Grup simetric
În matematică , mai ales în algebră , grupul simetric al unei mulțimi E este grupul permutărilor lui E , adică al bijecțiilor lui E pe sine. Numai cazul finit E este tratat în acest articol în urma definiției generale .
Definiție
Fie E un set . Numit grup simetric E toate aplicațiile bijective de la E la E furnizate cu compoziția aplicației (Legea ∘). O denotăm S ( E ) sau (acest personaj este un S gotic ).
S(E){\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}
Un caz special comun este cazul în care E este mulțimea finită {1, 2, ..., n }, n fiind un număr întreg natural ; notăm apoi sau grupul simetric al acestui set. Elementele de sunt numite permutări și se numesc grup de permutări de grad n sau grup simetric de index n (un subgrup al grupului simetric se numește grup de permutări ). În timp ce rămâneți întotdeauna în cazul finit, este ușor să indicați o aplicație printr-o matrice:
Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Snu{\ displaystyle S_ {n}}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}f:{1,...,nu}⟶{1,...,nu}{\ displaystyle f: \ {1, \ ldots, n \} \ longrightarrow \ {1, \ ldots, n \}}
[12...nuf(1)f(2)...f(nu)]{\ textstyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & \ ldots & n \\ f (1) & f (2) & \ ldots & f (n) \ end {bmatrix}}}
Dacă două mulțimi sunt echipotente, atunci grupurile lor simetrice sunt izomorfe . Într-adevăr, dacă f este o bijecție de la E la F , atunci maparea lui S ( E ) în S ( F ) care la σ asociază f ∘σ∘ f −1 este un izomorfism. În special dacă E este o mulțime finită cu n elemente , atunci este izomorfă pentru . În consecință, este suficient să cunoaștem proprietățile grupului pentru a deduce cele ale grupului . Acesta este motivul pentru care restul acestui articol se va concentra numai asupra .
S(E){\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}} Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}S(E){\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
Exemplu
Fie un triunghi echilateral ABC. Notăm , iar cele medianele care rezultă din respectiv nodurile A, B și C. Considerând observăm că toate permutarile conținute în acest grup au interpretări geometrice ca izometrii . Concret, notând , și simetriile în ceea ce privește medianele aceleași nume și în sens antiorar rotirea unui al treilea al unui cerc al triunghiului, putem identifica membrii după cum urmează:
dX{\ displaystyle d_ {x}}dy{\ displaystyle d_ {y}}dz{\ displaystyle d_ {z}}S3{\ displaystyle S_ {3}}X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}z{\ displaystyle z}r{\ displaystyle r}S3{\ displaystyle S_ {3}}
e=[123123]{\ displaystyle e = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \ end {bmatrix}}}, , r=[123231]{\ displaystyle r = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \ end {bmatrix}}}t=r∘r=[123312]{\ displaystyle t = r \ circ r = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \ end {bmatrix}}}
X=[123132]{\ displaystyle x = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \ end {bmatrix}}}, , y=[123321]{\ displaystyle y = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \ end {bmatrix}}}z=[123213]{\ displaystyle z = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \ end {bmatrix}}}
În plus, obținem următorul tabel de compoziție care descrie bine un grup:
∘{\ displaystyle \ circ}
|
e
|
r
|
t
|
X
|
y
|
z
|
---|
e
|
e
|
r
|
t
|
X
|
y
|
z
|
r
|
r
|
t
|
e
|
z
|
X
|
y
|
t
|
t
|
e
|
r
|
y
|
z
|
X
|
X
|
X
|
y
|
z
|
e
|
r
|
t
|
y
|
y
|
z
|
X
|
t
|
e
|
r
|
z
|
z
|
X
|
y
|
r
|
t
|
e
|
Originea și importanța
Din punct de vedere istoric, studiul grupului de permutații ale rădăcinilor unui polinom de Évariste Galois se află la originea conceptului de grup.
O teoremă Cayley asigură că orice grup este izomorf pentru un subgrup al unui grup simetric.
Proprietăți
Grupul este de ordinul n ! .
Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
Această proprietate poate fi dovedită prin numărarea permutărilor . De asemenea, este posibil să se facă o demonstrație prin inducție , oferind astfel o legătură între grupurile simetrice de grade n - 1 și n .
Dovadă prin inducție pe n
S1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {1}} are un singur element.
