Corp de descompunere

În matematică și mai precis în algebră în teoria câmpurilor comutative , un câmp de descompunere , sau uneori câmp rădăcină sau chiar câmp de desfășurare , al unui polinom diferit de P este o extensie de câmp minimă pe care P este divizat . Arătăm că un polinom diferit de zero are întotdeauna un corp de descompunere, unic până la izomorfism și că aceasta este o extensie finită și normală .

Dacă în plus polinomul este separabil , este o extensie Galois . Teoria Galois se aplică atunci, în special teorema elementului primitiv și teorema fundamentală a teoriei lui Galois .

Definiție

Având în vedere un câmp comutativ K și un polinom P zero cu coeficienți în K , un câmp de descompunere de la P peste K este o extensie L a lui K astfel încât:

• P este împărțit pe L , adică produsul polinoamelor de gradul I în L [ X ];
• rădăcinile P în L genera L peste K , adică să spunem că nu există nici un alt subdomeniu al L care se conține K și rădăcinile P .

Într-o închidere algebrică dată Ω, există o subextensie unică a lui Ω, care este, de asemenea, un câmp de descompunere a lui P  : este subextensia lui Ω generată de rădăcinile lui P în Ω. În general, orice câmp de descompunere al lui P este izomorf pentru acest subcâmp al lui Ω.

Propunere. - Orice polinom diferit de zero al lui K [ X ] are un câmp de descompunere, unic până la izomorfism. Aceasta este o extensie finită a lui K și este o subextensie a oricărei extensii pe care P este împărțit.

Existența și unicitatea până la izomorfism pot fi demonstrate direct (fără a presupune, ca mai sus, existența și unicitatea până la izomorfism în apropierea unei închideri algebrice).

• Existența unui corp de descompunere L de grad finit:
  se dovedește prin inducție pe gradul polinomului P , prin iterarea construcției corpurilor de fractură .
  Într - adevăr, în cazul în care P este o constantă sau nivelul 1, K este un corp de descompunere P . Dacă P este de grad superior, atunci
  • fie P are un factor de grad 1, P = ( X - α) Q , iar un câmp de descompunere a lui Q , care există prin ipoteză de inducție, este un câmp de descompunere a lui P  ;
  • fie P are un factor ireductibil de grad> 1; atunci are un factor de gradul 1 într-un câmp de fractură a acestui factor ireductibil, adică K ' conținând K și concluzionăm prin ipoteză de inducție ca în cazul anterior.
• L este o subextensie a oricărei extensii pe care P este împărțit:
  o arătăm prin inducție pe gradul [ L : K ] al extensiei (finite!), Folosind-o pentru un polinom ireductibil Q ( X ), corpul de rupere este izomorfă la K [ X ] / ( Q ( X )). Pentru inducție, generalizăm proprietatea de dovedit. Fie K și K ' două câmpuri izomorfe prin φ, polinomul P peste K și φ ( P ), imaginea sa prin izomorfismul indus (pe care îl denotăm și cu φ). Fie L ' o extensie a lui K' peste care se împarte φ ( P ). Vom arăta, prin inducție la gradul [ L : K ], că φ se extinde într-un morfism injectiv de la L la L ' .
  • Rezultatul este evident dacă acest grad este egal cu 1.
  • În caz contrar, acest lucru se datorează faptului că P are un factor ireductibil Q de grad> 1, care are deci o rădăcină α în L a cărei imagine φ (α) este rădăcina lui φ ( Q ) în L '  ; K [α] este un corp de fractură de Q pe K la fel cum K ' [φ (α)] este un corp de fractură de φ ( Q ), ireductibil pe K' . Câmpurile K [α] și K ' [φ (α)] sunt, prin urmare, izomorfe (deoarece izomorfe pentru cele două câmpuri izomorfe K [ X ] / ( Q ) și K' [ X ] (φ ( Q ))) de ψ care se extinde φ. Acum L este un câmp de descompunere a lui P peste K [α] și L ' este o extensie a lui K' [φ (α)] peste care se împarte φ ( P ). Gradul [ L : K [α]] este strict mai mic decât [ L : K ] (deoarece [ L : K ] = [ L : K [α]] [ K [α]: K ] și [ K [α]: K ] este gradul de Q care este> 1). Prin ipoteză de inducție, ψ se extinde într-un morfism injectiv de la L la L ' , care, prin urmare, se extinde φ.
• Orice corp de descompunere a lui P este izomorf la L:
  Fie L ' un alt corp de descompunere. Conform punctului anterior, este o supra-extensie a lui L , adică există un K -morfism injectiv θ de la L la L ' . Mai mult, deoarece P este împărțit peste L , toate rădăcinile lui P în L ' aparțin imaginii lui θ (deoarece acestea sunt imaginile rădăcinilor lui P în L ), astfel încât această imagine este L' întreg și că θ este un izomorfism.

Rețineți că o extensie a unui câmp K poate conține un singur câmp de descompunere a unui polinom P peste K , în timp ce poate conține mai multe câmpuri de rupturi (izomorfe între ele) ale acestuia.

Exemple

Câmpul de descompunere al polinomului X 2 + 1 peste câmpul numerelor reale este câmpul complexelor .

