Contracția tensorului

În algebra multiliniară , contracția este un proces de calcul pe tensori care implică dualitate . În coordonate este reprezentat într-un mod foarte simplu folosind notațiile lui Einstein și constă în realizarea unei sume pe un index silențios. Este posibil să contractăm un tensor unic de rang p într-un tensor de rang p-2 , de exemplu prin calcularea urmelor unei matrice. De asemenea, este posibil să contractăm doi tensori, ceea ce generalizează noțiunea de produs matricial.

Contracție pentru câțiva tensori

Cel mai simplu exemplu de contracție este cârligul dualității . Dacă E este un spațiu vectorial pe (sau orice câmp K ) și dacă E * este spațiul dual , atunci contracția este harta biliniară $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle \ langle \ cdot \ ,, \ cdot \ rangle \ colon E ^ {*} \ times E \ rightarrow \ mathbb {R}}

dat de

{\ displaystyle \ langle {\ tilde {a}}, {\ vec {b}} \ rangle = {\ tilde {a}} ({\ vec {b}})}

În componente, se scrie o astfel de contracție

{\ displaystyle {\ tilde {a}} ({\ vec {b}}) = a _ {\ gamma} b ^ {\ gamma}}

care, conform convențiilor de însumare ale lui Einstein , este o prescurtare a sumei

{\ displaystyle a _ {\ gamma} b ^ {\ gamma} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b ^ {i}}

al cărui rezultat este un scalar.

Forma biliniară se numește tensorul Kronecker și se remarcă , unde este spațiul tensorilor mixți (odată covarianți și odată contravarianți). Astfel . Într-o bază duală (a se vedea vectorul contravariant, covariant și covector ), matricea lui este matricea identității în care sunt simbolurile Kronecker: și dacă . Cu alte cuvinte . Și găsim bine . Introducerea tensorului Kronecker este suficientă pentru a asigura caracterul intrinsec al contracției. ${\ displaystyle \ langle \ cdot \ ,, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ delta \ în T_ {1} ^ {1} (E)}$ ${\ displaystyle T_ {1} ^ {1} (E)}$ ${\ displaystyle \ delta ({\ tilde {a}}, {\ vec {b}}) = {\ tilde {a}} ({\ vec {b}})}$ ${\ displaystyle \ left ({\ vec {e_ {i}}} \ right) _ {i = 1, ..., n}}$ ${\ displaystyle (e ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}$ $\ delta$ ${\ displaystyle I = [\ delta _ {j} ^ {i}]}$ $\ delta _ {j} ^ {i}$ ${\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {i} = 1}$ ${\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i} = 0}$ $i \ ne j$ ${\ displaystyle \ delta = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {e}} _ {i} \ otimes e ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ delta ({\ tilde {a}}, {\ vec {b}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {e}} _ {i} ({\ tilde {a}}) e ^ {i} ({\ vec {b}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b ^ {i}}$

Generalizare: contracția unui tensor

Pentru un produs tensorial simplu de ordine ( m , n ), adică de m vectori cu n forme liniare, putem contracta orice vector cu orice formă liniară: ${\ displaystyle S = x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {n} \ in E ^ {\ otimes m} \ otimes E ^ {* \; \ otimes n}}$

{\ displaystyle [S] _ {j} ^ {i} = y ^ {j} (x_ {i}) \; x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {i-1} \ otimes x_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {j-1} \ otimes y ^ {j + 1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ { nu}}

În componente, dacă și , această contracție este scrisă: ${\ displaystyle y ^ {j} \ equiv {\ tilde {y}} ^ {j} = y _ {\ gamma} ^ {j} {\ tilde {e}} ^ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ equiv {\ vec {x}} _ {i} = x_ {i} ^ {\ gamma} {\ vec {e}} _ {\ gamma}}$

{\ displaystyle [S] _ {j} ^ {i} = y _ {\ gamma} ^ {j} x_ {i} ^ {\ gamma} \; x_ {1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {i- 1} \ otimes x_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes x_ {m} \ otimes y ^ {1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {j-1} \ otimes y ^ {j + 1} \ otimes \ dots \ otimes y ^ {n}}

și dă un tensor de ordine . ${\ displaystyle (m-1, n-1)}$

Această definiție este compatibilă cu regulile de calcul al produsului tensorial și se extinde prin liniaritate la orice tensor T (combinație liniară finită de produse tensoriale simple, cum ar fi S ).

Calculul practic în componente este realizat prin acordarea acelorași valori celor doi indici care urmează să fie contractați apoi prin însumare, păstrând în același timp ceilalți indici liberi. De exemplu, pentru un tensor (2,2) într-un spațiu de dimensiunea 4, una dintre contracții este, cu convenția de însumare a lui Einstein :

{\ displaystyle T _ {\ gamma \ beta} ^ {\ alpha \ beta} = T _ {\ gamma 0} ^ {\ alpha 0} + T _ {\ gamma 1} ^ {\ alpha 1} + T _ { \ gamma 2} ^ {\ alpha 2} + T _ {\ gamma 3} ^ {\ alpha 3} = U _ {\ gamma} ^ {\ alpha}}

Contracția unui cuplu de tensori

O contracție a tensorului T cu tensorul T ' este o contracție a produsului tensorial al acestora , implicând un indice de T și un indice de T ′ . ${\ displaystyle T \ otimes T '}$

Astfel matricile pot fi văzute ca tensori de tip (1,1). Produsul P a două matrice M și N este o contracție

{\ displaystyle M _ {\ beta} ^ {\ alpha} N _ {\ gamma} ^ {\ beta} = P _ {\ gamma} ^ {\ alpha}}

Contracția cu un tensor metric

Contracția cu un tensor metric permite extinderea proprietăților dualității. Rezultatul, numit transformarea contraco, face posibilă „creșterea sau coborârea” indicilor, adică transformarea componentelor covariante în componente contravariante sau invers. Apoi este posibil să se efectueze contracții noi.

De exemplu, în geometria Riemanniană , această posibilitate este utilizată pentru a defini tensorul Ricci și curbura scalară din tensorul de curbură .