Închidere algebrică

În matematică , o închidere algebrică a unui câmp comutativ K este o extensie algebrică L de K , care este algebric închis , adică astfel încât orice polinom de grad mai mare decât sau egală cu unu, cu coeficienți în L , admite cel puțin o rădăcină în L .

O închidere algebrică a unui corp K poate fi văzută ca o extensie maximă algebrică K . Într - adevăr, este suficient să se constate că , dacă L este o extensie algebrică a K , apoi o închidere algebrică a L este , de asemenea , o închidere algebrică de K , astfel încât L este conținută într - o închidere algebrică a K .

O închidere algebrică K este de asemenea un câmp algebric închis minimal (pentru includere) care conține K , deoarece în cazul în care M este un câmp care conține algebric închis K apoi, printre elementele M , acelea care sunt algebric peste K formează o închidere algebrică K .

O închidere algebrică a unui câmp K are aceeași cardinalitate ca K dacă K este infinit; este numărabil dacă K este finit.

În afară de cazul în care K este închis separat (deci închis algebric în caracteristică zero ), între două închideri algebrice ale lui K nu există unicitate a izomorfismelor. Prin urmare, este mai bine să eviți expresia „închiderea algebrică” și să privilegiezi articolul nedefinit „a” (un alt mod de a-l vedea este că nu există nici un functor al categoriei câmpurilor în sine care să trimită vreun câmp K pe o închidere algebrică din K ).

Existența unei închideri algebrice pentru orice câmp necesită axioma de alegere .

Exemple

Conform teoremei fundamentale a algebrei , câmpul numerelor complexe este o închidere algebrică a câmpului numerelor reale .
Câmpul numerelor algebrice este o închidere algebrică a câmpului numerelor raționale .
O închidere algebrică a unui câmp finit de ordin prim p este un câmp numărabil. Pentru orice număr natural diferit de n , acesta conține unul și un singur sub-câmp F p n de ordinea p n și este egal cu unirea tuturor acestor sub-câmpuri (sau mai inteligent: limita lor inductivă , cu F p d ⊂ F p n dacă d este divizorul lui n ).
Există câmpuri închise algebric numărabile incluse în câmpul numerelor complexe, care conțin (strict) câmpul numerelor algebrice; ele sunt închiderile algebrice ale extensiilor transcendente ale câmpului raționalelor, precum cea a extensiei ℚ (π).

Teorema lui Steinitz

Fiecare câmp K are o închidere algebrică.
Două închideri algebrice ale lui K sunt întotdeauna legate de un izomorfism de câmpuri lăsând elementele lui K invariante .

Dovada se poate face folosind lema lui Zorn .

Demonstrație

Existență Fie K un corp. Alegem un set Ω care este infinit necontabil dacă K este finit și care este strict mai mare decât cel al lui K dacă acesta din urmă este infinit. Luați în considerare setul de tripleți ( L , +, x) , cu L un subset al Ω care conține K și + x face L o extensie algebrică K .

Definim o relație de comandă ( L , +, x) ( F , +, x) , unde L este conținut în F și dacă structura corpului pe L este indusă de cea a F . Acest lucru face în mod clar setul de triplete deasupra unui set ordonat inductiv. Din Lema lui Zorn are un element de maximă F . Rămâne să arate că F este o închidere algebrică a K . $\ leq$

Să E o extensie algebrică a F . Mai întâi observăm că, din moment ce F este algebric peste K , este același cardinal ca K sau (când K este finit) este cel mult numărabil. Este același lucru pentru E . Deci, complementul lui F în E este cardinal mai mic decât cel al lui Ω \ F (care are aceeași cardinalitate ca Ω). Există , astfel , una de cartografiere de E în Ω , care este identitatea pe F . Noi dota imaginea structurii corpului indusă de E , și se obține apoi o extensie algebrică a F . Prin maximalitate din F , această imagine este egal cu F . Deci E este egal cu F, iar acesta din urmă este închis algebric.

Unicitatea la izomorfism: Să două închideri algebrice ale K . Considerăm perechile în care L este o sub- K- extindere a și unde este un omomorfism în câmpul K. Setul acestor perechi este non-gol și este ordonat (în mod natural) inductiv. Fie un element maxim. În cazul în care un este un element al , avand in vedere polinom minimal peste L . Apoi polinomul admite o rădăcină b in . Există un K -homorphism valabil pe L și care trimite a la b . Prin maximitatea lui , avem , prin urmare . Deoarece este închis algebric, avem . La fel și un K -izomorfism de pe . $F_ {1}, F_ {2}$ $(L, \ rho)$ $F_1$ $\ rho: L \ to F_ {2}$ $(L, \ rho)$ $F_1$ $P (x) \ în L [x]$ $\ rho (P (x)) \ in \ rho (L) [x]$ $F_2$ $L [a] \ to F_ {2}$ $\ rho$ $(L, \ rho)$ $L [a] = L$ $L = F_ {1}$ $\ rho (F_ {1}) \ subseteq F_ {2}$ $\ rho (F_ {1}) = F_ {2}$ $\ rho$ $F_1$ $F_2$

Putem folosi, de asemenea, metoda lui Artin bazată pe teorema lui Krull a existenței idealurilor maxime sau putem da o dovadă constructivă prin inducție transfinită , oferind setul de polinoame cu coeficienți în K cu o ordine bună și folosind faptul că pentru orice polinom ireductibil P cu coeficienți într - un corp M , M (X) / (P) este un câmp de ruptură P .

Teorema Artin-Schreier

Închiderea algebrică a lui ℝ este o extensie finită a lui ℝ. Ne putem întreba mai general care sunt corpurile care au această proprietate.

Teorema ( Artin - Schreier ) - Dacă K este un câmp cu indice finit strict mai mare de 1 în închiderea sa algebrică, atunci K este un câmp real închis . În special, K [ $\sqrt -1$ ] este închis algebric.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia în limba engleză intitulat „ Închidere algebrică ” ( vezi lista autorilor ) .

(în) Serge Lang , Algebra , 2002 [ ediții detaliate ] , cap. VI, corn. 9.3