Polinomul P ( X ) = X 3 - 2 este ireductibil pe câmpul numbers al numerelor raționale (într-adevăr, orice polinom de grad 3 care nu este ireductibil are o rădăcină rațională). Să r fi reală rădăcina cubică de 2, și j să fie una dintre cele două (complex) rădăcinile cubice primitive ale unității . Celelalte două rădăcini ale lui P sunt j r și j 2 r . Câmpul de descompunere al lui P peste ℚ este L = ℚ ( r , j r , j 2 r ).

Corpul de descompunere al lui P poate fi construit ca în dovada existenței de mai sus.

Luați în considerare extensia K 1 egală cu ℚ ( r ), adică extensia generată de r . Deoarece P este ireductibil , este un câmp de fractură al lui P , izomorf la ℚ [ X ] / ( P ), a cărui bază este (1, r , r 2 ).

Pe K 1 , polinomul P are o rădăcină r . O divizare a lui P ( X ) de polinomul X - r dă egalitatea:

P(X)=(X-r)(X2+rX+r2)=(X-r)(X+(1/2+s)r)(X+(1/2-s)r) cu s=32eu.{\ displaystyle P (X) = (Xr) (X ^ {2} + rX + r ^ {2}) = (Xr) (X + (1/2 + s) r) (X + (1 / 2- s) r) {\ mbox {cu}} s = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ mathrm {i}.}

Deducem că L este egal cu K 1 ( s ), care este o extensie a gradului 2 al lui K 1 și a cărui bază este {1, s }.

Avem egalitate pe grade [ L : ℚ] = [ L : K 1 ] [ K 1 : ℚ] = 3 × 2 = 6 ( cf. Definiții și primele proprietăți ale extensiilor algebrice ). Deducem că baza lui L pe ℚ este {1, r, r 2 , s, rs, r 2 s }.

Extensie Galois

• Câmpul de descompunere al unui polinom separabil, obținut prin adăugarea unui număr finit de elemente separabile, este o extensie separabilă finită a câmpului de bază. Se aplică teorema elementului primitiv : extensia este simplă .
• Orice corp de descompunere este o extensie normală . Într-adevăr, r 1 ,…, r n să fie rădăcinile lui P în Ω. Atunci L este egal cu K ( r 1 , ..., r n ). Orice morfism de la L la Ω permite rădăcinile, deci lasă L stabil . Dacă P este separabil, extensia este deci Galois .
• Presupunem că polinomul P este separabil. Grupul Galois al câmpului de descompunere al lui P funcționează tranzitiv pe mulțimea R a rădăcinilor lui P dacă, și numai dacă, polinomul P este ireductibil.

Într-adevăr, dacă P nu este ireductibil, acesta este produsul a două polinoame P 1 și P 2 de grade strict pozitive. mulțimea rădăcinilor lui P 1 este disjunctă de mulțimea rădăcinilor lui P 2 deoarece P este separabilă. Imaginea printr-un morfism, element al grupului Galois, al unei rădăcini a lui P 1 este neapărat o rădăcină a acestui polinom, prin urmare nu poate fi o rădăcină a lui P 2 , ceea ce dovedește că grupul nu operează tranzitiv. Invers, dacă P este ireductibilă, α și β sunt două rădăcini ale P . Fie m morfismul lui K (α), în K (β) care la α asociază β. Proprietatea generală demonstrată mai sus (prin inducție, în dovada propoziției) arată că morfismul câmpului m se extinde într-un automorfism σ al câmpului de descompunere. Există astfel un element σ al grupului Galois astfel încât σ (α) = β, care arată că grupul funcționează tranzitiv.

Note și referințe

1. Alain Kraus, „  Theory of Galois: DEA crash course  ” , Universitatea din Paris 6 ,1998.
2. Sau „corpul rădăcinii”  : Henri Lombardi și Claude Quitté, Algebra comutativă - Metode constructive - Module proiective de tip finit , Calvage & Mounet,2016( 1 st  ed. 2011) ( arXiv  1,611.02942 , prezentare on - line ) , p.  117.
3. A.-M. Simon, "  Bac 2 curs de matematică: Un prim contact cu teoria numerelor  " , pe ULB ,2010, p.  99, preferă terminologia: „corp de desfășurare”, dar subliniază că „anumiți autori [îl numesc]„ corp de ruptură ”( câmp de divizare în engleză) sau chiar„ corp de rădăcini ”, acest nume fiind totuși puțin ambiguu . „ Termenul„ forță de rupere ”nu este în ultimul rând așa cum se explică în articolul despre ridicarea corpului . În engleză, nu există neînțelegeri: câmpul de divizare este într-adevăr corpul descompunerii.
4. Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detaliul ediții ], 1981, c. III 7.
5. Această proprietate apare de exemplu în: Régine și Adrien Douady , Algèbre et theories galoisiennes [ detaliul edițiilor ], 2005, p.  307 .

Bibliografie

• Henri Lombardi și Claude Quitté, Algebră comutativă - Metode constructive - Module proiective de tip finit , Calvage & Mounet,2016( 1 st  ed. 2011) ( arXiv  1,611.02942 , prezentare on - line ) , p.  105-108 și 433-444 : "Algebra descompunerii universale"
• Serge Lang , Algebra [ detaliile edițiilor ]
• Pierre Samuel , Teoria numerelor algebrice [ detaliul ediției ]