Să presupunem că are elemente. Luați în considerare aplicația
Snu-1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}(nu-1)!{\ displaystyle (n-1)!}φ:{Snu→{1,...,nu}×Snu-1σ↦(σ(nu),σ′){\ displaystyle \ varphi: \ left \ lbrace {\ begin {array} {ccc} {\ mathfrak {S}} _ {n} & \ to & \ {1, \ ldots, n \} \ times {\ mathfrak { S}} _ {n-1} \\\ sigma & \ mapsto & (\ sigma (n), \ sigma ') \ end {array}} \ right.}
unde este restricția la permutare .
σ′{\ displaystyle \ sigma '}{1,...,nu-1}{\ displaystyle \ {1, \ ldots, n-1 \}}σ∼: =(nu,σ(nu))∘σ{\ displaystyle {\ overset {\ sim} {\ sigma}}: = (n, \ sigma (n)) \ circ \ sigma}
σ′{\ displaystyle \ sigma '}aparține pentru că, prin urmare, pentru orice, deci pentru tot .
Snu-1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}σ∼(nu)=nu{\ displaystyle {\ overset {\ sim} {\ sigma}} (n) = n}σ∼(eu)<nu{\ displaystyle {\ overset {\ sim} {\ sigma}} (i) <n}1≤eu<nu{\ displaystyle 1 \ leq i <n}σ′(eu)<nu{\ displaystyle \ sigma '(i) <n}1≤eu<nu{\ displaystyle 1 \ leq i <n}
Arătăm bijectivitatea afișând harta reciprocă. Deducem că cardinalitatea lui este egală cu cea a adică .
φ{\ displaystyle \ varphi}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}{1,...,nu}×Snu-1{\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \} \ times {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}nu.(nu-1)!=nu!{\ displaystyle n. (n-1)! = n!}
Grupul simetric este izomorf pentru grupul format din matricile de permutare prevăzute cu legea produsului: acestea sunt matricile având un singur coeficient 1 în fiecare rând și fiecare coloană, toate celelalte fiind zero.
Generatoare de grup simetrice
O transpunere este un ciclu cu 2 cicluri , adică o permutare care schimbă două elemente și le lasă pe celelalte neschimbate. Notăm prin ( i , j ) transpunerea care schimbă elementul i cu elementul j .
Există un algoritm care permite descompunerea unei permutări într-un produs de transpuneri . Astfel, setul de transpuneri formează un sistem de generatori de .
Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
Ne putem limita la transpuneri de forma τ i = ( i , i + 1) deoarece, pentru i < j , este posibil să se descompună
(eu,j)=(eu,eu+1)(eu+1,eu+2)...(j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)...(eu+1,eu+2)(eu,eu+1).{\ displaystyle (i, j) = (i, i + 1) (i + 1, i + 2) \ dots (j-2, j-1) (j-1, j) (j-2, j- 1) \ dots (i + 1, i + 2) (i, i + 1).}
Acești generatori n - 1 fac posibilă prezentarea grupului simetric, cun ( n + 1)/2 relaţii:
- τeu2=1,{\ displaystyle {\ tau _ {i}} ^ {2} = 1,}
- τeuτj=τjτeudacă |j-eu|>1,{\ displaystyle \ tau _ {i} \ tau _ {j} = \ tau _ {j} \ tau _ {i} \ qquad {\ mbox {si}} | ji |> 1,}
- (τeuτeu+1)3=1.{\ displaystyle {(\ tau _ {i} \ tau _ {i + 1}}) ^ {3} = 1.}
Prin urmare, este un caz special al grupului Coxeter și chiar un grup de reflecții (en) (care, pentru un grup finit , este de fapt echivalent).
Este, de asemenea, posibil să luați n - 1 generatoare - transpunerile s i = ( i , n ) pentru relațiile i < n - și ( n - 1) 2 :
seu2=(seuseu+1)3=(seuseu+1seusj)2=1(1≤eu,j≤nu-1,j≠eu,eu+1,snu: =s1).{\ displaystyle s_ {i} ^ {2} = (s_ {i} s_ {i + 1}) ^ {3} = (s_ {i} s_ {i + 1} s_ {i} s_ {j}) ^ {2} = 1 \ quad (1 \ leq i, j \ leq n-1, \ quad j \ neq i, i + 1, \ quad s_ {n}: = s_ {1}).}În cele din urmă, putem fi mulțumiți cu 2 generatoare - transpunerea τ 1 = (1, 2) și ciclul r = (1, 2, ..., n ) - și relațiile n + 1 :
rnu=τ12=(rτ1)nu-1=(τ1r-1τ1r)3=(τ1r-jτ1rj)2=1(2≤j≤nu-2).{\ displaystyle r ^ {n} = \ tau _ {1} ^ {2} = (r \ tau _ {1}) ^ {n-1} = (\ tau _ {1} r ^ {- 1} \ tau _ {1} r) ^ {3} = (\ tau _ {1} r ^ {- j} \ tau _ {1} r ^ {j}) ^ {2} = 1 \ quad (2 \ leq j \ leq n-2).}Semnătură
Presupunem în această secțiune că numărul întreg n este mai mare sau egal cu 2.
