunt regulate, adică care nu sunt divizori ai zero .

Dacă inelul nu este comutativ, ci este de minereu , atunci are un câmp de fracțiuni necomutativ.

Referințe

Curs de matematică - (volumul I) Jacqueline-Lelong Ferrand și Jean-Marie Arnaudiès . Ediții Bordas
Bourbaki, Elemente de matematică , Algebră comutativă , capitolul II, § 2