Orice permutare se descompune într-un produs al transpunerilor. Acest produs nu este unic, dar paritatea numărului de termeni ai unui astfel de produs depinde doar de permutare. Vorbim apoi de permutare pară sau impară .
Semnătura unei permutații σ , notată sgn (σ) sau ε (σ) , este definită de:
sgn(σ)=ε(σ)={+1dacă σ este chiar -1dacă σ este ciudat {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ sigma) = \ varepsilon (\ sigma) = \ left \ {{\ begin {array} {cl} +1 & {\ mbox {si}} \ sigma {\ mbox {is even}} \\ - 1 & {\ mbox {si}} \ sigma {\ mbox {is impar}} \ end {array}} \ right.}Cartarea semnăturilor este un morfism al grupurilor de in ({–1, 1}, ×). Nucleul acestei morfism, adică setul de permutări chiar, se numește grupul alternativ de gradul n , notat (acest personaj este un gotic A ).
este, prin urmare, un subgrup normal al și grupul coeficientului este izomorf pentru imaginea {–1, 1} a morfismului semnăturii. În consecință, este de index 2 în , deci de ordinul n ! / 2. (Sau mai concret: și complementul său în sunt același cardinal, deoarece pentru transpunerea t a , harta σ ↦ t ∘σ este o bijecție a complementului său.)
(Snu,∘){\ displaystyle ({\ mathfrak {S}} _ {n}, \ circ)}LAnu{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}LAnu{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}} Snu/LAnu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n} / {\ mathfrak {A}} _ {n}}LAnu{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}LAnu{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}LAnu{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}
Mai mult, secvența exactă scurtă
1→LAnu→Snu→{-1,1}→1{\ displaystyle 1 \ to {\ mathfrak {A}} _ {n} \ to {\ mathfrak {S}} _ {n} \ to \ {- 1,1 \} \ to 1}
este împărțit la dreapta , la fel și un produs semi-direct al grupului ciclic cu doi elemente.
Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}LAnu{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}
Clase de conjugare
Clasa de conjugare a unui permutare σ este setul de conjugate sale:VS(σ)={τ∘σ∘τ-1∣τ∈Snu}.{\ displaystyle C (\ sigma) = \ {\ tau \ circ \ sigma \ circ \ tau ^ {- 1} \ mid \ tau \ in {\ mathfrak {S}} _ {n} \}.}
Conjugatele lui σ sunt permutațiile a căror descompunere în produs a ciclurilor cu suporturi disjuncte are aceeași structură ca cea a lui σ : același număr de cicluri de fiecare lungime.
Demonstrație
Fie ... să fie o permutare a descompusului într-un produs al ciclurilor disjuncte.
σ=vs.1{\ displaystyle \ sigma = c_ {1}}vs.m{\ displaystyle c_ {m}}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
- Pentru orice permutare , conjugatul este produsul , care sunt cicluri disjuncte ale aceleași lungimi ca și . Într-adevăr, pentru orice ciclu , permutarea conjugată nu este alta decât ciclul .τ{\ displaystyle \ tau}σ′=τστ-1{\ displaystyle \ sigma '= \ tau \ sigma \ tau ^ {- 1}}vs.eu′=τvs.euτ-1{\ displaystyle c '_ {i} = \ tau c_ {i} \ tau ^ {- 1}}vs.eu{\ displaystyle c_ {i}}vs.=(la1 ... lak){\ displaystyle c = (a_ {1} ~ \ dots ~ a_ {k})}τvs.τ-1{\ displaystyle \ tau c \ tau ^ {- 1}}(τ(la1) ... τ(lak)){\ displaystyle (\ tau (a_ {1}) ~ \ dots ~ \ tau (a_ {k}))}
- Pe de altă parte , să ... fie o permutare care poate fi descompus într - un produs de cicluri disjuncte ale aceleași lungimi respective ca și . Apoi este conjugat de , prin orice permutare care trimite (respectând ordinea, până la o permutare circulară) sprijinul fiecăruia pe cel al omologului său . O astfel de permutare există, deoarece suporturile sunt disjuncte.σ′=vs.1′{\ displaystyle \ sigma '= c' _ {1}}vs.m′{\ displaystyle c '_ {m}}vs.eu′{\ displaystyle c '_ {i}}vs.eu{\ displaystyle c_ {i}}σ′{\ displaystyle \ sigma '}σ{\ displaystyle \ sigma}τ{\ displaystyle \ tau}vs.eu{\ displaystyle c_ {i}}vs.eu′{\ displaystyle c '_ {i}}vs.eu{\ displaystyle c_ {i}}
Exemplu
Dacă luăm în considerare în diferitele clase de conjugare, găsim aceea de identitate, transpuneri ( ab ), permutații compuse din două transpuneri de suporturi disjuncte ( ab ) ( cd ), cicluri de
ordinul 3 ( abc ), permutațiile alcătuite dintr-un ciclu de ordinul 3 și un ciclu de ordinul 2: ( abc ) ( de ), apoi cicluri de ordine 4: ( abcd ) și 5: ( abcde ).
S5{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {5}}
Permutările (1 2 3) (4 5) și (1 3 4) (2 5) sunt în aceeași clasă de conjugare spre deosebire de permutarea (1 3) (2 5).
Numărul claselor de conjugare este deci egal cu numărul de „partiții” ale întregului n și dacă descompunerea unei permutări conține k 1 „1-cicluri” ( punctele fixe ), k 2 2-cicluri, ... , k m m -cicluri, atunci numărul conjugatelor sale este:
nu!1k1k1!...mkmkm!.{\ displaystyle {\ frac {n!} {1 ^ {k_ {1}} k_ {1}! \ ldots m ^ {k_ {m}} k_ {m}!}}.}
(Vedem că apare un coeficient multinomial .)
Proprietăți rezultate din studiul grupului alternativ
Rezultatul fundamental în studiul grupului alternativ este că acesta este un grup simplu pentru n diferit de 4.
LAnu{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}
Pe de altă parte, grupul derivat din este . Pentru n ≥ 5, acesta este singurul subgrup distinct propriu din .
Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}LAnu{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}este rezolvabil dacă și numai dacă n ≤ 4, ceea ce are consecințe importante asupra solubilității radicale a ecuațiilor polinomiale .
Proprietăți diverse
- Centrul de este trivială dacă n este strict mai mare decât 2 și întregul grup altfel.Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
-
S6{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {6}}este singurul grup simetric al cărui grup exterior de automorfism este non-banal.
- Orice subgrup al indicelui n al lui este izomorf . Dacă n este diferit de 6, un astfel de subgrup este în mod necesar stabilizatorul unui element de {1, ..., n }.Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Snu-1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}
- În plus, are un subgrup de index 6 care nu este stabilizatorul unui punct.S6{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {6}}
Demonstrație
S 5 conține douăzeci și patru de 5 inele , deci șase subgrupuri de ordinul 5. Acțiunea prin conjugarea lui S 5 pe aceste subgrupuri asigură deci un morfism de la S 5 la S 6 . Acest morfism este injectiv deoarece nucleul său este un subgrup normal de S 5 distinct de S 5 și A 5 (deoarece, de exemplu, (123) (12345) (321) = (14523) nu este o putere de (12345)). În cele din urmă, conform teoremelor lui Sylow , această acțiune este tranzitivă și, prin urmare, nu fixează niciun punct.
Note și referințe
-
R. Goblot, Algebra liniară , Paris, 2005, p. 58, folosește notația S n . Autorii anglo-saxoni scriu în general S E mai degrabă decât și S n mai degrabă decât .S(E){\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}Snu{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
-
(în) HSM Coxeter și WOJ Moser (de) , Generatori și relații pentru grupuri discrete , Springer ,1972( Repr. 2013), 3 e ed. ( 1 st ed. 1957), 164 p. ( ISBN 978-3-662-21946-1 , citit online ) , p. 63 (6.22).
-
Coxeter și Moser 1972 , p. 64 (6,28).
-
Coxeter și Moser 1972 , p. 63 (6,21).
-
(în) William Fulton și Joe Harris , Teoria reprezentării: un prim curs [ ediții cu amănuntul ], p. 55 , previzualizare pe Google Cărți .
-
P. Tauvel, Algèbre , ediția a II- a, Paris, Dunod, 2010, p. 70. Vezi și ultima demonstrație a grupului Derivat pe Wikiversitate .
Vezi și tu
Articole similare
Bibliografie
Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detaliu ediții ]
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">